必修第三章函数的概念与性质（公式、定理、结论图表）_数学_专项复习_2025年_2025年新高考高中数学知识点总结全归纳电子版选修必修公式定理_同步章节知识点总结

第三章 函数的概念与性质（公式、定理、结论图表）
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的 任意一个数 x 按照某种
定义 确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：
A→B为从集合A到集合B的一个函数
三 对应关系 y＝f(x)，x∈A
要 定义域 自变量 x 的取值范围
素 值域 与x的值相对应的y的函数值的集合 {f (x ) |x ∈ A }
思考1：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：(1)这种看法不对．
符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对
应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x
允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等
于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x
的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，
f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念
(1)一般区间的表示
设a，b∈R，且a<b，规定如下：
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a ， b ]
{x|a<x<b} 开区间 (a ， b )
{x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b)
{x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
(2)特殊区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a}
符号 ( －∞，＋∞ ) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？
提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．
(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端
必须是小括号．
3.函数的表示法
思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？
提示：不一定．
并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽
在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．
4.分段函数
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的
函数为分段函数．
思考：分段函数是一个函数还是几个函数？
提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．
5．增函数与减函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I：如果∀x
1
，x
2
∈D，当x
1
＜x
2
时
条件
都有 f ( x ) ＜ f (x ) 都有 f ( x ) ＞ f (x )
1 2 ⊆ 1 2
那么就说函数f(x)在区间D上是
结论 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
减函数图示
思考1：增(减)函数定义中的x，x有什么特征？
1 2
提示：定义中的x，x有以下3个特征：
1 2
(1)任意性，即“任意取x，x”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
1 2
(2)有大小，通常规定x<x；
1 2
(3)属于同一个单调区间．
2．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单
调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
思考2：函数y＝在定义域上是减函数吗？
提示：不是．y＝在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)
上递减．
6.函数最大值与最小值
最大值 最小值
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有
条件 f(x)≤M f(x)≥M
x∈I，使得 f ( x ) ＝ M
0 0
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
∃
几何意
f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标
义
思考：若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
提示：不一定，只有定义域内存在一点x，使f(x)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
0 0
7.函数的奇偶性
奇偶性 偶函数 奇函数
条件 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I
结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x)
图象特点 关于 y 轴 对称 关于原点对称
思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？
提示：定义域关于原点对称．
8．幂函数的概念
一般地，函数 y ＝ x α 叫做幂函数，其中x 是自变量，α 是常数．
9．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：10．幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R [ 0 ，＋∞ ) {x |x ≠0 }
值域 R [0，＋∞) R [ 0 ，＋∞ ) {y |y ≠0 }
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
x∈[0，＋∞) x∈(0，＋∞)
时，增函数 时，减函数
单调性 增函数 增函数 增函数
x∈(－∞，0] x∈(－∞，0)
时，减函数 时，减函数
11.常见的几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
分段函数模型 f(x)＝
<解题方法与技巧>
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空实数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2．判断函数相等的方法
(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
典例1：(1)下列各组函数是同一函数的是( )
①f(x)＝与g(x)＝x；
②f(x)＝x与g(x)＝；
③f(x)＝x0与g(x)＝；
④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
A．①② B．①③C．③④ D．①④
(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．
①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；
②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；
④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．
(1)C [①f(x)＝＝|x|与g(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
②g(x)＝＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．
③f(x)＝x0与g(x)＝都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．
④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，
故是同一函数．
由上可知是同一函数的是③④.
故选C.]
(2)[解] ①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与
之对应，所以不是函数．
②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，
所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．
③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2
对应4，所以是函数．
④集合A不是数集，故不是函数．]
3.函数求值的方法
1已知fx的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得fa的值.
2求fga的值应遵循由里往外的原则.
典例2：设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，
(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．
(2)求g(f(x))．
[思路点拨] (1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；
(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．
[解] (1)因为f(x)＝2x2＋2，
所以f(2)＝2×22＋2＝10，
f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝，
所以g(a)＋g(0)＝＋＝＋(a≠－2)．
g(f(2))＝g(10)＝＝.
(2)g(f(x))＝＝＝.
4.求函数定义域的常用方法
1若fx是分式，则应考虑使分母不为零.
2若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零.
3若fx是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.4若fx是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.
5若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.
典例3：
1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？
提示：不可以．如f(x)＝.倘若先化简，则f(x)＝，从而定义域与原函数不等价．
2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域
是什么？
提示：[1,2]是自变量x的取值范围．
函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．
5.分段函数求函数值的方法：
(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x))的形式时，应从内到外依次求值．
0
6.．已知函数值求字母取值的步骤：
(1)先对字母的取值范围分类讨论．
(2)然后代入不同的解析式中．
(3)通过解方程求出字母的值．
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．
提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变
量的值，切记代入检验．
典例4：求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝2＋；
(2)f(x)＝(x－1)0＋；
(3)f(x)＝·；
(4)f(x)＝－.
[思路点拨] 要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．
[解] (1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，
函数f(x)＝2＋有意义，
所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
(2)函数有意义，当且仅当
解得x>－1且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．
(3)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，
所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．
已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－)，f的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值．[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.
∵f＝－＋1＝－，
而－2<－<2，
2
∴f＝f＝ ＋2×＝－3＝－.
(2)当a≤－2时，a＋1＝3，
即a＝2>－2，不合题意，舍去．
当－2<a<2时，a2＋2a＝3，
即a2＋2a－3＝0.
∴(a－1)(a＋3)＝0，
解得a＝1或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，
∴a＝1符合题意．
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.
7.利用定义证明函数单调性的步骤
1取值：设x，x是该区间内的任意两个值，且x<x.
1 2 1 2
2作差变形：作差fx－fx，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的
1 2
式子.
3定号：确定fx－fx的符号.
1 2
4结论：根据fx－fx的符号及定义判断单调性.
1 2
提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.
典例5：证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
[思路点拨] ―→
――→――→
[证明] 设x，x是区间(0,1)上的任意两个实数，且x<x，则f(x)－f(x)＝－＝(x－x)＋＝(x－
1 2 1 2 1 2 1 2 1
x)＋＝(x－x)＝
2 1 2
∵0<x<x<1，
1 2
∴x－x<0,0<xx<1，则－1＋xx<0，
1 2 1 2 1 2
∴>0，即f(x)>f(x)，
1 2
∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
8.函数单调性的应用
1函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单
调性可以确定函数中参数的取值范围.
2若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.
典例6：(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是
________．
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
[思路点拨] (1)――→――→
(2)――――――――――――――――→――→
(1)(－∞，－4] (2)(－∞，1) [(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，
3]上是增函数，
只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.
∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．
(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1.
∴实数x的取值范围为(－∞，1)．]
9．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大
(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]
上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
提醒：(1)求最值勿忘求定义域．
(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
典例7：已知函数f(x)＝.
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．
[解] (1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x<x，
1 2
则f(x)－f(x)＝－＝，
1 2
因为－1<x<x x＋1>0，x＋1>0，x－x<0，
1 2 1 2 1 2
所以f(x)－f(x)<0 f(x)<f(x)，
1 ⇒2 1 2
所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
⇒
(2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(2)＝＝，
最大值f(4)＝＝.
10.解实际应用题的四个步骤
1审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系.
2建模：建立数学模型，列出函数关系式.
3求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法一定注意自变量的取值范围.
4回归：数学问题回归实际问题，写出答案.
典例8：一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1
万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)
(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；
(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？
[解] (1)当0<x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝
160－x.故y＝(x∈N*)．
(2)当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，y ＝156.而当x>20时，160－
max
x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．
即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．
11.巧用奇、偶函数的图象求解问题
1依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称.
2求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.
典例9：已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
[解] (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．
由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象， 如图所示．
(2)由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2， 0)∪(2,5)．
12.比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上.
1在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
2不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较
大小.
典例10：函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A．f(1)<f<f B．f<f(1)<f
C．f<f<f(1) D．f<f(1)<f
[思路点拨] ―→
――→
B [∵函数f(x＋2)是偶函数，
∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f＝f，f＝f，又f(x)在[0,2]上单调递增，
∴f<f(1)<f，即f<f(1)<f.]
13.判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xαα为常数的形式，即函数的解析式为一个
幂的形式，且需满足：1指数为常数；2底数为自变量；3系数为1.
典例11：(1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________．
(1)B (2) [(1)∵y＝＝x－2，∴是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；
y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数
y＝1不是幂函数．
(2)设f(x)＝xα，∵f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log3，∴f＝log 3＝.]
2 2
14.解决幂函数图象问题应把握的两个原则
1依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在0，1上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴简记
为指大图低；在1，＋∞上，指数越大，幂函数图象越远离x轴简记为指大图高.
2依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象类似于y＝x－1或y
＝x或y＝x3来判断.
典例12：点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．
[解] 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵()α＝2，(－2)β＝－，
∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，
(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；
(3)当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．