文档文本内容
微专题拓展05 函数同构经典模型
目录
01 解题方法总结..............................................................................................................................2
02 重难点题型梳理......................................................................................................................... 4
题型一：双变量对称同构问题............................................................................................................4
题型二：指对同构的核心原理与应用................................................................................................6
题型三：同构思想求解方程问题........................................................................................................8
题型四：和式结构同构问题..............................................................................................................10
题型五：积式结构同构问题..............................................................................................................13
题型六：同构法破解函数零点问题..................................................................................................17
题型七：基于同构思想的函数最值问题..........................................................................................24
题型八：同构法求解不等式恒成立问题..........................................................................................27
题型九：朗博同构与放缩技巧应用..................................................................................................29
题型十：公切线问题中的隐形同构模型..........................................................................................32
03 课后拓展精练............................................................................................................................35
一、八大同构函数图像
①
，②
，
③
，④
，
⑤
，⑥
，
⑦
，⑧
．
二、同构
1、常规变形方式
①
；②
；③
；④
；⑤
．
2、变形同构
①
；
②
；
③
④
⑤
3、双变量同构
(1)
为增函
数．
(2)
为减函数．
题型一：双变量对称同构问题
例1．已知函数
，对任意
，且
都有
成立，
则实数
的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，函数
在
上单调递增，则函数
在
上单调递增，
不妨设
，则
，由
，
得
，即
，
令函数
，则函数
在区间上
单调递减，
因此对
，
恒成立，
而函数
在
上单调递增，则当
时，
取得最小值3，于是
，
又
，所以实数
的取值范围是
.
故选：A
例2．已知函数
，若对任意两个不相等的正实数
，
，都有
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】若对任意两个不相等的正实数
都有
恒成立,不妨设
所以
，即
，
令
，则
，所以函数
在
上单调递增，
则
恒成立，即
恒成立，
又函数
，当
时，等号成立，
所以
， 所以实数
的取值范围是
．
例3．已知函数
，若对任意的
，当
时，都有
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
可得
，
设
，
依题意，当
时，
恒成立，
故函数
在
上单调递减，
因
，求导得
，
则
在
上恒成立，即
，
设
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递减，
故当
时，
，
故实数
的取值范围为
.
变式1．若对任意的
，且
，都有
成立，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．e
D．
【答案】A
【解析】由
可得
，
由
,且
,所以
，即
，
令
，则
在
上单调递增，
所以
，令
，则
,
当
时，
，此时
在
上单调递增；
当
时，
，此时
在
上单调递减；
所以
，故
.
故选：A.
变式2．（2026·四川凉山·一模）若
都有
成立，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意，若
，则
.
设
.
所以可得
在
，函数
为增函数.
对于
，其导数
.
若
，解得
，即函数
的递增区间为
；
若
都有
成立，即在
，函数
为增函数，则
的最大值为1.
故选：B.
题型二：指对同构的核心原理与应用
例4．对不等式
进行同构变形，并写出相应的同构函数.
【解析】因为
，
所以
.
例5．对不等式
进行同构变形，并写出相应的同构函数.
【解析】首先将不等式
进行处理，
因为
，不等式两边同时除以
可得：
，
令
，则
，原不等式可化为
，即
.
进一步变形为
.
考虑函数
，则不等式左边为
，对于右边
，可变形为
，即
.
所以不等式
同构变形为
，同构函数为
.
例6．对下列不等式进行同构变形，并写出相应的同构函数.
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
(6)
.
【解析】（1）显然
，则
，
同构函数为
；
（2）显然
，则
，同构函数为
；
（3）显然
，则
，
同构函数为
；
（4）显然
，则
，
同构函数为
；
（5）
，
同构函数为
；
（6）
，
同构函数为
.
题型三：同构思想求解方程问题
例7．同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：
，
，此时称
与
为同构式.已知实数
满足
，
，则
（ ）
A．6
B．8
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，则
令
，则
，故
在
单调递增，
所以
，
所以
，故
，
故
故选：B.
例8．（2026·高三·辽宁大连·期中）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为
同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于a 的方程
和关于b 的
方程
可化为同构方程，则
的值为（ ）
A．
B．e
C．
D．1
【答案】A
【解析】对
的两边同时取自然对数，得
①．
对
的两边同时取自然对数，得
，即
②．
因为方程①②为同构方程，所以
，解得
．
设
，则
，所以
在
上单调递增，
所以方程
的解只有一个，所以
，所以
．
故选:A．
例9．（2026·江苏南京·模拟预测）已知实数
，
满足
，
，其中是自然对数的底数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
可得，
，即
，也即
，
由
可得
，所以
，
即
，
构造函数
，
在
恒成立，
所以函数
在定义域
上单调递减，
所以
，即
，
又因为
，所以
，所以
，解得
，
故选:B.
变式3．已知实数
，
满足
，
，其中e 是自然对数的底数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，所以
．
因为
，所以
．
联立
，
所以
与
是关于x 的方程
的两根．
构造函数
，该函数的定义域为
，且该函数为增函数，
由于
，所以
，又
，
所以
，即
，解得
．
故选：D．
变式4．已知
满足
，其中是自然对数的底数，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
，
又
单调递增，所以
，故
.
故选：B
题型四：和式结构同构问题
例10．若关于
的不等式
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】将不等式
变形为
，
构造函数
，其中
，所以不等式
可以表示为
，
对
求导，得
，因为
，所以
恒成立，即
在
上单调递增，
则由不等式
可推出
对所有的
恒成立，即
，所以
必须小于或等于
在
时的最小值，
令
，则
，
当
时，
，说明
在
上单调递减；
当
时，
，说明
在
上单调递增；
因此，
在
处取最小值，最小值为
，
所以
，即
的最大值为，故B 正确.
例11．已知当
时，函数
恒成立，求实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，函数
，因此
不符合题意；
当
，根据函数
，即
，
令函数
，导函数
，
令
，
，令
，则
.
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
所以
在
处取得最小值，即
，
所以
，即
，因此函数
在
上单调递增.
因为
，即
，
所以
在
上恒成立，
所以
，令函数
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
即
，
所以
．
例12．已知不等式
对任意的
恒成立，则正数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
对任意的
恒成立，
则
对任意的
恒成立，
令
，易知
在
单调递增，
，
，
，
，
令
，则
，
令
得
，令
得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
的最小值为
，故
，
又
，
的取值范围
.
变式5．当
，满足
，则实数a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
.
设
，
，
则
.
又因为
，
，
由
；由
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
又当
时，
，
与1 的大小关系不确定，但是要求实数
的最小值，所以只要考虑
，此
时
，
所以
.
因为
，所以
，
.
设
，
，则
，
.
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减.
所以
.
所以
.
即实数
的最小值为
.
变式6．（2026·四川成都·三模）不等式
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得，
.
令
，则
在
上单调递增，
又
，
，
所以
，所以
，即
在
上恒成立.
令
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以
，所以
.
变式7．（2026·贵州贵阳·二模）已知函数
，若对任意
恒成立，则实
数a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因对任意
恒成立，即
在
上恒成立
变形得
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
设
，则有
，由
，可知函数
在
上单调递增，
故得
，即
在
上恒成立，
设
，则
，当
时，
，当
时，
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
在
时取得极大值，也是最大值为
，
故得
，即实数a 的最小值为
.
题型五：积式结构同构问题
例13．已知
对
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
，故
在
上单调递增.
对
恒成立，可等价变形为
，
在
上单调递增，
又
，所以
，所以
，
所以由
可得
，
可得
两边取对数得
，即
对
恒成立，
设
，则
，
令
得
，
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
∴当
.
对
恒成立，
，即实数
的取值范围是
.
例14．关于
的不等式
对
恒成立，实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题，将不等式变形得
，令
，则原不等
式等价于
，
当
时，
，此时不等式
恒成立；
当
时，
，当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
因为
，所以
，
，不等式转化为
，即
（＊）；
令
，则
，
在
单调递增，则
，且当
时
，所以为使（＊）对于对
恒成立，必须且只需
.
综上所述，
.
例15．若函数
，且
，则正实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得
的定义域为
；
，
由
得
，即
.
，
，
；
当
时，
，
，
，此时
恒成立；
当
时，
，得
；
，即
；
令
，则
；
，
，
，得
；
在
上单调递增.
由
，得
，即
；
，即
.
令
，则
.
令
，则
，得
；
当
时，
，
在
上单调递减；当
时，
，
在
上单调递
增；
当
时，
取得极小值，也是最小值，即
，
由
在
上恒成立，得
，即
，解得
；
，
；
正实数
的取值范围是
.
变式8．（2026·湖南株洲·三模）若存在
，使得
对
恒成立，则
实数b 的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】不等式
，
由已知存在
，使得
对
恒成立，
当
时，
，
，所以
，
由已知存在
，使得
对
恒成立，
所以
对
恒成立，
不等式
，
所以
对
恒成立，
因为
，故
，
令
，则
，故
在
上单调递增，
因此
对
恒成立，即
对
恒成立，
令
，求导得
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
因此函数
的最大值为
，故
.
变式9．已知关于
的不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，得
，令
，
则不等式变形为
在
上恒成立.
因为
，再令
，则
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
，即
，所以
在
上单调递增，
因此，由
得
，即
，所以不等式
在
上恒成立.
设
，
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减.
所以
，所以
.
因此实数
的取值范围为
.
题型六：同构法破解函数零点问题
例16．已知函数
的表达式为
，函数
的表达式为
，其中函数
经过点
.
(1)求实数
的值，并求函数
上一点
处的切线方程；
(2)求函数
和
的单调区间和极值；
(3)是否存在直线
，使得其与两条曲线
和
一共有三个不同的交点，并且从左到右的三
个交点的横坐标成等差数列，请说明理由.
【解析】（1）已知函数
经过点
，
将点
代入
可得：
，即
，解得
，
由
可得
，其定义域为
，求导可得
，
将
代入
，可得
，
所以函数
上一点
处的切线方程为
，
化简得
，
因此，实数
，函数
上一点
处的切线方程为
.
（2）由
可得
，其定义域为
，对
求导可得
，
令
，即
，解得
，
当
时，
，则
，所以
在
上单调递减；
当
时，
，则
，所以
在
上单调递增；
所以
在
处取极小值，极小值为
，无极大值；
由
可得
，其定义域为
，求导可得
，
令
，即
，解得
，
当
时，
，则
，所以
在
上单调递减；
当
时，
，则
，所以
在
上单调递增；
所以
在
处取极小值，极小值为
，无极大值；
因此
在
上单调递减，在
上单调递增，极小值为 ，无极大值；
在
上单调递减，在
上单调递增，极小值为 ，无极大值；
（3）证明存在直线
满足条件，观察可知
，
由（2）可知
在
上单调递减，在
上单调递增，
极小值为
；
在
上单调递减，在
上单调递增，
极小值为
；两函数的最小值均为，
构造共同点：设
，满足
（即
），整理得
，
零点存在性定理，令
，其定义域为
，
对
求导，可得
，
令
，求导得
，
当
时，
，但
时，
，
所以存在
，使得
，即
，
在
上，
单调递减，在
上，
单调递增，
因此
的最小值为
，
令
，则
，上式变为
，因为
，所以
，
即
，所以
在
上恒成立，故
在
上单调递增，
又因为
，
，
所以存在
，使得
，即公共点存在，有
，
找三个交点：令
，则
，因为
，且
，解得
和
；
由
，因为
，且
，解得
和
；
又因为三交点横坐标为
，有
，即中间项的
倍等于两边之和，故成等差数列；
因此，存在直线
，使得其与两条曲线
和
一共有三个不同的交点，
并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列；
例17．（2026·高三·上海·阶段检测）已知曲线
和
，它们的图像分别为曲线
和
．
(1)求函数
和
的最大值；
(2)证明：曲线
和
有唯一交点；
(3)设直线
与两条直线
、
共有三个不同交点，并且从左到右的三个交点的横坐标依次为
，
，
，求证：
，
，
成等比数列．
【解析】（1）对
求导，
，
令
，即
，所以1
，解得
，
当
时，
，
，
单调递增；
当
时，
，
，
单调递减，
所以
在
处取得极大值，也是最大值，
，
对
求导，
，
令
，即
，解得
，
当
时，
，
，
单调递增；当
时，
，
，
单调递减，
所以
在
处取得极大值，也是最大值，
，
因此，
的最大值为
，
的最大值为
．
（2）
，
设
，则
，
令
，则
，
所以，当
，
，
单调递减，
当
，
，
单调递增，所以
，即
，令
，则
，
所以，当
，
，
单调递减，
当
，
，
单调递增，所以
，即
，
所以
，
所以
，
所以
在
为减函数，
又
，
，即
，
所以，由零点存在定理知，
在
存在唯一的零点，
即方程
有唯一解，所以，曲线
和
有唯一交点．
（3）由（1）知
，
，
由（2）知，要使直线
与两条曲线
、
共有三个不同交点，
则直线
必过曲线
和
的交点
，且
，
所以
，故有
，
因为
，且
，
由（1）知
在
上递增，所以
，
同理
，且
，
由（1）知
在
上递减，
所以
，即
，
所以
，即
，
，
成等比数列．
例18．已知函数
和
，证明：存在直线
，其与两条曲线
和
共
有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【解析】证明：由题
，
，
所以
时
，
时
，
时
，当
时
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，
当
时，考虑
和
的解的个数，
设
，则
，
当
时
，当
时
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，而
，
设
，则
，所以
在
上为增函数，
所以
，故
，
故
有两个不同的零点，即
的解的个数为2，
设
，则
，
所以
时
，当
时
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，而
，
所以
有两个不同的零点，故
的解的个数为2；
同理可得，当
时，由
可知
、
均仅有一个解；
当
时，由
可知
、
均无解.
故若存在直线
与两条曲线
和
共有三个不同的交点，则
.
设
，则
，
设
，则
，
所以
在
上单调递增，则
，即
，
所以
，所以
在
上单调递增，
而
，
故
在
上有且仅有一个零点
，且
，
当
时
，即
，即
，
当
时
，即
，即
，
因此存在直线
与两条曲线
和
共有三个不同的交点，且
，
此时
有两个不同的根
，
有两个不同的根
，
故
，
，
，
，
所以
即
，即
，
故
为方程
的解，同理
为方程
的解，
又
可化为
，
所以
即
，
故
为方程
的解，同理
也为方程
的解，
所以
，而
，
故
，即
，故
成等差数列.
变式10．（2026·高三·福建泉州·阶段检测）已知函数
和
有相同的最大值．
(1)求
；
(2)证明：存在直线
，其与两条曲线
和
有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点
的横坐标
满足
．
【解析】（1）因为函数
，
，则
，
所以当
时，
，则函数
单调递增，
当
时，
，则函数
单调递减；
故
；
因为函数
，所以
，
令
，则
.
①当
时，
是减函数，
所以
时，
，则函数
单调递增；
时，
，则函数
单调递减；
故
，则
成立；
②当
时，令
，则
，
当
时，
，则
单调递增；
当
时，
，则
单调递减；
所以
，即
，即
，当且仅当
时，等号成立，
用
替换
，则
，即
，所以
，
故
，
显然当
，
，则
，故
无最大值，故不成立；
③当
时，
，故
单调递减，
又
，
，
设
，使得
，即
（*）.
则
，
，则
单调递增；
，
，则
单调递减；
故
，
由
，有
，即
，
代入（*）得
不成立；
综上，
.
（2）由（1）知，两个函数图象如下图所示：
由图可知：当直线
经过点
时，
此时直线
与两曲线
和
恰好有三个交点，
不妨设
，
且
，
由
，又
，
又当
时，
单调递增，所以
，即
，
又
，又
，
又当
时，
单调递减，所以
，即
，
所以
.
题型七：基于同构思想的函数最值问题
例19．设函数
，
，若存在
，
，使得
，则
的最
大值为________．
【答案】0
【解析】由题意
，即
，所以
，
由
，所以
在
上单调递增，则
，可得
，
所以
，
令
，函数定义域为
，则
，
令
，有
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减，即
在
上单调递减，
由
，则
时，
；
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，即
的最大值为0.
例20．已知函数
，
，若
，
，则
的最大值为
________．
【答案】1
【解析】由题意可得
，则
，
由
，则
，
令
，则
，
令
，可知函数
在
上单调递增，
所以
有唯一解，即
，即
，可得
，
所以
，
令
，则
，所以
，
令
，则
，
令
，即
，解得
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
所以函数
在
处取得极大值，也是最大值，为
，
所以
的最大值为.
例21．（2026·高三·甘肃·阶段检测）已知
满足
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，
即
设
，可得
，且
，可得
，
再令
，则
，可得
，
即
，
令
，则
，
所以
，其中
，
设
，可得
，所以
在
上单调递增，
由
，可得
，即
，
所以
，可得
，所以
，
则
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
所以
的最小值
.
故选：B.
变式11．已知函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，即
，
构造函数
当
时，
，则
单调递减，
当
时，
，则
单调递增，
因为
，所以
，此时
，
令
，令
，解得
，
所以当
时，
，所以
单调递减，
当
时，
，所以
单调递增，
所以
的最小值为
，
综上
的最小值为
.
故选：B.
变式12．已知函数
，
，若
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
、
均为
上的增函数，所以，函数
为
上的增函数，
，因为
，其中
，
所以，
，故
，
当且仅当
时等号成立，故
的最大值为
.
故选：A.
题型八：同构法求解不等式恒成立问题
例22．（2026·福建三明·模拟预测）已知e 为自然对数的底数，a，b 均为大于1 的实数，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，可得
，即
，
设
，可得
，
因为
，可得
，
又因为
，所以
，即
，所以
，
当
时，
，可得函数
在
为单调递增函数，
所以
，即
.
故选：B.
例23．若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
所以
，
所以当
时，
，当
时，
所以AB 错误；
因为
，
所以
．
因为
，
不妨设
，则
，
即
，
即
，
即
，
所以
，
所以
，
所以C 正确．
证明：
，
设
，
则
，
所以
在
上单调递减，
所以
，即
，
设
，
则
，
所以
在
上单调递减，
所以
，即
.
所以当
时，
.
故选：C.
例24．（2026·高三·四川绵阳·阶段检测）已知
且
则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
所以
，
所以
，
令
，则
，
当
时，
，故
在
上单调递增，
因为
所以
，
则
所以
，即
，故A 正确；故B 错误；
因为
，所以
，
因为
，所以
不确定，故CD 错误.
故选：A.
变式13．求证：当
时，
．
【解析】要证
，只需证
，只需证
．
设
，只需证
．
则
令
，则
，
，
，∴
在
单减．故只需证
即可．
，
，
．
所以原不等式成立．
题型九：朗博同构与放缩技巧应用
例25．已知函数
，（其中是自然对数的底数），若
在
上恒成立，
则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】要使
在
上恒成立，只需
即可．
，又
，易知：
在
上递增．
因为当
趋向于0 时，
趋向负无穷，当
趋向正无穷时，
趋向正无穷，
所以，
在
上存在唯一的零点
，满足
，
所以
，且
在
上单调递减，在
上单调递增，
于是
．
由
得：
，必有
，
，
两边同时取自然对数，则有
，即
．
构造函数
，则
，
所以函数
在
上单调递增，又
，
所以
，即
，故
，
于是实数m 的取值范围是
．
例26．（2026·广东·模拟预测）已知函数
．
（1）求
的极值；
（2）当
时，
，求实数
的取值范围．
【解析】（1）求导得
，
所以当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
有极小值
，无极大值．
（2）由题知不等式
在
上恒成立，
原问题等价于不等式
在
上恒成立，
即
在
上恒成立．
记
，则
，当
单调递减，
单
调递增，
因为
即
，
①当
时，
因为
，所以不等式恒成立，所以
；
②当
时，令
，显然
单调递增，且
，
故存在
，使得
，即
，而
，此时不满足
，所以
无解．
综上所述，
．
例27．（2026·山东日照·模拟预测）若关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
得
因为
，所以
令
则问题转化为求
在
上的最小值．
求导得
令
，
因为
，所以
与
同号．
又
，所以
在
上单调递增．
当
时，
；又
，所以存在唯一的
，使得
．
再看方程
，
函数
，
，则
，
则
在
上单调递增，且当
时，
，
当
时，
，所以该方程有唯一正根．
设这个正根为
，则
，
于是
且
，说明这个
正是
的唯一根．
因此，当
时，
，从而
；
当
时，
，从而
．
所以
在
处取得最小值．
由
，得
，又
，
所以
所以
．
要使
对任意
恒成立，必须且只需
．
当
时，取
，原不等式等号成立，不满足严格大于
．
故
的取值范围为
．
题型十：公切线问题中的隐形同构模型
例28．（2026·高三·山东·期中）若直线为曲线
与
的公切线，则直线的方程可
以为_________.（写出符合条件的一个方程即可）
【答案】
（或
）
【解析】直线与曲线
的切点为
，
，切线的斜率为
，
所以切线方程为
，即
．
直线与曲线
的切点为
，
，切线的斜率为
，
所以切线方程为
，即
，
因为直线为曲线
与
的公切线，
所以
，
由
得
，两边取自然对数得
，
即
，即
，
代入
得
，即
，解得
或
，
所以
或
，
所以的方程为
或
．
故答案为：
（或
）．
例29．（2026·高三·河北石家庄·阶段检测）若直线
是曲线
与曲线
的
公切线，则
__________.
【答案】11
【解析】由
，得
，
由题意可得
，解得
，
，
则直线
与曲线
相切于点
，
∴
，得
，
∴直线
是曲线
的切线，
由
，得
，
设切点为
，则
，且
，
联立得
，即
，解得
，所以
．
∴
．
故答案为：11.
例30．已知直线
是曲线
与
的公切线，则
______．
【答案】1
【解析】对曲线
求导得：
，对曲线
求导得：
，
设直线
与曲线
相切于点
，
则过
点的切线方程为：
，即：
；
设直线
与曲线
相切于点
，
则过
点的切线方程为：
，
即：
因为
是公切线，所以
化简得：
，即：
，所以
.
变式14．若直线
是曲线
与曲线
的公切线，则
______
【答案】
【解析】由函数
和
，可得
和
，
设公切线
与
的切点为
，
可得
，所以切线方程为
，即
，
因为公切线的方程为
，可得
，解得
，
所以
与
的公切线的方程
，
设公切线
与
的切点为
，可得
，
所以切线方程为
，即
，
因为公切线的方程为
，可得
，解得
.
1．（2026·高三·陕西安康·阶段检测）已知函数
，对任意的实数
，且
，
不等式
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】不妨设
，由
，得
，
即
，
令
，所以对任意的实数
时，都有
，
即
在
上单调递增，所以
在
上恒成立，
即
．在
上恒成立．
令
．则
，
令
，解得
，令
，解得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
，
即实数a 的取值范围是
．
故选：B．
2．已知函数
，对任意
，
，且
，都有
成立，
则实数a 的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，易知函数
在
上是增函数，
不妨设
，则
．
由
，所以
．
所以
，即
．
设
，则
在区间上
是减函数．
所以
在
时恒成立，
因为
，所以
在
时恒成立，
即
在
时恒成立，即
．
而
在区间上
是增函数，所以
的最大值为
，所以
，
又
，所以
．
故选：B.
3．已知函数
，若
，且
，
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由于
均为单调递增函数，所以
为
上的单调递
增函数，由
，且
，则
，
故
，
故
，
即
，
令
，
则由
，且
，则
，故
在
单调递增，
对任意的
恒成立，
令
，
由于
均为
单调递增函数，所以
为
单调递增函数，又当
趋向
于1 时，
趋向于
，而
趋向于
时
趋向于
，
故存在唯一的实数
，使得
，即
，则
当
故
在
单调递减，在
单调递增，故当
时，
取极小值也是最小值，
由于
对任意的
恒成立，
所以
，
记
，所以
在
上单调递减，又
，
故当
，当
，
又
，所以
又
，所以
，
由于
在
单调递增，所以
，
故
，又
，故
，
故选：B
4．已知定义在
上的函数
，其导函数为
，不等式
恒成立．若对
，不等
式
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，依题意，
．
函数
在
上单调递增．
对
，不等式
恒成立，
,
即
，
．
当
时，
，
则
，
则
；
；
故
在
单调递减，在
单调递增；
可得
时，函数
取得极小值即最小值，
．
当
时，
，此时
，
在
上单调递减，
又
时，
，且
，则
则
的取值范围是
.
5．若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，不等式
，
令函数
，求导得
，函数
在
上单调递增，
不等式
，则
，而
，
于是
恒成立，令函数
，求导得
，
当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，则
，
因此
，解得
，又
，则
，
所以
的取值范围为
.
6．对任意
，
恒成立，则实数
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，由
，得
，
所以
.
令
，则
，
令
，则
，
所以当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
在
上单调递增.
由
，知
，
所以
，即
.
令
，则
，
所以当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
所以
，即实数
的取值范围为
，
所以实数
的可能取值为
.
7．已知不等式
对任意
恒成立，则正数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】将原不等式移项整理得：
，
构造函数
，对
求导得：
，令
，得唯一临界点
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增；
原不等式对任意
恒成立等价于：对任意
，都有
，
因为任意
，都有
，
，而
在
上单调递增，
因此
等价于：
变形得
对任意
恒成立，只需
，
令
，求导得
，令
得
，
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减；
因此
的最大值为
，故
.
8．（2026·山东东营·二模）已知函数
，若
恒成立，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】已知函数
对
恒成立，
则
，
令
，求导得
，
单调递增，
，由单调性得
，即
，
令
，求导得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
在
处取得极大值：
，
要使
恒成立，只需满足
，
的取值范围是
．
9．（2026·高三·河南南阳·期末）若关于x 的不等式
恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】不等式
，令函数
，显然函数
在
上单调递增，
依题意，不等式
恒成立，即
，
令函数
，求导得
，当
时，
；
当
时，
，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此当
时，
，
，
所以实数k 的取值范围是
.
故选：B
10．若对任意的
，不等式
恒成立，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】不等式
可变形为
，
即
在
上恒成立，
令
，
易得
在
上恒成立，
所以函数
在
上单调递增，
即
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
也即
在
上恒成立，
所以
，
令
，则
，
由
，解得
；由
，解得
；
所以
在
单调递增，
单调递减，
所以
，
即
，故实数
的取值范围是
．
故选：D
11．若关于x 的不等式
对
恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为关于x 的不等式
对
恒成立，
所以
，即
，
不妨设
，此时
在
上恒成立，
可得
，
当
时，
单调递增；当
时，
单调递减，
又
，所以当
时，
，当
时，
，
又
，所以
在
上恒成立，即
恒成立.
构造函数
，
，则
，
易知
时，
，
在
上单调递减；
时，
，
在
上单调递增；
所以
，
所以实数a 的取值范围为
.
故选：D．
12．（2026·高三·安徽淮北·阶段检测）对
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，
，即
，
令
，则
，
当
时，
，即
单调递减，
当
时，
，即
单调递增，
，又
时，
，
所以
的值域为
，即
.
所以
，
，即
，
恒成立，
当
时，
即为
，令
，则
，
所以函数
在
上单调递减，故
，则
，
当
时，
对任意的
成立；
当
时，
即为
，由
，
当
时，
，即函数
单调递减；
当
时，
，即函数
单调递增；
所以
，故
；
综上，
.
故选：D.
13．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数
，
，若
，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，得
，即
，即
，
因为
，令
，
，则
，所以
.
令
，则
，
所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以
，则
.
故选：B.
14．（2026·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，
相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于
的方程
和关于
的方程
（
，
，
）可化为同构方程，则
________，
________．
【答案】 3 8
【解析】对
两边取自然对数得
①．对
两边取自然对数得
，即
②．
因为方程①，②为两个同构方程，所以
，解得
．
设
（
），则
，
所以函数
在
上单调递增，所以方程
的解只有一个，所以
，
所以
，故
．
故答案为：3；8．
15．数学中的同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式结构相同或相近的式
子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式
或不等式问题.如
与
（将
化为
）可以同构为
.若已知关于a 的方程
和关于b 的方程
可化为同构方程，则
______，
______.
【答案】 3 8
【解析】关于b 的方程
，
依题意，
，解得
；
因此
，显然
，
函数
，求导得
，函数
在
上单调递增，
由
，得
，则
，即
，
所以
.
故答案为：3；8
16．（2026·高三·黑龙江鸡西·期中）同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形
式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数
等混合式子结构的等式或不等式问题.如
与
（可化为
）可以同构为
.若已知
恒成立，则
的取值范围是______.
【答案】
【解析】令
则
在
单调递增，
由
可得
，
则
，
由于
，所以
，故
，
记
，
当
单调递增，当
单调递减，
故
，
因此
，
故答案为：
17．（2026·高三·江西宜春·开学考试）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构形式相同的两个式子称
､
为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于
的方程
和关于b
的方程
可化为同构方程，则
的值为_______．
【答案】
【解析】对
两边取自然对数，得
①，
对
两边取自然对数，得
，即
②，
因为方程①②为两个同构方程，所以
，解得
，
设
且
，则
，
所以
在
上单调递增，故
的解只有一个，
所以
，则
．
故答案为：
18．同构式通俗讲是结构相同的表达式，如:
， 称
与
为同构式. 已知实数
满足
， 则
__________.
【答案】3
【解析】函数
在R 上单调递增，且
，
由
，得
，则
，
即
，因此
，则
，
所以
.
故答案为：3
19．同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：
，
，称
与
为同构式．已知实数
满足
，
，则
______．
【答案】5
【解析】易判断
为增函数，
，
，
即
，
，
所以
，
.
故答案为：5
20．同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：
，
，称
与
为同构式.已知实数
满足
，
，则
___________.
【答案】8
【解析】
，
令
，易知
在R 上单调递增，
又
，
所以
.
故答案为：
21．（2026·高三·辽宁·期中）已知实数
满足
，
，其中e 为自然对数的底数，则
______．
【答案】
【解析】
且
，
且
，
故
，构造函数
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，所以
．
故答案为：
22．已知函数
，
，若对任意的
，
恒成立，则实数a 的最
小值为______．
【答案】
【解析】∵对任意的
，
恒成立，
即
，在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
即
，
.
设函数
，
，则
在R 上为增函数，
则
在
上恒成立，
则
.
令
，
，
则
在
上递增，在
递减，
则
.
23．若关于
的不等式
在
上恒成立，则实数
的最大值是
____________．
【答案】
【解析】由题意可知
,由
，变形得
，
即等价于
，即
；
令
，因为
，所以
在
上单调递增，
由
，可得
，
所以
，等价于
，
令
，则
，
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增；
所以
，因此
，即得
，
即实数
的最大值为
.
24．若对任意
，
恒成立，则
的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为
所以
等价于
，
两边同加
得
则原不等式等价于
记
，则
等价于
，
因为
恒成立，
在
上单调递增，
所以
等价于
，
记
，
，则
恒成立等价于
，
又
，
所以当
时，
，函数
在
上单调递增；
当
时，
，函数
在
上单调递减；
所以
，
因为
，所以
，解得
，
所以
的取值范围为
.
25．
时对
恒有
，则实数
的取值范围为________．
【答案】
【解析】若
，不等式
恒成立，
若
时，两边同乘以
，可得
，
两边同构，令
，则
，
由
，所以
在
单调递增，所以
，
所以
，所以
令
，求导得
，
当
时，
，所以函数
在
上单调递减，
当
时，
，所以函数
在
上单调递增，
所以
＝1，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
26．已知
，
，若
，则
的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为
，
所以
，故
，
注意到
，
所以
，
设函数
，其导数
，
故
在
上单调递增，因此由
得
所以
，设
，
求导得
，令
，解得
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
取最小值，最小值为
，
当
时，
，
故
的取值范围是
.
27．已知函数
，
，若
，其中
，
的最大值为__________．
【答案】
/
【解析】由题知
，
，易知
，
令
，则
在区间
上恒成立，
所以
在区间
上单调递增，
又
，且
，即
，故得
，
则
，所以
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以
，故
的最大值为
.
28．（2026·陕西榆林·三模）已知直线
是函数
和函数
图象的公切线，则
______.
【答案】4
【解析】设直线
与函数
的图象的切点为
，
由
求导得
，由
，得
，
所以直线
与函数
的图象的切点为
，
将点
代入
，解得
.
设直线
与函数
的图象的切点为
，
又
，则
（*）.
由
，代入上式得
，
因为函数
单调递增，且
，
所以
，代入（*），解得
，
所以
.
29．（2026·高三·辽宁·阶段检测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构形式相同的两个式子称为同
､
构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于
的方程
和关于
的方程
可化为同构方程.
（1）求
的值；
（2）已知函数
.若斜率为
的直线与曲线
相交于
，
两
点，求证：.
【解析】（1）对
两边取自然对数，得
(1),
对
两边取自然对数，得
即
，
因为(1)(2)方程为两个同构方程，所以
，解得
，
设
，则
,
所以
在
单调递增，所以方程
的解只有一个,
所以
，所以
，
故
.
（2）由（1）知：
所以
要证
，即证明
等价于
令
，则只要证明
即可，
由
知，
，故等价于证
设
则
，即
在
单调递增，
故
，即
.
设
则
，即
在
单调递增，
故
，即
。
由上可知
成立，则
.
30．（2026·江苏·模拟预测）已知
，
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，若
恒成立，求
的最小值；
(3)已知当
时，存在
，使得函数
有三个零点
，且
成等差数列，
求
的值.
【解析】（1）
，
，
，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，解得
，
则
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增；
综上，
时，
在
上单调递增；
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
（2）
，
，
又
恒成立，所以
在
上恒成立，
令
，
，
令
，
，
则
的解为
，
当
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
又
，所以
，且
，
存在唯一
，使得
，即
，
，
当
时，
，
，
单调递增，
时，
，
，
单调递减，
又
，
，且
又
在
上单调递增，
时，
，
，又
，
的最小值为；
（3）
，
，且
，
当
时，
，则
，
令
，
，
令
，
，
当
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
又
，
，
，
时，
，
，
单调递增；
当
时，
有唯一解，设为
，
则当
时，
，
，
单调递增；
当
时，
，
，
单调递减，
又
时，
，
时，
，
则
的简要图形如下：
则
时，
最多有两个不同的交点，且恒大于零，
函数
有三个零点
，且
成等差数列，
，且
，
，
整理得
，解得
或
（舍去），
，
．
