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第 04 讲 幂函数与二次函数 (精讲）
目录
第一部分：知识点必背............................................................2
第二部分：高考真题回归..........................................................2
第三部分：高频考点一遍过........................................................3
高频考点一：幂函数的定义....................................................3
角度1：求幂函数的值.....................................................3
角度2：求幂函数的解析式.................................................3
角度3：由幂函数求参数...................................................4
高频考点二：幂函数的值域....................................................4
高频考点三：幂函数图象......................................................5
角度1：判断幂函数图象...................................................5
角度2：幂函数图象过定点问题.............................................7
高频考点四：幂函数单调性....................................................8
角度1：判断幂函数的单调性...............................................8
角度2：由幂函数单调性求参数.............................................9
角度3：由幂函数单调性解不等式...........................................9
高频考点五：幂函数的奇偶性.................................................10
高频考点六：二次函数.......................................................11
角度1：二次函数值域问题................................................11
角度2：求二次函数解析式................................................12
角度3：由二次函数单调性（区间）求参数..................................14
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数..................................15
角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题................................16
第四部分：高考新题型.......................................................18
①开放性试题...............................................................18
②劣够性试题...............................................................18
第五部分：数学思想方法.....................................................19
①数形结合的思想...........................................................19
②分类讨论的思想...........................................................20
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背
1、幂函数
（1）幂函数定义
一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数．
（2）五种常见幂函数
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
性 在 上
在 和
质 在 上单 单调递减； 在 上单调 在 上单
单调性 上单
调递增 在 上 递增 调递增
调递减
单调递增
公共点
（3）幂函数性质（高频考点）
幂函数 ，在
①当 时， 在 单调递增；
②当 时， 在 单调递减；
2、二次函数
形如 的函数叫做二次函数.
第二部分：高考真题回归
1．（2022·天津·高考真题）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：幂函数的定义
角度1：求幂函数的值
典型例题
例题1．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中学校考开学考试）已知幂函数 的
图象过 点，则 （ ）．
A． B．4 C． D．8
例题2．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市新洲区第一中学校考期末）若函数 是
幂函数，且 在 上单调递增，则 ___________.
练透核心考点
1．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数 的图象过点 ，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
2．（2023秋·山东德州·高三统考期末）函数 同时满足①对于定
义域内的任意实数x，都有 ；②在 上是减函数，则 的值为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
角度2：求幂函数的解析式
典型例题
例题1．（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）已知幂函数 的图像过点 ，则 的值
为（ ）
A．2 B．1 C． D．0
例题2．（2023秋·北京·高一校考期末）若点 在幂函数 的图像上，则 的值为
__________.
练透核心考点1．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）已知幂函数 的图象过点 ，则 _________.
2．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数 的图象过点 ，则 ___________．
角度3：由幂函数求参数
典型例题
例题1．（2023·湖南湘西·高一统考）已知幂函数 的图像不过原点，则实数 的值
为（ ）
A．1 B．2
C．－2 D．1或2
例题2．（2023·上海浦东新·高一上海南汇中学校考）已知函数 是幂函数，则实数
__________.
练透核心考点
1．（2022秋·四川宜宾·高一统考期末）若 是定义域为 的幂函数，则 _________.
2．（2023春·陕西咸阳·高一校考开学考试）已知幂函数 在 上为增函数，则
___________.
3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校考）已知函数 ， 为何值时,
(1) 是幂函数；
(2) 是二次函数.
高频考点二：幂函数的值域
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·江苏·高一专题练习）已知幂函数 在区间 上是减函数．
(1)求函数 的解析式；(2)讨论函数 的奇偶性和单调性；
(3)求函数 的值域．
练透核心考点
1．（2022秋·广东广州·高一广州市第一一三中学校考期末）幂函数 的图象过点 ，则函数
的值域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·高一课时练习）函数 ，其中 ，则其值域为___________.
高频考点三：幂函数图象
角度1：判断幂函数图象
典型例题
例题1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考开学考试）已知幂函数 的图象经过点
，则 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2023·山东临沂·高一校考期末）下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（
）A．① ，② ，③ ，④
B．① ，② ，③ ，④
C．① ，② ，③ ，④
D．① ，② ，③ ，④
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数 ，当 取不同的正数时，在区间 上它们的图像是
一组美丽的曲线（如图），设点 ， ，连接 ，线段 恰好被其中的两个幂函数 ，
的图像三等分，即有 ，那么 ________.
练透核心考点
1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）若点 在幂函数 的图象上，则 的图象大致是
（ ）
A． B．
C． D．2．（2023秋·山东·高一山东师范大学附中校考期末）已知某幂函数的图象经过点 ，则该幂函数的
大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·高一课时练习）函数 的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
角度2：幂函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）当 时，函数 的图象恒过定点 ，则点 的
坐标为________．
例题2．（2023·高一课时练习）幂函数 的图像恒过定点______．
练透核心考点1．（2023·高一课时练习）函数 恒过定点______．
2．（2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）不论实数 取何值，函数 恒过的定点坐标是
___________．
高频考点四：幂函数单调性
角度1：判断幂函数的单调性
典型例题
例题1．（2023春·云南文山·高二校考阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为
（ ）．
A． B． C． D．
例题2．（2023·江苏·高三统考学业考试）已知函数 是偶函数，且在区间 上单调递增，
则下列实数可作为 值的是（ ）
A．-2 B． C．2 D．3
例题3．（2023春·陕西咸阳·高一校考阶段练习）若 幂函数 为减函数，则
实数 的值为______.
练透核心考点
1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）已知幂函数
在 上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．1或 B． C．1 D．
2．（2023秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）函数 的单调增区间是______.
3．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）函数 在其定义域上的单调性是______.
角度2：由幂函数单调性求参数
典型例题
例题1．（2023秋·河北承德·高一统考期末）若幂函数 在 上单调递增，则 （ ）
A．3 B．1或3 C．4 D．4或6
例题2．（2023春·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考开学考试）“ ”是“幂函数
在 上单调递减”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．既不充分也不必要 D．充要
例题3．（2023秋·四川内江·高一统考期末）已知 在区间 上是单调增
函数，则 的取值范围为______.
练透核心考点
1．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知幂函数 在 上单调递增，则实数m的
值为___________.
2．（2023春·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）已知实数 ，若
幂函数 为偶函数，且在 上严格递减，则实数 __________．
3．（2023秋·安徽宣城·高一统考期末）已知函数 是幂函数，且在 上单调
递增，则实数 __________.
角度3：由幂函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023春·甘肃张掖·高一统考期末）已知幂函数 的图象过点 ，若
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考开学考试）已知幂函数 经过点 ，则不等式
的解集为___________．
例题3．（2023春·高一校考开学考试）已知幂函数 ( Z)的图象关于 轴对称，且在
上是单调递减函数．
(1)求 的值；
(2)解不等式 ．练透核心考点
1．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知幂函数 的图象过点 ，且
，则 的取值范围是______.
2．（2023·高一课时练习）关于 的不等式 的解集为__________.
3．（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知幂函数 是偶函数．
(1)求函数 的解析式；
(2)若 ，求x的取值范围．
高频考点五：幂函数的奇偶性
典型例题
例题1．（2023秋·江苏常州·高一统考期末）下列幂函数中，既在区间 上递减，又是奇函数的是
（ ）．
A． B． C． D．
例题2．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知幂函数 为偶函数，则实数 的
值为__________.
例题3．（2023秋·江西新余·高一统考期末）已知幂函数 的图像关于 轴对
称．
(1)求 的解析式；
(2)求函数 在 上的值域．练透核心考点
1．（2023·辽宁·校联考一模）下列函数中，是偶函数，且在区间 单调递增的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 是幂函数，且在 上单调递增，则满足
的实数 的范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·高一课时练习）已知幂函数 的表达式为 ，函数 的
图像关于 轴对称，且满足 ，求 的值．
高频考点六：二次函数
角度1：二次函数值域问题
典型例题
例题1．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）函数
在区间 上（ ）
A．有最大值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
例题2．（2022秋·吉林白城·高一统考期末）函数 ， 的值域是______.
练透核心考点
1．（2022秋·江苏南京·高一校考期中）已知函数 ， ，函数 的值域为
（ ）
A． B．
C． D．2．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）若函数 ， ，则 的值域为
___________.
3．（2022秋·四川阿坝·高一校考期中）已知二次函数 ，则 的值域是
___________．
角度2：求二次函数解析式
典型例题
例题1．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函
数： __________．
① 的最小值为 ；② 的一次项系数为 ；③ ；④ ．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知 是二次函数且 ， ，则
_____.
例题3．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）在①不等式 的解集为
，②当 时， 取得最大值4，③ 这三个条件中任选一个，补充在
下面的问题中，并作答.
问题：已知函数 ，且__________.
(1)求 的解析式；
(2)若 在 上的值域为 ，求 的值.
练透核心考点
1．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）已知二次函数 的图象过点 .
(1)求 的解析式，并写出 的单调递增区间（不要求证明）；(2)求不等式 的解集．
2．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中校考期末）设 ，已知函数过点 ，且函数的对
称轴为 .
(1)求函数的表达式；
(2)若 ，函数的最大值为 ，最小值为 ，求 的值.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 对任意 满足： ，二次函数 满
足： 且 ．则 ___________， ___________.
角度3：由二次函数单调性（区间）求参数
典型例题
例题1．（2023秋·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）已知函数 在区间 上
是单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
例题2．（多选）（2023秋·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考期末）函数
在 上不单调，则实数 的取值可能是（ ）
A．－1 B．0
C．1 D．2
例题3．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知函数
，在 上是减函数，则实数 的取值范围是________．
练透核心考点
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）函数 在区间 不单调的充分不必要条件是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·上海崇明·高一统考期末）已知函数 在区间 上是严格减函数，则实数a
的取值范围是_____________．
3．（2023秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）若二次函数 在区间 上
为严格减函数，则实数 的取值范围是________．
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数
典型例题
例题1．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）若函数 的定义域
为 ，值域为 ，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上的值域为 ，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023秋·江西萍乡·高一统考期末）已知二次函数 满足 ，请从下列①和②两个条
件中选一个作为已知条件，完成下面问题.
① ；②不等式 的解集为 .
(1)求 的解析式；
(2)若 在 上的值域为 ，求实数 的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为( )
A． B．－3 C． 或－3 D．4
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的定义域和值域都是 ，则 （ ）
A．1 B．3 C． D．1或3
3．（2023·全国·高三专题练习）函数 在[ 1，m]内的值域为[ 4，0]，则实数m需满足
___________.
角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题
典型例题
例题1．（2023·高三课时练习）求函数 ， 的最小值.例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数
(1)当 时，求函数 的值域；
(2)当 时，求函数 的最小值．
例题3．（2023·高一课时练习）已知二次函数满足 ，且
(1)求 的解析式.
(2)求 在 ， 的最小值 ，并写出 的函数的表达式.
练透核心考点
1．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知函数 .
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)已知 在 上单调递增，求 的取值范围；
(3)求 在 上的最小值.2．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）已知函数 ．
(1)若 有两个零点，求实数m的取值范围；
(2)当 时，求 的最小值．
3．（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）设函数 .
(1)当 时，求函数 在区间 的最大值和最小值：
(2)设函数 在区间 的最小值为 ，求 .
第四部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023秋·浙江宁波·高一统考期末）已知函数 的图象是一条连续不断的曲线，当
时，值域为 ，且在 上有两个零点，请写出一个满足上述条件的 ______.
2．（2023秋·上海闵行·高一统考期末）已知幂函数在区间 上是严格减函数，且图象关于y轴对称，
则满足条件的幂函数的表达式可以是 ___________（只需写出一个正确的答案）3．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）已知函数 若函数 在
上不是增函数，则a的一个取值为___________.
②劣够性试题
1．（2023秋·江西吉安·高一统考期末）给出下面两个条件：①函数 的图象与直线 只有一个交
点；②函数 的两个零点的差的绝对值为2．在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数
的解析式确定．
已知二次函数 满足 ，且 ．
(1)求 的解析式；
(2)若对任意 ， 恒成立，求实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
2．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）从“① ， ；②方程 有两个实数
根 ， ；③ ， ”这三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.
已知函数 为二次函数， ， ，____________.
(1)求函数 的解析式；
(2)若不等式 对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围.
注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.第五部分：数学思想方法
①数形结合的思想
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列是函数 的单调减区间的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）已知 =min{ ， }，下列说法
正确的是（ ）
A． 在区间 单调递增
B． 在区间 单调递减
C． 有最小值1
D． 有最大值1
3．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数 .
(1)在下面的平面直角坐标系中，作出函数 的图象；
(2)方程 有四个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
4．（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）已知函数 是奇函数.
(1)求实数 ；(2)若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围.
②分类讨论的思想
1．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）已知函数
(1)若函数 在区间 上单调，求实数 的取值范围；
(2)解不等式 ．
2．（2022秋·四川巴中·高一四川省平昌中学校考阶段练习）已知二次函数 的图象过点
，且最小值为 ．
(1)求函数的解析式；
(2)当 时，该函数的最小值为 ，求此时t的值．3．（2022秋·陕西汉中·高一校联考期末）已知函数 .
(1)若函数 在区间 上具有单调性，求实数a的取值范围；
(2)若 ，求函数 的最小值 .
