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第 04 讲 幂函数与二次函数 (精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．幂函数 中a的取值集合C是 的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
当 时， 定义域和值域均为 ，符合题意；
时， 定义域为 ，值域为 ，故不合题意；
时， 定义域为 ，值域为 ，符合题意；
时， 定义域与值域均为R，符合题意；
时， 定义域为R，值域为 ，不符合题意；
时， 定义域与值域均为R，符合题意.
故选：C
2．已知幂函数 的图象经过点 ，且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
设 ，由题意得， ，解得 ，
∴ ，∴ 为偶函数且在 上单调递减.
∵ ，∴ ，解得 或 .
故选:D.
3．如图是幂函数 的部分图象，已知 取 ，2， ， 这四个值，则与曲线 ， ， ， 相
应的 依次为（ ）A．2， ， ， B． ， ， ，2
C． ，2， ， D．2， ， ，
【答案】A
因为在直线 右侧，指数越大，幂函数的图象越靠上，
所以曲线 ， ， ， 相应的 依次为2， ， ， .
故选：A.
4．已知幂函数 的图象过点 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为 是幂函数，所以 ，又因为函数 的图象过点 ，
所以 ，因此 ，
故选：A
5．若函数 在区间 上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由 可知是二次函数，其对称轴为 ，
要使得函数在 上时是减函数，则必须 ，
即 ；
故选：C.6．已知函数 在区间 上具有单调性，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由于函数 在区间 上具有单调性，
所以 的对称轴 或 ，
解得 或 ，
所以 的取值范围是 .
故选：A
7．函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解： ,
当 ， ，
当 ， ，
所以 ，
故选：A
8．若函数 的值域为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
当 时， ，即值域为 ，满足题意；
若 ，设 ，则需 的值域包含 ，
，解得： ；
综上所述： 的取值范围为 .
故选：C.二、多选题
9．已知函数 为偶函数且在区间 上单调递减，则实数m的值可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BC
因为函数在区间 上单调递减，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 或3，
当 时，函数 为偶函数，符合题意；
当 时，函数 为偶函数，符合题意，
综上， 或 .
故选：BC.
10．已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0，1]内的最大值是－5，则a的值为( )
A．1 B．－5 C． D．2
【答案】BC
由题意知函数f(x)的对称轴方程为x＝ .
当 ＜0，即a＜0时，f(x)在[0，1]上单调递减，则 ＝f(0)＝－4a－a2＝－5，解得a＝1或a＝－5.又
a＜0，则a＝－5；
当 ＞1，即a＞2时，f(x)在[0，1]上单调递增，则 ＝f(1)＝－4－a2＝－5，解得a＝1或a＝－1.又a
＞2，则a不存在；
当0≤ ≤1，即0≤a≤2时， ＝f( )＝－4a＝－5，解得a＝ .
综上，a＝－5或 .
故选：BC.
三、填空题
11．已知幂函数 的图象关于y轴对称，则 _________．
【答案】1
解：因为 为幂函数，所以 ，解得 或 ，
当 时 为偶函数，函数图象关于 轴对称，符合题意；
当 时 为奇函数，函数图象关于原点对称，不符合题意；
即 ；故答案为：
12．函数 的单调递增区间是______．
【答案】
函数的图象如图所示：
由图象知：其单调递增区间是 ，
故答案为：
四、解答题
13．已知幂函数 的图象经过点 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)设函数 ，写出函数 的单调区间和值域．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为 ， ，无单调递减区间，值域为 ．
(1)设 ，则 ，则 ，
∴函数 的解析式为 ．
(2)因为 ，
∴函数 的单调递增区间为 ， ，无单调递减区间，值域为 ．
14．已知函数 ， ．
(1)当 时，写出函数 的单调区间和值域（不用写过程）；(2)求 的最小值 的表达式．
【答案】(1)函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，函数 的值域为： ．
(2)
【解析】
(1)当 时， 的对称轴为
∵
∴函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
则 ，
∴函数 的值域为： ．
(2)函数 的对称轴为 ，开口向上，
∵ ，则有：
①当 即 时，函数 在 上单调递增，
∴ ，
②当 即 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，
③当 即 时，函数 在 上单调递减，
∴ ，
综上所述：
B 能力提升
1．已知 是定义在 上的偶函数，当 时， .
(1)用分段函数形式写出 的解析式；
(2)写出 的单调区间；
(3)求出函数 的最小值.【答案】(1)
(2)增区间为 ， ，减区间为 ，
(3)
(1) 是定义在 上的偶函数，当 时， ，
当 时，则 ，
，
即 时， .
故 .
(2)画出 的函数图象，如图所示：
当 时， ，对称轴为 ，
增区间为 ，减区间为 ；
当 时， ，对称轴为 ，
增区间为 ，减区间为 .
综上， 的增区间为 ， ，减区间为 ， .
(3)由（2）知，当 时， ，
，
当 时， ，
，
综上，函数的最小值为-4.
2．已知一次函数 满足 .
(1)求函数f（x）的解析式；(2)设函数 ，求 在区间 上的最大值．
【答案】(1)f（x）＝x﹣2；(2)0.
(1)∵ 是一次函数，设 ，又因为 ，
∴ ，整理得 ，故 ，解得 ，∴函数f
（x）的解析式为f（x）＝x﹣2；
(2)g（x）＝a（x﹣2）+x（x﹣2）＝x2+（a﹣2）x﹣2a，其对称轴为 ，
①当 ，即a≥4时，函数g（x）在区间[﹣1，2]上单调递增，
则g（x）max＝g（2）＝0；
②当 ，即1<a<4时，函数g（x）在区间 上单调递减，在 上单调递增，且
2离对称轴更远，则g（x）max＝g（2）＝0；
综上，当a＞1时，g（x）max＝0．
3．已知二次函数 满足 且 ， ．
(1)求 的解析式．
(2)设函数 ， ．
(ⅰ)若 在 上具有单调性，求 的取值范围；
(ⅱ)讨论 在 上的最小值．
【答案】(1)
(2)(ⅰ) ；(ⅱ)
(1)设二次函数 ．由 ，可得 ．
∵ ，∴二次函数 的图象的对称轴方程为 ，即 ，即 ．
∵ ，∴ ．联立可得 解得 .
故 的解析式为 ．
(2)(ⅰ)由条件可知 ，其图象的对称轴方程为 ．∵ 在 上具有单调性，
∴ 或 ，即实数 的取值范围是 ．
(ⅱ) ， ，其图象的对称轴方程为 ．
当 时，∵ 在 上单调递减，∴ ；
当 时，∵ 在 上单调递增，∴ ；
当 时， ．
综上所述，
