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5.1 等差数列
1
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2
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3
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4
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考点一 等差数列基本量的计算
【例1-1】（2024·云南·模拟预测）已知等差数列
满足：
为数列
的前
项和，则
（ ）
A．18
B．45
C．90
D．180
【例1-2】（2024·安徽·模拟预测）已知在单调递增的等差数列
中，
与
的等差中项为8，且
，
则
的公差
（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【例1-3】（2024·广东汕头·三模）已知等差数列
的前
项和为
，
，
，若
，
则
（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【一隅三反】
1．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知等差数列
的前n 项和为
，若
，则
（ ）
A．3
B．7
C．11
D．23
2．（2024·全国·高考真题）记
为等差数列
的前
项和，已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国·高考真题）记
为等差数列
的前
项和．若
，则
（ ）
A．25
B．22
C．20
D．15
4．（2024·重庆·模拟预测）记
为等差数列
的前
项和，若
，
，则
（ ）
A．40
B．60
C．76
D．88
5．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
考点二 等差中项的性质
【例2-1】（23-24 浙江杭州·期中）在
中，三个内角
成等差数列，则
（ ）
5
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A．
B．
C．
D．1
【例2-2】（23-24 高二下·北京·期中）等差数列
中，设前
项和为
，
，则
等于（ ）
A．80
B．85
C．90
D．95
【例2-3】（2024·全国·模拟预测）设
，
，若
是
与
的等差中项，则
的最小值为
（ ）
A．6
B．8
C．9
D．12
【一隅三反】
1．（2024·辽宁·二模）记等差数列
的前n 项和为
，
，则
（ ）．
A．13
B．26
C．39
D．78
2．（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知数列
是等差数列，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·全国·模拟预测）在等差数列
中，已知
与
是方程
的两根，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列
满足
，则
（ ）
A．
B．5
C．5 或－5
D．
或
考点三 等差数列片段和的性质
【例3-1】（2023·广东深圳·二模）设等差数列
的前n 项和为
，若
，
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【例3-2】（2023·四川乐山·一模）设等差数列
的前
项和
，若
，
，则
（ ）
A．18
B．27
C．45
D．63
6
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【例3-3】（23-24·广东揭阳·期末）设
是等差数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·陕西咸阳·二模）已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．30
B．58
C．60
D．90
2．（23-24 广东深圳·期末）已知等差数列
的前
项和为
，
，
，则
（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
3（23-24 高三上·河北·期末）设
是等差数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·青海海东 ）已知等差数列
的前n 项和为
，若
，
，则
（ ）
A．－10
B．－20
C．－120
D．－110
考点四 等差数列前n 项和与n 的比
【例4-1】（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知等差数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-2】（2024 贵州毕节 ）等差数列
的前
项和为
，若
且
，则( )
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（22-23 高三上·重庆渝中·阶段练习）在等差数列
中，
为其前
项和．若
，且
，则
等于（ ）
A．-2021
B．-2020
C．-2019
D．-2018
7
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2．（2024·新疆·模拟预测）在等差数列
中，
，其前n 项和为
，若
，则
（ ）
A．-4040
B．-2020
C．2020
D．4040
3．（2023·河南·模拟预测）已知等差数列
的前n 项和为
，若
，
，则
．
考点五 两个等差数列的前n 项和之比
【例5-1】（2024·河南新乡·一模）设等差数列
，
的前
项和分别为
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-2】（22-23 高二上·江苏宿迁·期中）已知两个等差数列
和
的前n 项和分别为Sn 和Tn，且
=
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-3】（2024·湖北武汉·三模）设公差不为零的等差数列
的前n 项和为
，
，则
（ ）
A．
B．-1
C．1
D．
【例5-4】（23-24 陕西榆林·阶段练习）已知等差数列
与等差数列
的前
项和分别为
与
,
且
, 则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·模拟预测）设等差数列
与等差数列
的前n 项和分别为
，
.若对于任意的正整数n 都
8
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有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列
，
的前
项和分别为
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列
，
的前
项和分别为
，
，若对任意正整数
都有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
E．均不是
4．（2024·河北衡水·三模）已知数列
均为等差数列，其前
项和分别为
，满足
，则
（ ）
A．2
B．3
C．5
D．6
考点六 等差数列前n 项和的最值
【例6-1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列
中，
，
，则使得前n 项的和最大的n 值为
（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【例6-2】（2024·四川南充·三模）设为
等差数列
的前n 项和，已知
、
、
成等比数列，
，当
取得最大值时，
（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
9
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【例6-3】（2024·山东泰安·三模）已知
为等差数列
的前
项和，
，
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6-4】（23-24 天津和平·期末）若
是等差数列，
表示
的前n 项和，
，则
中
最小的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）已知
为等差数列
的前
项和，若
，
，则当
取最小
值时，
（ ）
A．9
B．10
C．10 或11
D．11
2．（2024·湖北·二模）已知公差为负数的等差数列
的前
项和为
，若
是等比数列，则当
取最
大值时，
（ ）
A．2 或3
B．2
C．3
D．4
3．（2024 全国·期末）设等差数列
的前n 项和为
，若
，则当
取得最小值时，n 的值为
（ ）
A．11
B．10
C．9
D．8
4．（2024·辽宁·二模）（多选）设
是等差数列，
是其前n 项的和.且
，
，则下面结论
正确的是（ ）
A．
B．
C．
与
均为
的最大值
D．满足
的n 的最小值为14
考点七 等差数列奇数项或偶数项的和
【例7-1】（23-24 高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列
的项数为
其中奇数项之和为
偶数项之和为
则
( )
A．
B．
C．
D．
【例7-2】（2023·重庆·二模）已知等差数列
的前30 项中奇数项的和为
，偶数项的和为
，且
，
10
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，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例7-3】（2024 上海徐汇·期末）设等差数列的项数
为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（22-23 四川雅安·阶段练习）一个等差数列共有2n 项，奇数项的和与偶数项的和分别为24 和30，且末项
比首项大10.5，则该数列的项数是（ ）
A．4
B．8
C．12
D．20
2．（2024 广东）在项数为2n＋1 的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
3．（2024 广东深圳 ）等差数列
共有
项，其中奇数项之和为
，偶数项之和为，则
的值是
A．
B．
C．
D．
4．（2024 浙江宁波·期中）一个等差数列的前12 项和为354，前12 项中偶数项和与奇数项和之比为
，
则公差d 为 .
考点八 等差数列定义及含绝对值的求和
【例8-1】（2023·吉林·一模）已知数列
,点
在直线
上.
（1）求证：数列
是等差数列；
（2）设
，求数列
的前20 项和
.
11
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【例8-2】（2024 吉林长春·一模）已知数列
的通项公式为
.
(1)求证：数列
是等差数列；
(2) 令
，求数列
的前
项和
.
【一隅三反】
1．（23-24 高三下·四川绵阳·阶段练习）设
为数列
的前
项和，已知
，且
为等差数列．
(1)求证：数列
为等差数列；
(2)若数列
满足
，且
，求数列
的前
项和
．
2．（2024·山西·二模）已知数列
的前n 项和为
，若
，
．
12
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(1)求证：数列
是等差数列；
(2)从下面两个条件中选一个，求数列
的前n 项的和
．
①
；
②
．
一．单选题
1．（2024 高三下·全国·专题练习）已知等差数列
的前n 项和为
，且
，
，则
=
（ ）
A．50
B．40
C．30
D．25
2．（2024·山东日照·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，
，
，则
（ ）
A．18
B．21
C．24
D．27
3．（2024·宁夏银川·三模）已知等差数列
的前n 项和为
，若
，则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列
的前
项和分别为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
13
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5．（2024·全国·模拟预测）在数列
中，
，对任意正整数
，则数列
的前
项和
的
最大值为（ ）
A．77
B．76
C．75
D．74
6．（2024·山东济南·二模）已知等差数列
的项数为奇数，其中所有奇数项之和为
，所有偶数项之和为
，则该数列的中间项为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
是等差数列，
是其前
项的和，则下列结论错误的是（ ）
A．若
，则
取最小值时
的值为12
B．若
，则
的最大值为108
C．若
，则必有
D．若首项
，
，则
取最小值时
的值为9
8．（2024·全国·模拟预测）记
为等差数列
的前
项和，已知
，则使得
的
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．多选题
9．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）等差数列
与
的前
项和分别为
与
，且
，则（ ）
A．当
时，
B．当
时，
C．
D．
10．（2024 江苏·阶段练习）下列结论中正确的有（ ）
A．若
为等差数列，它的前
项和为
，则数列
也是等差数列
14
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B．若
为等差数列，它的前
项和为
，则数列
，
，
，
也是等差数列
C．若等差数列
的项数为
，它的偶数项和为
，奇数项和为
，则
D．若等差数列
的项数为
，它的偶数项和为
，奇数项和为
，则
11．（2024·山东泰安·二模）已知等差数列
的前
项和为
，
，
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
C．
为递减数列
D．
的前5 项和为
三．填空题
11．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列
和
的前n 项和分别为
和
，且
，则
．
12．（2024·广东深圳·模拟预测）设
是等差数列
的前n 项和，若
，则
．
13．（2024 高三·全国·专题练习）已知等差数列
的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则
.
四．解答题
14．（2024·江西南昌·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，
，
.
（1）求数列
的通项公式
；
（2）求数列
的前
项和
.
15
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16．（22-23 高三下·河南·阶段练习）已知数列
满足
．
(1)证明：
是等差数列；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
17．（23-24 江苏泰州 ）记数列
的前
项和为
，
，
，
.
(1)证明数列
为等差数列，并求通项公式
；
(2)记
，求
.
16
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18．（2024·黑龙江·模拟预测）已知数列
满足
，
.
（1）求证：数列
为等比数列，并求数列
的通项公式；
（2） 令
，求数列
的前
项和
.
19．（2024·福建泉州）已知数列
的通项公式为
，数列
的首项为
.
(1)若
是公差为3 的等差数列，求证：
也是等差数列；
(2)若
是公比为2 的等比数列，求数列
的前
项和.
17
