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第03 讲 等比数列及其前n 项和
内容导航
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1 等比数列
知识点2 等比数列的前n 项和公式
知识点3 等比数列及其前n 项和的性质
题型破译 (含超链接）
题型
1
等比数列基本量的计算
【方法技巧】知三求二方程法
题型
2
等比数列的判定与证明
题型
3
等比数列项的性质
题型
4
等比数列中的单调性与最值问题
【方法技巧】符号公比分类法
题型
5
等比数列前
n 项和的性质
题型
6
等比数列的简单应用
题型
7
等差数列与等比数列的综合
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
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命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
本
等比数列基
量
的计算
全国一卷T14（5 分）
全国二卷T10（6 分）
全国二卷T9（6 分）
全国甲卷（文）T17（12
分）
等比数列的证明
________
________
全国甲卷（理科）T18
（1）（5 分）
等比数列的求和
全国二卷T10（6 分）
全国一卷T13（5 分）
全国二卷T9（6 分）
全国甲卷（文）T17（12
分）
考情分析
近三年考情显示，等比数列的考查频次、题型与分值整体稳定，难度波动不大。以选
择题、填空题、解答题第一问为主，侧重考查基本量运算、通项公式、前n 项和公式
及核心性质，常与等差数列综合命题，核心是“知三求二”的方程思想应用，整体属
于数列模块的基础中档必考内容。
复习目标
1.理解等比数列的概念，熟练掌握其通项公式与前n 项和公式，能精准完成基本量运
算，灵活运用数列核心性质简化求解过程。
2.能在具体问题情境中识别数列的等比关系，运用等比数列相关知识解决对应问题，
夯实常规题型解法，确保该模块基础与中档题目稳定得分。
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
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知识点1 等比数列
1．等比数列的概念
如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数
，那么这个数列叫做等比数
列，这个常数叫做等比数列的公比．
注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；
（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与
无关的常数.
2．等比中项
如果在
与
中间插入一个数
，使
，
，
成等比数列，那么
叫做
与
的等比中项，此时
．
3．等比数列的通项公式及其变形
首项为
，公比为
的等比数列的通项公式是
．
等比数列通项公式的变形：
．
4．等比数列与单调性
当
或
时，
是递增数列；
当
或
时，
是递减数列；
当
时，
为常数列
；
当
时，
为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．
自主检测
1．在等比数列
中，若
，则
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【详解】由题意得
，即
，即
.
2．已知数列
满足
，
．
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)求
的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
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【详解】（1）因为
所以
,
则
，
又
.
所以数列
是首项为2，公比为2 的等比数列，
（2）由（1）得
，
所以
．
知识点2 等比数列的前n 项和公式
首项为
，公比为
的等比数列
的前
项和的公式为
自主检测
3．已知各项均为正数的等比数列
的前
项和为
，且
，
，则数列
的公比为
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设等比数列
的公比为
.根据题意可得，
解得
或
.因为各项均为正数，所以
.
4．设
为等比数列
的前n 项和，且
，则
的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．15
【答案】B
【详解】当
时，
，此时
，不符合题意；
当
时，由题意得
，则
，
所以
，解得
，
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所以
，
，
所以
.
知识点3 等比数列及其前n 项和的性质
若数列
是公比为
的等比数列，前n 项和为
，则有如下性质：
（1）若
，则
；若
，则
．
推广：若
，则
．
（2）若
成等差数列，则
成等比数列．
（3）若项数为
，则
，若项数为
，则
．
（4）当
时，连续
项的和（如
）仍组成等比数列（公比为
，
）．注意：这里连续m 项的和均非零．
自主检测
5．记
为等比数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．9
B．15
C．21
D．27
【答案】C
【详解】因为数列
为等比数列，
所以
成等比数列，
即
成等比数列，
所以
，
所以
．
6．已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（
）
A．8
B．
C．4
D．2
【答案】D
【详解】由题意可知：
，
所以
．
故选：D.
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题●型●破●译
题型1 等比数列基本量的计算
例1-1（2025·甘肃平凉·二模）已知数列
是等比数列且
是其前
项和，
，若
，
则
（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】A
【详解】在等比数列中，设公比为
,
因为
，所以
,解得
.
,解得
.
例1-2（2026·黑龙江黑河·一模）设等比数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【详解】设等比数列
的公比为
，
若
①
，
由
，得
，
则
，
，
显然
，所以
不满足题意；
若
②
，
由
，得
，
因为
，所以
，
即
，
所以
，解得
，
由
，得
，解得
，
所以
，
综上
．
方法技巧 知三求二方程法
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将所有已知条件统一转化为关于首项a1和公比q的方程（组），结合通项公式与前n项和公式列方程求
解；计算中优先用整体代换简化运算，务必单独验证q =1的特殊情况，避免漏解；涉及Sn与an混合条件
时，利用n=1和n≥2拆分求解。
【变式1-1】（2025·吉林吉林·三模）已知等比数列
的前
项和为
，
，
，则
（ ）
A．－129 或53
B．－127 或55
C．－129 或55
D．－127 或53
【答案】A
【详解】设数列
的公比为
，由已知其首项为
，
所以
，即
，
解得
或
，
所以
或
，
解得
或
.
【变式1-2】（2025·四川内江·二模）已知等比数列
的前
项和为
，若
，且
，则正整数
的值为（ ）
A．9
B．12
C．15
D．18
【答案】B
【详解】设等比数列
的公比为
，
当
时，可得
，
，
，则
，
．
因为
，所以
，所以
，此时
，
又因为
，可得
，
所以
，即
．
令
，可得
，解得
或
（舍去），所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，解得
．
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【变式1-3】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）记
为等比数列
的前
项和．已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)判断
，
，
是否成等差数列？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
，
，
成等差数列；
由（1），可得
．
由于
，
所以，
成等差数列．
【分析】
【详解】（1）设等比数列
的公比为
，
由题意，得
，
解得
，
所以，
．
（2）
，
，
成等差数列；
由（1），可得
，
由于
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，
所以，
成等差数列．
题型2 等比数列的判定与证明
例2-1（2025·湖北孝感·二模）已知数列
的首项
，且满足
．
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)记数列
的前
项和为
，
（i）求
；
（ii）若不等式
对任意正整数
都成立，求
的取值范围．
【答案】(1)由
，得
，
则
，即
，
又
，
所以，
是首项和公比均为
的等比数列
(2)（i）
；（ii）
．
【分析】
【详解】（1）略
（2）（i）由（1）得
，
则
．
则
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令
，
相减可得
，
整理得
，
故
．
（ii）由
，得
，
所以
．设
，
则
．
当
时，
；当
时，
；当
时，
，
可得
；
故当
或4 时，
有最大值为
，
所以
．
例2-2（2026·河北衡水·一模）已知数列
满足
，
，
．
(1)求证：
是等比数列；
(2)求数列
的通项公式；
(3)求数列
的前n 项和．
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【答案】(1)∵
，
∴
，
，
，∴
，
∴
，
∴
，
数列
∴
是以12 为首项，4 为公比的等比数列
(2)
(3)
【详解】（1）略
（2）由(1)得
，
则
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
是以2 为首项，
为公比的等比数列．
∴
，
即
.
（3）
,
,
,
,
,
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.
【变式2-1】（2025·四川广安·三模）已知数列
满足
，
．
(1)证明
是等比数列，并求
的通项公式；
(2)设数列
满足
，求
的前
项和
．
【答案】(1)证明：由
得
，又因为
，
所以
，所以
是首项为2，公比为2 的等比数列；
所以
，解得
．
(2)
【分析】
【详解】（1）略.
（2）
，
又
，
则
，
两式相减得
，
化简得
．
【变式2-2】（2025·海南三沙·三模）已知数列
的首项为
，点
在函数
的图象上．
(1)证明：数列
为等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)设
，
．
（i）求数列
的前
项和
；
（ii）试确定所有的正整数
，使数列
中存在某个连续
项的和是数列
中的一项，并证明．
【答案】(1)因为点
在函数
的图象上，
所以
，即
，
整理得
，
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又
，
，
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，整理得
；
(2)（i）
；
（ii）
，设数列
从第
项
开始，连续
项的和为
，
，
，数列
的项全部为正奇数，因此要求
为奇数，即
为奇数，
因为
恒为奇数，所以
必须为奇数，
题意等价于存在正整数
，使得
，
③
当
为正偶数时，
令
，
，因此
，
，即
是
的倍数，
所以
是偶数，与
必须为奇数矛盾，即
为正偶数均不满足条件，
当
为正奇数时，
令
，
，奇次幂保持余数
，
，即
除以
余
，
所以
为奇数，
证明如下：取
（取数列第一项为连续段起点），
代入
得
③
，解出
，
为奇数，则
为偶数，设
，
，
，
，
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所以
能被
整除，
为整数，
又
，代入得
，即
是正整数，
所以对任意正奇数
，取
时，总能找到对应的正整数
，使连续
项和
，满足题意，
即满足条件的正整数
是全体正奇数，即
．
【分析】
【详解】（1）略
（2）（i）
，
，
，
所以
，
①
，
②
①
得
②
，
，
所以
；
（ii）略
【变式2-3】（2025·云南昆明·模拟预测）已知数列
满足
，且
，
．
(1)证明数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明：因为
，
，
所以
，
又
，故
，
则
，所以
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，即
.
(2)
【分析】
【详解】（1）略
（2）由（1）知，
的前
项和
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题型3 等比数列项的性质
例3-1（2026·湖北武汉·二模）若等比数列
中的
，
是方程
的两个根，则
（ ）
A．
B．1015
C．
D．1014
【答案】C
【详解】由韦达定理可知
，由等比数列的性质可知
，所以
，
所以
.
例3-2（2025·宁夏固原·二模）已知数列
为正项等比数列，
，
是方程
的两个实数根，
则
（ ）
A．
B．
C．4
D．
【答案】B
【详解】因为
，
为方程
的两根，所以
，
又因
为
，
的等比中项，所以
，
因
，故
.
【变式3-1】（2025·广西贺州·模拟预测）已知等比数列
，公比
，且
，则
______．
【答案】256
【详解】因为等比数列
中，且公比
，
可得
，
，
成等比，且公比为
，
又因为
，所以可得
，
可得
．
【变式3-2】（2025·广东肇庆·一模）等比数列
的各项均为正数，且
，则
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意得，
，得
或
（舍），
则
.
【变式3-3·变考法】（2026·黑龙江伊春·二模）已知公比
且
的等比数列
，前
项积为
，若
，且
，则
（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18
【答案】A
【详解】因为
为等比数列，且
，
，
由
.
由
，
因为
，所以
.
题型4 等比数列中的单调性与最值问题
例4-1（2025·辽宁丹东·二模）设
是各项均不为0 的无穷等差数列，公差为
．记
，则“
”是“
有最小值”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】 充分性判断：取
，
，所有项都不为0，符合题意，此时
，
当
为奇数且不断增大时，
会无限减小，没有下界，因此
没有最小值，
即“
”不是“
有最小值”的充分条件；
必要性判断：假设
，无穷等差数列
单调递减，必然存在正整数
，当
时，所有
，
且
随
增大趋向正无穷。 此时对于大于
的奇数
，
为负数，且
随
增大无限增大，
即
会无限减小趋向负无穷，没有最小值， 因此若
有最小值，必然
，
即“
”是“
有最小值”的必要条件；
综上，"
"是"
有最小值"的必要不充分条件.
例4-2（2025·广东中山·二模）设
为等比数列， 则“
为递增数列”是“存在
，使得
”的（ ）
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A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当“
为递增数列”时，对任意“
，必有
”，故充分性成立；
假设等比数列的公比是
，首项是1，则数列依次为
，
当
时，有
，使得
，但
不是递增数列，故必要性不成立；
故“
为递增数列”是“存在
，使得
”的充分而不必要条件.
方法技巧 符号公比分类法
单调性由首项a1的符号与公比q的范围共同决定：a1>0,q>1或a1<0,0<q<1时数列递增，反之递减；
q<0时数列为摆动数列，无单调性。
最值问题结合项的正负分界点与增减性判断，也可借助对应函数的单调性分析，注意n为正整数的约束。
【变式4-1】（2025·安徽黄山·模拟预测）设
为等比数列
的前
项和，若
，
，则
的最小值为________．
【答案】
【详解】令公比为
，且
，则
，
而
，所以
，
当
为奇数时
，当
为偶数时
，
所以最小
出现在
为偶数的情况，显然最小为
.
【变式4-2】（2026·山西阳泉·二模）（多选）已知数列
，
满足
，且
为递增数列，
下列说法正确的有（ ）
A．若
为等比数列，则公比可能大于1
B．若
为等比数列，则公比可能小于-1
C．若
为等差数列且
，则公差可能小于0
D．若
为等差数列且
，则公差一定大于0
【答案】ACD
【详解】因为
为等比数列，设
公比为
，因为
，所以
，所以
为等比数列，公比为
，首项为
，
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若
为递增数列，则有
，或
，即
或
，
故A 正确，B 错误，
因为
为等差数列且
，则
，
，
，因为
为递增数列，
所以
，所以
，
若
，则
，因为
，所以
，符合条件，故C 正确，
因为
为等差数列且
，所以
，所以
，
，
当
时，
，因为
，所以
，故D 正确.
故选：ACD.
【变式4-3】（2026·陕西榆林·二模）已知等比数列
的前
项和为
，前
项积为
，若首项为
，则（ ）
A．
和
既有最大值，又有最小值
B．
有最小值，
无最大值
C．
无最大值，
无最小值
D．
无最小值，
有最小值
【答案】A
【详解】设等比数列
公比
，
，
，
且
，则
，
等比数列
的前
项和
，
则
，其中
，
当
①
为奇数时，
，
则
，即
，故
的最小值为
.
又由
，可得
，所以
；
当
②
为偶数时，
，
则
，即
，故
的最大值为
.
又由
，可得
，所以
；
综合
可得，任意
①②
，
有最大值，最大值为
；
也有最小值，最小值为
，
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故
既有最大值，又有最小值；
等比数列
的前
项积
，
由
，则
，
所以
，且
，则
，
当
为奇数时，
，
与
同号；
当
为偶数时，
，
与
异号；
故
各项的符号依次为：
又
，又由
，则
，
又因为数列
单调递减，
所以必存在
，使得当
时，恒有
，即
.
由题意
，
则当
时，则
，故数列
单调递减；
当
时，则
，故数列
单调递减（非严格）；
当
时，则
，
又数列
单调递减，且
，即数列
必先增后减；
所以不论
取何值，
都存在最大值.
由于
各项的符号的变化规律，可知最大值与最小值都存在，
且最大值即为正项中绝对值最大的项，而最小值即为负项中绝对值最大的项.
故
既有最大值，又有最小值.
故选：A.
题型5 等比数列前n 项和的性质
例5-1（2025·湖南郴州·一模）设等比数列
的前n 项和为
，若
，
，则
（ ）
A．27
B．3
C．24
D．48
【答案】A
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【详解】设等比数列
的公比为
，
，
若
，则
，与
的题设矛盾，故
；
根据等比数列前
项和公式可得
，
①
；
②
将
除以
，化简得
②
①
，解得
；
又
.
例5-2（2025·江苏镇江·二模）在等比数列
中，
为其前n 项和，若
，
，
，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．20
D．30
【答案】B
【详解】在等比数列
中,若
，则
，
由
，知
显然不成立，故
.
将
代入
，解得
，进而可得
.
设
，在等比数列中，因为
仍构成等比数列，
所以
，即
，
整理可得
，即
，解得
或
.
因为
，所以
.
【变式5-1】（2025·甘肃陇南·一模）已知一个项数为偶数的等比数列
，所有项之和为所有偶数项之和
的
倍，前项之积为
，则
_____.
【答案】12
【详解】求出等比数列
的公比，结合等比数列的性质可求出
及
，即可求得
的值.
【分析】
【详解】因为在等比数列中，若项数为
，则
，
所以
.
故答案为：120
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【变式5-2】（2025·海南海口·模拟预测）已知等比数列
的公比
，且
，则
___________.
【答案】120
【分析】在等比数列中，若项数为
，则
，结合所求，化简计算，即可得答案.
【详解】因为在等比数列中，若项数为
，则
，
所以
.
故答案为：120
题型6 等比数列的简单应用
例6-1（2025·黑龙江七台河·一模）某公司计划用10 年时间（从2026 年初到2036 年初）完成产能升级，
若初始产能为
，每年产能的增长率为定值，2030 年初产能为
，则2036 年初的产能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设初始产能
，
从2026 年初到2030 年初，经过了
年，此时产能为
，
所以
两边约去
，
得
，
从2026 年初到2036 年初，经过了
年，此时的产能为
，
所以答案是B.
例6-2（2025·广西南宁·三模）某AI 语言模型计费规则：前1000 分钟免费使用，超出1000 分钟的部分每
分钟收费0.001 元（不足1 分钟的按1 分钟收费）．某人因工作需要多天使用该AI 模型，若第一天使用
300 分钟，以后每一天使用的时间比前一天使用时间的
还多50 分钟．若该用户多天使用该AI 模型后的
总费用不超过1 元，则最大使用天数为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】A
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【详解】设该用户第
天使用的分钟数为
，
由题意可得
，
，
则
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，即
，
设数列
的前
项和为
，则
，
要使总费用不超过1 元，
的整数部分不超过
即
，
则
，化简可得
当
，因为
随着
的增大而减小，
所以
随着
的增大而增大，
当
时，
成立，
当
时，
，则
，故
，
所以要使总费用不超过1 元，则最大使用天数为8 天.
【变式6-1】（2025·福建宁德·一模）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊
食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几
何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5 斗粟、羊主人说：“我羊所
吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应
偿还多少？该问题中，1 斗为10 升，则马主人应偿还（ ）升粟.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】依题意，羊、马、牛主人应偿还量构成公比为2 的等比数列，
设马主人应偿还
升粟，则
，解得
，
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所以马主人应偿还
升粟.
故选：C
【变式6-2】（2025·江苏扬州·模拟预测）《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基
础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生16 只，且雌雄各
半.1 个月后，有一对老鼠生了16 只小老鼠，一共有18 只；2 个月后，每对老鼠各生了16 只小老鼠，一共
有162 只．以此类推，假设
个月后共有老鼠
只，则
_________．
【答案】
【详解】假设
个月后共有老鼠
只，则
个月后共有老鼠
只，
所以
，
又
，所以
，
所以数列
是以
为首项为公比的等比数列，
所以
.
故答案为：
.
【变式6-3】（2026·山东聊城·模拟预测）古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某
人给一个人布施，初日施2 子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，
以一个月31 天计算，记此人第
日布施了
子安贝（其中
，
），数列
的前
项和为
．
若关于
的不等式
恒成立，则实数的最大整数为（ ）
A．28
B．29
C．30
D．32
【答案】C
【详解】由题意，数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，故
，
所以
，
，
由
，得
，
整理得
对任意
，且
恒成立.
又
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，即实数的最大整数为
.
题型7 等差数列与等比数列的综合
例7-1（2025·河北承德·二模）已知数列
（非常数列）前
项和为
，
为等差数列，
，
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，且
，
，
成等比数列，则
的值为（ ）
A．
B．80
C．81
D．90
【答案】B
【详解】因为
为等差数列，
，
所以数列
的首项为
，设其公差为
，
则
，
所以
，
所以
，
，
，
又因为
，
，
成等比数列，
所以
，
即
，
解得
或
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
，为常数数列，不满足题意，故舍去;
当
时，
，
当
时，
，
所以
，不是常数数列，满足题意，
所以
，
所以
，
所以
.
例7-2（2025·广东东莞·一模）记
为等比数列
的前
项和，已知
，
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
的各项呈现正负相间的变化规律，求
，判断
，
，
是否成等差数列，并说明理由．
【答案】(1)
或
(2)
，
，
成等差数列，理由如下：
由（1）知
，且
的各项呈现正负相间的变化规律，
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则
，即
，所以
.
因为
，
即
，所以
，
，
成等差数列．
【分析】
【详解】（1）设数列
的首项为
，公比为
，
因为
，则
，可得
，
且
，则
，可知
，
，
可得
，解得
，
所以
或
.
（2）略
【变式7-1】（2026·辽宁锦州·模拟预测）古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列.该数列将满月等分
为240 份，记数列
为第
天月球被太阳照亮部分占满月的份数（其中
且
）组成的数列，
第1 天月球被太阳照亮部分占满月的
，即
；第15 天为满月，即
.若在数列
中，前5 项
构成公比为
的等比数列，第5 项到第15 项构成公差为
的等差数列，且q，d 均为正整数，则第12 天月
球被太阳照亮部分占满月的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意知，数列
前5 项成公比为
的等比数列，首项
，
所以
，
因为从第5 项到第15 项成公差为
的等差数列，且
，
所以
，
所以
，即
，
又因为
，所以
若
，则
，
，不合题意，
若
，则
，解得
，符合题意，
若
，则
，无解，
故
，
，此时
，
所以
，
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所以占满月的比例为：
.
【变式7-2·变考法】（2026·江苏无锡·模拟预测）已知等比数列
与等差数列
的各项均为正整数，
其公比与公差分别为
，
，
的前
项和为
．若对任意正整数
，
，则
_____．
【答案】
【详解】因为等差数列
的各项均为正整数，所以公差
为非负整数，
由等差数列的通项公式可得
，所以
当
时，
，则
，
因为等比数列
的各项均为正整数，所以
，
若
，则
，不成立，
故
，且
，
当
时，
，
整理得
，即
，
由等比数列的定义可得
，
则
，
因为
与
互质，所以要使对于任意正整数
，
均为整数，必须满足分母
能够整除首项
，
若
，则必然存在某个正整数
使得
，此时
不可能为整数，
所以
，则
，
所以
，
，则
．
【变式7-3·变考法】（2025·宁夏银川·三模）已知数列
的前
项和
，数列
是公比为2 的
等比数列，且
．
(1)求出数列
的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列；
(2)求集合
中元素的个数，并求所有元素的和．
【答案】(1)
，
是等差数列
(2)9，63
【分析】
【详解】（1）当
时，有
，
当
时，有
，
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又因为
，所以
时
也成立，
因此数列的通项公式为
．
因为
，所以
是等差数列．
（2）由（1）知
，
，
由
，得
，
由题知
，所以
，
所以
，4，5，6，7，8，9，10，11 共9 个数，
即集合
中元素的个数为9，
所有元素的和为63．
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2026·全国二卷·高考真题）（多选）设等比数列
的公比
，
，
，记其前
项和为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】由等比数列
的公比为
，则
，即
.
因为
，所以
，即
.
因为
，所以
，所以
，即
，所以A 正确.
因为
，则
，所以B 错误.
，
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，所以C 正确.
，
当n 为奇数时，
；
当n 为偶数时，因为
；所以
，
所以
，即
，所以D 正确.
2．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）记
为等比数列
的前n 项和，
为
的公比，
若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】对A，由题意得
，结合
，解得
或
（舍去），故A 正确；
对B，则
，故B 错误；
对C，
，故C 错误；
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对D，
，
，
则
，故D 正确；
故选：AD.
3．（2026·上海·高考真题）已知
为等比数列，
，
，则
__________．
【答案】
【详解】设数列
的公比为
，则
，则
.
4．（2024·北京·高考真题）设
与
是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合
，给出下列4 个结论：
若
①
与
均为等差数列，则M 中最多有1 个元素；
若
②
与
均为等比数列，则M 中最多有2 个元素；
若
③
为等差数列，
为等比数列，则M 中最多有3 个元素；
若
④
为递增数列，
为递减数列，则M 中最多有1 个元素.
其中正确结论的序号是______.
【答案】①③④
【详解】对于
，因为
①
均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，
而两条直线至多有一个公共点，故
中至多一个元素，故
正确
①
.
对于
，取
②
则
均为等比数列，
但当
为偶数时，有
，此时
中有无穷多个元素，故
错误
②
.
对于
，设
③
，
，
若
中至少四个元素，则关于
的方程
至少有4 个不同的正数解，
若
，则由
和
的散点图可得关于
的方程
至多有两个不同的解，矛
盾；
若
，考虑关于
的方程
奇数解的个数和偶数解的个数，
当
有偶数解，此方程即为
，
方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时
，
否则
，因
单调性相反，
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方程
至多一个偶数解，
当
有奇数解，此方程即为
，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时
即
否则
，因
单调性相反，
方程
至多一个奇数解，
因为
，
不可能同时成立，
故
不可能有4 个不同的整数解，即M 中最多有3 个元素，
取
，则
,故
正确
③
.
对于
，因为
④
为递增数列，
为递减数列，前者散点图呈上升趋势，
后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故
正确
④
.
故答案为：①③④.
【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨
论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.
5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
,故
，
所以
即
故等比数列的公比为
，
故
，故
，故
.
（2）由等比数列求和公式得
，
所以数列
的前n 项和
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.
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．已知数列
是等比数列．
（1）若
，
，求q 与
；
（2）若
，
，求
．
【答案】（1）
，
； （2）
或
.
【分析】
【详解】（1）由数列
是等比数列，设等比数列的公比为
，
因为
，
，可得
，即
，解得
，
所以
.
（2）设等比数列的公比为
，因为
，
，
可得
，即
，解得
或
，
当
时，可得
，则
；
当
时，可得
，则
.
2．设等比数列
的前n 项和为
.已知
求
和
.
【答案】当
时，
；当
时，
【详解】设
的公比为
，由题设得
解得
或
，
当
时，
；
当
时，
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3．已知数列
的前n 项和为
，若
，求
．
【答案】
【详解】当
时：
,
当
时：
.
所以数列
为以
为首项，2 为公比等比数列.
所以
.
4．如果一个等比数列前5 项的和等于10，前10 项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？
【答案】
【详解】解：依题意设数列的首项为
，公比为
，则
，
，
所以
，即
，所以
，解得
，即
，所求
5．放射性元素在t=0 时的原子核总数为
，经过一年原子核总数衰变为
，常数
称为年衰变率．
考古学中常利用死亡的生物体中碳14 元素稳定持续衰变的现象测定遗址的年代．已知碳14 的半衰期为
5730 年．
（1）碳14 的年衰变率为多少（精确到
）
（2）某动物标本中碳14 含量为正常大气中碳14 含量的60%（即衰变了40%），该动物的死亡时间大约距
今多少年？
【答案】（1）
；（2）4221.
【分析】
【详解】(1)设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14 的含量为1，每年的衰变率为
，n 年后的残留量
为
，则
是一个等比数列．由碳14 的半衰期为5730，则
，所以衰变率
．
即碳14 的年衰变率为
；
(2)设动物约在距今n 年前死亡，由
，得
，
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解得
，所以动物约在距今4221 年前死亡．
6．已知数列
的首项为
，且满足
.
(1)求证：
是等比数列.
(2)求数列
的前
项和
.
【答案】(1)证明如下：
由题意，数列
满足
，即
，
则
，
又由
，可得
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列.
(2)
【分析】
【详解】（1）略
（2）由（1）知
，得到
，
所以数列
的前
项和
.
7．已知数列
的首项
，
，
，
，
．
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)记
，若
，求最大正整数
．
【答案】(1)证明：
，
，
可得
，又
，
数列
为等比数列，首项为
，公比为
．
(2)99
【分析】
【详解】（1）略
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（2）由（1）知，
，
，
，
由
，则
，
在定义域内单调递增，
且
时，
，
时，
，
所以
．
