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微专题02 普通型糖水不等式及对数型糖水不等式讲义
微专题教学内容
1.糖水不等式定理
若
, 则一定有
通俗的理解: 就是
克的不饱和糖水里含有
克糖, 往糖水里面加入
克糖,则糖水更甜;
糖水不等式的倒数形式:
设
, 则有:
2.对数型糖水不等式
(1) 设
, 且
, 则有
(2) 设
, 则有
(3) 上式的倒数形式：设
, 则有
典例精讲
【典例1】
（多选）在a 克的糖水中含有b 克的糖（
），再添加少许的糖m 克（
），全部溶解后糖水更
甜了，由此得糖水不等式
，若
，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
D．当
时，
．
【答案】ABC
【分析】应用作差法、不等式性质判断各项不等式关系的正误即可.
【详解】由
，则
，
若
，
若
，则
，故
；
若
，则
，故
；
由题设，结合不等式性质显然有
；
故选：ABC
会一题通一类
已知实数
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【法一】由糖水不等式的倒数形式，
, 则有:
【法二】
，故B 正确；
因为
，所以有
，故A 错误；
，故C 正确；
，故D 正确．
【答案】BCD
【典例2】
已知
，设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
同时取对数可判定
关系，利用换底公式结合糖水不等式可判定
关系.
【详解】由
，可知
，所以
，
易知
，
先证糖水不等式：若
，则
，
证明如下：作差得
，得证.
所以有
，即
，
所以
.
故选：A
【点睛】方法点睛：比较大小问题，常用到结论：
为定义域上增函数；糖水不等
式：
，则
；还有作差法，作商法，基本不等式，函数单调性等等，可以适当做专
题总结.
会一题通一类
1.已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．b<c<a
D．c<a<b
详解：【法一】
,又
，用排除法, 选
A 。
【法二】
，
若
,
但
,
综上所述，
2.试比较
的大小（填”<”或”>”或”=”）
详解：依题意
.
【典例3】
已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
详解：因为
, 所以
. 在上述推论中取
, 可得
, 且
.
所以
, 即
, 选 A.
会一题通一类
比较大小:
与
的大小．
【法一】
。
【法二】
【法三】对数型糖水不等式直接可得
学后测评
一、单选题
1．若
克不饱和糖水中含有
克糖，则糖的质量分数为
，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖
水中再添加
克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式
(
，
)数
学中常称其为糖水不等式.已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】方法一：应用对数型糖水不等式计算求解计算判断求解；方法二：应用普通型糖水不等式计算求
解计算判断求解.
【详解】方法一：对数型糖水不等式
因为
, 所以
. 因为函数
在
上单调递减，所以
，
可得
, 且
.
所以
, 即
,
故选 :A.
方法二：普通型糖水不等式
由已知条件
, 可得
. 可以得到
, 即
.
所以
, 即
.
,
即
, 所以
, 即
.
综上,
,
故选: A.
2．
克糖水中含有
克糖，糖的质量与糖水的质量比为
，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加
克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为
，这个
不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用条件及不等式的性质逐项判断即得.
【详解】对于A，由
得，
，故A 正确；
对于B，因为
，故B 错误；
对于C，由题得
，故C 错误；
对于D，由糖水不等式得
，所以
，故D 错误.
故选：A.
3．已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用对数换底公式以及运算性质，利用作商法结合对数函数的单调性比较大小即可.
【详解】由题意可知，
.
则
，所以
.
则
，所以
.
所以
.
故选：D.
4．已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先证明
（
，
），再由换底公式及对数函数的性质判断即可.
【详解】若
，
，则
，即
，
而
，
，
，
又因为
，
，
所以
，
，
所以
.
故选：B
5．已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用正弦函数，对数函数单调性进行放缩，再来比较大小.
【详解】
,
,
,
,
由上可得：
，
故选：A.
6．设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】通过构造函数或者利用对数的运算性质转换来逐步分析它们的大小.
【详解】比较
和
，采用作差法，将
和
转化为同底数形式来比较.
利用换底公式，则
，
.
计算
.
根据基本不等式，对于
和
，有
.
而
，即
.
所以
，也就是
，即
.
比较
与的大小，同样利用换底公式，
，
.
计算
.
由基本不等式，对于
和
，
.
且
，即
.
所以
，也就是
，即
.
综上可得
.
故选：B.
7．已知
，
，
，比较a，b，c 的大小为（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞c＞a
D．b＞a＞c
【答案】D
【分析】易得
，
.又
，比较
与0 的大小即
可.
【详解】
，因函数
在
上单调递增，
则
，
.
，因
，则
.
故
，综上有
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题涉及比较对数值大小，难度较大.因
，难以找到中间量，故结合
换底公式做差，后再利用基本不等式比较
大小.
8．已知
，设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
同时取对数可判定
关系，利用换底公式结合糖水不等式可判定
关系.
【详解】由
，可知
，所以
，
易知
，
先证糖水不等式：若
，则
，
证明如下：作差得
，得证.
所以有
，即
，
所以
.
故选：A
【点睛】方法点睛：比较大小问题，常用到结论：
为定义域上增函数；糖水不等
式：
，则
；还有作差法，作商法，基本不等式，函数单调性等等，可以适当做专
题总结.
二、解答题
9．（1）已知
，
，求
及
的取值范围.
（2）已知b 克糖水中有a 克糖
，往糖水中加入m 克糖
，假设全部溶解糖水更甜了.这
就是著名的“糖水不等式”
（i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立；
利用（i）的结论比较
的大小.
【答案】（1）
的范围为
，
的范围为
；
（2） (i)
，证明见解析；(ii）
【分析】
结合不等式的性质即可求解；
利用作差法即可判断；
结合
的结论即可求解．
【详解】
因为
，
，
所以
，
，
，
所以
，
，
故
的范围为
，
的范围为
；
（2）（i）
，
证明：
，
因为
，
，所以
，
，
所以
，即
；
（ii）
，
所以由（i）中的结论可得
，
即
