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5.3 递推公式求数列通项公式
1
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2
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考法一 公式法
【例1-1】（2024·四川·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，若
，则数列
的通项公式为
【例1-2】（23-24 天津宁河·期末）若数列
的前
项和
，则
的通项公式是
【例1-3】（2024 高三下·全国·专题练习）若数列
的前
项和
，则
的通项公式是
【例1-4】（23-24 辽宁·期中）已知数列
满足
，则
【例1-5】（2024 陕西榆林·期末）已知数列
的前n 项和为
，
，
，则
【一隅三反】
1．（23-24 北京·期中）已知数列
的前n 项和为
，且
，则数列
的通项公式为 ．
2．（23-24 江西景德镇·期中）若数列
的前n 项和
，则数列
的通项公式为 ．
3．（23-24 广东深圳·阶段练习）已知数列
的前
项和为
，且
，则
.
4．（23-24 广东佛山·阶段练习）已知数列
的前n 项和为
，
，则
的通项公式为
5．（2024·四川·模拟预测）已知
为正项数列
的前
项和，
且
，则
.
6．（23-24·江西抚州·阶段练习）数列
满足
，则
.
考法二 累乘法
【例2-1】（23-24 四川成都·阶段练习）已知数列
满足：
且
，则数列
的
通项公式为 ．
【例2-2】（22-23 福建宁德·期中）已知
，则数列
的通项公式是
．
【例2-3】（2024 高三下·全国·专题练习）已知数列
的前
项和为
，
，
，则
.
6
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【一隅三反】
1．（2024·全国·高三专题练习）已知数列
满足
，
，求数列
的通项公式.
2．（2024 高三下·全国·专题练习）在数列
中，
，前
项和
，则数列
的通项公式
为
3．（2023 高二·全国·专题练习）已知正项数列
满足
.求
的通项公式
4．（2024 广东）已知数列
满足
，求
的通项公式
考法三 累加法
【例3-1】（23-24 上海宝山·阶段练习）已知数列
满足
，则
.
【例3-2】（23-24 上海）在数列
中，已知
，且
，则
．
【例3-3】（23-24 辽宁·期中）在首项为1 的数列
中
，则
【一隅三反】
1（23-24 四川南充·阶段练习）（多选）已知
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
是单调递增数列
C．
是等差数列
D．
2．（2024 河北）设数列
满足
，则
=_______.
3．（2024 江西）已知首项为
的数列
的前
项和为
，且
，则
______．
考法四 构造等比数列
【例4-1】（23-24 广东深圳·期末）已知数
满足
，则数列
的通项公式
．
【例4-2】（23-24 上海·期末）数列
满足
，则数列
的通项公式为
.
【例4-3】（23-24 高三下·广东·阶段练习）在数列
中，
，且
，则
的通项
公式为 ．
【一隅三反】
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1．（23-24 河北沧州·阶段练习）已知数列
满足
，
，则该数列的通项公式
．
2．（22-23 宁夏中卫·阶段练习）数列
满足
且
，则数列
的通项公式是
．
3．（2023 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，则数列
的通项公式为
.
4．（2024 河南）设数列
满足
，
，则数列
的通项公式为 .
5．（2024 高三·全国·专题练习）已知数列
，则
的通项
公式为 .
考法五 构造等差数列
【例5-1】（2024 福建）已知数列
满足
，
，
，则
.
【例5-2】（2024 山东淄博·期中）已知
数列满足
，
，则数列
的通项公式为
【例5-3】（23-24 湖南常德 ）已知数列
满足
，
，则
．
【一隅三反】
1．（23-24 安徽）已知数列
满足
，且
，则数列
的通项公式为
．
2．（23-24 福建宁德·期末）已知数列
的前
项和为
，满足
，则
．
3．（2024 黑龙江）数列{an}满足
，
，则数列{an}的通项公式为 .
4．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列
满足
，则数列
的通项公式
为 ．
考法六 其他方法
【例6-1】（2024 江苏无锡·阶段练习）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这
样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数
组成的数列
称为“斐波那契数列”，记
为数列
的前
项和，则下列结论正确的是（ ）．
8
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A．
B．
C．
D．
【例6-2】（23-24 吉林长春·阶段练习）（多选）已知数列
满足
，记数列
的前
项
和为
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024 山东菏泽）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，
1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列
称为“斐波那契数列”，记
为数列
的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 高三·全国·专题练习）（多选）已知数列
满足
，
，记数列
的前n
项和为
，前n 项积为
，则（ ）
A．数列
是周期数列
B．
C．
D．
3．（2024 浙江）已知数列
满足：
，
，
，则通项
．
4．（2024 甘肃）已知数列
满足
，
，则
．
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一．单选题
1（23-24 广东深圳·期末）已知数列
的前
项和为
，满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·西藏·模拟预测）已知数列
对任意
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 广东湛江·阶段练习）在数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．100
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
的首项
，且各项满足公式
，则数列
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·全国·高三专题练习）已知在数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 福建厦门·期末）已知数列
的前
项和为
，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
7．（22-23 福建福州·期末）如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三
角垛”，“三角垛”最上层有1 个球，第二层有3 个球，第三层有6 个球，…，设第n 层有
个球，从上往下
n 层球的总数为
，则说法不正确的是（ ）
10
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A．
B．
C．
D．不存在正整数
，使得
为质数
8．（2024·全国·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，则下列说法中正确的是（ ）
A．若数列
是等差数列，则数列
可能也是等差数列
B．若数列
是等差数列，则数列
可能也是等差数列
C．若数列
是等差数列，则数列
不可能是等差数列
D．若数列
是正项等差数列，则数列
可能是等差数列
二．多选题
9．（广西桂林市2023-2024 学年高二下学期期末质量检测数学试卷）已知数列
的前n 项和
，则
下列结论中正确的是（ ）
A．
B．数列
是递增数列
C．
D．
10．（2024 山西）已知数列
满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（22-23 广东广州·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，
2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列
称
为“斐波那契数列”，记
为数列
的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）．
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A．
B．
C．
D．
三．填空题
12．（2024·江西鹰潭·二模）设数列
的前
项和为
，
，
，
，则
.
13．（2024·浙江嘉兴·二模）设数列
的前
项和为
，等比数列
的前
项和为
，若
，
，则
.
14．（2023·广东深圳·二模）已知正项数列
的前
项积为
，且满足
，则
.
四．解答题
15．（22-23 北京海淀·期末）求下列数列
的通项公式.
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
(6)
；
(7)
；
(8)
；
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16．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列
满足
，
，
是数列
的前
项和，对任意
，
有
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求
的前100 项的和.
17．（24-25 湖北）已知数列
的前
项和
，且满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)记数列
的前
项乘积为
，求
的最小值.
18．（23-24 北京·期中）已知数列
的前
项和为
，且
．
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(1)求
的通项公式；
(2)证明：数列
为等差数列．
19．（23-24 山东淄博·阶段练习）已知数列
是等差数列，其前
和为
，
，
，数列
满足
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)若对数列
，
，在
与
之间插入
个2（
），组成一个新数列
，求数列
的前83 项
的和
.
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