文档文本内容
【第6 讲：函数的单调性与最值】
一．函数的单调性与函数图象的特征（共5 小题）
二．定义法求解函数的单调性（共5 小题）
三．求函数的单调区间（共4 小题）
四．由函数的单调性求解函数或参数（共8 小题）
五．复合函数的单调性（共8 小题）
六．求函数的最值（共6 小题）
七．由函数的最值求解函数或参数（共4 小题）
八．复合函数的最值（共5 小题）
【知识点清单】
1．函数的单调性
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D 上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）
＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D 上是减函数．
若函数f（x）在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D
叫做y＝f（x）的单调区间．【解题方法点拨】
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵
循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”
联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么
①f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；
f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．
②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；
（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．
函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．
【命题方向】
函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调
题型梳理
总览
性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最
值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单
调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、
等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调
性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
2．函数的单调性与函数图象的特征
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D 上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）
＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D 上是减函数．
若函数f（x）在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D
叫做y＝f（x）的单调区间．
函数的单调性反映了函数在某一区间内的增减情况，图象可以直观展示这种单调性．
【解题方法点拨】
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵
循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联
结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
﹣通过图象观察函数在各区间的增减情况．
﹣分析函数在各单调区间的行为，并确定单调区间的边界点．
﹣总结函数在各区间的单调性，并结合解析式进行验证．
3．定义法求解函数的单调性
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D 上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）
＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D 上是减函数．
若函数f（x）在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D
叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵
循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联
结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么
①f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；
f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．
②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；
（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．
4．求函数的单调区间
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D 上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）
＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D 上是减函数．
若函数f（x）在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D
叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵
循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联
结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么
①f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；
f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．
②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；
（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．
5．由函数的单调性求解函数或参数
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2 时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D 上是增函数；当x1＞x2 时，都有f
（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D 上是减函数．
若函数f（x）在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区
间D 叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考
虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0 的根和不可导点的x 的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a 或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选
择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，
主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思
想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取
值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
6．复合函数的单调性
【知识点的认识】
所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考
虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．
【解题方法点拨】
求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：
（1）确定定义域；
（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；
（3）分别确定两基本初等函数的单调性；
（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．
【命题方向】
理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性．
7．求函数的最值
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵
坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
﹣分析函数图象，找出函数的顶点、极值点等特征点．
﹣确定函数的最值，并结合边界点进行验证．
﹣结合函数的解析式和图象，确定最值的准确性．
﹣一次函数由于一次函数y＝ax+b 为单调函数，其最值在定义域的端点处取得．
﹣二次函数分析顶点处的值以及定义域的边界点，确定最大值或最小值．若a＞0，函数在顶点处取得最小
值，若a＜0，函数在顶点处取得最大值．
8．由函数的最值求解函数或参数
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵
坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
﹣分析已知最值和函数的形式，设定函数的表达式．
﹣利用最值条件，代入求解函数的解析式或参数．
﹣验证求解结果的正确性．
9．复合函数的最值
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵
坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
﹣分析内层函数g（x）的取值范围．
﹣将内层函数的值域代入外层函数f（x），确定复合函数的最值．
﹣综合考虑复合函数的各部分，确定其最大值或最小值．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/8/4 20:20:19；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663
一．函数的单调性与函数图象的特征（共5 小题）
1．已知函数f ( x)={
( 1
2 )
x
+1，x＜1，
ax−x
2，x ≥1，)
且a＞0，若f（x）在R 上为减函数，则a 的取值范围是
（ ）
A．（0，2]
B．（0，2）
C．(2，5
2 )
D．(2，5
2 ]
【考点】函数的单调性与函数图象的特征；由函数的单调性求解函数或参数．
版权所有
知识讲解与常考题型
题型分类
【分析】根据分段函数单调性列出不等式，求解即可．
【解答】解：函数f ( x)={
( 1
2 )
x
+1，x＜1，
ax−x
2，x ≥1，)
在R 上为减函数，a＞0，
当x＜1 时，f ( x)=( 1
2 )
x
+1单调递减，此时f ( x)＞f (1)= 3
2，
若当x≥1 时，f（x）＝ax﹣x2单调递减，则a
2 ≤1，此时f（x）max＝f（1）＝a﹣1，
因为f（x）在R 上单调递减，所以{
a
2 ≤1
a−1≤3
2)
，解得a≤2，又a＞0，所以0＜a≤2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分段函数性质的应用，属于基础题．
2．已知f ( x)={
lo ga(a−2 x)，x ≤1，
−x
2+ 1
3 ax +1−1
3 a，x＞1)
是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为（ ）
A．( 1
2 ，1)
B．（2，6]
C．[3，6]
D．（2，3]
【考点】函数的单调性与函数图象的特征．
版权所有
【分析】在定义域内，保证两段都是减函数，在1 附近还要一直减．列不等式求解即可．
【解答】解：根据题意保证两段都是减函数，在1 附近还要一直减．
可得{
a＞1
a＞2
1
3 a
2 ≤1
lo ga(a−2)≥−1+ 1
3 a+1−1
3 a)
，解得3≤a≤6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数及对数函数单调性及分段函数性质的应用，属于中档题．
3．已知函数f（x）的图象关于y 轴对称，若∀x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x2f
（x1）+x1f（x2），则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的最大值为f（0）
B．f（﹣1）＞f（﹣2）
C．函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）中心对称
D．若x＞0，则f（x﹣1）＜f（2x+1）
【考点】函数的单调性与函数图象的特征；奇偶函数图象的对称性．
版权所有
【分析】根据题意可得函数单调性以及对称性，从而可逐一判断．
【解答】解：因为∀x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x2f（x1）+x1f（x2），
则[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0，
则f（x）在[0，+∞）上单调递增，
又函数f（x）的图象关于y 轴对称，则f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，f（﹣1）＜f（﹣2），故B 错误；
函数y＝f（x﹣1）的图象关于x＝1 对称，故C 错误；
则f（x）有最小值f（0），故A 错误；
因为2x+1﹣（x﹣1）＝x+2＞0，且2x+1＝x+1+x
|2x+1|＞|x﹣1|，
则f（x﹣1）＜f（2x+1），故D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查函数的单调性以及对称性，属于中档题．
4．已知函数f（x）={
2
x
2−2 x−3，x＞a
lo ga x，x ≤a )（a≠1）在（0，+∞）上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．[3，+∞）
B．（3，+∞）
C．（1，3）
D．（4，+∞）
【考点】函数的单调性与函数图象的特征．
版权所有
【分析】由已知结合指数函数，对数函数，二次函数及分段函数的性质即可求解．
【解答】解：因为f（x）={
2
x
2−2 x−3，x＞a
lo ga x，x ≤a )（a≠1）在（0，+∞）上单调递增，
所以{
a≥1
a＞1
2
a
2−2a−3≥lo gaa)
，解得a≥3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了指数函数，对数函数及二次函数单调性的应用，还考查了分段函数性质的应用，
属于基础题．
（多选）5．下列判断不正确的是（ ）
A．函数f ( x)= 1
x 在定义域内是减函数．
B．f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调减区间为（4，+∞）
C．已知x＞0，y＞0，且1
x + 1
y =1，若x+y＞m2+3m 恒成立，则实数m 的取值范围是（﹣4，1）
D．已知f ( x)={
(3a−1)x + 4 a，x ≤1
lo ga x，x＞1
)在R 上是减函数，则a 的取值范围是( 1
7 ，1
3 )
【考点】函数的单调性与函数图象的特征；由函数的单调性求解函数或参数．
版权所有
【分析】利用函数的单调性可判断选项A；由复合函数的单调性可判断B；利用基本不等式求解函数恒
成立可判断选项C；由分段函数的单调性可判断选项D．
【解答】解：对于A，函数f（x）= 1
x ，函数的单调递减区间是（﹣∞，0），（0，+∞），在整个定义
域内不具有单调性，故A 不正确；
对于B，f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8），x2﹣2x﹣8＞0，可得x＞4 或x＜﹣2，即f（x）的定义域为（﹣∞，
﹣2）∪（4，+∞），
由复合函数的单调性可知f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2），单调递增区间为（4，+∞），故B
不正确；
因为x＞0，y＞0，且1
x + 1
y =1，所以x+y＝（x+y）（1
x + 1
y ）＝2+ y
x + x
y ≥4，当且仅当y＝x＝2 时取等
号，
要使x+y＞m2+3m 恒成立，即4＞m2+3m 恒成立，解得﹣4＜m＜1，即实数m 的取值范围是（﹣4，
1），故C 正确；
因为f ( x)={
(3a−1)x + 4 a，x ≤1
lo ga x，x＞1
)在R 上是减函数，所以{
3a−1＜0
(3a−1)×1+ 4 a≥lo ga1)，
解得1
7 ≤a＜1
3，即a 的取值范围是[1
7 ，1
3），故D 不正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查命题的真假的判断与应用，涉及函数的单调性，复合函数的单调性，恒成立条件
的转化，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
二．定义法求解函数的单调性（共5 小题）
6．下列函数中在区间（1，+∞）单调递增的是（ ）
A．y＝（x﹣2）2
B．y =−❑√x−1
C．y =
1
3−x
D．y＝|x+4|
【考点】定义法求解函数的单调性．
版权所有
【分析】利用函数的单调性逐一判断即可．
【解答】解：对于选项A：根据二次函数的性质可得，y＝（x﹣2）2 在（﹣∞，2）上单调递减，在
（2，+∞）上单调递增，故选项A 错误；
对于选项B：y =−❑√x−1在区间[1，+∞）上单调递减，故选项B 错误；
对于选项C：y =
1
3−x =−
1
x−3在（﹣∞，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递增，故C 错误；
对于选项D：y＝|x+4|在（﹣∞，﹣4）上单调递减，在（﹣4，+∞）上单调递增，故选项D 正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了基本初等函数单调性的判断，属于基础题．
7．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝lnx
B．y＝x3
C．y =| x|+
1
| x|
D．y＝2|x|
【考点】定义法求解函数的单调性；奇函数偶函数的判断．
版权所有
【分析】A 选项，y＝lnx 定义域不关于原点对称，不是偶函数；B 选项，f（x）＝x3为奇函数；C 选项，
根据g（2）＝g（1
2）= 5
2得到C 不满足在区间（0，+∞）上单调递增；D 选项，判断出函数为偶函数且
在（0，+∞）上单调递增．
【解答】解：A 选项，y＝lnx 的定义域为（0，+∞），定义域不关于原点对称，故不是偶函数，故A 错
误；
B 选项，y＝f（x）＝x3的定义域为R，且f（﹣x）＝﹣x3＝﹣f（x），故y＝x3为奇函数，故B 错误；
C 选项，设g（x）=| x|+
1
| x| ，因为g（2）= 5
2，g（1
2）= 5
2，
所以y＝g（x）=| x|+
1
| x| 在（0，+∞）上不单调递增，故C 错误；
D 选项，y＝h（x）＝2|x|的定义域为R，且h（﹣x）＝2|x|＝2|x|＝h（x），故h（x）＝2|x|为偶函数，
又当x＞0 时，h（x）＝2x，在（0，+∞）上单调递增，故满足要求，故D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合，考查了转化思想，属基础题．
（多选）8．已知函数f ( x)= x + k
x ，则（ ）
A．函数f（x）的图象关于原点对称
B．当k＜0 时，函数f（x）在定义域上单调递增
C．当k＞0 时，函数f（x）的最小值为2❑√k
D．若对∀x∈[1，+∞），都有f（x）≥1，则k≥0
【考点】定义法求解函数的单调性；奇偶函数图象的对称性．
版权所有
【分析】根据奇函数的定的定义可判断A，根据f（x）在（﹣∞，0），和（0，+∞）上单调递增，即
可判断B，根据x＜0，则f ( x)= x + k
x ＜0，即可判断C，利用分离参数法即可判断D．
【解答】解：对于A，函数的定义域为{x|x≠0}，且f (−x)=−x + k
−x =−f ( x)，
故f（x）为奇函数，图象关于原点对称，A 正确；
对于B，k＜0 时，f（x）在（﹣∞，0），和（0，+∞）上单调递增，故B 错误，
对于C，k＞0 时，若x＜0，则f ( x)= x + k
x ＜0，故C 错误，
对于D，对∀x∈[1，+∞），都有f（x）≥1，
故x + k
x ≥1⇒k ≥x(1−x)，
由于对∀x∈[1，+∞），x（1﹣x）≤0，故k≥0，D 正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，属于中档题．
（多选）9．函数y＝f（x）在（0，+∞）是减函数，且0＜x1＜x2，则下列选项正确的是（ ）
A．f（x1）＞f（x2）
B．f（x1）﹣f（x2）＞0
C．（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0
D．
f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
＞0
【考点】定义法求解函数的单调性．
版权所有
【分析】根据函数单调性及0＜x1＜x2，得到f（x1）＞f（x2），进而判断出A、B、C 正确，D 错误，综
合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、B 选项，y＝f（x）在（0，+∞）是减函数，且0＜x1＜x2，故f（x1）＞f（x2），
f（x1）﹣f（x2）＞0，AB 正确；
对于C、D 选项，因为x1﹣x2＜0，f（x1）﹣f（x2）＞0，所以（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，
f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
＜0，C 正确，D 错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查函数单调性的性质和应用，注意函数单调性的定义，属于基础题．
（多选）10．对于函数f ( x)= a⋅3
x+a−4
3
x+1
（a∈R），下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的定义域为R
B．函数f（x）在R 上为增函数
C．函数f（x）在R 上为减函数
D．当a＝2 时，函数f（x）为奇函数
【考点】定义法求解函数的单调性；奇函数偶函数的判断．
版权所有
【分析】由解析式可直接判断定义域，由f ( x)=a−
4
3
x+1，结合y＝3x的单调性可判断f（x）的单调，
由奇偶性的定义可判断f（x）是否为奇函数．
【解答】解：函数f ( x)= a⋅3
x+a−4
3
x+1
（a∈R），
对于A 选项，由解析式易知函数的定义域为R，故A 正确；
对于B 选项，函数f ( x)= a3
x+a−4
3
x+1
=a−
4
3
x+1
的定义域为R，而y＝3x 为增函数，f ( x)=
4
3
x+1为减
函数，故f ( x)=a−
4
3
x+1是增函数．故B 正确，C 错误；
对于D 选项，假设存在实数a，使f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），a−
4
3
−x+1
=−a+
4
3
x+1，
即2a=
4
3
x+1
+
4
3
−x+1
=
4
3
x+1
+ 4⋅3
x
3
x+1
= 4，2a＝4，a＝2．
故存在实数a＝2，使函数f（x）为奇函数，故D 正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查函数性质的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
三．求函数的单调区间（共4 小题）
11．函数f（x）＝（1﹣x）•|2﹣x|的单调递增区间为（ ）
A．( 3
2 ，2)
B．(1，3
2 )
C．(−∞，3
2 )
D．( 3
2 ，+∞)
【考点】求函数的单调区间．
版权所有
【分析】去掉绝对值符号，化简函数的解析式，然后求解函数的单调增区间即可．
【解答】解：f（x）＝（1﹣x）•|2﹣x|，
当x≤2 时，f（x）＝（1﹣x）•（2﹣x）＝x2﹣3x+2，对称轴x= 3
2，开口向上，
故3
2 ＜x≤2 时，函数单调递增；
当x＞2 时，f（x）＝﹣（1﹣x）•（2﹣x）＝﹣x2+3x﹣2，对称轴x= 3
2，开口向下，
故在x＞2 时，函数单调递减．
结合选项可得，A 选项符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查函数的单调性的应用，是基础题．
12．函数f ( x)=3
x
2−2| x|的一个单调递减区间为（ ）
A．（﹣∞，0）
B．（﹣1，0）
C．（0，1）
D．（1，+∞）
【考点】求函数的单调区间．
版权所有
【分析】结合偶函数的性质，以及复合函数的单调性判断方法，即可求解．
【解答】解：f ( x)=3
x
2−2| x|，
令t＝x2﹣2|x|，
则y＝3x，由复合函数的单调性可知f（x）的单调递减区间为函数t＝x2﹣2|x|的单调递减区间，
又函数t＝x2﹣2|x|为偶函数，
函数t＝x2﹣2|x|的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（0，1），
故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（0，1）．
故选：C．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性判断方法，属于基础题．
（多选）13．已知函数f ( x)= 2 x−1
x−1 ，则（ ）
A．f（x）在（﹣∞，1）∪（1，+∞）上单调递减
B．f（x）的值域为（﹣∞，2）∪（2，+∞）
C．f（x）的图象关于直线x＝1 对称
D．f（x）的图象关于点（1，2）对称
【考点】求函数的单调区间；复合函数的值域．
版权所有
【分析】结合反比例函数的性质及函数图象的变换检验各选项即可求解．
【解答】解：函数 f ( x)= 2 x−1
x−1 可以化为f ( x)=2+
1
x−1，
由于y=
1
x−1 在（﹣∞，1）和（1，+∞）上单调递减，
因此f（x）在这两个区间上也单调递减，A 错误；
由于y=
1
x−1 的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），因此f（x）的值域为（﹣∞，2）∪（2，+∞），B
正确；
f（x）可以看作是由g( x)= 1
x 向右平移1 个单位，向上平移2 个单位得到，
由于g（x）关于原点对称，因此f（x）关于点（1，2）对称，C 错误，D 正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了函数图象的变换及函数性质的应用，属于基础题．
14．函数y =
❑√7+6 x−x
2的单调递增区间为
[ ﹣
1 ，
3 ）
．
【考点】求函数的单调区间．
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【分析】根据复合函数的单调即可求解．
【解答】解：由题意，7+6x﹣x2≥0，解得﹣1≤x≤7，
即函数的定义域为[﹣1，7]，
令u＝7+6x﹣x2，函数图象开口向下，对称轴为x＝3，
所以函数u＝7+6x﹣x2在[﹣1，3）上单调递增，在（3，7]上单调递减，
又y= ❑√u在定义域上单调递增，
由复合函数的单调性可知函数y =
❑√7+6 x−x
2的单调递增区间为[﹣1，3）．
故答案为：[﹣1，3）．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
四．由函数的单调性求解函数或参数（共8 小题）
15．函数f（x）＝x2+ax﹣5 在（﹣1，+∞）上单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2]
B．（﹣∞，1]
C．[1，+∞）
D．[2，+∞）
【考点】由函数的单调性求解函数或参数．
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【分析】由二次函数的对称轴与区间的关系即可判断．
【解答】解：因为f（x）＝x2+ax﹣5 的图象是以x =−a
2为对称轴，开口向上的抛物线，
由题意可得−a
2 ≤−1，解得a≥2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，属于基础题．
16．已知函数f ( x)={
alnx ，x ≤1
1−4 a
x
+3，x＞1)
满足对任意的x1，x2∈R（x1≠x2），
f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
＞0恒成立，
则实数a 的取值范围为（ ）
A．（0，1]
B．[ 1
4 ，1]
C．( 1
4 ，1]
D．(0，1
4 )
【考点】由函数的单调性求解函数或参数．
版权所有
【分析】根据题意，分析可得函数f（x）在R 上递增，进而可得关于a 的不等式组，解可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f ( x)={
alnx ，x ≤1
1−4 a
x
+3，x＞1)
满足对任意的x1，x2∈R（x1≠x2），
f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
＞0恒成立，
即函数f（x）在R 上递增，
则有{
a＞0
1−4 a＜0
1−4 a+3≥0)，解可得1
4 ＜a≤1，即a 的取值范围为（1
4 ，1]．
故选：C．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
17．已知函数f ( x)={
2
x，−1＜x＜1
3
x−m，x ≥1 )单调递增，且f（m+2）＞f（2m﹣1），则实数m 的取值范围为（
）
A．（﹣2，1]
B．（﹣2，1）
C．（0，1]
D．（0，1）
【考点】由函数的单调性求解函数或参数．
版权所有
【分析】根据题意，分析函数的定义域，结合函数的单调性的定义和性质可得关于m 的不等式，解可
得答案．
【解答】解：根据题意，函数f ( x)={
2
x，−1＜x＜1
3
x−m，x ≥1 )，其定义域为（﹣1，+∞），
若f（x）单调递增，且f（m+2）＞f（2m﹣1），
则有{
2
1≤3
1−m
−1＜2m−1＜m+2)，解可得0＜m≤1，即m 的取值范围为（0，1]．
故选：C．
【点评】本题考查函数单调性的判断和应用，涉及分段函数的性质，属于基础题．
18．定义在R 上的函数f（x）满足f（0）＝0，f（x）＝2﹣f（3﹣x），f ( x
3 )= 1
2 f ( x)，且当0≤x1＜x2≤1
时，f（x1）≤f（x2），则f ( 1
666 )=（ ）
A．1
32
B．1
64
C．1
128
D．1
256
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；函数的值．
版权所有
【分析】根据题意，利用赋值法求出f（3）＝2 和f（3
2）＝1，结合递推关系可得f（1
729）＝f（1
486
）= 1
64 ，由此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，定义在R 上的函数f（x）满足f（0）＝0，f（x）＝2﹣f（3﹣x），
令x＝0，有f（0）＝2﹣f（3），则有f（3）＝2，
令x= 3
2，有f（3
2）＝2﹣f（3
2），则有f（3
2）＝1，
由于f（3）＝2，且f ( x
3 )= 1
2 f ( x)，
则f（1）= 1
2f（3）＝1，f（1
3）= 1
4 f（3）= 1
2，f（1
9）= 1
8f（3）= 1
4 ，
f（1
27 ）= 1
16f（3）= 1
8，f（1
81）= 1
32f（3）= 1
16，f（1
243）= 1
64 f（3）= 1
32，f（1
729）= 1
128f（3）
= 1
64 ，
同理，由于f（3
2）＝1，
则有f（1
2）= 1
2f（3
2）= 1
2，f（1
6 ）= 1
4 f（3
2）= 1
4 ，f（1
18）= 1
8f（3
2）= 1
8，
f（1
54 ）= 1
16f（3
2）= 1
16，f（1
162）= 1
32f（3
2）= 1
32，f（1
486）= 1
64 f（3
2）= 1
64 ，
当0≤x1＜x2≤1 时，f（x1）≤f（x2），则有f（1
729）≤f（1
666）≤f（1
486），
而f（1
729）＝f（1
486）= 1
64 ，
故f（1
666）= 1
64 ．
故选：B．
【点评】本题考查函数值的计算，涉及函数的递推关系，属于中档题．
19．已知函数f（x）定义域为（0，+∞），∀x1，x2∈（0，+∞），
x1f ( x2)−x2f ( x1)
x1−x2
＜0，且f（3）＝
6，f（a2+2a）＞2a2+4a，则实数a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
B．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
C．（﹣3，1）
D．（﹣3，﹣2）∪（0，1）
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；定义法求解函数的单调性．
版权所有
【分析】由题可得f ( x)
x
在（0 ，+∞）上单调递增，然后将f （a2+2a ）＞2a2+4a 化为
f (a
2+2a)
a
2+2a
＞f (3)
3
，由单调性结合定义域可得答案．
【解答】解：因为∀x1，x2∈（0，+∞），
x1f ( x2)−x2f ( x1)
x1−x2
＜0，
即
f ( x2)
x2
−f ( x1)
x1
x2−x1
＞0，
所以y= f ( x)
x
在（0，+∞）上单调递增．
由f（a2+2a）＞2a2+4a，
得f (a
2+2a)
a
2+2a
＞2= f (3)
3
，
则{
a
2+2a＞0
a
2+2a＞3)⇒a＜−3或a＞1．
故选：B．
【点评】本题考查了利用函数的单调性求参数的范围，考查了转化思想，属于中档题．
20．设函数f ( x)= x(1−
2
2
x+1
)，若a= f (ln 2
3 )，b= f (lg 4
9 )，c＝f（31.2），则（ ）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；函数的单调性．
版权所有
【分析】判断函数的奇偶性及单调性，利用对数的运算性质及指数幂的性质比较ln 3
2 ，ln 9
4 ，3
1.2的大
小即可求解．
【解答】解：根据题意，f ( x)= x(1−
2
2
x+1
)，其定义域为R，
f (−x)=−x(1−
2
2
−x+1
)= x( 2⋅2
x
2
x+1
−1)= x(1−
2
2
x+1
)= f ( x)，
所以函数f（x）为偶函数，
又当x＞0 时，函数y=1−
2
2
x+1
＞0，且在（0，+∞）上递增，
则f ( x)= x(1−
2
2
x+1
)在（0，+∞）上单调递增，
由偶函数性质可知，a= f (ln 2
3 )= f (ln 3
2 )，b= f (lg 4
9 )= f (lg 9
4 )，
又0＜lg 9
4 =2lg 3
2 =lo g❑√10
3
2 ＜ln 3
2 ＜1，31.2＞30＝1，
所以由函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，则有b＜a＜c．
故选：D．
【点评】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及对数的运算性质，属于基础题．
21．已知函数f ( x)= x
2+1
x
4
，若f（2a+1）＞f（3﹣a），则实数a 的取值范围是（ ）
A．( 2
3 ，+ ∞)
B．(−4，2
3 )
C．(−∞，−4)∪( 2
3 ，+∞)
D．(−4，−1
2 )∪(−1
2 ，2
3 )
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；函数的单调性．
版权所有
【分析】利用函数的奇偶性和单调性即可求解不等式．
【解答】解：易知函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
由于f (−x)= (−x)
2+1
(−x)
4
= x
2+1
x
4
= f ( x)，
所以f ( x)= x
2+1
x
4
是偶函数，
又因为f ( x)= x
2+1
x
4
= x
−2+ x
−4，
由当k＜0 时，y＝xk在（0，+∞）上是单调递减函数，
所以f（x）＝x﹣2+x﹣4在（0，+∞）上是单调递减函数，
所以函数在（﹣∞，0）上是单调增减函数，
则f（2a+1）＞f（3﹣a），可得|2a+1|＜|3﹣a|，
平方得：0＜（2a+1）2＜（3﹣a）2，
解得x∈(−4，−1
2 )∪(−1
2 ，2
3 )．
故选：D．
【点评】本题考查了利用偶函数的性质解不等式，属于中档题．
22．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且f (3)= 2
3，若对∀x1，x2∈
（0，+∞），且x1＜x2，都有
x1 x2[ f ( x1)−f ( x2)]
x2−x1
＜2，则关于x 的不等式xf ( x)−2
x
＞0的解集为（
）
A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
B．（﹣3，0）∪（3，+∞）
C．（﹣3，3）
D．（0，3）
【考点】由函数的单调性求解函数或参数；奇偶性与单调性的综合．
版权所有
【分析】根据题意，设g（x）= xf ( x)−2
x
，分析g（x）的奇偶性和单调性，由此原不等式等价于g
（x）＞0，则有{
g( x)＞g(3)
x＞0
)或{
g( x)＞g(−3)
x＜0
)，由此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设g（x）= xf ( x)−2
x
，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
g（﹣x）= −xf (−x)−2
−x
=−xf ( x)−2
x
，则g（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，
又由f (3)= 2
3，则g（3）= 3 f (3)−2
3
=0，
若对∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，都有
x1 x2[ f ( x1)−f ( x2)]
x2−x1
＜2，则有x1x2[f（x1）﹣f（x2）]＜2
（x2﹣x1），
变形可得x1x2[f（x1）﹣f（x2）]﹣2x2+2x1＜0，
即[x1f（x1）﹣2]x2﹣[x2f（x2）﹣2]x1＜0，
则有
x1f ( x1)−2
x1
−x2f ( x2)−2
x2
＜0，即g（x1）﹣g（x2）＜0，
即g（x）在（0，+∞）上为增函数，
又由g（x）为奇函数，则g（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，
不等式xf ( x)−2
x
＞0，即g（x）＞0，即{
g( x)＞g(3)
x＞0
)或{
g( x)＞g(−3)
x＜0
)，
则x＞3 或﹣3＜x＜0，
故不等式的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查函数单调性和奇偶性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题．
五．复合函数的单调性（共8 小题）
23．已知函数f ( x)=( 1
a )
−x
2+ax
（a＞0 且a≠1）在区间（2，+∞）上单调递增，则a 的取值范围为
（ ）
A．（1，4]
B．（1，4）
C．（1，2]
D．( 1
2 ，1)
【考点】复合函数的单调性．
版权所有
【分析】根据指数函数单调性及复合函数单调性性质分类讨论计算求解．
【解答】解：根据题意，设t＝﹣x2+ax，则y =( 1
a )
t
，
有二次函数的性质，t＝﹣x2+ax 在(−∞，a
2 )上单调递增，在( a
2 ，+ ∞)上单调递减，
若f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，
则必有a＞1 且a
2 ≤2，解可得1＜a≤4，
即a 的取值范围为（1，4]．
故选：A．
【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及指数函数的性质，属于基础题．
24．已知函数f ( x)=(a+1)
a x
2+ x−1（a＞﹣1 且a≠0）在区间[1，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围
是（ ）
A．(−1，−1
2 ]∪(0，+∞)
B．[−1
2 ，0)∪(0，+∞)
C．（0，+∞）
D．[1，+∞）
【考点】复合函数的单调性．
版权所有
【分析】利用复合函数单调，结合分段讨论外函数单调性，再确定内函数二次函数的单调性即可求解．
【解答】解：根据题意，函数f ( x)=(a+1)
a x
2+ x−1（a＞﹣1 且a≠0），
设t＝ax2+x﹣1，则y＝（a+1）t，
分2 种情况讨论：
①当﹣1＜a＜0 时，有0＜a+1＜1，y＝（a+1）t为减函数，
要使函数f ( x)=(a+1)
a x
2+ x−1在区间[1，+∞）上单调递增，
则满足二次函数t＝ax2+x﹣1 在区间[1，+∞）上单调递减，
即满足对称轴−1
2a ≤1，解得a≤−1
2，结合﹣1＜a＜0，可得−1＜a≤−1
2；
②当a＞0 时，有a+1＞1，y＝（a+1）t为增函数，
此时要使得函数f ( x)=(a+1)
a x
2+ x−1在区间[1，+∞）上单调递增，
则满足二次函数t＝ax2+x﹣1 在区间[1，+∞）上单调递增，
即满足对称轴−1
2a ≤1，解得a≥−1
2，结合a＞0，可得a＞0；
综上可得：−1＜a≤−1
2或a＞0，即a 的取值范围为（﹣1，−1
2]∪（0，+∞）．
故选：A．
【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及指数函数、二次函数的性质，属于基础题．
25．若函数f ( x)=a
❑√ax−3（a＞0 且a≠1）在区间（4，6）上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）
A．（1，+∞）
B．[ 3
4 ，1)
C．[ 1
2 ，3
4 ]
D．[ 1
2 ，1)
【考点】复合函数的单调性．
版权所有
【分析】根据题意，设t= ❑√ax−3，则y＝at，根据复合函数单调性可得关于a 的不等式组，解可得答案．
【解答】解：根据题意，设t= ❑√ax−3，则y＝at，
由于a＞0 且a≠1，则t= ❑√ax−3在其定义域上递增，
要使函数f ( x)=a
❑√ax−3（a＞0 且a≠1）在（4，6）上单调递减，
则{
0＜a＜1
4 a−3≥0)，解得3
4 ≤a＜1，即a 的取值范围为[3
4 ，1）．
故选：B．
【点评】本题考查复合函数的单调性，注意函数的定义域，属于基础题．
26．函数f（x）＝lg（x2﹣2x）的增区间为（ ）
A．（﹣∞，1）
B．（﹣∞，0）
C．（2，+∞）
D．（1，+∞）
【考点】复合函数的单调性．
版权所有
【分析】由对数式的真数大于0 求得函数的定义域，再求出定义域内二次函数的增区间得答案．
【解答】解：由x2﹣2x＞0，得x＜0 或x＞2，
∵对数函数y＝lgt 为增函数，
∴函数t＝x2﹣2x 的增区间即为f（x）的增区间，为（2，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，注意对数
函数的定义域是求解的前提，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．
27．若函数f ( x)=lo g 2
3
( x
3−a x
2+5 x +1)在区间（2，3）上单调递减，则a 的取值范围为（ ）
A．(−∞，17
4 ]
B．(−∞，19
4 ]
C．(−∞，17
4 )
D．(−∞，19
4 )
【考点】复合函数的单调性．
版权所有
【分析】根据复合函数单调性和函数定义域，判断构造函数的值域和单调性，根据函数导数与单调性的
关系，列出不等式，求出范围．
【解答】解：令t（x）＝x3﹣ax2+5x+1，
∵f（x）在（2，3）上单调递减，
由复合函数单调性得，t（x）＝x3﹣ax2+5x+1 在（2，3）上单调递增且大于0．
t′（x）＝3x2﹣2ax+5≥0 在（2，3）上恒成立且不恒为0，
即2a≤3 x + 5
x 在（2，3）上恒成立，即2a≤(3 x + 5
x )
min
：
y =3 x + 5
x 在（2，3）上单调递增，∴17
2 ＜y ＜32
3 ，
∴2a≤17
2 ，即a≤17
4 ．
∵t（x）在（2，3）上单调递增，∴t（2）＝19﹣4a≥0，解得a≤19
4 ；
a 的取值范围为(−∞，17
4 ]．
故选：A．
【点评】本题主要考查了复合函数单调性的应用，属于中档题．
28．已知函数f（x）＝loga（2﹣3ax）在区间（1，2）上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．a≥1
3且a≠1
B．0＜a≤1
3
C．2
3 ≤a＜1
D．0＜a≤2
3
【考点】复合函数的单调性．
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【分析】由已知利用逆向思维方法得到关于a 的不等式组，求解得答案．
【解答】解：由对数函数性质得a＞1 或0＜a＜1，
令u＝2﹣3ax，则f（x）是由y＝logau 和u＝2﹣3ax 构成的复合函数，
由一次函数性质得u＝2﹣3ax 单调递减，
要使函数f（x）＝loga（2﹣3ax）在区间（1，2）上单调递增，
则{
0＜a＜1
2−6a≥0)，解得0＜a≤1
3．
故选：B．
【点评】本题考查复合函数的单调性，考查化归与转化思想，是中档题．
29．已知函数f ( x)= log2( x
2+2 x)，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的定义域为R
B．f（x）的值域是[0，+∞）
C．f（x）是偶函数
D．f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣2）
【考点】复合函数的单调性；求对数函数及对数型复合函数的单调性．
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【分析】根据对数函数性质可判断AB；根据函数奇偶性定义可判断C；根据复合函数单调性可判断
D．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数f ( x)= log2( x
2+2 x)，则x2+2x＞0，解得x＜﹣2 或x＞0，
所以函数f（x）定义域为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞），故A 错误；
对于B，函数f ( x)= log2( x
2+2 x)，x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）时，则x2+2x＞0，函数f（x）的值
域是R，故B 错误；
对于C，因为函数f（x）定义域不关于原点对称，故函数f（x）不具有奇偶性，故C 错误；
对于D，令μ＝x2+2x，则f（μ）＝log2μ，
μ＝x2+2x 在区间（﹣∞，﹣2）上单调递减，而f（μ）＝log2μ 在定义域内单调递增，
所以f（x）在区间（﹣∞，﹣2）上单调递减，故D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及对数函数的定义域和值域，属于基础题．
30．已知函数f ( x)=e
−( x−1)
2
，记a= f (
❑√2
2 )，b= f (
❑√3
2 )，c = f (
❑√6
2 )，则（ ）
A．b＞c＞a
B．b＞a＞c
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
【考点】复合函数的单调性．
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【分析】结合二次函数、指数函数及复合函数的单调性，分析出函数y＝f（x）的单调区间及对称性，
并作出图象，结合图象，利用排除法求解即可．
【解答】解：因为f ( x)=e
−( x−1)
2
，x∈R，
令t＝﹣（x﹣1）2，则t≤0，
由二次函数的性质可知：
当x∈（﹣∞，1）时，t 单调递增；当x∈（1，+∞）时，t 单调递减；且对称轴为x＝1，
又因为y＝et在t∈（﹣∞，0]上单调递增，
由复合函数单调性可知f（x）在x∈（﹣∞，1）上单调递增，在x∈（1，+∞）上单调递减，
且f（x）≤1，关于x＝1 对称，
所以f（x）＝f（2﹣x），
作出函数y＝f（x）的图象，如图所示：
又因为
❑√2
2 ＜
❑√3
2 ＜1＜
❑√6
2 ，
所以f（
❑√2
2 ）＜f（
❑√3
2 ），
即有a＜b，故排除D；
又因为c＝f（
❑√6
2 ）＝f（2−
❑√6
2 ）＝f（4−❑√6
2
），
因为（❑√6+ ❑√2）2＝8+4❑√3＜8+4×2＝16．
所以❑√6+ ❑√2＜4，❑√2＜4−❑√6，
所以
❑√2
2 ＜4−❑√6
2
＜1，
所以f（
❑√2
2 ）＜f（4−❑√6
2
），
即a＜c，故排除B；
因为（❑√6+ ❑√3）2＝9+6❑√2＞9+6×1.4＞17＞16，
所以❑√6+ ❑√3＞4，
所以❑√3＞4−❑√6，
所以1＞
❑√3
2 ＞4−❑√6
2
，
所以f（
❑√3
2 ）＞f（4−❑√6
2
），
即b＞c，
综上，b＞c＞a．
故选：A．
【点评】本题考查了指数函数、二次函数的性质，考查了复合函数的单调性及数形结合思想，作出图象
是关键，属于中档题．
六．求函数的最值（共6 小题）
31．已知函数f（x）＝|log2x|，正实数m，n 满足m＜n，且f（m）＝f（n），若m+n= 5
2，则f（x）在区间
[m2，n]上的最大值为（ ）
A．2
B．5
2
C．1
D．1
2
【考点】求函数的最值；对数函数的图象．
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【分析】由对数函数的性质，建立方程可得参数的等量关系，从而求得参数值，根据对数函数的单调性，
可得答案．
【解答】解：根据题意作图如下：
由图可知由f（m）＝f（n），可得0＜m＜1＜n 且﹣log2m＝log2n，
解得log2m+log2n＝log2mn＝0，即1
m =n，①
由已知m+n= 5
2②，①②联立解方程组，解得{
m= 1
2
n=2)
，则区间[m2，n]即[ 1
4 ，2]，
由图易知函数f（x）在( 1
4 ，1)上单调递减，在（1，2）上单调递增，
因f ( 1
4 )=|lo g2 1
4 |=2，f（2）＝|log22|＝1，则函数f（x）在[ 1
4 ，2]上的最大值为2．
故选：A．
【点评】本题考查对数型函数在定区间最值，属于中档题．
32．已知max{a，b}表示a，b 中的最大数，则max{（x+2）2，x+2}的最小值为（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．2
【考点】求函数的最值．
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【分析】令（x+2）2＝x+2，求出函数的交点坐标，结合题意即可得出max{（x+2）2，x+2}的最小值．
【解答】解：令（x+2）2＝x+2，得x1＝﹣2，x2＝﹣1，
当x＜﹣2 或x＞﹣1 时，max{（x+2）2，x+2}＝（x+2）2，
当﹣2＜x＜﹣1 时，max{（x+2）2，x+2}＝x+2，
因为（x+2）2≥0，
所以当x＝﹣2 时，函数max{（x+2）2，x+2}有最小值为0．
故选：C．
【点评】本题考查了分段函数的应用问题，是基础题．
33．函数y =5 ❑√x−1+ ❑√10−2 x的最大值为（ ）
A．2❑√2
B．5+ ❑√6
C．10
D．6 ❑√3
【考点】求函数的最值．
版权所有
【分析】利用柯西不等式求解即可．
【解答】解：由柯西不等式可得，y2＝（5❑√x−1+ ❑√10−2 x）2＝（5❑√x−1+ ❑√2❑√5−x）2≤（52+2）
（x﹣1+5﹣x）＝108，
当且仅当5×❑√5−x = ❑√2❑√x−1，即x= 127
27 时，等号成立，
所以y≤❑√108=6❑√3，
即函数y =5 ❑√x−1+ ❑√10−2 x的最大值为6❑√3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了柯西不等式的应用，属于中档题．
34．已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，∀x∈（0，+∞），均有f ( x)⋅f (f ( x)+ 2
x )=1，则
函数y＝f（2x﹣4x）的最小值是（ ）
A．8
B．6
C．4
D．1
4
【考点】求函数的最值．
版权所有
【分析】记y＝f（x）+ 2
x ，由f ( x)⋅f (f ( x)+ 2
x )=1⇒f（f（y）+ 2
y )= f ( x)，利用函数单调性知f（y）
+ 2
y = x，结合f（x）f（y）＝1，首先求出f（x）的解析式，可得函数y = f (2
x−4
x)=
2
2
x−4
x ，再利用
配方法求最值即可求解．
【解答】解：记y＝f（x）+ 2
x ，
因为∀x∈（0，+∞），均有f ( x)⋅f (f ( x)+ 2
x )=1，
则f（y）f（f（y）+ 2
y )=1=1，且f（x）f（y）＝1，
⇒f（f（y）+ 2
y )= f ( x)=
1
f ( y) =f（x），
因为函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，所以f（y）+ 2
y = x，
所以 x
2f ( x)
xf ( x)+2 =
1
f ( x)，
可得，（xf（x）+1）（xf（x）﹣2）＝0，
则f（x）=−1
x 或f（x）= 2
x ，又函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，
所以有f（x）= 2
x 满足题设条件．
所以y = f (2
x−4
x)=
2
2
x−4
x =
2
−(2
x−1
2 )
2+ 1
4
，x＜0，
当2
x = 1
2，即x＝﹣1 时，函数y＝f（2x﹣4x）的最小值是8．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数解析式求解，还考查了函数最值求解，属于中档题．
35．已知函数f ( x)={
2
x+a⋅2
−x−2，x ≥1
x
2+2 x +a，x＜1 )．若f（x）的最小值为f（1），则a 的一个取值为
2
；
a 的最大值为
4
．
【考点】求函数的最值．
版权所有
【分析】先求出每一段条件下函数最小值，再综合函数在定义域内最小值求出a 的取值范围即得出所求．
【解答】解：因为函数f（x）的最小值f (1)=2+ a
2 −2= a
2，
下面分段求函数最小值．
当x＜1 时，
函数y＝x2+2x+a＝（x+1）2+a﹣1，其图象是抛物线，
开口向上，对称轴为x＝﹣1．所以函数y ＝x2+2x+a 在（﹣∞，﹣1）上单调递减，
在（﹣1，1）上单调递增，当x＝﹣1 时，函数f（x）有最小值
f（﹣1）＝a﹣1，因为函数f（x）在整个定义域内最小值a
2，
所以有a−1≥a
2，解得a≥2．
当x≥1 时，函数y＝2x+a•2﹣x﹣2=2
x+ a
2
x −2，
要求函数f（x）在定义域内取最小值f（1），
只需a＞0 且2
x+ a
2
x −2≥2❑√a−2（当且仅当2
x = a
2
x ，即x = log2
❑√a，等号成立）．
只需满足log2
❑√a≤1，解得0＜a≤4．综上有函数f（x）有最小值F（1），
a 的取值范围a∈[2，4]．
故答案为：2（答案不唯一，a∈[2，4]即可）；4．
【点评】本题考查含参分段函数最小值问题，属于中档题．
36．定义min{a，b}={
a，a≤b
b，a＞b)，已知f（x）＝﹣x2+2x，g( x)=−1
2 x +1，记函数M（x）＝min{f
（x），g（x）}，则M（x）的最大值是 3
4 ．
【考点】求函数的最值．
版权所有
【分析】先根据题意求出M（x）解析式，然后求出每一段上函数的值域，从而可求出M（x）的值域，
进而可求出M（x）的最大值．
【解答】解：由f（x）≤g（x），得−x
2+2 x ≤−1
2 x +1，化简得2x2﹣5x+2≥0，
解得x ≤1
2或x≥2，
所以M ( x)={
−x
2+2 x，x ≤1
2
x
或≥2
−1
2 x +1，1
2 ＜x＜2 )
，
M（x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1 在[2，+∞）上递减，所以M（x）≤M（2）＝﹣4+4＝0，
M（x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1 在(−∞，1
2 ]上递增，所以M ( x)≤M ( 1
2 )=−1
4 +1= 3
4 ，
M ( x)=−1
2 x +1在( 1
2 ，2)上递减，所以M (2)＜M ( x)＜M ( 1
2 )，得0＜M ( x)＜3
4 ，
综上，M ( x)≤3
4 ，
所以M（x）的最大值是3
4 ．
故答案为：3
4 ．
【点评】本题考查分段函数单调性以及值域，属于中档题．
七．由函数的最值求解函数或参数（共4 小题）
37．已知函数f ( x)={
2
x+a，x＜a
x
2+2ax，x ≥a)存在最小值，则a 的范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1]
B．(−∞，0]∪[ 1
3 ，+∞)
C．(−∞，−1]∪[ 1
3 ，+ ∞)
D．(−∞，−1]∪[0，1
3 ]
【考点】由函数的最值求解函数或参数．
版权所有
【分析】结合分段函数解析式分a＜0 和a≥0 两种情况讨论，再结合指数函数，二次函数的单调性求出
即可；
【解答】解：因为函数f ( x)={
2
x+a，x＜a
x
2+2ax，x ≥a)，
当x＜a 时，f（x）＝2x+a 为增函数，则有a＜f（x）＜2a+a；
当x≥a 时，f（x）＝x2+2ax＝（x+a）2﹣a2，
若a＜﹣a，即a＜0 时，f ( x)min= f (−a)=−a
2，
若a≥0，f（x）在[a，+∞）上为增函数，此时f ( x)min= f (a)=3a
2，
若f（x）存在最小值，必有{
a＜0
a≥−a
2)或{
a≥0
a≥3a
2)，
解得a≤﹣1 或0≤a≤1
3，
则a 的范围是(−∞，−1]∪[0，1
3 ]．
故选：D．
【点评】本题考查分段函数的应用，属于中档题．
38．若函数f ( x)=2
x
2−ax +3在区间（2，3）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，4]
B．（﹣∞，6]
C．[6，+∞）
D．[4，+∞）
【考点】由函数的最值求解函数或参数．
版权所有
【分析】采用换元法，结合指数函数、对数函数及复合函数的单调性求解即可．
【解答】解：令t＝x2﹣ax+3，
由二次函数的性质可知，t 在（﹣∞，a
2）上单调递减，在（a
2，+∞）上单调递增，
又因为y＝2t在定义域上单调递增，
又因为函数f ( x)=2
x
2−ax +3在区间（2，3）上单调递增，
由复合函数的单调性可知a
2 ≤2，
解得a≤4，
所以实数a 的取值范围为（﹣∞，4]．
故选：A．
【点评】本题考查了指数函数、二次函数的性质，考查了复合函数的单调性，属于基础题．
39．已知a＞0，a≠1，函数f ( x)={
a x
2−x，x ≤1
a
x−1−1，x＞1)有最小值，则a 的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）
B．（0，1）
C．( 1
2 ，1)∪(1，+∞)
D．( 1
2 ，1)
【考点】由函数的最值求解函数或参数．
版权所有
【分析】结合二次函数和指数函数性质分a＞1、1
2 ＜a＜1、0＜a＜1
2分别求解即可．
【解答】解：因为当x≤1 时，f（x）＝ax2﹣x，开口向上，对称轴为x= 1
2a ＞0，
当a＞1 时，f（x）＝ax﹣1﹣1 在（1，+∞）上单调递增，且1
2a ＜1，
从而得函数y＝f（x）在（﹣∞，1
2a）上单调递减，在（1
2a，1]和（1，+∞）上单调递增，
又因为f（1
2a）=−1
4 a，
要使函数有最小值，则必有−1
4 a ≤a1﹣1﹣1＝0，
解得a＞1；
当0＜a＜1 时，
当1
2a ＜1，即1
2 ＜a＜1 时，y＝f（x）在（﹣∞，1
2a）、（1，+∞）上单调递减，在（1
2a，1]上单调
递增，
此时函数没有最小值；
当1
2a ＞1，即0＜a＜1
2时，y＝f（x）在（﹣∞，1]、（1，+∞）上单调递减，
此时函数没有最小值；
综上，a＞1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数、指数函数的性质，考查了分类讨论思想，属于中档题．
40．已知函数f ( x)={
e
m−x，x ≤m，
lnx −1，x＞m，)若f（x）存在最小值，则实数m 的取值范围是（ ）
A．（0，+∞）
B．[1，+∞）
C．[e，+∞）
D．[e2，+∞）
【考点】由函数的最值求解函数或参数．
版权所有
【分析】分别求出函数在（﹣∞，m]和（m，+∞）上的值域，从而可得lnm﹣1≥1，求解即可．
【解答】解：由题意可知函数在（﹣∞，m]上单调递减，
此时f（x）≥em﹣m＝1；
当x＞m 时，函数在（m，+∞）上单调递增，
所以f（x）＞lnm﹣1；
又因为函数存在最小值，
所以lnm﹣1≥1，
解得m≥e2．
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数、对数函数的性质，属于基础题．
八．复合函数的最值（共5 小题）
41．函数f（x）＝cos2x﹣cosx 是（ ）
A．奇函数，且最小值为−9
8
B．偶函数，且最小值为−9
8
C．奇函数，且最小值为﹣2
D．偶函数，且最小值为﹣2
【考点】复合函数的最值．
版权所有
【分析】由余弦函数的性质及函数奇偶性的定义可判断函数为偶函数，利用换元法及二次函数的性质，
求出函数的值域，即可得答案．
【解答】解：因为f（x）＝cos2x﹣cosx，x∈R，
所以f（﹣x）＝cos（﹣2x）﹣cos（﹣x）＝cos2x﹣cosx＝f（x），
所以f（x）是R 上的偶函数，
又因为f（x）＝cos2x﹣cosx＝2cos2x﹣cosx﹣1，
令t＝cosx∈[﹣1，1]，
则f（x）＝h（t）＝2t2﹣t﹣1，
因为h（t）＝2t2﹣t﹣1 的开口向上，对称轴为t= 1
4 ，t∈[﹣1，1]，
所以h（t）∈[−9
8 ，2]，
即f（x）为偶函数，且最小值为−9
8．
故选：B．
【点评】本题考查了余弦函数、二次函数的性质，考查了函数的奇偶性，属于基础题．
42．若函数y=lo ga[(5a−2)x
2−4 ax +2]有最小值，则a 的取值范围为 （
0 ，
2
5）∪（
1 ，
2 ）
．
【考点】复合函数的最值．
版权所有
【分析】利用复合函数单调性之间的关系进行转化，利用对数函数和一元二次函数单调性和最值之间的
关系进行求解即可．
【解答】解：设t＝g（x）＝（5a﹣2）x2﹣4ax+2，
当a＞1 时，y＝logat 为增函数，
当a＞1 时，5a﹣2＞0，g（x）对应抛物线开口向上，要使函数y=lo ga[(5a−2)x
2−4 ax +2]有最小值，
则g（x）有最小值，且g（x）min＞0，即判别式Δ＝16a2﹣8（5a﹣2）＜0，得2a2﹣5a+2＜0，得1
2 ＜a
＜2，此时1＜a＜2，
当0＜a＜1 时，y＝logat 为减函数，
当5a﹣2＝0 时，即a= 2
5时，g（x）=−8
5x+2，此时y=lo ga[(5a−2)x
2−4 ax +2]无最小值，不满足
条件．
要使y=lo ga[(5a−2)x
2−4 ax +2]有最小值，
则g（x）有最大值，且g（x）max＞0，
则5a﹣2＜0 时，即0＜a＜2
5且判别式Δ＝16a2﹣8（5a﹣2）＞0，得2a2﹣5a+2＞0，得0＜a＜1
2或a＞
2，此时0＜a＜2
5，
综上0＜a＜2
5或1＜a＜2，
即实数a 的取值范围是（0，2
5）∪（1，2），
故答案为：（0，2
5）∪（1，2）．
【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据复合函数单调性之间的关系转化为一元二次函数最值问题
是解决本题的关键，是中档题．
43．函数f ( x)=lg( x
2−2 x + a
4 )没有最小值，则a 的取值范围是 （﹣∞，
4]
．
【考点】复合函数的最值．
版权所有
【分析】设t＝x2﹣2x+ a
4 ，结合二次函数、对数函数的性质求解即可．
【解答】解：设t＝x2﹣2x+ a
4 ，
因为y＝lgt 在定义域上为单调递增函数，
又因为函数f ( x)=lg( x
2−2 x + a
4 )没有最小值，
所以t＝x2﹣2x+ a
4 能取遍所有正数，
所以Δ＝4﹣a≥0，
解得a≤4．
故答案为：（﹣∞，4]．
【点评】本题考查了二次函数、对数函数的性质，考查了复合函数的值域，属于中档题．
44．已知函数f（x）＝（log2x）2﹣alog2x2，x∈[1
2，4]．
（1）当a＝1 时，求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）的最小值为﹣2，求实数a 的值．
【考点】复合函数的最值．
版权所有
【分析】（1）利用换元法将函数转化为二次函数进行求值域；
（2）对换元后的二次函数的对称轴位置进行讨论，根据最值表达式求出参数a 的值．
【解答】解：（1）f（x）＝（log2x）2﹣alog2x2＝（log2x）2﹣2alog2x，x∈[1
2，4]，
令t＝log2x，x∈[1
2，4]，则f（x）化为y＝t2﹣2at，t∈[﹣1，2]，
当a＝1 时，y＝t2﹣2t，t∈[﹣1，2]，
对称轴为t＝1，所以y＝t2﹣2t 在[﹣1，1]上递减，在[1，2]递增，
则f（x）min＝ymin＝﹣1，f（x）max＝ymax＝3，
所以函数f（x）的值域为[﹣1，3]；
（2）由（1），令t＝log2x，x∈[1
2，4]，
f（x）化为y＝t2﹣2at，t∈[﹣1，2]，对称轴为t＝a，
若a＜﹣1，则y＝t2﹣2at 在[﹣1，2]递增，ymin＝2a+1＝﹣2，得a=−3
2，符合题意；
若﹣1≤a≤2，则y＝t2﹣2at 在[﹣1，a]上递减，在[a，2]递增，ymin＝﹣a2＝﹣2，得a= ❑√2（−❑√2舍
去），符合题意；
若a＞2，则y＝t2﹣2at 在[﹣1，2]上递减，ymin＝4﹣4a＝﹣2，得a= 3
2，与a＞2 矛盾，舍去；
综上，a=−3
2或a= ❑√2．
【点评】本题主要考查换元法求函数的值域和根据函数最值求参数的值，属于中档题．
45．设函数f ( x)= e
x−e
−x
2
，g( x)= e
x+e
−x
2
．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并讨论函数f（x）的单调性（不需证明单调性）；
（2）求证：g（2x）＝[g（x）]2+[f（x）]2；
（3）若h（x）＝22x﹣f（ln4x）+2tf（ln2x）在区间[﹣1，1]上的最小值为−7
8，求t 的值．
【考点】复合函数的最值；奇函数偶函数的判断；定义法求解函数的单调性．
版权所有
【分析】（1）利用奇偶函数的定义证明奇偶性，利用单调性的性质判断f（x）的单调性；
（2）根据指数运算化简即可证明；
（3）令m＝2x﹣2﹣x，利用换元转化为一元二次函数轴动区间定求最值的问题进行求解．
【解答】解：（1）由题意可知，f（x）的定义域为R，定义域关于原点对称，
又f (−x)= e
−x−e
x
2
=−f ( x)，所以f（x）为奇函数；
因为y＝ex在（﹣∞，+∞）上单调递增，y＝﹣e﹣x在（﹣∞，+∞）上单调递增，
所以，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；
（2 ）∵[ g( x)]
2+[ f ( x)]
2=( e
x+e
−x
2
)
2
+( e
x−e
−x
2
)
2
= e
2 x+e
−2 x+2
4
+ e
2 x+e
−2 x−2
4
= e
2 x+e
−2 x
2
=g
（2x），
∴g（2x）＝[g（x）]2+[f（x）]2，
（3）由ℎ( x)=2
2 x−f (ln 4
x)+2t ⋅f (ln 2
x)=2
2 x−4
x−4
−x
2
+2t ⋅2
x−2
−x
2
= 4
x+ 4
−x
2
+2t ⋅2
x−2
−x
2
，
令m＝2x﹣2﹣x，由x∈[﹣1，1]，则m∈[−3
2 ，3
2 ]，
又ℎ( x)= (2
x−2
−x)
2+2
2
+2t ⋅2
x−2
−x
2
，
则令H (m)= m
2+2
2
+2t ⋅m
2 = 1
2 m
2+t ⋅m+1，
对称轴m=−
t
2× 1
2
=−t
，
当−3
2 ≤−t ≤3
2，即−3
2 ≤t ≤3
2时，
H (m)min= H (−t )= 1
2 (−t )
2+t ×(−t )+1=−1
2 t
2+1=−7
8，
解得t =±
❑√15
2
，又−3
2 ≤t ≤3
2，因此不符合题意，舍去，
当−t ＜−3
2，即t ＞3
2时，
H (m)min=(−3
2 )= 1
2 ×(−3
2 )
2
+t ⋅(−3
2 )+1=−3
2 t + 17
8 =−7
8，
解得t＝2；
当−t ＞3
2，即t ＜−3
2时，
H (m)min= H ( 3
2 )= 1
2 ×( 3
2 )
2
+t × 3
2 +1= 3
2 t + 17
8 =−7
8，
解得t＝﹣2
综上知，t＝±2．
【点评】本题考查函数的单调性及分类讨论的思想，属于中档题．
一、单选题
1．已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
，若
对
均有
成立，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
的定义域为R，对任意实数x，y 都有
，当
时，
，
且
，则关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．
，其中
，若
，则
得取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．命题
，命题
：函数
在
上单调，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知
的值域为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知定义在R 上的函数
满足
，当
时，
.若
，
课后针对训练
，则t 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．若函数
的最小值为
，则实数
的取值范围为 .
10．函数
的单调递增区间为 ．
11．（1）函数
的定义域是 ；
（2）函数
的单调递增区间为 ．
12．若函数
在区间
上是增函数，则实数
的取值范围为 ．
13．已知函数
存在最小值，则
的取值范围是 .
14．已知
，函数
，若
，使得关于
的不等式
成立，则实数的取值范围是 ．
三、解答题
15．已知
定义在
上，且
，当
时，
．
(1)求证：当
时，
；
(2)求证：
在
上单调递减．
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
A
B
A
D
D
1．D
【分析】分段求函数值域，根据原函数值域为
，求实数
的取值范围.
【详解】若
，在
上，函数
单调递增，所以
；
此时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，无最大值，所以
；
因为函数
的值域为
，所以
，结合
得
.
若
，则
的值域为
；
若
，在
上，函数
单调递减，所以
（
）；
在
上，函数
单调递减，在
上单调递增，无最大值，所以
；
所以函数
的值域不可能为
；
若
，则函数在
上，函数
单调递减，所以
（
）；
在
上，函数
单调递增，
，
此时函数
的值域不可能为
.
综上可知：当
时，函数
的值域为
.
故选：D
2．B
【分析】分析可知，
，可得出
对
恒成立，令
，由题意可得出
，即可求得实数
的取值范围.
【详解】因为函数
，则函数
在
上为增函数，
因为
对
均有
成立，
则
，即
对
恒成立，
令
，则
，解得
，
因此，实数
的取值范围是
.
故选：B.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1）
，
；
（2）
，
；
（3）
，
；
（4）
，
.
3．A
【分析】根据题意利用定义证明函数在R 上单调递增，继而转化不等式，求解即可.
【详解】任取
，
从而
,
因为
，所以
，
所以
，
则
在R 上单调递增．
不等式
等价于不等式
，
即
．
因为
在R 上单调递增，
所以
，解得
．
故选：A.
4．A
【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得.
【详解】由
，故
在
上单调递增，
由
，有
，即
.
故选：A.
5．B
【分析】画出函数图像，结合对称性构造不等式即可求解；
【详解】
画出函数
的图像，
当
时，
，
,
即
，
同理：当
时，也可得
，
所以
的图像的图像关于
对称；
所以
等价于
，
即
，
解得：
或
，
又
，
所以
得取值范围是
，
故选：B
6．A
【分析】由命题
求出
的取值范围，再判断充分性和必要性即可.
【详解】设
，则
可化为
．
充分性：当
时，函数
在
上单调递减，
在
上单调递减，且
，所
以
在
上单调递增，因此充分性成立．
必要性：当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递减，且
，所以
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，
在
上单调递减，且
在
上恒
成立，所以
，则
，此时函数
在
上单调递减．
综上可知，当函数
在
上单调时，
或
，因此必要性不
成立．所以
是
的充分不必要条件．
故选：A．
【点睛】易错点点睛：本题以含有参数的对数型函数的单调性为背景，考查充分条件与必要条件的判断，
体会函数思想、分类讨论思想的应用．先考虑充分性，再考虑命题
为真命题时，参数
的取值范围，对
参数
进行分类讨论，同时不要忘记考虑真数大于0 这一情况，这是本题的易错点.
7．D
【分析】分别讨论
，
，
时，由分段函数的定义域，可求出其值域范围，根据集合的子集
解不等式即可求解.
【详解】当
时，由指数函数的单调性得到
取值范围为
，此时
不成立，
故舍去；
当
时，
，若
时，
，
若
时 ，
，当且仅当
时，等号成立；
此时
当
时，若
时，
单调递减，所以
，
若
时 ，
，当且仅当
时，等号成立；
即
解之可得
，
综上可知
.
故选：D
8．D
【分析】根据题意可得当
时，
的单调性和最值，进而结合
以及恒成立问题
分析求解.
【详解】由题意可知：当
时，
，
可知
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
的最小值为
；
当
时，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
.
令
，解得
或
，
因为
，
，所以
，
故选：D.
【点睛】方法点睛：函数、方程与不等式相互转化的应用
（1）函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助．
（2）解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将
问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．
9．
【分析】根据分段函数解析式由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等
式即可得出结果.
【详解】当
时，
，因为
的图象关于
对称，
若最小值为
，可知
，即可得
；
又当
时，
，当且仅当
时等号成立；
若最小值为
可得
，即
，解得
；
综上可知，实数
的取值范围为
.
故答案为：
10．
，
【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得.
【详解】令
，解得
且
，
所以
的定义域为
，
又
是一个复合函数，它由
与
复合而成．
由下表可知，
的单调递增区间为
，
．
单调递减
单调递减
单调递增
单调递减
单调递减
单调递增
单调递增
单调递减
单调递减
单调递增
单调递减
单调递减
故答案为：
，
11．
【分析】（1）根据函数有意义求解即可；
（2）先求出函数的定义域，再结合二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）由
，则
，
即
，解得
，
所以函数
的定义域是
．
（2）由
，则
解得
或
，
所以
的定义域为
，
而二次函数
开口向上，对称轴为
，
从而函数
的单调递增区间为
．
故答案为：
；
.
12．
【分析】利用单调性的定义来进行判断，结合分离参数，即可求出参数范围.
【详解】 对任意
，都有
，
即
成立，所以
，即实数
的取值范围为
．
故答案为：
13．
【分析】分
、
、
三种情况讨论，分别说明函数的最小值，即可求出参数的取值范围.
【详解】当
时，
在
上单调递增，
且当
时
，显然
不存在最小值，故舍去；
当
时，
，则当
时
，
所以
的最小值为
，符合题意；
当
时，当
时
，所以
在
上单调递减，在
上单调递
增，
，
当
时
，则
在
上单调递减，
要使函数存在最小值，则
，解得
，此时
；
综上可得
的取值范围是
.
故答案为：
14．
【分析】首先作出
的图象，即可求出
在
的取值范围，依题意可得
，结合图
象可得
的解集，即可得解.
【详解】因为
，则定义域为
，
所以
的图象是取
与
图象位于下方的部分，
作出
的图象如下所示（实线部分）：
当
时
，显然
在
上单调递减，且
；
因为
，使得关于
的不等式
成立，
所以
，令
，解得
，
结合图象可得
的解集为
或
，
即实数的取值范围是
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出
的图象，结合图象得到
的解集.
15．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据函数满足的表达式及其函数值，由
并结合不等式性质可证明；
（2）利用函数单调性定义证明即可.
【详解】（1）由题可知
，
由
，得
，
而
，当
时，
，
从而
，即
．
另解：
，
．
（2）对于任意的
，
，
由于
，所以有
，
故
，
即
在
上单调递减．
