文档文本内容
第 04 讲 幂函数与二次函数 (精讲）
目录
第一部分：知识点必背............................................................2
第二部分：高考真题回归..........................................................3
第三部分：高频考点一遍过........................................................4
高频考点一：幂函数的定义....................................................4
角度1：求幂函数的值.....................................................4
角度2：求幂函数的解析式.................................................5
角度3：由幂函数求参数...................................................6
高频考点二：幂函数的值域....................................................8
高频考点三：幂函数图象......................................................9
角度1：判断幂函数图象...................................................9
角度2：幂函数图象过定点问题............................................13
高频考点四：幂函数单调性...................................................14
角度1：判断幂函数的单调性..............................................14
角度2：由幂函数单调性求参数............................................16
角度3：由幂函数单调性解不等式..........................................17
高频考点五：幂函数的奇偶性.................................................20
高频考点六：二次函数.......................................................23
角度1：二次函数值域问题................................................23
角度2：求二次函数解析式................................................24
角度3：由二次函数单调性（区间）求参数..................................27
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数..................................29
角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题................................32
第四部分：高考新题型.......................................................36
①开放性试题...............................................................36
②劣够性试题...............................................................37
第五部分：数学思想方法.....................................................39
①数形结合的思想...........................................................39
②分类讨论的思想...........................................................42
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背
1、幂函数
（1）幂函数定义
一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数．
（2）五种常见幂函数
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
性 在 上
在 和
质 在 上单 单调递减； 在 上单调 在 上单
单调性 上单
调递增 在 上 递增 调递增
调递减
单调递增
公共点
（3）幂函数性质（高频考点）
幂函数 ，在
①当 时， 在 单调递增；
②当 时， 在 单调递减；
2、二次函数
形如 的函数叫做二次函数.
第二部分：高考真题回归
1．（2022·天津·高考真题）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，故 .
故答案为：C.2．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
【答案】
【详解】 ，因为 为奇函数，所以
故答案为：
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：幂函数的定义
角度1：求幂函数的值
典型例题
例题1．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中学校考开学考试）已知幂函数 的
图象过 点，则 （ ）．
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【详解】因为函数 为幂函数，所以可设f（x）＝xa，
因为 图象过 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以
故选：C
例题2．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市新洲区第一中学校考期末）若函数 是
幂函数，且 在 上单调递增，则 ___________.
【答案】
【详解】因为函数 是幂函数，且 在 上单调递增，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，故答案为：2
练透核心考点
1．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数 的图象过点 ，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】B
【详解】设幂函数为 ，图象过点 ，故 ，故 ，
， .
故选：B
2．（2023秋·山东德州·高三统考期末）函数 同时满足①对于定
义域内的任意实数x，都有 ；②在 上是减函数，则 的值为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【详解】 ， ， ，代入 分别是 ，
在定义域内 ，即 是偶函数，因此 取值 或0，
时， 在 上不是减函数，
只有 满足，此时 ， ，
．
故选：B．
角度2：求幂函数的解析式
典型例题
例题1．（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）已知幂函数 的图像过点 ，则 的值
为（ ）
A．2 B．1 C． D．0
【答案】C
【详解】由 为幂函数，知 .又函数图像过点 ，则 ，故 .
故选：C例题2．（2023秋·北京·高一校考期末）若点 在幂函数 的图像上，则 的值为
__________.
【答案】3
【详解】因为 为幂函数，则 ， ，
即 ，
又点 在函数 的图像上，
则 ，解得 ，
所以
故答案为：3.
练透核心考点
1．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）已知幂函数 的图象过点 ，则 _________.
【答案】
【详解】设函数 ，又因为幂函数 的图象过点 ，
所以 ，解得： ，所以函数 ，
故答案为： .
2．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数 的图象过点 ，则 ___________．
【答案】
【详解】设幂函数为 为常数)，因为幂函数过点 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
故答案为： .
角度3：由幂函数求参数
典型例题
例题1．（2023·湖南湘西·高一统考）已知幂函数 的图像不过原点，则实数 的值
为（ ）
A．1 B．2
C．－2 D．1或2【答案】A
【详解】 函数 是幂函数，
，解得 或 ．
当 时， ，图像不过原点，符合题意；
当 时， ，图像过原点，不符合题意．
故选：A．
例题2．（2023·上海浦东新·高一上海南汇中学校考）已知函数 是幂函数，则实数
__________.
【答案】2
【详解】因为函数 是幂函数，则 ，解得 ，
所以 .
故答案为：2
练透核心考点
1．（2022秋·四川宜宾·高一统考期末）若 是定义域为 的幂函数，则 _________.
【答案】
【详解】因为 是幂函数，则有 ，解得 ，
此时函数 的定义域为 ，符合题意，所以 .
故答案为：1
2．（2023春·陕西咸阳·高一校考开学考试）已知幂函数 在 上为增函数，则
___________.
【答案】
【详解】因为幂函数 在 上为增函数，则 ，解得 .
故答案为： .
3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校考）已知函数 ， 为何值时,
(1) 是幂函数；
(2) 是二次函数.
【答案】(1) 或 ；
(2) .
【详解】（1）解：因为函数 为幂函数，则 ，
解得 或 .（2）解：因为函数 为二次函数，则 ，
解得 ，此时 符合题意.
高频考点二：幂函数的值域
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 可知， , ，定义域、值域相同；
由 可知 ， ，定义域、值域相同；
由 可知， ,，定义域、值域相同 ；
由 可知， ， ，定义域、值域不相同.
故选：D
例题2．（2022·江苏·高一专题练习）已知幂函数 在区间 上是减函数．
(1)求函数 的解析式；
(2)讨论函数 的奇偶性和单调性；
(3)求函数 的值域．
【答案】(1) 或 或
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）解：依题意 ，即 ，解得 ，因为 ，所以
或 或 ，所以 或 或
（2）解：若 定义域为 ，则 为奇函数，且在 和 上单调递
减；
若 定义域为 ，则 为偶函数，且在 上单调递增，在 上单
调递减；
若 定义域为 ，则 为奇函数，且在 和 上单调递减；（3）若 ，则 为奇函数，当 时 ，所以 时 ，所以函数的
值域为 ；
若 ，则 为偶函数，当 时 ，所以 时 ，所以函数的值
域为 ；
若 ，则 为奇函数，当 时 ，所以 时 ，所以函数的值域
为 ；
练透核心考点
1．（2022秋·广东广州·高一广州市第一一三中学校考期末）幂函数 的图象过点 ，则函数
的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设 ，
代入点 得
，
则 ，令 ，
函数 的值域是 .
故选：C.
2．（2023·高一课时练习）函数 ，其中 ，则其值域为___________.
【答案】 ##
【详解】设 ，则 .因为 ，所以 . 当 时， .所以函数的
值域为 .
故答案为：高频考点三：幂函数图象
角度1：判断幂函数图象
典型例题
例题1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考开学考试）已知幂函数 的图象经过点
，则 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设 ，因为 的图象经过点 ，
所以 ，即 ，解得 ，则 ，
因为 ，所以 为偶函数，排除B、D，
因为 的定义域为 ，排除A．
因为 在 内单调递增，结合偶函数可得 在 内单调递减，故C满足，
故选：C.
例题2．（2023·山东临沂·高一校考期末）下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（
）
A．① ，② ，③ ，④
B．① ，② ，③ ，④C．① ，② ，③ ，④
D．① ，② ，③ ，④
【答案】A
【详解】函数 为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应；
函数 ，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应；
的定义域、值域都是 ，该函数图像应与③对应；
，其图像应与④对应．
故选：A．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数 ，当 取不同的正数时，在区间 上它们的图像是
一组美丽的曲线（如图），设点 ， ，连接 ，线段 恰好被其中的两个幂函数 ，
的图像三等分，即有 ，那么 ________.
【答案】
【详解】 ，点 ， ，
所以 ， ，
将两点坐标分别代入 ， ，
得 ， ，
，
故答案为： .
练透核心考点
1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）若点 在幂函数 的图象上，则 的图象大致是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设幂函数 ，将点 代入，得 ，解得 ，
所以 ，定义域为 ，且在定义域内单调递增，大致图像为B，
故选：B．
2．（2023秋·山东·高一山东师范大学附中校考期末）已知某幂函数的图象经过点 ，则该幂函数的
大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：设幂函数为 ，由函数过点 ，
所以 ，即 ，所以 ，解得 ，
所以 ，则函数的定义域为 ，且 ，故 为偶函数，且函数在 上单调递减，则函数在 上单调递增，
故符合题意的为D；
故选：D
3．（2023·高一课时练习）函数 的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意知，函数 ，则满足 ，解得 ，故函数的定义域为 ，又 ，
结合幂函数的性质，可得选项C符合题意．
故选：C
角度2：幂函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）当 时，函数 的图象恒过定点 ，则点 的
坐标为________．
【答案】
【详解】由于对任意的 ， 恒经过点 ，所以函数 的图象恒过定点 ,
故答案为：
例题2．（2023·高一课时练习）幂函数 的图像恒过定点______．
【答案】【详解】幂函数 的图像恒过定点 .
故答案为：
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）函数 恒过定点______．
【答案】
【详解】当 ，即 时， ， 函数恒过定点 .
故答案为： .
2．（2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）不论实数 取何值，函数 恒过的定点坐标是
___________．
【答案】
【详解】因为 ，故当 ，即 时， ，
即函数 恒过定点 .
故答案为： .
高频考点四：幂函数单调性
角度1：判断幂函数的单调性
典型例题
例题1．（2023春·云南文山·高二校考阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A：一次函数的性质知 在 上是减函数，不合题意．
B： 定义域为R且 ，为非奇非偶且是减函数，不合题意；
C： 定义域为R且 ，为偶函数且在R上不单调，不合题意．
D： 定义域为R且 ，为奇函数且在 上是增函数，符合题意.
故选：D．
例题2．（2023·江苏·高三统考学业考试）已知函数 是偶函数，且在区间 上单调递增，则下列实数可作为 值的是（ ）
A．-2 B． C．2 D．3
【答案】C
【详解】对选项A： ， ，函数在 上单调递减，错误；
对选项B： ， ，函数定义域为 ，不是偶函数，错误；
对选项C： ， ，函数定义域为 ， ，函数为偶函数，且在 上单
调递增，正确；
对选项D： ， ，函数定义域为 ， ，函数为奇函数，错误；
故选：C
例题3．（2023春·陕西咸阳·高一校考阶段练习）若 幂函数 为减函数，则
实数 的值为______.
【答案】
【详解】因为函数 是幂函数，
所以 ，解得 或 ，
当 时， ，满足在区间 上是减函数，
当 时， ，不满足在区间 上是减函数，
故答案为：
练透核心考点
1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）已知幂函数
在 上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．1或 B． C．1 D．
【答案】C
【详解】由幂函数定义得 ，解得： 或 ．
当 时， ，利用幂函数性质知： 在 上单调递减；
当 时， ，利用幂函数性质知： 在 上单调递增，不符题意舍去.
故选：C.
2．（2023秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）函数 的单调增区间是______.
【答案】
【详解】 在 上递增， 在 上递增，
所以函数 的单调增区间是 .故答案为：
3．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）函数 在其定义域上的单调性是______.
【答案】单调递增
【详解】幂函数 ，定义域 ，指数为 ，满足 ，
故函数 在其定义域上的单调性是单调递增，
故答案为：单调递增.
角度2：由幂函数单调性求参数
典型例题
例题1．（2023秋·河北承德·高一统考期末）若幂函数 在 上单调递增，
则 （ ）
A．3 B．1或3 C．4 D．4或6
【答案】A
【详解】解：因为幂函数 在 上单调递增，
所以 ，解得 .
故选：A
例题2．（2023春·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考开学考试）“ ”是“幂函数
在 上单调递减”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．既不充分也不必要 D．充要
【答案】D
【详解】解：因为幂函数 在 上单调递减，
所以 ，解得 ，
所以“ ”是“幂函数 在 上单调递减”的充要条件.
故选：D
例题3．（2023秋·四川内江·高一统考期末）已知 在区间 上是单调增
函数，则 的取值范围为______.【答案】
【详解】由 在区间 上是单调增函数，有 ，解得 ，则a的取值范围为
.
故答案为：
练透核心考点
1．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知幂函数 在 上单调递增，则实数m的
值为___________.
【答案】1
【详解】根据幂函数的定义可得 ，解得 或 ，
当 时， 在 上单调递减，不合题意；
当 时， 在 上单调递增，符合题意.
故答案为： .
2．（2023春·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）已知实数 ，若
幂函数 为偶函数，且在 上严格递减，则实数 __________．
【答案】
【详解】因 在 上单调递减，则 ；又 为偶函数，则
.
故答案为： .
3．（2023秋·安徽宣城·高一统考期末）已知函数 是幂函数，且在 上单调
递增，则实数 __________.
【答案】 或3
【详解】函数 是幂函数，且在 上单调递增，
则有 ，解得 或 .
故答案为： 或3角度3：由幂函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023春·甘肃张掖·高一统考期末）已知幂函数 的图象过点 ，若
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设幂函数 ，其图象过点 ，所以 ，解得 ，
所以 .
因为 ，所以 为奇函数，且在 上单调递增，
所以 可化为 ，
可得 ，解得 ，所以 的取值范围为 .
故选:C.
例题2．（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考开学考试）已知幂函数 经过点 ，则不等式
的解集为___________．
【答案】
【详解】设幂函数 ，
由题意得 ，解得 ，故 ， ，
则 ，即为 ，
根据 在 上为单调增函数，则有 ，
解得 ，故解集为 ，
故答案为： ．
例题3．（2023春·高一校考开学考试）已知幂函数 ( Z)的图象关于 轴对称，且在
上是单调递减函数．
(1)求 的值；
(2)解不等式 ．
【答案】(1)
(2)【详解】（1）因为幂函数 ( Z)的图象关于 轴对称，所以函数 是偶函数，
为偶数， 为奇数，
因为函数在 上是单调递减函数，所以 ，解得 ，
因为 Z，则 ， ， ，
当 时， 为偶数，舍去；
当 时， 为奇数，
当 时， 为偶数，舍去；
故 ；
（2）由（1）可得 ，定义域为 ，且在 上是单调递减函数， 为偶函数，
又 ，即 ，且 ，解得 且 ，
所以不等式的解集为 ．
练透核心考点
1．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知幂函数 的图象过点 ，且
，则 的取值范围是______.
【答案】
【详解】设幂函数 ， ，
因为幂函数 的图象过点 ，所以 ，解得 ，
所以 ， 的定义域为 ，且在 上单调递减，
因为 ，所以 ，解得 ，
故答案为：
2．（2023·高一课时练习）关于 的不等式 的解集为__________.
【答案】
【详解】因为函数 的定义域为 ，
由 ，可得 为奇函数，因为 ，所以 在 和 上单调递减，
当 即 时，
由 可得 ，解得 ，
所以 ，
当 ，即 或 时，
由 可得 ，解得 ，
所以 ，
综上所述：原不等式的解集为 ，
故答案为： .
3．（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知幂函数 是偶函数．
(1)求函数 的解析式；
(2)若 ，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）已知幂函数 ，则 ，解得 或 ，
所以 或 ，又函数 为偶函数，所以 ；
（2）由于幂函数 在 上单调递增，又函数 为偶函数，所以 在 单调递减，
若 ，则 ，平方后解得 ，
所以x的取值范围是 .
高频考点五：幂函数的奇偶性
典型例题
例题1．（2023秋·江苏常州·高一统考期末）下列幂函数中，既在区间 上递减，又是奇函数的是
（ ）．A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对选项A， 在 为增函数，故A错误.
对选项B， 在 为增函数，故B错误.
对选项C， 在 为减函数，
设 ，定义域为 ，
，所以 为偶函数，故C错误.
对选项D， 在 为减函数，
设 ，定义域为 ，
，所以 为奇函数，故D正确.
故选：D
例题2．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知幂函数 为偶函数，则实数 的
值为__________.
【答案】
【详解】 为幂函数， ，解得： 或 ；
当 时， 为偶函数，满足题意；
当 时， 为奇函数，不合题意；
综上所述： .
故答案为： .
例题3．（2023秋·江西新余·高一统考期末）已知幂函数 的图像关于 轴对
称．
(1)求 的解析式；
(2)求函数 在 上的值域．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为 是幂函数，
所以 ，解得 或 ．
又 的图像关于y轴对称，所以 ，
故 ．
（2）由（1）可知， ．
因为 ，所以 ，
又函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
故 在 上的值域为 ．
练透核心考点
1．（2023·辽宁·校联考一模）下列函数中，是偶函数，且在区间 单调递增的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： 为奇函数， ， 为偶函数，
但在 单调递增，所以在 单调递减，
而 为偶函数且在 单调递增.
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 是幂函数，且在 上单调递增，则满足
的实数 的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意 ，解得 或 ，
又 在 上单调递增，所以 ， ，所以 ， ，易知 是偶函数，
所以由 得 ，解得 或 .
故选：D.
3．（2023·高一课时练习）已知幂函数 的表达式为 ，函数 的
图像关于 轴对称，且满足 ，求 的值．
【答案】
【详解】∵ 为幂函数，∴ ，解得 ；
又 ，∴ ，解得 ．
∵ ，∴ 或 ．
当 时， ，此时 的图像关于原点对称，不合题意；
当 时， ，满足题意，∴ ．
∴ ．
高频考点六：二次函数
角度1：二次函数值域问题
典型例题
例题1．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）函数
在区间 上（ ）
A．有最大值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
【答案】A
【详解】解：因为 ，
所以函数 的图象是开口向下的抛物线，对称轴为 ，如图所示：
由此可得函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，无最小值.故选：A.
例题2．（2022秋·吉林白城·高一统考期末）函数 ， 的值域是______.
【答案】
【详解】因为 ，
∴函数 的最小值是2，又 ， ，
∴函数 的值域是 .
故答案为： .
练透核心考点
1．（2022秋·江苏南京·高一校考期中）已知函数 ， ，函数 的值域为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当 时， ，则 .
故选：D.
2．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）若函数 ， ，则 的值域为
___________.
【答案】
【详解】函数 ，对称轴为 ，
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
故 的值域为 .
故答案为： .
3．（2022秋·四川阿坝·高一校考期中）已知二次函数 ，则 的值域是
___________．
【答案】
【详解】解：二次函数 ，
，因为 ，
所以 ，
所以 的值域是 ，
故答案为：
角度2：求二次函数解析式
典型例题
例题1．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函
数： __________．
① 的最小值为 ；② 的一次项系数为 ；③ ；④ ．
【答案】 ## ## ##
【详解】第一种情况： 具有①②③三个性质，由②③可设 ，则根据①可得：
，解得 ，所以 ．
第二种情况： 具有①②④三个性质，由①④可设 ，则根据②可得：
，解得 ，所以 ．
第三种情况： 具有①③④三个性质，由①④可设 ，则根据③可得：
，解得： ，所以 ．
第四种情况： 具有②③④三个性质，由②③可设 ，则根据④可得： ，
解得 ，所以 ．
故答案为： 或 或 或 .（不唯一）
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知 是二次函数且 ， ，则
_____.
【答案】
【详解】因为 是二次函数且 ，所以设 ．
又因为 ，
所以 ，
整理得 ，所以 ，解得 ， ，所以 .
故答案为： .
例题3．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）在①不等式 的解集为
，②当 时， 取得最大值4，③ 这三个条件中任选一个，补充在
下面的问题中，并作答.
问题：已知函数 ，且__________.
(1)求 的解析式；
(2)若 在 上的值域为 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)5
【详解】（1）若选①：由函数 ，且不等式 的解集为 ，
即 是方程 两个实数根，且 ，
可得 ，解得 ，
所以 ；
若选②：由题意可得 ，解得 ，
故 ；
若选③：因为 ，所以 图象的对称轴方程为 ，
则 ，即 ，
因为 ，所以 ，
故 .
（2）因为 在 上的值域为 ，所以 ，即 ，
因为 图象的对称轴方程为 ，所以 在 上单调递减，
则 ，解得 ，即 .
练透核心考点
1．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）已知二次函数 的图象过点 .
(1)求 的解析式，并写出 的单调递增区间（不要求证明）；
(2)求不等式 的解集．
【答案】(1) ， ；
(2) .
【详解】（1）因为函数 的图象过点 ，
所以 ,解得 .
所以 的解析式为 .
，故 的单调递增区间为 .
（2） 即为 ,
即 ，解得 或 .
故不等式 的解集为 .
2．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中校考期末）设 ，已知函数过点 ，且函数的对
称轴为 .
(1)求函数的表达式；
(2)若 ，函数的最大值为 ，最小值为 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：依题意 ，解得 ，所以 ；
（2）解：由（1）可得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，
所以 ， ，
即 、 ，所以 .3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 对任意 满足： ，二次函数 满
足： 且 ．则 ___________， ___________.
【答案】
【详解】解：（1） ①，用 代替上式中的 ，得 ②，联
立①②，可得 ；设 ，所以
，即 ，
所以 ，解得 ， ，又 ，得 ，所以 .
故答案为： ，
角度3：由二次函数单调性（区间）求参数
典型例题
例题1．（2023秋·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）已知函数 在区间 上
是单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】函数 的对称轴为 .
若函数 在区间 上单调递减，则应有 ，所以 ；
若函数 在区间 上单调递增，则应有 ，所以 .
综上所述，实数k的取值范围是 或 .
故选：C.
例题2．（多选）（2023秋·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考期末）函数
在 上不单调，则实数 的取值可能是（ ）
A．－1 B．0
C．1 D．2
【答案】BC
【详解】因为函数 在 上不单调，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：BC.
例题3．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知函数
，在 上是减函数，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【详解】因为函数 在R上是减函数，
根据题意： ，解得 .
故答案为： .
练透核心考点
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）函数 在区间 不单调的充分不必要条件是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】解 在区间 上不单调，
又 的图象是开口向上，对称轴为 的抛物线，
原命题的充要条件为 ，即 ，
原命题的一个充分不必要条件只有B、C选项满足，
故选：BC．
2．（2023秋·上海崇明·高一统考期末）已知函数 在区间 上是严格减函数，则实数a
的取值范围是_____________．
【答案】【详解】函数 在 上是严格减函数，依题意， ，
所以实数a的取值范围是 .
故答案为：
3．（2023秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）若二次函数 在区间 上
为严格减函数，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【详解】解：因为二次函数 在区间 上为严格减函数，
所以 ，即 ，解得 ,
所以，实数 的取值范围是
故答案为：
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数
典型例题
例题1．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）若函数 的定义域
为 ，值域为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 的对称轴为 ，当 时， ， 时 ，
故当 时，设另一根为 ，解得 ，要使定义域为 时，值域为 ，故 .故选：B
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上的值域为 ，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数 在[0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，
时 时 ，
函数 的部分图象及在 上的的图象如图所示.
所以为使函数 在 上的值域为 ，实数m的取值范围是 ，
故选：B.
例题3．（2023秋·江西萍乡·高一统考期末）已知二次函数 满足 ，请从下列①和②两个条
件中选一个作为已知条件，完成下面问题.
① ；②不等式 的解集为 .
(1)求 的解析式；
(2)若 在 上的值域为 ，求实数 的取值范围.【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设 ，由 得， ，即 ，
若选择①：则 ，
即 ，
则 ， ，解得 ， ，即 ；
若选择②：则不等式 的解集为 ，即 ，且方程 的两根为
和4，
则 ， ，解得 ， ，即 ；
（2）由（1）知，函数 开口向上，
对称轴为直线 ，且 ， ，
若 在 上的值域为 ，则 ，
令 ，解得 或 ，根据二次函数的图象知， ，
综上所述：实数 的取值范围为 .
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为( )
A． B．－3 C． 或－3 D．4
【答案】C
【详解】由题意得f(x)＝a(x＋1)2＋1－a．①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题
意，舍去；
②当a>0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得 ；
③当a<0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3．
综上可知，a的值为 或－3．
故选：C．
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的定义域和值域都是 ，则 （ ）
A．1 B．3 C． D．1或3
【答案】B【详解】因为函数 在 上为增函数，且定义域和值域都是 ，
所以 ， ，解得 或 （舍），
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）函数 在[ 1，m]内的值域为[ 4，0]，则实数m需满足
___________.
【答案】[1，3]
【详解】由 可得 ，或 ，
因为 ，
所以 ，
因为函数 在[ 1，m]内的值域为[ 4，0]，
所以 ，即实数m的范围为[1，3]，
故答案为：[1，3]
角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题
典型例题
例题1．（2023·高三课时练习）求函数 ， 的最小值.
【答案】
【详解】由题意知：函数 开口方向向下，对称轴为 ，
因为 ，令 ，
当 时， ；
当 时， .
所以函数 ， 的最小值 .
例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数
(1)当 时，求函数 的值域；
(2)当 时，求函数 的最小值．
【答案】(1)
(2)答案见解析（1）
解：由题意，函数 ，
可得函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，
综上函数 在上的值域为 .
（2）
解：①当 时，函数在区间 上单调递减，最小值为 ；
②当 时，函数在区间 上单调递减，
在区间 上单调递增，最小值为 ；
③当 时，函数在区间 上单调递增，最小值为 ，
综上可得：当 时，函数 的最小值为 ；当 ，函数 的最小值为 ；当 时，函
数 的最小值为 .
例题3．（2023·高一课时练习）已知二次函数满足 ，且
(1)求 的解析式.
(2)求 在 ， 的最小值 ，并写出 的函数的表达式.
【答案】(1)
(2)当 时， ，当 时， ，当 时， ，
【详解】（1）设 ， ，又 ，
，由 知 ，
（2） ，对称轴为： ，故当 时， 在 上单调递增，故
在 处取得最小值， ，当 ，即 时， 在 上单调
递减，故 在 处取得最小值， ，当 时， 在 上单调递
减，在 上单调递增，故 在 处取得最小值， ，
所以练透核心考点
1．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知函数 .
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)已知 在 上单调递增，求 的取值范围；
(3)求 在 上的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：当 时，函数 ，
不等式 ，即 ，解得 或 ，
即不等式 的解集为 .
（2）解：由函数 ，可得 的图象开口向上，且对称轴为 ，
要使得 在 上单调递增，则满足 ，
所以 的取值范围为 .
（3）解：由函数 ，可得 的图象开口向上，且对称轴为 ，
当 时，函数 在 上单调递增，所以 最小值为 ；
当 时，函数 在 递减，在 上递增，
所以 最小值为 ；
当 时，函数 在 上单调递减，所以 最小值为 ，
综上可得， 在 上的最小值为 .
2．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）已知函数 ．
(1)若 有两个零点，求实数m的取值范围；
(2)当 时，求 的最小值．
【答案】(1)(2)答案见解析
【详解】（1）依题意， ，
则 ，解得 或 ，
故实数m的取值范围为 ．
（2）依题意， 的对称轴方程为 ．
当 ，即 时， 在 上单调递增，此时 的最小值为 ；
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，此时 的最小值为
；
当 ，即 时， 在 上单调递减，此时 的最小值为 ．
综上，当 时， 的最小值为6m，当 时， 的最小值为 ，当 时，
的最小值为 ．
3．（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）设函数 .
(1)当 时，求函数 在区间 的最大值和最小值：
(2)设函数 在区间 的最小值为 ，求 .
【答案】(1)最大值为 ，最小值为
(2)
【详解】（1）当 时， ，其对称轴为 ，
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，
，
故函数 在区间 的最大值为 ，最小值为 ；
（2） 对称轴为 ，
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
综上所述： .
第四部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023秋·浙江宁波·高一统考期末）已知函数 的图象是一条连续不断的曲线，当
时，值域为 ，且在 上有两个零点，请写出一个满足上述条件的 ______.
【答案】 （答案不唯一，如 亦可）
【详解】根据函数自变量 时，函数值域为 ，可考虑二次函数 ，
根据二次函数性质可知 时， ， ，
令 ，解得 ，即在 上有两个零点.
故答案为： （答案不唯一，如 亦可）
2．（2023秋·上海闵行·高一统考期末）已知幂函数在区间 上是严格减函数，且图象关于y轴对称，
则满足条件的幂函数的表达式可以是 ___________（只需写出一个正确的答案）
【答案】
【详解】根据幂函数的性质，要使幂函数 在 上是严格减函数，则 ，
又因为图象关于y轴对称，所以 为偶函数，
综上可知： 为负偶数，
所以满足条件的幂函数的表达式可以是 ，
故答案为： .
3．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）已知函数 若函数 在
上不是增函数，则a的一个取值为___________.
【答案】-2(答案不唯一，满足 或 即可)
【详解】y=x和y= 的图象如图所示：∴当 或 时，y= 有部分函数值比y=x的函数值小，
故当 或 时，函数 在 上不是增函数．
故答案为：-2．
②劣够性试题
1．（2023秋·江西吉安·高一统考期末）给出下面两个条件：①函数 的图象与直线 只有一个交
点；②函数 的两个零点的差的绝对值为2．在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数
的解析式确定．
已知二次函数 满足 ，且 ．
(1)求 的解析式；
(2)若对任意 ， 恒成立，求实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵二次函数 满足 ，
又 ，
∴ ，
∴ ，解得 ．
∴二次函数 ，
若选①：∵函数 的图象与直线 只有一个交点，
∴交点为函数 的顶点，即 ，解得 ，
∴ 的解析式为 ；若选②：设 是函数 的两个零点，则 ，由根与系数的关系可知 ， ，
∴ ，解得 ．
∴ 的解析式为 ；
（2）由 ，得 ，
当 时， ，
令 ，则 ，
∴对任意 ， 恒成立，等价于 在 上恒成立，
∴ ．
又 在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，当 时， ，
∴ ，
即实数m的取值范围为 ．
2．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）从“① ， ；②方程 有两个实数
根 ， ；③ ， ”这三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.
已知函数 为二次函数， ， ，____________.
(1)求函数 的解析式；
(2)若不等式 对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围.
注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.
【答案】(1)
(2)
（1）设 ，因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
若选择①：
∵ ， ，所以 的图象的对称轴方程为 ，即 ，所以 ，
所以 ， ，
故 .
若选择②：因为方程 的两根为 且 ，所以 ，即 ，
所以 ， ，
所以 .
若选择③：
∵ ， ，即 ，
所以 的图象的对称轴方程为 且 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 .
（2）
由（1）知 ，所以 ，
即 对一切实数x恒成立，
等价于 对 恒成立，
所以 ，解得 ，
故k的取值范围为 .
第五部分：数学思想方法
①数形结合的思想
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列是函数 的单调减区间的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】由 解得 ，
所以 ，
函数图象如图所示，由图可知函数 的单调减区间为 和 ，
故选：AC
2．（多选）（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）已知 =min{ ， }，下列说法
正确的是（ ）
A． 在区间 单调递增
B． 在区间 单调递减
C． 有最小值1
D． 有最大值1
【答案】BD
【详解】画出 的大致图象，如图所示：
由图象可知， 在区间 上不单调，在区间 单调递减，故 错误， 正确，
当 或 时， 取得最大值1，无最小值，故 错误， 正确，
故选： .
3．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数 .(1)在下面的平面直角坐标系中，作出函数 的图象；
(2)方程 有四个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
【答案】(1)图象见详解
(2)
【详解】（1） ,
函数 的图像：
（2）当 或 时，函数 取最小值，最小值为 ，且 .
由图像可知，方程 有四个不相等的实数根，即 与 有四个交点时，所以 .
故 的取值范围为 .
4．（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）已知函数 是奇函数.
(1)求实数 ；
(2)若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围.【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，当 时， ， ，
；
（2）由（1）知 ，函数的大致图像如下：
当 时，二次函数 的对称轴是 ，当 时函数 的对称轴为 ，
， ；
综上， .
②分类讨论的思想
1．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）已知函数
(1)若函数 在区间 上单调，求实数 的取值范围；
(2)解不等式 ．
【答案】(1)
(2)当 时，不等式 的解集为 ，
当 时，不等式 的解集为 ，
当 时，不等式 的解集为 ，
【详解】（1）函数 的对称轴 ，
函数 在区间 上单调
依题意得 或 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 .（2）由 ，
即 ，
即 ，
令
得方程的两根分别为 ，
当 ，即 时，不等式 的解集为 ，
当 ，即 时，不等式 的解集为 ，
当 ，即 时，不等式 的解集为 ，
综上，当 时，不等式 的解集为 ，
当 时，不等式 的解集为 ，
当 时，不等式 的解集为 ，
2．（2022秋·四川巴中·高一四川省平昌中学校考阶段练习）已知二次函数 的图象过点
，且最小值为 ．
(1)求函数的解析式；
(2)当 时，该函数的最小值为 ，求此时t的值．
【答案】(1)
(2)1或3
【详解】（1）由题意设函数的解析式为 ，
由已知可得二次函数的顶点坐标为 ，
代入得 ，解得 ，
所以二次函数解析式为 ，即 ．
（2）由（1）知 ，
则其图象的开口向上，对称轴为 ，
当 ，即 时， 在 上单调递减，
所以当 时， 取得最小值，
所以 ，解得 或 （舍去），所以 ；当 ，即 时， 在对称轴 处取得最小值 ，不满足题意；
当 时， 在 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值，
所以 ，解得 或 （舍去）．
综上所述：t的值为1或3．
3．（2022秋·陕西汉中·高一校联考期末）已知函数 .
(1)若函数 在区间 上具有单调性，求实数a的取值范围；
(2)若 ，求函数 的最小值 .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）二次函数 图像的对称轴为直线 ，
又∵ 在区间 上具有单调性，
∴ 或 .
∴实数a的取值范围为 .
（2）由（1）易知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
∴ .
