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专题05 函数的概念及其表示
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
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专题05 一元二次不等式与其他常见不等式解法
命题解读
命题预测
复习建议
函数是学习数学的一条
主线，因此在高考中不可能
没有函数，可以说函数占据
了高考题试卷的全部。函数
的概念是学习函数的基础，
在理解了函数的概念之后，
我们才能对与函数有关的题
目迎刃而解，理解函数的三
要素，函数定义域是高考必
考的内容，分段函数也是高
考的一个重点考点。
预计2024 年的高考函数的定
义域，值域，解析式还是会
出题，一般在选择或者填空
题中出现，分段函数的考察
比较灵活，各种题型都可以
涉及到。
集合复习策略：
1. 理解函数的概念及其表
示，掌握函数的“ 三要
素”；
2.理解函数的表示方法：解
析法，图象法，列表法；
3.掌握分段函数的定义以及
它的应用。
→➊考点精析←
一、函数的概念及其表示
1．函数的概念：设A，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于A 中
的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f（x）与之相对应，那么就把这对应关系f
叫做定义在集合A 上的函数，记作f:A→B 或y=f(x)，x∈A.此时，x 叫做自变量，集合A
叫做哈数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
2．函数的三要素：定义域，值域，对应关系.
3．函数的表示方法：解析法，图象法，列表法.
4．常见函数的定义域
(1)分式函数中分母不等于0.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)零次幂的底数不能为0.
(5)y=ax(a>0 且a≠1)，y=sin x，y=cos x 的定义域均为R.
(6)y= logax (a>0，a≠1)的定义域为{x |x>0}.
(7)y=tan x 定义域为
.
5．抽象函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f[g(x)]中，m ≤g(x)≤n，从而解得x 的范围，即为f[g(x)]
2
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的定义域.
(2)若f[g(x)]的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n 确定g(x)的范围，即为f(x)的定义域.
二、分段函数及其应用
1.分段函数的概念：如果函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不
同的式子来表示，那么这种函数叫做分段函数；
2.分段函数的考察，主要是求函数值，求最值，解不等式求范围，求未知参数的范围。
→➋真题精讲←
1．（2023·山东德州·三模）函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数
为奇函数，可排除A、B 选项，再根据指数函数与对数函数的增长
趋势，得到
时，
，可排除C 选项，即可求解.
【详解】由函数
，都可其定义域为
关于原点对称，
又由
，所以函数
为奇函数，
所以函数
的图象关于原点对称，可排除A、B 选项；
当
时，
；当
时，
；当
时，
，
根据指数函数与对数函数的增长趋势，可得
时，
，可排除C 选项.
故选：D.
3
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2．（2023·广东广州·统考一模）函数
在
上的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
定义域为
，
而
，且
，
即函数
既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD；
而当
时，
，排除选项A，选项B 符合要求.
故选：B
3．（2023·广东肇庆·统考一模）函数
中的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
4
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【解析】因为
定义域为
，
又
，
所以
为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B，
又
时
，
，所以
，
所以
，故排除C；
故选：D
4、（1）已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.
（2）、已知
则f(7） =______.
（3）(2019 苏锡常镇调研）已知函数f(x)＝若f(a－1)＝，则实数a＝________．
（4）、(2018 南京、盐城、连云港、徐州二模）已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥－1 的解集
是________．
【答案】（1）0 2－3；（2）6（3） log23（4） [－4,2]
【解析】（1）∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，
∴f(f(－3))＝f(1)＝0，
当x≥1 时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，取等号，此时f(x)min＝2－3<0；
当x<1 时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0 时，取等号，此时f(x)min＝0.∴f(x)的
最小值为2－3.
（2）∵7＜9，
∴f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)＝f(8)．
又∵8＜9，
∴f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝9－3＝6.
即f(7)＝6.
（3）当a－1≤0，即a≤1 时，f(a－1)＝log2(4－a)＝，
解得a＝4－(舍)；当a－1>0，即a>1 时，f(a－1)＝2a－1－1＝，
解得a＝log23.
5
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（4）当x≤0 时，不等式f(x)≥－1 可以化为x＋1≥－1，
解之得x≥－4，此时－4≤x≤0；当x>0 时，不等式f(x)≥－1 可以化为－(x－1)2≥－1，
解之得0<x≤2，
综上所述，不等式f(x)≥－1 的解集为[－4,2]．
→➌模拟精练←
1．（2023·湖北·校联考三模）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，得
，解得
，
所以函数的定义域为
.
故选：D．
2．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知函数
，
，满足以下条件：①
，其中
，
：②
.则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，则
，又
，所以
，
令
，则
，即
.
所以
，
，
，
，
，
累加得：
，
所以
.
故选：D
3．（2021·浙江高三其他模拟）函数
co
1
(
)
s
x
x
y
e
e
x
在
,
2 2
上的图象可能是（
）
6
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用定义判断
1
( )
co
(
)
s
x
x
f
e
e
x
x
的奇偶性，再代入特殊值检验，即可得答案.
【解析】设
1
( )
co
(
)
s
x
x
f
e
e
x
x
，
则
1
1
(
)
(
)
(
)
cos(
)
cos
( )
x
x
x
x
f
x
x
e
e
x
f x
e
e
，
所以
( )
f x
为奇函数，图象关于原点对称，排除A、C，
又当x=1 时，
1
1
1
(1)
(
)cos1
0
f
e
e
，排除D.
故选：B
4．（2021·广东珠海市·高三二模）函数
sin
cos
f x
x
x
x
的图像为（ ）
7
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数
f x 的奇偶性可以排除两个选项，再由f(1)的正负即可得解.
【解析】因
sin(
)
(
)cos(
)
sin
cos
( )
f
x
x
x
x
x
x
x
f x
，即函数
f x 是
奇函数，其图象关于原点对称，从而排除选项B，C，
又
(1)
sin1 cos1
0
f
，显然选项D 不符合此条件，A 符合要求.
故选：A
5．（2023·辽宁大连·统考三模）已知函数
的定义域为
，值域为
，且
，函数
的最小值为2，则
（ ）
A．12
B．24
C．42
D．126
【答案】D
【详解】解：方法一
令
，有
，则
满足
，
又因为
，
所以
，
8
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因为
，
所以
，
所以
，
所以
，
方法二：抽象出特殊函数
，其满足题目要求，从而快速求得答案
，
故选：D
6．（多选）（2023·重庆·统考三模）函数
是定义在
上不恒为零的可导函数，对任意
的x，
均满足：
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】令
，得
，代入
，得
，
当
为正整数时，
，
所以
，
所以
，代入
，得
，
所以
，又当
时，也符合题意，
所以
.
当
不为正整数时，经验证
也满足
，
故
为任意实数时，都有
.
所以
，故A 正确；
，故B 正确；
所以
，
，故C 不正确；
所以
，
9
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令
，
则
，
所以
，
所以
，所以
，故D 正确.
故选：ABD
7．（2023·安徽·校联考三模）函数
的值域是______．
【答案】
【详解】当
时，满足
；
当
时，由
，
所以函数
的值域为
．
故答案为：
．
8．（2021·北京清华附中高三其他模拟）函数
的定义域是
_____________．
【答案】
【分析】根据函数解析式直接列出式子即可求解.
【解析】
，
，解得
，故函数的定义域为
.
故答案为：
.
9．（2021·北京北大附中高三其他模拟）若函数
的定义域是
，则
的值域是___________.
【答案】
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【分析】先分离常数将函数解析式化为
，结合
的范围，先得出分母的范
围，由反比例函数的性质和不等式的性质可得答案.
【解析】由
当
时，
，所以
，则
所以
，即
的值域为
故答案为：
→➍专题训练←
1．（2021·浙江高考真题）已知函数
，则图象为如图的函数可
能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
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【解析】对于A，
，该函数为非奇非偶函数，与函数图
象不符，排除A；
对于B，
，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，
排除B；
对于C，
，则
，
当
时，
，与图象不符，排除C.
故选：D.
2. 【2020 云南高三一模】设
，则f[f(11)]的值是（ ）
A．1
B．e
C．
D．
【答案】B
【解析】由分段函数解析式可得：
，
则
，
故选B.
3. 【2020 山东省青岛第五十八中学高三一模】已知函数
，若
的最小值为
，则实数a 的值可以是
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】BCD
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【解析】当
,
,
当且仅当
时,等号成立；
当
时,
为二次函数,要想在
处取最小,
则对称轴要满足
,且
,
即
,解得
,
故选BCD
4、(1)已知A＝{1，2，3，k}，B＝{4，7，a4，a2＋3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：
x→y＝3x＋1 是从定义域A 到值域B 的一个函数，求a，k 的值；
(2)下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】
．
【解析】(1)(定义法)由对应法则1→4，2→7，3→10，又k→3k＋1，故a2＋3a＝10(a4＝
10 舍去)，解得a＝2 或a＝－5(舍去)，故3k＋1＝a4＝16，解得k＝5.∴a＝2，k＝5.【分
析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同函数．
（2）对于
，函数
与
的解析式不同，表示相同函数；
对于
，函数
的定义域为
，
的定义域为
，定义域相同，对应
关系也相同，是相同函数；
对于
，函数
的定义域为
，
的定义域为
，定义域相同，对
应关系也相同，是相同函数；
对于
，函数
的定义域为
，
，
，
的定义
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域为
，定义域不同，不是相同函数．
故选：
．
5．（2021·福建高三三模）已知函数
1
1
1
( )
sin
2
x
x
f x
e
e
x
，实数a ，b 满足不等式
3
1
0
f
a
b
f a
，则下列不等式成立的是（ ）
A．4
3
a
b
B．4
3
a
b
C．2
1
a
b
D．2
1
a
b
【答案】A
【分析】根据条件判断函数
( )
f x 关于
1,0 对称，求导，可得函数的单调性，利用函数的
对称性和单调性将不等式进行转化求解即可.
【解析】解：∵
1
1
1
( )
sin
2
x
x
f x
e
e
x
，
∴
1
1
1
1
1
1
2
sin 2
sin
2
2
x
x
x
x
f
x
e
e
x
e
e
x
f x
，
∴函数
( )
f x 关于
1,0 对称，
又
1
1
1
1
1
1
1
cos
2
cos
2
cos
2
( )
2
2
x
x
x
x
e
e
x
e
e
x
x
f
x
，
∵
1
1
1
cos
2
2
2
x
，
∴
1
1
1
2
2
cos
2
2
2
2
x
，
∴
( )
0
f
x
恒成立，则
( )
f x
是增函数，
∵
3
1
0
f
a
b
f a
，
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∴
3
1
3
f
a
b
f a
f
a
，
∴3
3
a
b
a
，得4
3
a
b
，
故选：A.
【点睛】根据条件判断函数的对称性和单调性是解决本题的关键，需灵活应用基本不等式
求最值，综合性强，属中档题.
6、下列各对函数中是同一函数的是( ) ．
A．f(x)＝2x－1 与g(x)＝2x－x0 B．f(x)＝与g(x)＝|2x＋1|；
C．f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)； D．f(x)＝3x＋2 与g(t)＝3t＋2.
【答案 BD
【解析】 ①函数g(x)＝2x－x0＝2x－1，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域
不相同，不是同一函数；②f(x)＝＝|2x＋1|与g(x)＝|2x＋1|的定义域和对应关系相同，是同
一函数；③f(n)＝2n＋2(n∈Z)与g(n)＝2n(n∈Z)的对应关系不相同，不是同一函数；④f(x)
＝3x＋2 与g(t)＝3t＋2 的定义域和对应关系相同，是同一函数．
7. 【2020 江苏省高三月考】已知函数
，若
，
则
的值是_____.
【答案】
【解析】由
时，
是减函数可知，
当
，则
，
所以
，由
得
，解得
，
则
.
故答案为2.
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6．（2021·浙江高考真题）已知
，函数
若
，则
___________.
【答案】2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于
的方程，解方程可得
的值.
【解析】
，故
，
故答案为：2.
9、(1)已知f＝lg x，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；
(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
【解答】 (1)(换元法)令＋1＝t，得x＝，
代入得f(t)＝lg，又x>0，所以t>1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg，
x∈(1，＋∞)．
(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以
解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
(3)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，
得3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝.
故f(x)的解析式是f(x)＝，x∈R.
10、已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
【答案】f(x)＝x2＋x，
【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
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由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以
解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
11．已知函数f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x+4，求函数f（x）的解析式．
【解答】解：设f（x）＝ax+b，a、b∈R，
则f[f（x）]＝f[ax+b]＝a（ax+b）+b
即a2x+ab+b＝9x+4，
∴{
a
2=9
ab+b= 4
；
解得{
a=3
b=1，或{
a=−3
b=−2；
∴f（x）＝3x+1，或f（x）＝﹣3x﹣2．
12．（1）已知f（1
x ）=
x
1−x
2，求f（x）的解析式；
（2）已知f（x+ 1
x ）＝x2+ 1
x
2，求f（x）．
【解答】解：（1）设t = 1
x ，则x= 1
t （t≠0），代入f（1
x ）=
x
1−x
2，
得到f (t )=
1
t
1−( 1
t )
2 =
t
t
2−1
，
所以f ( x)=
x
x
2−1
（x≠0，x≠±1）．
（2）f（x+ 1
x ）＝x2+ 1
x
2 =( x + 1
x )
2−2，
所以f（x）＝x2﹣2（x≥2 或x≤﹣2）．
13．已知函数f（x）为奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝log2x，（1）求f（x）的解析
式； （2）当f（x）＞0 时．求x 的取值范围．
【解答】解：（1）设x＜0，﹣x＞0；
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∴f（﹣x）＝log2（﹣x）＝﹣f（x）；
∴f（x）＝﹣log2（﹣x）；
∴f ( x)={
lo g2 x
x＞0
−lo g2(−x)
x＜0
；
（2）①x＞0 时，由f（x）＞0 得，log2x＞0；
∴x＞1；
②x＜0 时，由f（x）＞0 得，﹣log2（﹣x）＞0；
∴log2（﹣x）＜0；
∴0＜﹣x＜1；
∴﹣1＜x＜0；
∴x 的取值范围为（﹣1，0）∪（1，+∞）．
18
