文档文本内容
第 04 讲 一元二次函数（方程，不等式）
(精讲+精练基础）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）
高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题
角度一： 上恒成立（优选 法）
角度二： 上有解（优选 法）
角度三： 上恒成立（优选分离变量法）
角度四： 上有解（优选分离变量法）
角度五：已知参数 ，求 取值范围（优选变更主元法）
高频考点五：一元二次不等式的应用
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 04 讲 一元二次函数（方程，不等式）（精练基础）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、二次函数（1）形式：形如 的函数叫做二次函数.
（2）特点：
①函数 的图象与 轴交点的横坐标是方程 的实根.
②当 且 ( )时，恒有 ( )；当 且 ( )时，恒有 (
).
2、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
3. 或 型不等式的解集
解集
不等式
4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
二次函数
的图象
有两相等实数根
一元二次方程 有两相异实数根 ，
没有实数根
的根
( )
一元二次不等式
的解集
一元二次不等式
的解集5、分式不等式解法
（1）
（2）
（3）
（4）
6、单绝对值不等式
（1） （2）
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（多选）（2022·山东·聊城二中高三开学考试）命题“ ， ”为真命题的充分不必要
条件可以是（ ）
A．a>4 B． C． D．
2．（2022·山西运城·高一期末）不等式 的解集为 ，则 的取值范围是_________.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知关于 的不等式 的解集是 或 ，则 的
值是___________.
4．（2021·北京市育英中学高一期中）已知关于 的不等式 的解集为 ，则
不等式 的解集为______．
5．（2022·四川·射洪中学高一阶段练习）解不等式：
(1) ；(2) .
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）
例题1．（2022·陕西西安·高二期末（文））求下列不等式的解集：
(1) ；(2) .例题2．（2022·湖南·高一课时练习）解不等式：
(1) ；(2) ．
例题3．（2022·北京市怀柔区教科研中心高一期末）解下列关于 的不等式；
(1) ；(2) .
题型归类练
1．（2022·广西·高二期末（文））解下列不等式：
(1) ；(2) .
2．（2022·湖南·高一课时练习）解下列不等式：
(1) ；(2) ；(3) ；
(4) ；(5) ；(6) ．
3．（2022·湖南·高一课时练习）解不等式：(1) ；(2) ．
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）
一元二次不等式解法（含参问题）谈论三原则：
①最高项系数含参，从参数等于0开始讨论；
如： ，最高项系数为 讨论时，从 开始讨论.
②两根大小不确定，从两根相等开始讨论；
如 两根分别为： ， ，讨论时从 开始讨论
③根是否在定义域内：
如 此时两根 ， ，讨论时注意 （舍去）
例题1．（2022·全国·高三专题练习） ， ．解关于x的不等式： ．
例题2．（2022·新疆克孜勒苏·高一期中）若 ， .
求关于 的不等式 的解集.
题型归类练
1．（2022·河南安阳·高一期末（理））已知函数 ， .求关于 的不等式 的
解集.
2．（2022·全国·高三专题练习）解关于 的不等式高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系
例题1．（2022·全国·高一期末）关于x的不等式 的解集为 ，则不等式
的解集为___________.
例题2．（2022·北京西城·高一期末）若不等式 的解集为 ，则
______， ______．
题型归类练
1．（2022·四川·射洪中学高一阶段练习）已知不等式 的解集为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一）不等式 的解集是 或 ，则 的值是（ ）
A．14 B．0 C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习（理））若关于 的不等式 的解集为 或 ，则实数 的
值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·云南·会泽县实验高级中学校高一阶段练习）若不等式 的解集为 ，则
________．
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题
角度一： 上恒成立（优选 法）
二次型+ （范围）优选 法（注意最高项系数含参数，从0开始讨论）
例题1．（2022·上海·格致中学高一期末）若关于 的不等式 对一切实数 恒成立，
则实数 的取值范围是___________.
例题2．（2022·上海·高三专题练习）当 为何值时，不等式 ，对一切实数
都成立．
题型归类练
1．（2022·湖南·高一课时练习）若关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则实数 的取值范
围是（ ）A． 或 B．
C． 或 D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式 的解集为 则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一期末）不等式 的解集为R，则a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）若不等式 对一切实数 都成立，则 的
取值范围为________.
角度二： 上有解（优选 法）
二次型+ （范围）优选 法（注意最高项系数含参数，从0开始讨论）
例题1．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）已知关于 的不等式 在
上有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．
例题2．（2022·湖南·邵阳市第二中学高一阶段练习）不等式 的解集非空的一个必要而不
充分条件是
A． B． C． D．
题型归类练
1．（2022·重庆市渝北中学校高一阶段练习）已知命题“ ， ”是真命题，则实数 的取
值范围为___________.
2．（2022·广西玉林·高二期中（理））已知命题“ ，使 ”是真命题，则实数a
的取值范围是___________.
3．（2022·新疆·皮山县高级中学高一阶段练习）若关于 的不等式 有解，则实数 的取值范
围为________.
角度三： 上恒成立（优选分离变量法）例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知命题 ，若 为真命题，则 的取值
范围为___________(结果用区间表示).
例题2．（2022·全国·高三专题练习）对 ，若不等式 恒成立，则实数a的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，对任意的 都有 ，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）若 ，关于 的不等式 恒成立，则实数 的最大值是
______．
3．（2022·江苏·高一单元测试）已知函数 ，若 时， 恒成立，则实数a
的取值范围是_________．
4．（2022·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）若“ ， ”为真命题，则实数a的
取值范围为___________.
角度四： 上有解（优选分离变量法）
例题1．（2022·全国·高三专题练习）若关于 的不等式 在区间(1，4)内有解，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·湖北·沙市中学高一期中）已知关于 的不等式 在 上有解，则实数
的取值范围是
A． B． C． D．
题型归类练
1．（2022·上海·高三专题练习）若关于 的不等式 在 内有解，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）若关于 的不等式 在区间 上有解，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）若不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）不等式 在区间 上有解，则a的取值范围是________．
角度五：已知参数 ，求 取值范围（优选变更主元法）
例题1．（2022·全国·高三专题练习）若不等式 对满足 的所有 都成立，则
的取值范围是_________.
例题2．（2022·全国·高三专题练习（文））对于 的任意 ，不等式 恒
成立，则 的取值范围是________________．
题型归类练
1．（2020·江苏·高一单元测试）若函数 ，且 ， 恒成立，则
实数 的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）对于任意 函数 的值恒大于零,那么
的取值范围是( )
A．(1,3) B．(-∞,1)∪(3,+∞)
C．(1,2) D．(3,+∞)
高频考点五：一元二次不等式的应用
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售
100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要
保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为
A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间
例题2．（2022·上海金山·高一期末）某科技公司研究表明：该公司的市场占有率 与每年研发经费
（单位：亿元）满足关系式： ，其中 为实常数.
(1)若 时，该公司市场占有率不低于 ，则每年研发经费至少需要多少亿元？(2)若 时，求该公司市场占有率的最大值.
题型归类练
1．（2022·湖南·高一课时练习）一家汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩
托车数量 （辆）与创收价值 （元）之间有如下关系式： ．若这家制造厂希望在一个星
期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内生产的摩托车数量 应满足什么条件？
2．（2022·河南·郑州市第七中学高二期末（理））经观测，某公路段在某时段内的车流量 （千辆/小时）
与汽车的平均速度 （千米/小时）之间有函数关系： ．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度 为多少时车流量 最大？最大车流量为多少？（精确到 ）
(2)为保证在该时段内车流量至少为 千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
第四部分：高考真题感悟
1．（2020·山东·高考真题）已知二次函数 的图像如图所示，则不等式 的解集
是（ ）
A． B．
B．C． D．
2．（2019·天津·高考真题（文）） 设 ，使不等式 成立的 的取值范围为__________.第五部分：第 04 讲 一元二次函数（方程，不等式）
（精练基础）
一、单选题
1．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）一元二次不等式 对一切实数 恒成立，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）若不等式 对一切实数 均成立，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）“ ”是“ ， ”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022·全国·高一期末）若 的解集是 ，则 等于（ ）
A．-14 B．-6 C．6 D．14
6．（2022·广东广州·高一期末）关于 的不等式 的解集为 ， ， ，则关于
的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·广西河池·高二期末（理））已知函数 满足对任意 ，恒有
，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·江苏·高三专题练习）已知关于 的不等式 在区间 上有解，则实数 的取值范围
为（ ）A． B． C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，若对于 ， 恒成立，则实
数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2022·全国·高三专题练习）已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝
(－1，n)，则m＝________，n＝________.
11．（2022·江西·模拟预测（理））已知命题p：“ ， ”为真命题，则实数a的最大值
是___．
12．（2022·湖南·高一课时练习）若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是__________．
三、解答题
13．（2022·江苏南通·高二期中）不等式 对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，集合
(1)求集合A；
(2)若___________，求实数m的取值范围．
在① ；②“ ”是“ ”的充分条件；③“ ”是“ ”的必要条件这三个条
件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答．
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一种情况解答给分
14．（2022·湖南·长沙市明德中学高一期中）已知函数 ， 的解集为 ．(1)求 的解析式；
(2)当 时，求 的最大值．
