核心1 集合与不等式
一．单选题.
【集合的交并补混合运算 2024 年贵州遵义二模】
1．已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先利用一元二次不等式求解集合A，利用绝对值不等式求解集合B，然后根据集
合的运算法则进行运算即可.
【详解】因为
或
，
所以
或
，所以
.
由
，故
.
所以
.
故选：A
【分式不等式 2025 北京西城模拟测试】
2．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将不等式移项通分得到
，再转化为二次不等式即可得答案.
【详解】
，即
，解得：
，
不等式的解集为
，
故选：C.
【集合的综合应用 2025 年上海杨浦一模】
3．对任意集合A 和集合B，下列两个命题（ ）
①
②
A．①为真命题，②为真命题
B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题
D．①为假命题，②为假命题
【答案】B
【分析】根据集合交并运算，判断集合间包含关系，进而判断命题的真假.
【详解】①因为
，
，所以
，真命题，
②当
时，
，此时
，假命题.
故选：B
【抽象不等式 2025 陕西西安一模】
4．已知偶函数
在区间
上单调递增，若满足
，则x 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据奇偶性和单调性直接去“
”，得不等式，解不等式即得答案.
【详解】因为
是偶函数，且在区间
上单调递增，
所以由
得
，解得
，
故选：B.
【做差比较大小 2024 年高三上·天津河东·期中】
5．若
，
，
，则
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
，因此要比较
，
的大小，作差，通分，利用对数的运算
性质，即可求得
，
的大小；利用对数函数
的单调性，可知
，然后
利用不等式的可乘性，即可得出
，的大小.
【详解】解：
，∴
，
而
，∴
，即
，
因此
.
故选：C.
【指数不等式 2024 云南昆明模拟预测】
6．已知函数
，其图象无限接近直线
但又不与该直线相交，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据条件求出
，再代入讨论
符号即可求解.
【详解】根据题意知
，其图象无限接近直线
但又不与该直线相交，
所以可求得
，则函数
，
所以
当
时，则可得
，又因
单调递增，所以可得
，
当
时，则可得
，又因
单调递增，所以可得
，
综上可得
的解集为
.
故选：A
【对数不等式 2025 年山西省大同市期中】
7．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意得出
，分
和
两种情况讨论，结合
可得出
，解出该不等式即可.
【详解】由题意得出
，当
时，则
.
当
时，
，解不等式
得
.
因此，不等式
的解集为
.
故选：C.
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查绝对值三角不等式的应用，考查推理
能力与运算求解能力，属于中等题.
【根据集合包含关系求参数 2024 江苏南京二模】
8．定义集合运算
．已知非空集合A 和B，且
，若
，则满足题意的不同的B 的个数为（ ）
A．1
B．4
C．7
D．8
【答案】D
【分析】结合集合新定义，讨论
中元素个数即可；
【详解】由题意
，
又非空集合A 和B，且
，若
，
当
中有一个元素时：
，
；
，
；
当
中有两个元素时：
，
；
，
；
，
；
，
；
当
中有三个元素时：
，
；
当
中有四个元素时：
，
；
当
中有五个元素时，集合
不存在，
所以满足条件的不同的B 的个数为8 个，
故选：D.
【由基本不等式证明不等关系 2025 年上湖南长沙模拟测试】
9．已知
，且
，则下列不等式不正确的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】因为
，
，可求出
，可判断A；由
，可判断B；举反例可
判断C；由
得
，所以
可得
，可判
断D.
【详解】因为
，
，当且仅当
时等号成立，所以
，A 正确；
由
得
，
，同理
，
，当且仅当
，即
时等号成立，B 正确；
满足题意，但
，C 错；
由
得
，所以
，当且仅当
即
时等
号成立，所以
．D 正确．
故选：C
【M-集合类 2024 年上海浦东新一模】
10．若X 是一个非空集合，M 是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①
，
；②对于X 的任意子集A，B，当
且
时，有
；③对于X 的
任意子集A，B，当
且
时，有
，则称M 是集合X 的一个“M-集合
类”.例如：
是集合
得一个“M—集合类”.若
，则
所有含
的“M—集合类”的个数为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】D
【分析】确定M 中一定含有
，再分类讨论，一一列举出能含有的其他元素，
综合即可得答案.
【详解】
的子集有
，
由题意知M 中一定含有
，
则M 中可以含有的其他元素从剩余的
5 个集合中选取；
当剩余的5 个集合都不选时，
，共1 个；
当只取1 个时，
或
，
或
，满足题意，此时M 有3 个；
当取2 个时，
或
，
或
，满足题意，此时M 有3 个；
当取3 个时，
或
，
或
或
，满足题意，
此时M 有4 个；
当取4 个时，没有符合题意的情况；
当5 个全选时，
，共1 个，
故所有含
的“M—集合类”的个数为
，
故选：D
二．多选题.
【三个二次关系 2025 云南文山阶段测试】
11．已知二次函数
图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
在区间
上单调递减
B．不等式
的解集为
C．
D．不等式
的解集为
【答案】ABD
【分析】根据二次函数图象，结合二次函数与一元二次不等式、一元二次方程的关系判断
各项的正误.
【详解】由图象及二次函数性质
的对称轴为
，又图象开口向上，
所以
在区间
上单调递减，A 对；
由图知：不等式
的解集为
，B 对；
由图知：
，C 错；
根据二次函数与一元二次方程的关系，
是
的两个根，
所以
，
，且
，
所以
，解集为
，D 对.
故选：ABD
【利用不等式求取值范围 2024 年江西赣州联考】
12．若实数x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】对于AB，
，则
，从而可求
出
的范围进行判断，对于C，利用
，化简变形结合已知条件可判断，
对于D，利用
，化简变形结合已知条件可判断.
【详解】对于AB，因为
，所以
，当
且仅当
时取等号，
所以
，所以
，所以A 正确，B 错误，
对于C，因为
，所以
，当且仅当
时取等号，
所以
，所以
，
所以
，
所以
，当且仅当
时取等号，所以C 错误，
对于D，因为
，所以
，当且仅当
时取等号，
所以
，所以
，
所以
，当且仅当
时取等号，所以D 正确，
故选：AD
【点睛】关键点点睛：此题考查不等式性质的应用，解题的关键是对已知的等式进行恰当
的变形，利用完全平方的非负性可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题.
【利用基本不等式求最值 2025 年广东惠州模拟预测】
13．已知
，若
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为1
C．
的最小值为8
D．
的最小值为
【答案】AD
【分析】AD 选项，由基本不等式求出最值；B 选项，化为
，求出最
小值；C 选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】对于
，由
，即
，
当且仅当
，且
，即
时，取等号，所以A 正确；
对于
，因为
，
当且仅当
时，
取到最小值
，所以B 错误；
对于C，因为
，所以
，
当且仅当
，且
，即
时取等号，所以C 错误；
对于
，当且仅当
，且
，
即
时，取等号，所以
正确.
故选：AD.
【元素与集合的关系 2024 年辽宁沈阳二模】
14．对于集合
，给出如下结论，其中正确的结论是（ ）
A．如果
，那么
B．若
，对于任意的
，则
C．如果
，那么
D．如果
，那么
【答案】AC
【分析】根据集合的表示法特点，对选项进行一一判断，即可得答案；
【详解】对A，
，总是有
，则
，故A 正确；
对B，
，若
，则存在
，使得
，因
为当
一个是偶数，一个是奇数时，
是奇数，
也是奇数，所以
也
是奇数，显然
是偶数，故
，故
，故B 错误；
对C，若
，不妨设
，则
，故
，故C 正确；对
D，设
，则
，不满足集合
的定义，故D
错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查集合描述法特点，数论的有关知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
【利用基本不等式求参数 2024 河北衡水模拟】
15．若关于x 的不等式
对任意
恒成立，则正实数a 的可能值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】AB
【分析】分析可得原题意等价于
对任意
恒成立，根据恒成立问
题结合基本不等式运算求解.
【详解】∵
，则
，
原题意等价于
对任意
恒成立，
由
，
，则
，
可得
，
当且仅当
，即
时取得等号，
∴
，解得
．
故正实数
的取值集合为
.
故选：AB．
【数域 2024 江苏苏州一模】
16．当一个非空数集
满足“如果
,则
,且
时,
”时,我们称
就是一个数域,以下关于数域的说法:
0
①是任何数域的元素;②若数域
有非零元素,则
;③集合
是一个数域;④有理数集是一个数域;⑤任何一个有限
数域的元素个数必为奇数.其中正确的选项有
A．①②
B．②③
C．③④
D．④⑤
【答案】AD
【分析】利用已知条件中数域的定义判断各命题的真假，题目给出了对两个实数的四种运
算，要满足对四种运算的封闭，只有一一验证.
【详解】①当
时，由数域的定义可知，
若
，则有
，即
，
故①是真命题;
②当
时，由数域的定义可知，
若
，则有
，即
，
若
，则
，则
，
则
，故②是真命题；
③当
时，
，故③是假命题；
④若
，则
，且
时,
，故④是真命题；
⑤
，当
且
时，则
，
因此只要这个数不为
就一定成对出现，
所以有限数域的元素个数必为奇数，所以⑤是真命题.
故选：
.
【点睛】本题考查学生对新定义题型的理解和把握能力，理解数域的定义是解决该题的关
键，题目着重考查学生的构造性思维，一定要读懂题目再入手，没有一个条件是多余的，
是难题.
三．填空题.
【高次不等式 2025 年上海徐汇二模】
17．不等式
的解集为
【答案】
【分析】根据题意作出数轴，将各个因式等于零的值标记在数轴上，然后采用“穿针引线
法”求解出不等式的解集.
【详解】如下图所示：
根据图象可知：当
或
或
时，
，
所以不等式的解集为：
，
故答案为：
.
【点睛】本题考查高次不等式的解法，难度一般.利用“穿针引线法”求解高次不等式的解
集时，注意从数轴的右上方开始，每经过一个因式对应的数轴上点，要判断该因式是奇次
还是偶次，如果是奇次，则穿过该点，如果是偶次，则选择穿而不过.
【集合相等 2024 江苏淮安二模】
18．已知函数
，若
，则
【答案】
【分析】根据
可得函数
有两个相等的实数根
，再根据判
别式求解即可.
【详解】因为
，故函数
，即
有两个相等的
实数根
.
故
，解得
，故
.
故答案为：
【根式不等式 2025 江苏南通期末】
19．关于
的不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】将不等式等价转化之后两边同时平方，然后化简，再次平方即可求解.
【详解】因为不等式
可化为：
不等式
，两边同时平方可得：
，整理可得：
，也即
，解得：
，
所以原不等式的解集为
，
故答案为：
.
【根的分布问题 2025 高三上北京二模】
20．已知方程
的两根一个比
大另一个比
小，则实数
的范围
是 .
【答案】
【分析】根据二次方程根的分布可得出关于实数
的不等式，即可解得实数
的取值范围.
【详解】因为方程
的两根一个比
大另一个比
小，
则
，解得
，
因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【一元二次不等式有解问题 2024 年辽宁沈阳·三模】
21．已知函数
，若关于
的不等式
恰有3 个整数解，则
实数
的最小值为 ．
【答案】
【分析】先利用一元二次不等式的解法求得
点的取值范围.将原函数
通过换元后
变为
，利用
为对钩函数，画出它的大致图像.结合图像可求得不等式
桑格整数解对应的
的值，由此可求得
的最小值.
【详解】因为
，所以由
，可得
.令
，
，画出
的大致图像如下图所示，结合图像分析可知原不等式有个
整数解转化为
的三个解分别为
.当
的值分别为
时，
.画
出直线
，结合函数图像可知，
点的最小值为
.
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法和分析问题的能力，
属于难题.
【抽象不等式 2025 年四川成都·阶段练习】
22．已知在R 上可导的函数
的图象如下图所示，则不等式
的解集为
．
【答案】
【分析】依据
三个代数式的正负变化情况去求不等式
的
解集.
【详解】由函数
的图象可知
当
时，
；当
或
时，
当
或
时，
；当
时，
则当
时，
，则
当
时，
，则
当
时，
，则
当
时，
，则
当
时，
，则
综上
的解集为
.
故答案为：
【一元二次不等式恒成立问题 2024 高三上重庆二模】
23．设
，若
时，均有
成立，则实数
的取值集合为
.
【答案】
【分析】两项乘积大于等于零恒成立，则两项有相同交点且在同一区间同时取相同的正负
值，求出其中一项的零点，代入另一个方程，解得
值.
【详解】当
时，
，则
，由于
的图象开口向上，
则
不恒成立，
当
时，由
可解得
，
而方程
有两个不相等的实数根且异号，
所以，
必定是方程
的一个正根，
则
，则可解得
，
故实数
的取值集合为
.
故答案为：
.
【集合新定义----拓扑 2024 山西朔州二模】
24．若X 是一个集合,
是一个以X 的某些子集为元素的集合,且满足：①X 属于
,空集
属
于
；②
中任意多个元素的并集属于
；③
中任意多个元素的交集属于τ.
则称
是集合X 上的一个拓扑．已知集合X＝{
,
, },对于下面给出的四个集合
：
①
＝{
,{
},{ },{
,
, }}；
②
＝{
,{
},{ },{
, },{
,
, }}；
③
＝{
,{
},{
,
},{
, }}；
④
＝{
,{
, },{
, },{ },{
,
, }}．
其中是集合X 上的一个拓扑的集合
的所有序号是 ．
【答案】②④.
【分析】根据新定义进行验证即可得．
【详解】①τ＝{
,{
∅a},{c},{a,b,c}},因为{a} {
∪c}＝{a,c}∉τ,故①不是集合X 上的一个拓扑；
②满足集合X 上的一个拓扑的集合τ 的定义；
③因为{a,b} {
∪a,c}＝{a,b,c}∉τ,故③不是集合X 上的一个拓扑；
④满足集合X 上的一个拓扑的集合τ 的定义.
故答案为：②④.
【“1”的妙用求最值 2025 高三上·福建泉州·期末】
25．函数
的图象恒过定点
，若点
在直线
上，
则
的最小值为 ．
【答案】
##
【分析】利用指数函数的图象和性质求出
，根据点
在直线
上可得
，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】因为函数
的图象恒过定点
，
当
时，函数
值恒为，所以
,
又因为点
在直线
上，
所以
，且
，
所以
，
当前仅当
，即
，
时等号成立，
所以
的最小值为
，
故答案为：
.
试题特点分析：集合与不等式的试题往往涉及多个数学概念的交叉，因此，综
合运用所学知识解决问题是非常重要的.学生需要将所学的集合与不等式知识与
其他数学知识相结合，形成完整的解题思路和方法.
解题方法阐述：集合与不等式在实际问题中有着广泛的应用.关于集合与不等式
的数学问题常常需要把问题进行转化，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化抽象
为具体等，其目的就是尽快确定解题方向.
解题经验分享：首先，必须深入理解集合和不等式的定义、性质以及它们之间
的关系.其次，掌握一些常用的解题技巧.第三，通过大量的练习来巩固知识和技
能，可以选择一些典型的题目进行分析和解答.
