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第 01 讲 数列的概念与简单表示法 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：利用 与 的关系求通项公式
角度 1：利用 替换
角度 2：利用 替换
角度 3：作差法求通项
题型二：利用递推关系求通项公式
角度 1：累加法
角度 2：累乘法
角度 3：构造法
角度 4：倒数法
题型三：数列的性质及其应用
角度 1：数列的周期性
角度 2：数列的单调性
角度 3：数列的最值
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、数列的有关概念
概念 含义
数列 按照一定顺序排列的一列数数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列 的第 项
如果数列 的第 项 与序号 之间的关系能用公式
通项公式
表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和 数列 中， 叫做数列的前 项和
2、数列的表示方法
（1）列表法
列出表格来表示序号与项的关系．
（2）图象法
数列的图象是一系列孤立的点 ．
（3）公式法
①通项公式法：把数列的通项用公式表示的方法，如 ．
②递推公式法：使用初始值 和 或 ， 和 来表示数列的方法．
3、 与 的关系
若数列 的前 项和为 ，则 ．
4、数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
项数
无穷数列 项数无限
递增数列
项与项间
的大小关 递减数列 其中
系
常数列
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：利用 与 的关系求通项公式
角度 1：利用 替换
典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和是 ，且 ，求 的通项公
式．
【答案】 .
【详解】当 时， ；
当 时， ，显然 满足上式，
∴ ；
例题2．（2022·河北衡水中学模拟预测）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
【答案】(1) ；
当 时， ，故 ；
当 时， ，故 ，
故 ，则 ，又 满足 ，
∴ ， .
例题3．（2022·陕西·渭南市三贤中学高二阶段练习（理））已知数列 的前 项和为 ，
求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
【答案】是等差数列，首项和公差分别是 和2.
【详解】解: ①当 时,
②当 时,由 得
又 ，满足 ，
所以此数列的通项公式为 .
因为 ，
所以此数列是首项为 ,公差为2的等差数列.例题4．（2022·四川凉山·高二期末（理））已知数列 的前 项和 ．
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
解：因为 ，当 时， ，
当 时， ，所以 ，
当 时， 也成立，所以 ．
题型归类练
1．（2022·江西·二模（文））已知等比数列 的前n项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
由 得
相减得
当 时， 也满足上式，
∴ ．
2．（2022·四川·阆中中学高二期中（文））设数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1) ；
当 时， ；
当 时， ，
；
经检验： 满足 ；
综上所述： .
3．（2022·江苏南通·高二开学考试）已知数列 满足 ，
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
解：因为 ， ，当 时 ，即 ，所以 ，当 时，所以 ，经检验当 时 满足条件，故 ；
4．（2022·湖北·荆州中学高二期末）已知数列 的前 项和 ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
因为 ，故当 时， ，
两式相减得 ，
又由题设可得 ，
从而 的通项公式为： ；
角度 2：利用 替换
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）设数列 的前 项和为 ， ， . 求
证：数列 是等差数列.
【答案】证明见解析.
【详解】 ， ，则 ，所以 ，
有 ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列.
例题2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且满足
，
(1)求 和
【答案】(1) ，
时， ， 时， ，
所以 ，所以数列 是以 为首项，公差为 的等差数列．所以 ，即 ，
当 时， ，
当 时， ，不满足上式，
所以 ，
例题3．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知正项数列 满足 ，前 项和 满足
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1) ；
解：∵
∴
∴ ，∴ 是以1为首项，1为公差的等差数数列，
∴ ，即 ，
当 时， ，
当 时， 也成立，
∴ .
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ( )，
.
(1)求 ；
(2)求数列 的通项公式．
【答案】(1)
(2)
（1）由题意可得, 当 时， ,
当 时， , 即 , 可得 ,
即数列 是首项为2 ,公差为2的等差数列 , , 可得 .
经检验， 时， 满足上式，
故 .
（2）由(1)可得，当 时， ,
当 时， ,不符合 ，
综上所述, 结论是:
.
题型归类练
1．（2022·云南省玉溪第一中学高三开学考试）数列 的前 项和为 ，且
.
(1)证明：数列 为等差数列；
【答案】(1)证明见解析
由 ，
得 ，
，且 ，
故数列 为以2位首项，2为公差的等差数列.
2．（2022·湖南永州·高二期末）已知数列 的前n项和 ，满足 ， .
(1)求证：数列 是等差数列；【答案】(1)证明见解析
证明：∵
∴
由已知易得 ，
∴
∴数列 是首项 ，公差为 的等差数列；
3．（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）已知数列 的前n项和为 满足
且 .
(1)求数列 的前n项和 及通项公式 ；
【答案】(1) ， ；
依题意， ， ，而 ，因此 是以1为首项，1为公差的等差数列，
则 ，即有 ，
当 时， ， 满足上式，
所以 .
角度 3：作差法求通项
典型例题
例题1．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））在数列 中， ．
(1)求 的通项公式；
【答案】(1) ；
因为 ，
所以当 时， ，
所以 ，
所以 ，
当 时， 满足上式，
所以 ；例题2．（2022·江苏南京·高二期末）已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
由已知 ，①
当 时， ，②
① ② ，
而当 时， ， 也满足上式，
题型归类练
1．（2022·上海市延安中学高二期末）设数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
【答案】(1)
因为 ，①
当 ，
当 ，②
①减②得： ，
所以 .
满足 ，所以
2．（2022·全国·高三专题练习）设数列 满足 ，求 的通项公式．
【答案】 .
【详解】数列 满足 ，
当 时，得 ，
时，由 可得 ，
两式相减得： ，∴ ，
当 时， ，上式也成立.
∴ ；
题型二：利用递推关系求通项公式
角度 1：累加法
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式.
【答案】
【详解】因为数列 满足 ， ，
所以当 时，
又 也满足上式，所以
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知数列 ， .以后各项由 给出.
(1)写出数列 的前 项；
(2)求数列 的通项公式.
【答案】(1)答案见解析
(2)
（1） ；
（2）故
，
故 ，
当 时，此通项公式也成立.
故
题型归类练
1．（2022·浙江·高三专题练习）（1）已知数列{an}满足a＝－1，an ＝an＋ ，n∈N*，求通项公式
1 ＋1
an；
【答案】（1）an＝－ (n∈N*)；
【详解】（1）∵an －an＝ ，
＋1
∴a－a＝ ；
2 1
a－a＝ ；
3 2
a－a＝ ；
4 3
…
an－an ＝ .
－1
以上各式累加得，an－a＝ ＋ ＋…＋
1
＝ ＋ ＋…＋ ＝1－ .
∴an＋1＝1－ ，∴an＝－ (n≥2)．
又∵n＝1时，a＝－1，符合上式，
1
∴an＝－ (n∈N*)．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知数列 满足： .
（1）求 的通项公式；
【答案】（1） ；
【详解】（1）由已知得 ，
当n≥2时，
又 ，也满足上式，故
角度 2：累乘法
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{ }满足： ， ， ，且其前 项
和为 ，求 与 .
【答案】 ， .
【详解】由 得 ，
当n 2时，
，
又 也满足上式，故 (n ).
∴
相减得，∴ ，
例题2．（2022·全国·高二课时练习）若数列 满足 ，且 ，求数列
的通项公式．
【答案】
【详解】由 ，得
，所以当 时， ．
又 ，
所以 ，
从而 ，
因为当 时也满足上式，
所以数列 的通项公式为 ．
题型归类练
1．（2022·四川·遂宁中学高一期末（理））已知数列 满足： ， ．
(1)求数列 的通项公式；
【答案】(1)
(1)解：由题意得 ，
当 时， ，
又 也满足上式，故 ；
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式.
【答案】 .
【详解】因为 ，所以 ，则
当 时， 满足上式，所以 .角度 3：构造法
典型例题
例题1．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习）数列 满足 .
(1)若 ，求证： 为等比数列；
(2)求 的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
（1）由于 ，
所以 ，
即 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）由（1）得 ，
所以 .
例题2．（2022·全国·模拟预测（文））已知数列{ n}的前 项和是
(1)求证：数列 是等比数列；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(1)证明：由 可得
所以 ，
因为 ，所以可得 ，
所以 ，
故数列 是首项为1，公比为2的对比数列.
题型归类练
1．（2022·浙江·温岭中学高二期末）已知数列 满足 .(1)证明 为等比数列，并求 的通项公式；
【答案】(1)证明见解析，
(1)证明：因为 ，
所以 ，
又 ，
所以数列 是以2为首项，3为公比的等比数列，
则 ，
所以 ；
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的首项 ，且满足 （ ），求数列
的通项公式.
【答案】
【详解】由 ，得 ，
因为 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 .
角度 4：倒数法
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则数列
__________
【答案】
【详解】解：由 两边取倒数可得 ，即
所以数列 是等差数列，且首项为 ，公差为 ，所以 ，
所以 ；
故答案为：
例题2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）在数列 中，若 ，则
________.【答案】
【详解】取倒数得: ，
所以数列 是首项为1，公差为2的等差数列，
所以 ，所以 .
故答案为：
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 ，满足 ， .
(1)证明：数列 为等差数列.
(2)求 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【详解】(1)证明:
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
即 是首项为 ，公差为 的等差数列．
(2)由上述可知 ，
∴ .
2．（2022·北京市第三十五中学高二阶段练习）若数列 满足： ， 则第三项
_______，它的通项公式 _______．
【答案】
【详解】由 可得 ，所以 为首项是 公差为 的等差数列，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
题型三：数列的性质及其应用
角度 1：数列的周期性
典型例题
例题1．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知数列 满足 ， ，其前 项和为
，则 ( )
A． B． C．3 D．
【答案】B
【详解】 数列 满足 ， ，
， ， ， ，…
数列 是周期为4的周期数列，
，
∴ ．
故选：B．
例题2．（2022·四川成都·高一期中（理））若数列 的首项 ，且满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】因为 ， ，
所以 ，所以该数列的周期为 ，
于是有 ，
故选：C
例题3．（2022·湖北·沙市中学高二期末）已知数列 满足 ，则
_____________．
【答案】
【详解】依题意 ，
，
，
所以数列 是以 为周期的周期数列，
.
故答案为：
题型归类练
1．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）在数列 中， ， ，则前2022项
和的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，
所以 ， ， ， ， ，…，
所以该数列的周期是3，
又因为 ， ，所以 .
故选：C
2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知 是数列 的前n项和， ，
，则 ___________．
【答案】1011
【详解】因为 ， ，所以 ，因此数列 具有周
期性， ， ，故 ．
故答案为：1011．
3．（2022·北京交通大学附属中学高二期中）已知函数 的对应关系如下表所示，数列 满足
， ， 则 =_______， =______．
x 1 2 3
f(x) 3 2 1
【答案】 ； .
【详解】因为 ， ，
所以 ， ， ，
因此数列 的周期为 ，所以 ，
故答案为： ； .
角度 2：数列的单调性
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）设数列 的通项公式为 ，若数列 是单调递增数
列， 则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意得：
由数列 是单调递增数列，所以 ，
即 ，即 （ ）恒成立，
又因为数列 是单调递减数列所以当 时， 取得最大值 ，所以 .
故选：C.
例题2．（2022·河北邢台·高二期末）下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，B选项对应数列是递减数列．对于C选项， ，故数列 是递增数
列．对于D选项，由于 ．所以数列 不是递增数列．
故选：C.
例题3．（多选）（2022·全国·高二课时练习）下列是递增数列的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】A．令 ，则 ，是递增数列，正确；
B．令 ，则 ， ，不合题意，错；
C．令 ，则 ，符合题意．正确；
D．令 ，则 ， ，不合题意．错．
故选：AC．
题型归类练
1．（2022·湖南·益阳市箴言中学高二开学考试）已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中
的数值最大的项是（ ）
A．第5项 B．第6项
C．第4项或第5项 D．第5项或第6项
【答案】A
【详解】解： ，
因为 ，且 ，
所以数值最大的项为第5项．
故选：A．
2．（2022·浙江·高三专题练习）数列 中， ，则此数列最大项是（ ）A．第4项 B．第6项
C．第5项 D．第5项和第6项
【答案】D
【详解】解： ，
因为 ，所以当 或 时， 取最大值，
故选：D
3．（2022·全国·高二课时练习）已知数列 的通项公式是 ，那么这个数列是（ ）
A．摆动数列 B．递减数列 C．递增数列 D．常数列
【答案】C
【详解】因为 ，
所以数列 是递增数列，
故选：C
角度 3：数列的最值
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）已知数列 则该数列中最小项的序号是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】因为
当 时， 取得最小值。
故选：A
例题2．（2022·河北邢台·高三开学考试）已知数列 的通项公式为 ，则 取得最大值时 为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．不存在
【答案】B
【详解】依题意 ，
构造函数 ，
，由于 ，所以 在 上恒成立，
所以 在区间 上递减，
所以当 时， 是单调递减数列，
所以 的最大值为 .
所以 取得最大值时n为 .
故选：B
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，则数列 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ，
又 ， ， ，
即 的最小值为 .
故选：A.
题型归类练
1．（2022·四川南充·高一期末（理））已知数列 的通项公式为 ，则数列 的前n
项和 最小时n的值是（ ）
A．4或5 B．4 C．5 D．5或6
【答案】A
【详解】解：令 ，则 ，
又 ，
所以数列 的前n项和 最小时n的值是4或5.
故选：A.
2．（2022·全国·高二课时练习）若 ，则数列 的最大项是第______项．
【答案】7【详解】 ，其对应的二次函数为 ，
对称轴为 ，但 为正整数，所以离 最近的整数为7，
所以 在第7项取最大值．
故答案为：7.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知 ，若数列 中最小项为第3项，则
______．
【答案】
【详解】因为 开口向上，对称轴为 ，
则由题意知 ，
所以 ．故答案为： .
