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专题22.6 二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练（30 道）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30 题，选择15 题，填空15 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对二次函
数图象与系数之间关系的理解！
一．选择题（共15 小题）
1．（2022•葫芦岛一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c 的对称轴为x＝﹣1，且过点（1
2，0），有下列结论：
①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；
其中所有正确的结论是（ ）
A．①③
B．①③④
C．①②③
D．①②③④
【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y 轴的交点即可得结论；
②根据抛物线与x 轴的交点坐标即可得结论；
③根据对称轴和与x 轴的交点得另一个交点坐标，把另一个交点坐标代入抛物线解析式即可得结论；
④根据点（1
2，0）和对称轴方程即可得结论．
【解答】解：①观察图象可知：
a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，
所以①正确；
②当x= 1
2时，y＝0，
即1
4 a+ 1
2b+c＝0，
∴a+2b+4c＝0，
∴a+4c＝﹣2b，
∴a﹣2b+4c＝﹣4b＞0，
所以②正确；
③因为对称轴x＝﹣1，抛物线与x 轴的交点（1
2，0），
所以与x 轴的另一个交点为（−5
2，0），
当x=−5
2时，25
4 a−5
2b+c＝0，
∴25a﹣10b+4c＝0．
所以③正确；
④当x= 1
2时，a+2b+4c＝0，
又对称轴：−b
2a =−1，
∴b＝2a，a= 1
2b，
1
2b+2b+4c＝0，
∴b=−8
5 c．
∴3b+2c=−24
5 c+2c=−14
5 c＜0，
∴3b+2c＜0．
所以④错误．
或者∵当x＝1 时，a+b+c＜0，
∴c＜﹣a﹣b，
又∵b＝2a，
∴a= 1
2b，
∴c＜−3
2b，
∴2c＜﹣3b，
∴2c+3b＜0，
∴结论④错误
故选：C．
2．（2022•恩施市一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣
9a），下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1 有两
个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1 有四个根，则这四个根的和为﹣8，
其中正确的结论有（ ）
A．①②③④
B．①②③⑤
C．②③④⑤
D．①②④⑤
【分析】①抛物线对称轴在y 轴左侧，则ab 同号，而c＜0，即可求解；
②x＝2 时，y＝4a+2b+c＞0，即可求解；
③5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a≠0，即可求解；
④y＝a（x+5）（x﹣1）+1，相当于由原抛物线y＝ax2+bx+c 向上平移了1 个单位，即可求解；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1，即：若方程ax2+bx+c＝±1，当ax2+bx+c﹣1＝0 时，由韦达定理得：其两个根的
和为﹣4，即可求解．
【解答】解：二次函数表达式为：y＝a（x+2）2﹣9a＝ax2+4ax﹣5a＝a（x+5）（x﹣1），
①抛物线对称轴在y 轴左侧，则ab 同号，而c＜0，则abc＜0，故正确；
②函数在y 轴右侧的交点为x＝1，x＝2 时，y＝4a+2b+c＞0，故正确；
③5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a≠0，故错误；
④y＝a（x+5）（x﹣1）+1，相当于由原抛物线y＝ax2+bx+c 向上平移了1 个单位，故有两个根x1和x2，
且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1，即：若方程ax2+bx+c＝±1，当ax2+bx+c﹣1＝0 时，用韦达定理得：其两个根的
和为﹣4，同理当ax2+bx+c+1＝0 时，其两个根的和也为﹣4，故正确．
故选：D．
3．（2022 春•崇川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的自变量x 与函数值y 的
部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝
ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
且当x=−1
2时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②﹣2 和3 是
关于x 的方程ax2+bx+c＝t 的两个根；③0＜m+n＜20
3 ，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
【分析】①根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y 轴的交点，即可判断；
②根据二次函数的对称性即可判断；
③根据抛物线的对称轴确定a 与b 的关系式，再根据已知条件求出a 的取值范围即可判断．
【解答】解：①根据图表可知：
二次函数y＝ax2+bx+c 的图象过点（0，﹣2），（1，﹣2），
∴对称轴为直线x= 0+1
2
= 1
2，c＝﹣2，
∵当x=−1
2时，与其对应的函数值y＞0，
∴a＞0，b＜0，
∴函数图象的顶点在第四象限内；
①正确；
②根据二次函数的对称性可知：
（﹣2，t）关于对称轴x= 1
2的对称点为（3，t），
即﹣2 和3 是关于x 的方程ax2+bx+c＝t 的两个根，
∴②正确；
③∵对称轴为直线x= 1
2，∴−b
2a = 1
2，∴b＝﹣a，
∵当x=−1
2时，与其对应的函数值y＞0，
∴1
4 a−1
2b﹣2＞0，即1
4 a+ 1
2a﹣2＞0，∴a＞8
3 ．
∵对称轴为直线x= 1
2，二次函数y＝ax2+bx+c 的图象过点（﹣1，m）（2，n），
∴m＝n，当x＝﹣1 时，m＝a﹣b+c＝a+a﹣2＝2a﹣2，
∴m+n＝4a﹣4，∵a＞8
3．
∴4a﹣4＞20
3 ，
∴③错误．
故选：B．
4．（2022 春•东湖区校级期末）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c，它与x 轴交于A、B，且A、B 位于原
点两侧，与y 的正半轴交于C，顶点D 在y 轴右侧的直线l：y＝4 上，则下列说法：①bc＜0；②0＜b＜
4；③AB＝4；④S△ABD＝8．其中正确的结论有（ ）
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①②③④
【分析】先由抛物线解析式得到a＝﹣1＜0，利用抛物线的对称轴得到b＝﹣2a＜0，易得c＜0，于是可
对①进行判断；由顶点D 在y 轴右侧的直线l：y＝4 上可得b 的范围，从而可判断②是否正确；由a＝
﹣1 及顶点D 在y 轴右侧的直线l：y＝4 上，可得抛物线与x 轴两交点之间的距离AB 为定值，故可取b
＝2 进行计算，即可求得AB 的长度及S△ABD的大小．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＝﹣1＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b
2a ＞0，
∴b＞0，
而抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，
∴﹣c＞0，则c＜0，
∴bc＜0，故①正确；
由顶点D 在y 轴右侧的直线l：y＝4 上可得：
4×(−1)×(−c)−b
2
4×(−1)
=4
∴b2＝4c+16
∵0＜﹣c＜4
∴﹣16＜4c＜0
∴0＜4c+16＜16
∴0＜b2＜16
∴0＜b＜4
∴②正确；
∵a＝﹣1，
∴该抛物线的开口方向及大小是一定的
又∵顶点D 在y 轴右侧的直线l：y＝4 上
∴该抛物线与x 轴两交点之间的距离AB 是定值，
故可令b＝2
则c＝﹣3
此时抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3
由﹣x2+2x+3＝0
得x1＝﹣1，x2＝3
故AB＝4
∴③正确；
S△ABD＝4×4÷2＝8
故④正确；
综上，故选：D．
5．（2022•丹东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x 轴交于点A（5，0），与y 轴交于点C，其对称
轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0 时，y 随x 的增大而增大；
④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M 是抛物线的顶点，
若CM⊥AM，则a= √6
6 ．其中正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【分析】①正确，根据抛物线的位置判断即可；
②正确，利用对称轴公式，可得b＝﹣4a，可得结论；
③错误，应该是x＞2 时，y 随x 的增大而增大；
④正确，判断出k＞0，可得结论；
⑤正确，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣
5a），过点M 作MH⊥y 轴于点H，设对称轴交x 轴于点K．利用相似三角形的性质，构建方程求出a
即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴是直线x＝2，
∴−b
2a =2，
∴b＝﹣4a＜0
∵抛物线交y 轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵b＝﹣4a，a＞0，
∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确，
观察图象可知，当0＜x≤2 时，y 随x 的增大而减小，故③错误，
一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，
∵b＜0，
∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④正确．
∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），
过点M 作MH⊥y 轴于点H，设对称轴交x 轴于点K．
∵AM⊥CM，
∴∠AMC＝∠KMH＝90°，
∴∠CMH＝∠KMA，
∵∠MHC＝∠MKA＝90°，
∴△MHC∽△MKA，
∴MH
MK = CH
AK ，
∴
2
−9a = −4 a
3
，
∴a2= 1
6，
∵a＞0，
∴a= √6
6 ，故⑤正确，
故选：D．
6．（2022•鹤峰县二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴交于A，B 两点，点B 位于
（4，0）、（5，0）之间，与y 轴交于点C，对称轴为直线x＝2，直线y＝﹣x+c 与抛物线y＝ax2+bx+c
交于C，D 两点，D 点在x 轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①4a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③m
（am+b）＜4a+2b（其中m 为任意实数）；④a＜﹣1，其中正确的是（ ）
A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．①③④
【分析】利用抛物线与y 轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b＝﹣4a，则4a+2b+c＝c＞0，
于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当
x＝﹣1 时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x＝2 时，二次函数有最大值，则
am2+bm+c≤4a+2b+c，即，m（am+b）≤4a+2b，于是可对③进行判断；由于直线y＝﹣x+c 与抛物线y
＝ax2+bx+c 交于C、D 两点，D 点在x 轴上方且横坐标小于5，利用函数图象得x＝5 时，一次函数值比
二次函数值大，即25a+5b+c＜﹣5+c，然后把b＝﹣4 代入解a 的不等式，则可对④进行判断；
【解答】解：∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2∴b＝﹣4a，
∴4a+b+c＝4a﹣4a+c＝c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，与x 轴的一个交点B 位于（4，0）、（5，0）之间，
∴抛物线与x 轴的另一个交点位于（0，0）、（﹣1，0）之间，
即当x＝﹣1 时，y＜0，也就是a﹣b+c＜0，因此②正确；
∵对称轴为x＝2，
∴x＝2 时的函数值大于或等于x＝m 时函数值，即，当x＝2 时，函数值最大，
∴am2+bm+c≤4a+2b+c，
即，m（am+b）≤4a+2b，因此③不正确；
∵直线y＝﹣x+c 与抛物线y＝ax2+bx+c 交于C、D 两点，D 点在x 轴上方且横坐标小于5，
∴x＝5 时，一次函数值比二次函数值大，
即25a+5b+c＜﹣5+c，
而b＝﹣4a，
∴25a﹣20a＜﹣5，解得a＜﹣1，因此④正确；
综上所述，正确的结论有①②④，
故选：C．
7．（2022 秋•朝阳期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x 轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x
=−1
2，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0 时，y 随x 的增大而增大；④一元二
次方程cx2+bx+a＝0 的两根分别为x1=−1
3，x2= 1
2；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0
的两个根，则m＜﹣3 且n＞2，其中正确的结论有（ ）个．
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y 轴交点位置判断①．由对称轴为直线x=−1
2可
得a＝b，根据抛物线经过点（﹣3，0）可得6a+c＝0，再由a＜0 可判断②．由图象对称轴及开口方向
③．由抛物线经过（﹣3 ，0 ）可得抛物线经过（2 ，0 ），进而可得−b−√b
2−4 ac
2a
=−3 ，
−b+√b
2−4 ac
2a
=2，因为cx2+bx+a＝0 的根为x= −b+√b
2−4 ac
2c
和x= −b−√b
2−4 ac
2c
，将a 与c 的关
系代入求解可判断④．将a（x+3）（x﹣2）+3＝0 转化为抛物线与直线y＝﹣3 的交点可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x=−b
2a =−1
2，
∴b＝a＜0，
∵抛物线与y 轴交点在x 轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，①正确，符合题意．
∵抛物线经过点（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
∵a＝b，
∴6a+c＝3a+3a+c＝0，
∵a＜0，
∴3a+c＞0，②正确，符合题意．
由图象可得x＜−1
2时，y 随x 增大而增大，
∴③错误，不符合题意．
由cx2+bx+a＝0 可得方程的解为x= −b+√b
2−4 ac
2c
和x= −b−√b
2−4 ac
2c
，
∵抛物线y＝ax2+bx+c 经过（﹣3，0），对称轴为直线x=−1
2，
∴抛物线与x 轴另一个交点为（2，0），
∴x＝﹣3 和x＝2 是方程ax2+bx+c＝0 的根，
∴−b−√b
2−4 ac
2a
=−3，−b+√b
2−4 ac
2a
=2，
∵6a+c＝0，
∴c＝﹣6a，
∴−b+√b
2−4 ac
2c
=−1
3
，−b−√b
2−4 ac
2c
= 1
2
，④正确，符合题意．
∵抛物线经过（﹣3，0），（2，0），
∴y＝a（x+3）（x﹣2），
将a（x+3）（x﹣2）+3＝0 化为a（x+3）（x﹣2）＝﹣3，
由图象得抛物线与直线y＝﹣3 交点在x 轴下方，
∴m＜﹣3 且n＞2，⑤正确，符合题意．
故选：C．
8．（2022•河东区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c 开口向下，与x 轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为
（1，n），与y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①2a+b＝0；②﹣
1≤a≤−2
3；③对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0 总成立；④关于x 的方程ax2+bx+c﹣n+1＝
0 有两个不相等的实数根，其中结论正确的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【分析】由抛物线开口方向判断a 与0 的关系，由抛物线与x 轴交点坐标判断a、b、c 的关系，由顶点
坐标及顶点坐标公式推断a、b 的关系及n 与a、b、c 的关系，由抛物线与y 轴的交点坐标判断c 的取值
范围，进而对所得结论进行推断．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c 的顶点坐标为（1，n）
∴−b
2a =1，4 ac−b
2
4 a
=n
∴2a+b＝0
故①正确．
∵抛物线与x 轴交于点（﹣1，0）
∴a﹣b+c＝0
∴c＝b﹣a
由①知：2a+b＝0，即b＝﹣2a
∴c＝﹣2a﹣a＝﹣3a
又∵抛物线与y 轴的交点（0，c）在（0，2），（0，3）之间（含端点）
∴2≤c≤3
∴2≤﹣3a≤3
∴−1≤a≤−2
3
故②正确．
∵抛物线y＝ax2+bx+c 开口向下
∴a＜0
又∵a（m2﹣1）+b（m﹣1）＝am2+bm﹣a﹣b（a≠0）
令g＝am2+bm﹣a﹣b
∴关于m 的二次函数g＝am2+bm﹣a﹣b 开口向下
若对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0 总成立
故需判断Δ＝b2﹣4a（﹣a﹣b）与0 的数量关系
由以上分析知：b＝﹣2a
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a（﹣a+2a）＝0
故③正确．
a
由以上分析知：＜0，b=−2a，c =−3a，n= 4 ac−b
2
4 a
∴n= 4 a⋅(−3a)−(−2a)
2
4 a
=−4 a
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n+1）＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a+4a+1）＝﹣4a＞0
∴关于x 的方程ax2+bx+c﹣n+1＝0 有两个不相等的实数根
故④正确
故选：D．
9．（2022•辽宁）抛物线y＝ax2+bx+c 的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c 与抛物
线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）与（1
2，y2）是抛物线上
的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0 的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1 时，函数y＝ax2+（b
﹣k）x 有最大值．其中正确的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】利用图象的信息与已知条件求得a，b 的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结
论进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴−b
2a =−1，
∴b＝2a，b＜0．
∵a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∴①的结论正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c 经过点（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
∴9a﹣3×2a+c＝0，
∴3a+c＝0．
∴4a+c＝a＜0，
∴②的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1 对称的对称点为（0，y1），
∵a＜0，
∴当x＞﹣1 时，y 随x 的增大而减小．
∵1
2 ＞0＞﹣1，
∴y1＞y2．
∴③的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），
∴抛物线一定经过点（1，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c 与x 轴的交点的横坐标为﹣3，1，
∴方程ax2+bx+c＝0 的两根为x1＝﹣3，x2＝1，
∴④的结论正确；
∵直线y＝kx+c 经过点（﹣3，0），
∴﹣3k+c＝0，
∴c＝3k．
∵3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴3k＝﹣3a，
∴k＝﹣a．
∴函数y＝ax2+（b﹣k）x
＝ax2+（2a+a）x
＝ax2+3ax
＝a( x + 3
2 )
2−9
4 a，
∵a＜0，
∴当x=−3
2时，函数y＝ax2+（b﹣k）x 有最大值，
∴⑤的结论不正确．
综上，结论正确的有：①④，
故选：A．
10．（2022•济南二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a＜0）经过点（﹣2，0），其对称轴
为直线x＝1，有下列结论：
①c＞0；
②9a+3b+c＞0；
③若方程ax2+bx+c+1＝0 有解x1、x2，满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；
④抛物线与直线y＝x 交于P、Q 两点，若PQ=√66，则a＝﹣1；
其中，正确结论的个数是（ ）个．
A．4
B．3
C．2
D．1
【分析】利用数形结合的方法解答，依据已知条件画出函数的大致图象，依据图象直接得出结论可判定
①②③的正确；分别过点P，Q 作坐标轴的平行线，则△PHQ 为等腰直角三角形，设点P，Q 的横坐标
分别为m，n，则m，n 是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0 的两根，利用韦达定理和待定系数法可得到用a 的代
数式表示PQ，利用PQ=√66，列出方程，解方程即可求得a 值，即可判定④的结论不正确．
【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c 的开口方向向下．
∵抛物线y＝ax2+bx+c 经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，
∴由抛物线的对称性可得抛物线经过点（4，0）．
综上抛物线y＝ax2+bx+c 的大致图象如下：
由图象可知：抛物线与y 轴交于正半轴（0，c），
∴c＞0．
∴①的结论正确；
由图象可知：当﹣2＜x＜4 时，函数值y＞0，
∴当x＝3 时，y＝9a+3b+c＞0．
∴②的结论正确．
作直线y＝﹣1，交抛物线于两点，它们的横坐标分别为x1，x2，如图，
则x1，x2是方程ax2+bx+c＝﹣1 的两根，
即方程ax2+bx+c+1＝0 的解为x1、x2，
由图象可知：满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4，
∴③的结论正确；
如图，分别过点P，Q 作坐标轴的平行线，它们交于点H，
则△PHQ 为等腰直角三角形，
∴PH＝HQ，PQ=√2HQ．
∴{
y =a x
2+bx +c
y = x
．
∴ax2+（b﹣1）x+c＝0．
设点P，Q 的横坐标分别为m，n，
∴m，n 是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0 的两根，
∴m+n= 1−b
a
，mn= c
a．
∴HQ＝|m﹣n|=√(m−n)
2=√(m+n)
2−4 mn=√( 1−b
a
)
2−4 c
a
．
∵抛物线y＝ax2+bx+c 经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，
∴{
4 a−2b+c =0
−b
2a =1
．
∴{
b=−2a
c =−8a．
∴HQ=√( 1+2a
a
)
2+32．
∵PQ=√66，
∴√2•√( 1+2a
a
)
2+32=√66．
解得：a＝﹣1 或−1
3．
∴④的结论不正确；
综上所述，正确结论有：①②③，
故选：B．
11．（2022•宁远县模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴负半轴交于（−1
2，0），对
称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③若点（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均
在函数图象上，则y1＞y3＞y2；④若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1 的两根为x1，x2 且x1＜x2，则x1
＜−1
2 ＜5
2 ＜x2；⑤点M，N 是抛物线与x 轴的两个交点，若在x 轴下方的抛物线上存在一点P，使得
PM⊥PN，则a 的范围为a≥√22−4．其中结论正确的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】解：∵对称轴为直线x＝1，函数图象与x 轴负半轴交于（−1
2，0），
∴x=−b
2a =1，
∴b＝﹣2a，
由图象可知a＞0，c＜0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
由图可知，当x＝﹣1 时，y＝a﹣b+c＞0，
∴a+2a+c＞0，即3a+c＞0，故②正确；抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y 值越大；
又|﹣3﹣1|＝4，|3﹣1|＝2，|0﹣1|＝1，
∴y1＞y2＞y3；故③错误；
由抛物线对称性可知，抛物线与x 轴另一个交点为（5
2，0），
∴抛物线解析式为：y＝a（x+ 1
2）（x−5
2），
令a（x+ 1
2）（x−5
2）= 1
4 ，
则a（2x+1）（2x﹣5）＝1，
如图，作y= 1
4 ，
由图形可知，x1＜−1
2 ＜5
2 ＜x2；故④正确；
由题意可知：M，N 到对称轴的距离为3
2，
当抛物线的顶点到x 轴的距离不小于3
2时，
在x 轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即4 ac−b
2
4 a
≤−3
2，
∵y＝a（x+ 1
2）（x−5
2）＝ax2﹣2ax−5
4 a，
∴c=−5
4 a，b＝﹣2a，
∴4 a⋅(−5
4 )a−(−2a)
2
4 a
≤−3
2
，
解得：a≥2
3，故⑤错误；
故选：B．
12．（2022•惠城区二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c 的对称轴在y 轴右侧，抛物线与x 轴交于点A
（﹣2，0）和点B，与y 轴的正半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①a−b
c
＜0；②4ac+2b＝
﹣1；③a=−1
4 ；④当b＞1 时，在x 轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M 在
点N 左边），使得AN⊥BM．其中正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【分析】首先根据函数图象可判断a，b，c 的符号，a＜0，b＞0，c＞0，从而可判断①正确；由OB＝
2OC 可推出点B（2c，0）代入解析式化简即可判断②正确；由抛物线与x 轴的交点A（﹣2，0）和点B
（2c，0），再结合韦达定理可得x1•x2= c
a =（﹣2）×（2c）＝﹣4c，可得a=−1
4 ，即可判断③正确；根
据a=−1
4 ，2b+4ac＝﹣1，可得c＝2b+1，从而可得抛物线解析式为y=−1
4 x2+bx+（2b+1），顶点坐标
为（2b，b2+2b+1），所以对称轴为直线x＝2b．要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P
一定在对称轴上，则△APB 为等腰直角三角形，PQ= 1
2AB＝2+2b，得P（2b，2b+2），且2b+2＜
b2+2b+1，解得b＞1 或b＜﹣1，故可判断④正确．
【解答】解：∵A（﹣2，0），OB＝2OC，
∴C（0，c），B（2c，0）．
由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，
①∵a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，
∴a−b
c
＜0．故①正确；
②把B（2c，0）代入解析式，得：
4ac2+2bc+c＝0，又c≠0，
∴4ac+2b+1＝0，
即2b+4ac＝﹣1，故②正确；
③∵抛物线与x 轴交于点A（﹣2，0）和点B（2c，0），
∴x1＝﹣2 和x2＝2c 为相应的一元二次方程的两个根，
由韦达定理可得：x1•x2= c
a =（﹣2）×（2c）＝﹣4c，
∴a=−1
4 ．故③正确；
④∵a=−1
4 ，2b+4ac＝﹣1，
∴c＝2b+1．
故原抛物线解析式为y=−1
4 x2+bx+（2b+1），顶点坐标为（2b，b2+2b+1）．
∴对称轴为直线x＝2b．
要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P 一定在对称轴上，
∵△APB 为等腰直角三角形，Q 是AB 中点，
∴PQ= 1
2AB= 1
2[4b+2﹣（﹣2）]＝2b+2，
∴P（2b，2b+2），且有2b+2＜b2+2b+1，
整理得：b2＞1，
解得：b＞1 或b＜﹣1，故④正确．
综上所述，正确的有4 个，
故选：D．
13．（2022 秋•大石桥市期末）如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，
n），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；
③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1 没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【分析】根据图象开口向下，对称轴为直线x＝1 可得抛物线与x 轴另一交点坐标在（﹣1，0），（﹣
2，0）之间，从而判断①．由对称轴为直线x＝1 可得b 与a 的关系，将b＝﹣2a 代入函数解析式根据图
象可判断②由ax2+bx+c＝n 有两个相等实数根可得Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，从而判断③．由函数最大值
为y＝n 可判断④．
【解答】解：∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∵图象与x 轴的一个交点在（3，0），（4，0）之间，
∴图象与x 轴另一交点在（﹣1，0），（﹣2，0）之间，
∴x＝﹣1 时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，
故①正确，符合题意．
∵抛物线对称轴为直线x=−b
2a =1，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
∴x＝﹣1 时，y＝3a+c＞0，
故②正确，符合题意．
∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴ax2+bx+c＝n 有两个相等实数根，
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，
∴b2＝4a（c﹣n），
故③正确，符合题意．
∵y＝ax2+bx+c 的最大函数值为y＝n，
∴ax2+bx+c＝n+1 没有实数根，
故④正确，符合题意．
故选：D．
14．（2022•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c 的图象与x 轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，
m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2 或x≥0；④b+c= 1
2m．其中正确
的有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】①由抛物线的开口方向、对称轴以及与y 轴的交点，可得a、b、c 的符号，进而可得abc 的符
号，结论①错误；
②由抛物线与x 轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），可判断出抛物线与x 轴的另一个交点为（1，
0），当x＝2 时，y＝4a+2b+c＞0，结论②正确；
③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，即−b
2a =−1，得b＝2a，把y＝c，b＝2a 代入y＝ax2+bx+c 并化
简得：x2+2x＝0，解得x＝0 或﹣2，可判断出结论③正确；
④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c 并计算可得b=−1
2 m，由对称轴可得b＝2a，∴a=−1
4 m
，由a+b+c＝0 可得c= 3
4 m，再计算b+c 的值，可判断④错误．
【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴左边，与y 轴交于负半轴，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，
故结论①错误；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c 的图象与x 轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），
∴抛物线与x 轴的另一个交点为（1，0），
∵抛物线开口向上，
∴当x＝2 时，y＝4a+2b+c＞0，
故结论②正确；
③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，
∴x=−b
2a =−1，
∴b＝2a，
把y＝c，b＝2a 代入y＝ax2+bx+c 得：
ax2+2ax+c＝c，
∴x2+2x＝0，
解得x＝0 或﹣2，
∴当y≥c，则x≤﹣2 或x≥0，
故结论③正确；
④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c 得：
a﹣b+c＝m，a+b+c＝0，
∴b=−1
2 m，
∵b＝2a，
∴a=−1
4 m，
∵抛物线与x 轴的另一个交点为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴c= 3
4 m，
∴b+c=−1
2 m+ 3
4 m= 1
4 m，
故选：B．
15．（2022•开福区模拟）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A
（1，3），与x 轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B 两点，下列结论：
①2a+b＝0；②抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣2，0）；③方程ax2+bx+c＝3 有两个相等的实数根；
④当1＜x＜4 时，有y2＜y1；⑤若ax1
2+bx1＝ax2
2+bx2，且x1≠x2；则x1+x2＝1．则命题正确的个数为（
）
A．5 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【分析】①根据对称轴可以判断；②根据已知交点坐标和对称轴可以判断；③根据图象性质向下平移3
个单位即可判断；④根据图象性质即可判断；⑤根据图象对称性即可判断．
【解答】解：①∵对称轴为直线x=−b
2a =1，
则：2a+b＝0 正确；
②∵对称轴是直线x＝1，与x 轴的一个交点是B（4，0），则与x 轴的另一个交点是（﹣2，0），
故②正确；
③将抛物线y1=a x
2+bx +c向下平移3 个单位，得到y＝ax2+bx+c﹣3，
∴顶点坐标变为（1，0），
∴此时抛物线与x 轴只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝3 有两个相等的实数根正确；
④当1＜x＜4 时，有图象可知y2＜y1正确；
⑤若ax1
2+bx1＝ax2
2+bx2，
则ax1
2+bx1+c＝ax2
2+bx2+c，
即y1＝y2，
∴x1、x2关于函数的对称轴对称，
由①知函数对称轴为直线x=−b
2a =1，
故1
2（x1+x2）＝1，
∴⑤不正确，
故选：B．
二．填空题（共15 小题）
16．（2022 秋•朝阳区校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴交于点A（﹣1，
0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结
论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜﹣4a；④1
3 ＜a＜2
3；⑤b＞c．其中正确结论有
①③④⑤ （填写所有正确结论的序号）．
【分析】根据对称轴为直线x＝1 及图象开口向下可判断出a、b、c 的符号，从而判断①；根据对称轴
得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c 之间的关系，从
而对②⑤作判断；利用4 ac−b
2
4 a
＜−1，可判断③；从图象与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）
之间可以判断c 的大小得出④的正误．
【解答】解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y 轴右侧
∴ab 异号，
∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x 轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴图象与x 轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝2 时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵二次函数y＝ax2+bx+c 的图象与y 轴的交点在（0，﹣1）的下方，对称轴在y 轴右侧，a＞0，
∴最小值：4 ac−b
2
4 a
＜−1，
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣4a；
∴③正确；
④∵图象与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴2
3 ＞a＞1
3；
故④正确
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确．
综上所述，正确的有①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．
17．（2022 秋•金牛区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5 个结论：
①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1 的实数），其中正
确结论的序号有 ①③④ ．
【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及
抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵−b
2a ＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故此选项正确；
②当x＝﹣1 时，y＝a﹣b+c＜0，故a﹣b+c＞0，错误；
③由对称知，当x＝2 时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故此选项正确；
④当x＝3 时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x=−b
2a =1，
即a=−b
2，代入得9（−b
2）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；
⑤当x＝1 时，y 的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m 时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项错误．
故①③④正确．
故答案为：①③④．
18．（2022•宜宾）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x 轴的交点A，B 的横
坐标分别为﹣1，3，与y 轴负半轴交于点C．下面五个结论：
①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a= 1
2时，△ABD 是等腰直角三角形；⑤使△ACB
为等腰三角形的a 的值可以有三个．
那么，其中正确的结论是 ①④ ．
【分析】先根据图象与x 轴的交点A，B 的横坐标分别为﹣1，3 确定出AB 的长及对称轴，再由抛物线
的开口方向判断a 与0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与x
轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵图象与x 轴的交点A，B 的横坐标分别为﹣1，3，
∴AB＝4，
∴对称轴x=−b
2a =1，
即2a+b＝0；
故①正确；
②由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，而−b
2a ＞0
∴b＜0，
∵对称轴x＝1，
∴当x＝1 时，y＜0，
∴a+b+c＜0；
故②错误；
③∵图象与x 轴的交点A，B 的横坐标分别为﹣1，3，
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，
∴10a+2b+2c＝0，
∴5a+b+c＝0，
∴a+4a+b+c＝0，
∵a＞0，
∴4a+b+c＜0，
故③错误；
④要使△ABD 为等腰直角三角形，必须保证D 到x 轴的距离等于AB 长的一半；
D 到x 轴的距离就是当x＝1 时y 的值的绝对值．
当x＝1 时，y＝a+b+c，
即|a+b+c|＝2，
∵当x＝1 时y＜0，
∴a+b+c＝﹣2，
又∵图象与x 轴的交点A，B 的横坐标分别为﹣1，3，
∴当x＝﹣1 时y＝0 即a﹣b+c＝0；
x＝3 时y＝0．
∴9a+3b+c＝0，
解这三个方程可得：b＝﹣1，a= 1
2，c=−3
2；
⑤要使△ACB 为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4 或AB＝AC＝4 或AC＝BC，
当AB＝BC＝4 时，
∵AO＝1，△BOC 为直角三角形，
又∵OC 的长即为|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，
∴c=−√7，
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0 联立组成解方程组，解得a= √7
3 ；
同理当AB＝AC＝4 时，
∵AO＝1，△AOC 为直角三角形，
又∵OC 的长即为|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，
∴c=−√15
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0 联立组成解方程组，解得a= √15
3 ；
同理当AC＝BC 时
在△AOC 中，AC2＝1+c2，
在△BOC 中BC2＝c2+9，
∵AC＝BC，
∴1+c2＝c2+9，此方程无解．
经解方程组可知只有两个a 值满足条件．
故⑤错误．
故答案为：①④．
19．（2022•荆门）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x 轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝
1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C 的坐标为（1，2），则△ABC 的面积可以等于2；③M（x1，
y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；④若抛物线经过点（3，﹣1），
则方程ax2+bx+c+1＝0 的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为 ①④ ．
【分析】根据函数的图象和性质即可求解．
【解答】解：①抛物线的对称轴在y 轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，符合题意；
②△ABC 的面积= 1
2AB•yC= 1
2 ×AB×2＝2，解得：AB＝2，则点A（0，0），即c＝0 与图象不符，故②
错误，不符合题意；
③函数的对称轴为x＝1，若x1+x2＞2，则1
2（x1+x2）＞1，则点N 离函数对称轴远，故y1＞y2，故③错误，
不符合题意；
④抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1 过点（3，0），
根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0 的两根为﹣1，3，故④正确，符
合题意；
故答案为：①④．
20．（2022•霍林郭勒市模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直
线x＝1，下列结论中一定正确的是 ①②④ （填序号即可）．①abc＞0；②若A（x1，m），B（x2，
m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；③若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2 的两根为x1，x2，且x1
＜x2，则﹣2＜x1＜x2＜4；④（a+c）2＞b2．
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：①函数的对称轴在y 轴右侧，则ab＜0，而c＜0，故abc＞0，故①正确，符合题意；
②∵A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：x1+x2＝1×2＝2，
∴当x＝2 时，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，故②正确，符合题意；
③抛物线与x 轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）
若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，
即方程a（x+2）（x﹣4）＝2 的两根为x1，x2，
则x1、x2为抛物线与直线y＝2 的两个交点的横坐标，
∵x1＜x2，
∴x1＜﹣2＜4＜x2，③错误，不符合题意；
④当x＝1 时，y＝a+b+c＜0，
当x＝﹣1 时，y＝a﹣b+c＜0，
故（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＞0，
故④正确，符合题意；
故答案为：①②④．
21．（2022 春•蔡甸区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x 轴交于A，B 两点，与y
轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：
①abc＜0；②4ac﹣b2＜0；③c﹣a＞0；④当x＝﹣n2﹣2 时，y≥c；⑤若x1，x2（x1＜x2）是方程
ax2+bx+c＝0 的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0 的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其
中，正确结论的个数是
3 个
【分析】利用二次函数图象的性质，数形结合法，和二次函数与一元二次方程的关系对每一个选项进行
逐一判断即可．
【解答】解：∵抛物线的开口方向向上，
∴a＞0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴−b
2a =−1．
∴b＝2a．
∴b＞0．
∵抛物线与y 轴交于y 轴的正半轴，
∴c＞0．
∴abc＞0．
∴①的结论错误；
∵抛物线与x 轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0．
∴4ac﹣b2＜0．
∴②的结论正确；
由抛物线可知：当x＝﹣1 时，y＝a﹣b+c＜0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴−b
2a =−1．
∴b＝2a．
∴a﹣2a+c＜0．
∴c﹣a＜0．
∴③的结论错误；
∵x＝0 时，y＝c，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣2 时，y＝c．
∵﹣n2﹣2≤﹣2，
∴由抛物线的对称性可知：当x＝﹣n2﹣2 时，y≥c．
∴④的结论正确；
∵若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0 的两根，
∴a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0，A（x1，0），B（x2，0）．
设直线y＝1 与抛物线交于点M，N，如图，
分别过点M，N 作x 轴的垂线，垂足对应的数字为m，n，
即方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0 的两根m，n，
由图象可得：m＜x1，n＞x2；
∴⑤的结论正确．
综上，正确结论的个数是3 个．
故答案为：3 个．
22．（2022 秋•武汉期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a＜0）的图象经过（﹣1，0），对称轴
为直线x＝1，下列结论：①bc＞0；②9a+3b+c＝0；③关于x 的方程a（x+1）（x﹣3）﹣1＝0 有两根
m，n，m＜n，则﹣1＜m＜n＜3；④若方程|ax2+bx+c|＝b 有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的
是 ①②③ （填序号即可）．
【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0 的关系，然后根据
对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①图象开口向下，图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
能得到：a＜0，c＞0，b＞0，
∴bc＞0 是正确的；
②图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
可得与x 轴的另一个交点（3，0），
当x＝3 时，y＝0，即9a+3b+c＝0，正确；
③将图象向下平移一个单位，
得到y＝a（x+1）（x﹣3）﹣1 与x 轴两个交点m、n，m＜n，
则﹣1＜m＜n＜3，∴正确；
④∵|ax2+bx+c|＝b，
∴ax2+bx+c＝±b，
当ax2+bx+c﹣b＝0 时，x1+x2=−b
a =2，
当ax2+bx+c+b＝0 时，x1+x2=−b
a =2，
∴这四个根的和为4，∴错误；
故正确的是①②③．
23．（2022 秋•和平区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为
直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k 为实数）；
③m（am+b）≤﹣a（m 为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0 有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有 ①②③④⑤ （只填写序号）．
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y 轴交点位置判断①；根据函数的增减性可判断
②；由抛物线开口方向及对称轴可得x＝﹣1 时y 最大，从而判断③；由对称轴可得b＝2a，由x＝﹣1
时y＜0 可判断④；根据函数y＝ax2+bx+c 与y＝﹣1 的图象有两个交点可判断⑤．
【解答】解：由图象可知：a＜0，c＞0，
又∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴根据对称轴在y 轴左侧，a，b 同号，可得b＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，抛物线开口向下，
∴当x＞﹣1 时，y 随x 的增大而减小，
∵k 是实数，
∴k2+2＞k2+1＞﹣1，
∴a（k2+2）2+b（k2+2）+c＜a（k2+1）2+b（k2+1）+c，
即a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1），
故②正确；
∵抛物线对称轴为x=−b
2a =−1，
∴b＝2a，
∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，a﹣b+c）
∴y 最大＝a﹣b+c＝﹣a+c，
∴am2+bm+c≤﹣a+c，
即m（am+b）≤﹣a，
故③正确；
由图象知，x＝1 时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∵b＝2a，
∴3a+c＜0，
∴c＜﹣3a，
故④正确；
根据图象可知，函数y＝ax2+bx+c 与y＝﹣1 的图象有两个交点，
∴ax2+bx+c+1＝0 有两个不相等的实数根，
故⑤正确，
故答案为：①②③④⑤．
24．（2022•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a＞0，c≠0）经过A（x1，y1），B（x2，
y2），C（c，0）三点，x1＜x2，抛物线的对称轴为直线x＝m．下列四个结论：①ac+b+1＝0；②若点m
＜x1，则y1＜y2；③若m＝2，y1＝y2，则x1+x2＝4；④对于x1+x2＞8，都有y1＜y2，则m＜4．则结论正确
的为 ①②③ ．（填序号）
【分析】根据二次函数图象的性质逐个求解即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a＞0，c≠0）经过A（x1，y1），B（x2，y2），C
（c，0）三点，x1＜x2，抛物线的对称轴为直线x＝m．
∵过C（c，0），
∴0＝ac2+bc+c
∵c≠0
∴o＝c（ac+b+1），
∴ac+b+1＝0，m＜x1，故①正确；
∵m＜x1，x1＜x2，
∴A、B 两点，在对称轴右侧，
∵a＞0，开口向上，
∵在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，
∴y1＜y2，故②正确；
当m＝2，则对称轴x=−b
2a =2，
∴b＝﹣4a，
∵y1＝y2，
∴a x1
2+b x1+c =a x2
2+b x2+c，
∴a( x1
2−x2
2)=b( x2−x1)
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）＝﹣4a（x2﹣x1），
∴x1+x2＝4，故③正确；
若点m≤4，则y1＜y2，
∴−b
2a ＜4，
∴b＞﹣8a，
ax1
2+b x1+c＜a x2
2+b x2+c，
a( x1
2−x2
2)＜b( x2−x1)，
a（x1+x2）＜﹣b＜8a，
a（x1+x2）＜8a，
x1+x2＞8，都有y1＜y2，则m≤4．
故④错误；
故答案为：①②③．
25．（2022 秋•八步区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5 个结论：①abc＜
0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac．其中正确的结论有
4
个．
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关
系，逐项判断即可．
【解答】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，因此a、b 异号，所以b＞0，抛物线与y
轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，于是①正确；
抛物线的对称轴为直线x=−b
2a =1，因此有2a+b＝0，故④正确；
当x＝﹣1 时，y＝a﹣b+c＜0，而2a+b＝0，所以3a+c＜0，故②不正确；
抛物线与x 轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故⑤正确；
抛物线的对称轴为x＝1，与x 轴的一个交点在﹣1 与0 之间，因此另一个交点在2 与3 之间，于是当x＝
2 时，y＝4a+2b+c＞0，因此③正确；
综上所述，正确的结论有：①③④⑤，
故答案为：4．
26．（2022•桂平市模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x 轴的两个交点A、B 的横坐标分别为﹣
3、1，与y 轴交于点C，下面四个结论：①16a+4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（5
2，y2）是函数图象
上的两点，则y1＞y2；③c＝﹣3a；④若△ABC 是等腰三角形，则b=−2√7
3
或−2√15
3
．其中正确的有
①③④ ．（请将正确结论的序号全部填在横线上）
【分析】①根据抛物线开口方向和与x 轴的两交点可知：当x＝﹣4 时，y＜0，即16a﹣4b+c＜0；
②根据图象与x 轴的交点A、B 的横坐标分别为﹣3，1 确定对称轴是：x＝﹣1，可得：（﹣4.5，y3）与
Q（5
2，y2）是对称点，所以y1＜y2；
③根据对称轴和x＝1 时，y＝0 可得结论；
④要使△ACB 为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4 或AB＝AC＝4 或AC＝BC，先计算c 的值，再联
立方程组可得结论．
【解答】解：①∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵图象与x 轴的交点A、B 的横坐标分别为﹣3，1，
∴当x＝﹣4 时，y＜0，
即16a﹣4b+c＜0；
故①正确；
②∵图象与x 轴的交点A、B 的横坐标分别为﹣3，1，
∴抛物线的对称轴是：x＝﹣1，
∵P（﹣5，y1），Q（5
2，y2），
﹣1﹣（﹣5）＝4，5
2 −（﹣1）＝3.5，
由对称性得：（﹣4.5，y3）与Q（5
2，y2）是对称点，
∴则y1＜y2；
故②不正确；
③∵−b
2a =−1，
∴b＝2a，
当x＝1 时，y＝0，即a+b+c＝0，
3a+c＝0，
c＝﹣3a，故③正确；
④要使△ACB 为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4 或AB＝AC＝4 或AC＝BC，
当AB＝BC＝4 时，
∵BO＝1，△BOC 为直角三角形，
又∵OC 的长即为|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，
∴c=√15，
与b＝2a、a+b+c＝0 联立组成解方程组，解得b=−2√15
3
；
同理当AB＝AC＝4 时，
∵AO＝3，△AOC 为直角三角形，
又∵OC 的长即为|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，
∴c=√7，
与b＝2a、a+b+c＝0 联立组成解方程组，解得b=−2√7
3
；
同理当AC＝BC 时，
在△AOC 中，AC2＝9+c2，
在△BOC 中BC2＝c2+1，
∵AC＝BC，
∴1+c2＝c2+9，此方程无实数解．
经解方程组可知有两个b 值满足条件．
故④正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案是：①③④．
27．（2022•武汉模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论：
①关于x 的一元二次方程ax2+bx+c＝0 的根是﹣1，3；②abc＞0；③a+b＝c﹣b；④y❑最大值= 4
3 c；
⑤a+4b＝3c 中正确的有 ①③④ （填写正确的序号）
【分析】①由抛物线与x 轴的一个交点坐标及对称轴为x＝1，利用对称性得到另一个交点的坐标，可得
出ax2+bx+c＝0 的两个解为﹣1，3，判断选项①；
②由抛物线开口向下得到a 小于0，对称轴在y 轴右侧，得到b 大于0，与y 轴交点在正半轴得到c 大于
0，进而得到abc 小于0，判断选项②；
③根据对称轴x＝1 和过（﹣1，0），代入可得：b＝﹣2a，c＝b﹣a，判断选项③；
④将a=−1
3c，b＝﹣2a 代入顶点坐标的纵坐标y= 4 ac−b
2
4 a
中，判断选项④；
⑤将a=−1
3c，b＝﹣2a 代入a+4b 中计算，判断选项⑤．
【解答】解：①∵抛物线与x 轴一个交点为（3，0），且对称轴为x＝1，
∴抛物线与x 轴另一个交点为（﹣1，0），
即关于x 的一元二次方程ax2+bx+c＝0 的解为﹣1，3，
选项①正确；
②∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴右侧，与y 轴交点在正半轴，
∴ab＜0，c＞0，即abc＜0，
选项②错误；
③由对称轴是：x＝1=−b
2a，得b＝﹣2a，
∴a+b＝a﹣2a＝﹣a，
∵抛物线与x 轴另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c﹣b＝﹣a，
∴a+b＝c﹣b，
选项③正确；
④由a﹣b+c＝0 和b＝﹣2a 得：a=−1
3c，
∴y 最大值= 4 ac−b
2
4 a
=c−b
2
4 a =c−4 a
2
4 a =c﹣（−1
3c）= 4 c
3 ，
选项④正确；
⑤∵a+4b＝a﹣8a＝﹣7a＝﹣7×(−1
3 c)= 7c
3 ，
选项⑤错误；
综上所述，本题正确的结论有：①③④；
故答案为：①③④．
28．（2022•东西湖区模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图形经过点（1，2），且与x 轴
交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＜0；②a＜b＜﹣2a；
③b2+8a＜4ac；④﹣1＜a＜0．其中正确结论的序号是 ①② ．
【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0 的关系，根据对称
轴在y 轴的右侧，a，b 异号，b＞0，判断①；根据对称轴小于1，判断②；根据顶点的纵坐标大于2 判
断③，根据图象经过（1，2）判断④．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，
∵抛物线与y 轴的正半轴相交，∴c＞0，
∵对称轴在y 轴的右侧，a，b 异号，∴b＞0，
∴①abc＜0，正确；
∵−b
2a ＜1，
∴b＜﹣2a，
∴②a＜b＜﹣2a 正确；
由于抛物线的顶点纵坐标大于2，即：4 ac−b
2
4 a
＞2，
由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故③错误，
由题意知，a+b+c＝2，（1）
a﹣b+c＜0，（2）
4a+2b+c＜0，（3）
把（1）代入（3）得到：4a+b+2﹣a＜0，
则a＜−b−2
3
．
由（1）代入（2）得到：b＞1．
则a＜﹣1．故④错误．
综上所述，正确的结论是①②．
故答案为①②．
29．（2022•越秀区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x 轴的两个交点A、B 的横坐标分别
为﹣3、1，与y 轴交于点C，下面四个结论：
①16a+4b+c＞0：
②若P（﹣5，y1），Q（5
2，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
③c＝3a；
④若△ABC 是等腰三角形，则b=−2√7
3
或−2√15
3
．
其中正确的有 ②④ ．（请将正确结论的序号全部填在横线上）
【分析】①根据抛物线开口方向和与x 轴的两交点可知：当x＝﹣4 时，y＜0，即16a﹣4b+c＜0；
②根据图象与x 轴的交点A、B 的横坐标分别为﹣3，1 确定对称轴是：x＝﹣1，可得：（﹣4.5，y3）与
Q（5
2，y2）是对称点，所以y1＜y2；
③根据对称轴和x＝1 时，y＝0 可得结论；
④要使△ACB 为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4 或AB＝AC＝4 或AC＝BC，先计算c 的值，再联
立方程组可得结论．
【解答】解：①∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∵图象与x 轴的交点A、B 的横坐标分别为﹣3，1，
∴当x＝﹣4 时，y＜0，
即16a﹣4b+c＜0；
故①错误，不符合题意；
②∵图象与x 轴的交点A、B 的横坐标分别为﹣3，1，
∴抛物线的对称轴是：x＝﹣1，
∵P（﹣5，y1），Q（5
2，y2），
﹣1﹣（﹣5）＝4，5
2 −（﹣1）＝3.5，
由对称性得：（﹣4.5，y3）与Q（5
2，y2）是对称点，
∴则y1＜y2；
故②正确，符合题意；
③∵−b
2a =−1，
∴b＝2a，
当x＝1 时，y＝0，即a+b+c＝0，
∴3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
故③错误，不符合题意；
④要使△ACB 为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4 或AB＝AC＝4 或AC＝BC，
当AB＝BC＝4 时，
∵BO＝1，△BOC 为直角三角形，
又∵OC 的长即为|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，
∴c=√15，
与b＝2a、a+b+c＝0 联立组成解方程组，解得b=−2√15
3
；
同理当AB＝AC＝4 时，
∵AO＝3，△AOC 为直角三角形，
又∵OC 的长即为|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，
∴c=√7，
与b＝2a、a+b+c＝0 联立组成解方程组，解得b=−2√7
3
；
同理当AC＝BC 时，
在△AOC 中，AC2＝9+c2，
在△BOC 中，BC2＝c2+1，
∵AC＝BC，
∴1+c2＝c2+9，此方程无实数解．
经解方程组可知有两个b 值满足条件．
故④正确，符合题意．
综上所述，正确的结论是②④．
故答案是：②④．
30．（2022•硚口区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），（x0，0），1＜x0＜
2，与y 轴的负半轴相交，且交点在（0，﹣2）的上方，下列四个结论中一定正确的是 ①②③ ．
①b＞0；②2a﹣b﹣1＜0；③2a+c＜0；④a＜3b．（填序号即可）
【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0 的关系，由抛物线对称轴的位置判断b 与0 的关系，然后根据
对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：如图：
①由图象开口向上知a＞0，
由y＝ax2+bx+c 与x 轴的另一个交点坐标为（x0，0 ），且1＜x0＜2，
该抛物线的对称轴为x=−b
2a，由于0＞−2+ x0
2
，即0＜b
a ＜1，
a＞0，所以b＞0；故①正确；
②当x＝﹣2 时，4a﹣2b+c＝0，
∴c＝﹣4a+2b．
∵c＞﹣2，
∴﹣4a+2b＞﹣2，
∴4a﹣2b﹣2＜0，
∴2a﹣b﹣1＜0，
故②正确；
③∵把（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c 得：4a﹣2b+c＝0，
∴即2b＝4a+c＞0（因为b＞0），
∵当x＝1 时，a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∴6a+3c＜0，
即2a+c＜0，
故③正确；
④由x=−1
3时，1
9a−1
3b+c＜0 得a﹣3b＜﹣9c，而﹣2＜c＜0，
∴a﹣3b＜0，或a﹣3b＜18．
∴无法判断a 与3b 的大小，
故④错误．
综上所述，正确的结论是①②③．
故答案为：①②③．
