2026 年高考数学·教考衔接
教材命题点探源
-----------------------------供2026 高考备考二轮、三轮复习及考前使用-------------------------
教考衔接十一 圆锥曲线
--------------■高考命题·解读■-----------------
圆锥曲线是高中数学的重要内容.高考主要考查椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程和简
单的几何性质.其中直线与圆锥曲线的位置关系是考查重点.在高考中圆锥曲线试题基本保持为两道
选择题、一道填空题和一道解答题(或一道选择题一道填空题和一道解答题).
常见命题方向：
（1）圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）主要是曲线的定义、标准方程、性质(焦点、离心率、
准线、渐近线)；
（2）以直线与圆锥曲线的位置关系为背景考查弦长(可以直接用过抛物线焦点的弦长公式，也可
以用通用的弦长公式求解)；
（3）以直线与圆锥曲线的位置关系为载体考查定点、定值、取值范围以及存在性问题；
（4）以平面几何知识或圆锥曲线相关内容为载体考查将平面几何代数化的思想.这些内容均为高
考考查的重点和热点，因此在备考复习中应加强训练，同时在备考时还需要加强对数形结合思想、
分类讨论思想、函数与方程思想在解决圆锥曲线综合问题中的应用.
🎯练教材-----必刷经典母题
核心考点
五年考情
考点1.求椭圆的标准方程
2024·新课标Ⅱ卷 2022·全国甲卷
考点2.双曲线的标准方程、离心率
2025·全国一卷 2025·全国二卷
2024·新课标Ⅰ卷 2024·全国甲卷
2023·新课标Ⅰ卷 2022·全国乙卷
2021·全国甲卷
考点3.抛物线定义的应用
2025·全国二卷 2022·全国乙卷
考点4.与抛物线焦点弦有关的几何性质
2025·全国一卷 2023·新课标Ⅱ卷
2022·新高考全国Ⅱ卷
考点5.圆锥曲线的最值问题
2025·全国一卷
考点6.圆锥曲线的面积问题
2025·全国二卷 2024·新课标Ⅰ卷
2023·全国甲卷 2022·新高考全国Ⅰ卷
2021·全国乙卷
【教材母题1】 (人教A 版选择性必修第一册P115·T3)求下列各椭圆的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标、
顶点坐标，并画出图形:
（1）x2+4y2=16; （2）9x2+y2=81.
【教材母题2】 (人教A 版选择性必修第一册P115·T4(1))求经过P(-2❑√2,0),Q(0,❑√5)两点的椭圆的标准方程.
【教材母题3】 (北师大版选择性必修第一册P58A 组·T8)已知椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为
❑√2
2 ,其左焦点
F 到直线l:y=x-2 的距离为2❑√2,求此椭圆方程.
【🚀衔接高考】
（1）(2022·全国甲卷)已知椭圆C: x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为1
3,A1,A2分别为C 的左、右顶点,B 为C 的上顶
点.若⃗B A1·⃗B A2=-1,则C 的方程为( )
A. x
2
18
+ y
2
16
=1 B. x
2
9
+ y
2
8
=1 C. x
2
3
+ y
2
2
=1 D. x
2
18
+y2=1
（2）(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1: x
2
a
2+y2=1(a>1),C2: x
2
4 +y2=1 的离心率分别为e1,e2,若e2=❑√3e1,则 a=( )
A.2❑√3
3
B.❑√2
C.❑√3 D.❑√6
【教材母题4】 (人教A 版选择性必修第一册P108·例2)如图,在圆x2+y2=4 上任取一点P,过点P 作x 轴的垂线
段PD,D 为垂足.当点P 在圆上运动时,线段PD 的中点M 的轨迹是什么?为什么?(当点P
经
过圆与x 轴的交点时,规定点M 与点P 重合.)
【🚀衔接高考】
(2024·新高考Ⅱ卷)（一题多解）已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP',P'为垂足,则
线段PP'的中点M 的轨迹方程为( )
A. x
2
16
+ y
2
4
=1(y>0) B. x
2
16
+ y
2
8
=1(y>0) C. y
2
16
+ x
2
4
=1(y>0) D. y
2
16
+ x
2
8
=1(y>0)
【教材母题5】 (人教B 版选择性必修第一册P141 练习B·T3)已知P 是椭圆x
2
4 + y
2
36 =1 上一点，A(0,5),求|PA|
的最小值与最大值.
【教材母题6】(人教B 版选择性必修第一册P143 习题2-5C·T3)已知点A(1,1),而且F1是椭圆x
2
9 + y
2
5 =1 的左焦
点，P 是椭圆上任意一点,求|PF1|+|PA|的最小值和最大值.
【教材母题7】 (人教B 版选择性必修第一册P180·T6)过椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的中心作一条直线交椭圆于
P,Q 两点,F 是椭圆的一个焦点,求△PFQ 的周长的最小值.
【🚀衔接高考】
（1）(2021·全国乙卷)（一题多解）设B 是椭圆C: x
2
5 +y2=1 的上顶点,点P 在C 上,则|PB|的最大值为( )
A.5
2 B .❑√6 C.❑√5 D.2
（2）(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1,F2是椭圆C: x
2
9 + y
2
4 =1 的两个焦点,点M 在C 上,则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A.13 B.12
C.9 D.6
【教材母题8】 (人教A 版选择性必修第一册P114·T2)经过椭圆x
2
2 +y2=1 的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l,
直线l 与椭圆相交于A,B 两点,求线段AB 的长.
【教材母题9】 (北师大版选择性必修第一册P90·T2)经过椭圆C: x
2
2 +y2=1 的中心作直线l,与椭圆C 交于P,Q
两点,设椭圆C 的右焦点为F,已知∠PFQ=2π
3 ,求△PFQ 的面积.
【🚀衔接高考】
（1）(2024·新高考Ⅰ卷)已知 A(0,3)和P(3, 3
2)为椭圆C: x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)上两点.
①求C 的离心率;
②若过P 的直线l 交C 于另一点B,且△ABP 的面积为9,求l 的方程.
（2）(2025·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C:x
2
a
2 +y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为
❑√2
2
，长轴长为4.
①求C 的方程；
②过点(0，-2)的直线l 与C 交于A，B 两点，O 为坐标原点.若△OAB 的面积为❑√2，求|AB|.
【教材母题10】 (人教A 版选择性必修第一册P124·例3)求双曲线9y2-16x2=144 的实半轴长和虚半轴长、焦
点坐标、离心率、渐近线方程.
【教材母题11】 (人教A 版选择性必修第一册P127 习题3.2·T1)双曲线4x2-y2+64=0 上一点P 与它的一个焦
点的距离等于1,那么点P 与另一个焦点的距离等于 .
【🚀衔接高考】
（1）(2025·北京高考)双曲线x2-4y2=4 的离心率为 ( )
A.
❑√3
2
B.
❑√5
2
C.5
4 D.❑√5
（2）(2025·新高考Ⅰ卷)若双曲线C 的虚轴长为实轴长的❑√7倍，则C 的离心率为 ( )
A.❑√2
B.2
C.❑√7 D.2❑√2
（3）(2024·全国甲卷) （一题多解）已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲
线的离心率为( )
A.4 B.3
C.2 D.❑√2
【教材母题12】 (人教B 版选择性必修第一册P155 练习AT3)已知双曲线的渐近线方程为y=±3
4 x,求双曲线的
离心率.
【教材母题13】 (北师大版选择性必修第一册P68T4)已知双曲线C: x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率为2,求双曲线
C 的渐近线方程.
【教材母题14】 (人教A 版选择性必修第一册P127 练习·T3)直线y=2
3x 与双曲线x
2
a
2- y
2
8 =1(a>0)相交于A,B 两
点,且A,B 两点的横坐标之积为-9,求离心率e.
【🚀衔接高考】
（1）(2020·全国Ⅲ卷)设双曲线C: x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=❑√2x,则C 的离心率为 .
（2）(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为 .
【教材母题15】 (人教B 版选择性必修第一册P154 例2)已知双曲线C 是顶点为A1,A2,虚轴的一个端点为B,且
△BA1A2是一个等边三角形,求双曲线C 的离心率.
【🚀衔接高考】
（1）(2021·全国甲卷)已知F1,F2是双曲线C 的两个焦点,P 为C 上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C 的离
心率为( )
A.
❑√7
2
B.
❑√13
2
C.❑√7 D.❑√13
（2）(2023·新高考Ⅰ卷) （一题多解）已知双曲线C: x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A 在C
上,点B 在y 轴上,⃗F1 A⊥⃗F1B,⃗F2 A=-2
3⃗F2B, 则C 的离心率为 .
【教材母题16】 (人教A 版选择性必修第一册P128·T12)设椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)与双曲线x
2
a
2- y
2
b
2 =1 的离心率
分别为e1,e2,双曲线的渐近线的斜率小于2❑√5
5
,求e1和e2的取值范围.
【🚀衔接高考】
(2022·全国甲卷)记双曲线C: x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x 与C 无公共点”的e
的一个值 .
【教材母题17】 (苏教版选择性必修第一册P128·T5)已知经过双曲线y
2
16-x
2
8 =1 的一个焦点,且垂直于实轴的
直线l 与双曲线交于A,B 两点,则线段AB 的长为 .
【🚀衔接高考】
（1）(2024·新高考Ⅰ卷) （一题多解）设双曲线C: x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行
于y 轴的直线交C 于A,B 两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C 的离心率为 .
（2）(2020·全国Ⅰ卷)已知F 为双曲线C: x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的右焦点,A 为C 的右顶点,B 为C 上的点,且BF 垂
直于x 轴.若AB 的斜率为3,则C 的离心率为 .
【教材母题18】 (人教A 版选择性必修第一册P128T·13)已知双曲线x2- y
2
2 =1,过点P(1,1)的直线l 与双曲线相
交于A,B 两点,P 能否是线段AB 的中点?为什么?
【🚀衔接高考】
(2025·新高考Ⅱ卷)双曲线C:x
2
a
2 -y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以
F1F2为直径的圆与曲线C 的一条渐近线交于M，N 两点，且∠NA1M=5π
6
，则( )
A.∠A1MA2=π
6
B.|MA1|=2|MA2|
C.C 的离心率为❑√13 D.当a=❑√2时，四边形NA1MA2的面积为8❑√3
【教材母题19】 (人教A 版选择性必修第一册P146T13)当m 变化时,指出方程(m-1)x2+(3-m)y2=(m-1)(3-m)表示
的曲线的形状.
【🚀衔接高考】
(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)已知曲线C:mx2+ny2=1.( )
A.若m>n>0,则C 是椭圆,其焦点在y 轴上 B.若m=n>0,则C 是圆,其半径为❑√n
C.若mn<0,则C 是双曲线,其渐近线方程为y=±❑√- m
n
x D.若m=0,n>0,则C 是两条直线
【教材母题20】 (人教A 版选择性必修第一册P103·T18)求由曲线x2+y2=|x|+|y|围成的图形的面积.
【教材母题21】 (人教A 版选择性必修第一册P127·T10)设动点M 与定点F(c,0)(c>0)的距离和M 到定直线
l:x=a
2
c
的距离的比是c
a(a<c),求动点M 的轨迹方程,并说明轨迹的形状.
【🚀衔接高考】
(多选)(2024·新高考Ⅰ卷)设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点
O,且C 上的点满足:横坐标大于-2,到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4,则( )
A.a=-2 B.点(2❑√2,0)在C 上
C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点(x0,y0)在C 上时,y0≤
4
x0+2
【教材母题22】 (人教A 版选择性必修第一册P132 例1)
（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;
（2）已知抛物线的焦点是F(0,-2),求它的标准方程.
【教材母题23】 (人教B 版选择性必修第一册P165T2)求抛物线y2=8x 的焦点到直线x-❑√3y=0 的距离.
【教材母题24】 (人教A 版选择性必修第一册P133T3(1))抛物线y2=2px(p>0)上一点M 与焦点间的距离是a,则
点M 到准线的距离是 ,点M 是横坐标是 .
【🚀衔接高考】
（1）（2021·新高考Ⅱ卷)抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1 的距离为❑√2,则p=( )
A.1 B.2
C.2❑√2 D.4
（2）(2025·北京卷)抛物线y2=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3，则p= .
（3）(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直,Q 为
x 轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C 的准线方程为 .
【教材母题25】 (人教A 版选择性必修第一册P136 例5)经过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点,经过点
A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB 平行于抛物线的对称轴.
【🚀衔接高考】
（1）(2025·新高考Ⅱ卷)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点A 在C 上，过A 作C 准线的垂线，垂足为B.
若直线BF 的方程为y=-2x+2，则|AF|= ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
（2） (多选)(2024·新高考Ⅱ卷)抛物线C:y2=4x 的准线为l,P 为C 上动点.过P 作☉A:x2+(y-4)2=1 的一条切线,Q
为切点.过P 作l 的垂线,垂足为B.则( )
A.l 与☉A 相切 B.当P,A,B 三点共线时,|PQ|=❑√15
C.当|PB|=2 时,PA⊥AB D.满足|PA|=|PB|的点P 有且仅有2 个
（3）(2025·新高考Ⅰ卷)设抛物线C:y2=6x 的焦点为F，过F 的直线交C 于A，B，过A 作l:x=-3
2 的垂线交于
D，过F 且垂直于AB 的直线交l 于E，则 ( )
A.|AD|=|AF|
B.|AE|=|AB| C.|AB|≥6
D.|AE|·|BE|≥18
【教材母题26】 (人教A 版选择性必修第一册P116T14)已知椭圆x
2
4 + y
2
9 =1,一组平行直线的斜率是3
2.
（1）这组直线何时与椭圆有两个公共点?
（2）当它们与椭圆有两个公共点时,证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上.
【🚀衔接高考】
(2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C 的中心为坐标原点,左焦点为(-2❑√5,0),离心率为❑√5.
（1）求C 的方程;
（2）记C 的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C 的左支交于M,N 两点,M 在第二象限,直线MA1与NA2
交于点P,证明:点P 在定直线上.
【教材母题27】 (湘教版选择性必修第一册P173T18)已知两个定点A1(-2,0),A2(2,0),动点M 满足直线MA1与
MA2的斜率之积为定值m
4 (m≠0).
(1)求动点M 的轨迹方程,并指出随m 变化时方程所表示的曲线C 的形状;
(2)若m=-1,设直线l 与曲线C 相交于E,F 两点,直线OE,l,OF 的斜率分别为k1,k,k2(其中k>0),△OEF 的面积为S,以
OE,OF 为直径的圆的面积分别为S1,S2.若k1,k,k2恰好构成等比数列,求S1+ S2
S
的取值范围.
【🚀衔接高考】
(2024·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C:x2-y2=m(m>0),点P1(5,4)在C 上,k 为常数,0<k<1.按照如下方式依次构造点
Pn(n=2,3,…):过Pn-1作斜率为k 的直线与C 的左支交于点Qn-1,令Pn为Qn-1关于y 轴的对称点.记Pn的坐标为(xn,yn).
（1）若k=1
2,求x2,y2;
（2）证明:数列{xn-yn}是公比为1+ k
1-k 的等比数列;
（3）设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积.证明:对任意正整数n,Sn=Sn+1.
🎯读教材-----玩味阅读材料
【阅读1】通过阅读《阅读与思考——圆锥曲线的光学性质及其应用》(人教A 版选择性必修第一册P140)、
《拓展阅读——圆锥曲线的光学性质》(人教B 版选择性必修第一册P172)、《阅读教材二——圆锥曲线的光学
性质》可从中提炼出如下结论:
（1）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后,反射光线经过另一个焦点.
（2）从双曲线的一个焦点出发的光线,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.
（3）从抛物线的焦点出发的光线,经过抛物线反射后,反射光线平行于对称轴.
【🚀新题预测】（2026·浙江杭州1 月模拟）已知双曲线C: x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,根据
双曲线的光学性质可知,过双曲线C 上任意一点P(x0,y0)的切线l: x0 x
a
2 - y0 y
b
2 =1(a>0,b>0)平分∠F1PF2.直线l1过F2交
双曲线C 的右支于A,B 两点,设△AF1F2,△BF1F2,△ABF1的内心分别为I1,I2,I,若△II1I2与△F2I1I2的面积之比为3
5,则
双曲线C 的离心率为( )
A.3
2 B.2❑√3
3
C.5
3 D.5 ❑√3
3
【阅读2】通过阅读《阅读材料——圆锥的截线》(北师大版选择性必修第一册P77)和《拓展阅读——倾斜的
试管液面轮廓一定是椭圆》(人教B 版选择性必修第一册P134),可从中提炼出如下结论:
（1）在圆锥内放两个大小不同的球,使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切,两个球分别与截面相切于点F1,F2,则
截口曲线为椭圆.
（2）平面α 与圆柱相交,且平面α 不与圆柱的轴垂直,则截口曲线为椭圆.
（3）用一个平面去截圆锥,得到的曲线满足到定点的距离与到定直线的距离之比为常数.
【🚀新题预测】（2026·安徽合肥1 月检测）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示,
该纸杯母线长为12 cm,开口直径为8 cm.旅客使用纸杯喝水时,当水面与纸杯内壁所形成的
椭圆经过母线中点时,椭圆的离心率等于 .
🎯研教材-----深度探究思考
【探究1】(北师大版选择性必修第一册P68 习题2-2A 组T3,人教B 版选择性必修第一册P179T20 拓展)双曲线
的两个距离结论
（1）双曲线的焦点到渐近线的距离为定值b.
（2）双曲线上任一点到两渐近线的距离之积为定值a
2b
2
c
2 .
【🚀衔接高考】
(2020·北京高考)已知双曲线C: x
2
6 - y
2
3 =1,则C 的右焦点的坐标为 ;C 的焦点到其渐近线的距离是
.
【探究2】抛物线焦点弦相关结论
如图,AB 为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,A(x1,y1),B(x2,y2),焦点F(
p
2 ,0),准线l:x=- p
2 ,准线与x 轴交点为P,作
AC⊥l,BD⊥l 且M,N 分别为线段AB,CD 的中点,R 为MN 与抛物线的交点,则有以下性质.
（1）(人教A 版选择性必修第一册P135 例4 拓展)|AB|=x1+x2+p.
（2）(人教B 版选择性必修第一册P173T9 拓展)x1x2= p
2
4 ,y1y2=-p2.
（3）(人教A 版选择性必修第一册P138 习题3.3T5,人教B 版选择性必修第一册P173 习题2-8BT1,P178T18 拓
展)如图所示:
①|AF|=
p
1-cosθ ,|BF|=
p
1+cosθ ,
②|AB|= 2 p
sin
2θ ,
③
1
| AF | +
1
|BF | = 2
p,
④若|AF|=λ|BF|,则cos θ= λ-1
λ+1.(其中θ 为直线AB 的倾斜角)
（4）(湘教版选择性必修第一册P147T3 拓展)如图所示:S△AOB=S△COD=
p
2
2sinθ .
（5）(人教B 版选择性必修第一册P167T7 拓展)如图所示:三个垂直CF⊥FD,NF⊥AB,AN⊥BN.
（6）(人教A 版选择性必修第一册P146T16,人教B 版选择性必修第一册P174T9,P167 习题2-7BT3 拓展)
①以AB 为直径的圆与准线相切；②以AF 为直径的圆与y 轴相切.
【🚀衔接高考】
（1）(2020·全国Ⅰ卷)已知A 为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,则
p=( )
A.2 B.3
C.6 D.9
（2）(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O 为坐标原点,直线y=-❑√3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C 交于
M,N 两点,l 为C 的准线,则( )
A.p=2 B.|MN|=8
3
C.以MN 为直径的圆与l 相切 D.△OMN 为等腰三角形
（3）(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)已知O 为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F 的直线与C 交于A,B 两点,其
中A 在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则( )
A.直线AB 的斜率为2❑√6 B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF| D.∠OAM+∠OBM<180°
（4）(2023·全国乙卷)已知点A(1,❑√5)在抛物线C:y2=2px 上,则A 到C 的准线的距离为 .
（5）(2020·新高考Ⅰ卷)斜率为❑√3的直线过抛物线C:y2=4x 的焦点,且与C 交于A,B 两点,则|AB|= .
【探究3】 (人教A 版选择性必修第一册P121)如图,点A,B 的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线AM,BM 相交于点M,且
它们斜率之积是4
9 ,试求点M 的轨迹方程,并由点M 的轨迹方程判断轨迹的形状,与它们的斜率之积是-4
9 比较,你有
什么发现?
【探究4】（1）(人教B 版选择性必修第一册P143 习题2-5BT2 拓展)椭圆焦点三角形面积公式:
已知椭圆C: x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P 是椭圆上异于左右顶点的一点,∠F1PF2=θ,则焦点三角
形的面积S△P F1F2=b2tan θ
2.
（2）(人教B 版选择性必修第一册P157T5 拓展)双曲线焦点三角形面积公式:
已知双曲线C: x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P 是双曲线上异于左右顶点的一点,∠F1PF2=θ,则焦点
三角形的面积S△P F1F2=
b
2
tan θ
2
.
【🚀衔接高考】
（1）(2020·全国Ⅲ卷) （一题多解）设双曲线C: x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为❑√5.P
是C 上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a=( )
A.1 B.2
C.4 D.8
（2）(2023·全国甲卷文) （一题多解）设F1,F2为椭圆C: x
2
5 +y2=1 的两个焦点,点P 在C 上,若⃗P F1·⃗P F2=0,则|
PF1|·|PF2|=( )
A.1 B.2
C.4 D.5
（3）(2023·全国甲卷理)（一题多解）设O 为坐标原点,F1,F2为椭圆C: x
2
9 + y
2
6 =1 的两个焦点,点P 在C
上,cos∠F1PF2=3
5,则|OP|=( )
A.13
5 B.
❑√30
2
C.14
5 D.
❑√35
2
（4）(2021·全国甲卷) （一题多解）已知F1,F2为椭圆C: x
2
16 + y
2
4 =1 的两个焦点,P,Q 为C 上关于坐标原点对称
的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为 .
【探究5】(湘教版选择性必修第一册P172T13 拓展)
（1）已知F1,F2为椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆上任意一点,则当点P 为椭圆短轴的端点时,∠F1PF2
最大.
（2）已知A,B 为椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)长轴上的两个顶点,Q 为椭圆上任意一点,则当点Q 为椭圆短轴的端点时,
∠AQB 最大.
【🚀新题预测】
(2026·广东深圳模拟)椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在点Q,使∠F1QF2=120°,则椭
圆离心率e 的取值范围为( )
A.(0,
❑√3
2 ) B.(0,
❑√3
2 ] C.(
❑√3
2 ,1) D.[
❑√3
2 ,1)
【探究6】(人教A 版选择性必修第一册P113 例6,人教B 版选择性必修第一册P141T5 拓展)椭圆的第二定义:平
面内到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数e(0<e<1,F∉l)的点的轨迹叫做椭圆.其中定点F 为椭圆的焦点,直
线l 是椭圆的焦点对应的准线,e 为椭圆的离心率.相关结论:
（1）焦半径的坐标形式
①若点P(x0,y0)是椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)上任一点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,则|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0.
②点P(x0,y0)是椭圆y
2
a
2 + x
2
b
2=1(a>b>0)上任一点,F1,F2是椭圆的下、上焦点,则|PF1|=a+ey0,|PF2|=a-ey0.
（2）焦半径的角度形式
①点P 是椭圆上任一点,F 为其一个焦点,∠PFO=α,则|PF|=
b
2
a-c cosα .
②F 是椭圆的一个焦点,过点F 的直线与椭圆交于P,Q 两点,∠PFO=α,则|PQ|=
2ab
2
a
2-c
2cosα
.
【🚀衔接高考】
(2022·新高考Ⅰ卷) （一题多解）已知椭圆C: x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0),C 的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为1
2.
过F1且垂直于AF2的直线与C 交于D,E 两点,|DE|=6,则△ADE 的周长是 .
【探究7】.(人教A 版选择性必修第一册P125 例5、P126 例6、P127T10 拓展)双曲线第二定义:平面内的动点
M 到定点F 的距离与定直线l 的距离之比为常数e(e>1),则动点M 的轨迹是双曲线.其中定点F 是双曲线的焦点,直
线l 是双曲线的焦点F 对应的准线,常数e 是双曲线的离心率.相关结论:
（1）焦半径的坐标形式
①点P(x0,y0)是双曲线x
2
a
2- y
2
b
2 =1 左支上任一点,F1,F2是双曲线的左、右焦点,则|PF1|=-a-ex0,|PF2|=a-ex0.
②点P(x0,y0)是双曲线x
2
a
2- y
2
b
2 =1 右支上任一点,F1,F2是双曲线的左、右焦点,则|PF1|=ex0+a,|PF2|=ex0-a.
③点P(x0,y0)是双曲线y
2
a
2 - x
2
b
2=1 上支上任一点,F1,F2是双曲线下、上两焦点,则|PF1|=ey0+a,|PF2|=ey0-a.
④点P(x0,y0)是双曲线y
2
a
2 -x
2
b
2=1 下支上任一点,F1,F2是双曲线下、上两焦点,则|PF1|=-ey0-a,|PF2|=-ey0+a.
（2）焦半径的角度形式
①点P 是双曲线上任一点,F 为其一个焦点,∠PFO=α,则|PF|={
b
2
a+c cosα , 点P , F 在某一坐标轴同侧,
b
2
c cosα -a , 点P , F 在某一坐标轴两侧.
②F 是双曲线的一个焦点,过点F 的直线与双曲线交于P,Q 两点,∠PFO=α,则
|PQ|={
2ab
2
a
2-c
2co s
2α
, P ,Q在双曲线的同一支上,
2ab
2
c
2co s
2α -a
2 , P ,Q在双曲线的两支上.
【🚀新题预测】
(2026·安徽阜阳模拟) （一题多解）已知双曲线E: x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左焦点为F1(-c,0),直线y=❑√3(x+c)与双
曲线E 交于A,B 两点,若⃗F1B=3⃗F1 A,则双曲线E 的离心率为 .
【探究8】.(人教A 版选择性必修第一册P138T6,人教B 版选择性必修第一册P178T12 拓展)手电筒模型:
在圆锥曲线上任取一个定点,向曲线上任意两个非该定点的动点引出直线,若引出直线的斜率之和或者之积为定值,
则两动点的连线过定点或者斜率为定值.形式上,定点像一个点光源,向两个动点射出光线,犹如“手电筒”,故而得
名.
（1）在双曲线x
2
a
2- y
2
b
2 =1 上取一点A(x0,y0),过点A 作两斜率相反的直线交双曲线于P,Q 两点,则kPQ=-b
2
a
2· x0
y0
=-kA 切.
（2）把双曲线换成椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1,其它条件不变,则kPQ=b
2
a
2· x0
y0
=-kA 切.
【🚀衔接高考】
（1）(2022·新高考Ⅰ卷) （一题多解）已知点A(2,1)在双曲线C: x
2
a
2- y
2
a
2-1
=1(a>1)上,直线l 交C 于P,Q 两点,直
线AP,AQ 的斜率之和为0.
①求l 的斜率;
②若tan ∠PAQ=2❑√2,求△PAQ 的面积.
（2）(2020·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C: x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为
❑√2
2 ,且过点A(2,1).
①求C 的方程;
②点M,N 在C 上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D 为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.
