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专题2 函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题
函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题是近年高考的热点及
难点,特别是隐零点及零点赋值经常成为导数压轴的法宝.
(一) 确定函数零点个数
1.研究函数零点的技巧
用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点
问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,
结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的
对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间
区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数．
2. 判断函数零点个数的常用方法
(1)直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x 轴交点的个数问题．
(2)分离出参数,转化为a＝g(x),根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性,求出极值以及最值,画出草图．
函数零点的个数问题即是直线y＝a 与函数y＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a 与函数g(x)的极值和最
值进行比较即可．
3. 处理函数y=f(x)与y=g(x)图像的交点问题的常用方法
(1)数形结合,即分别作出两函数的图像,观察交点情况;
(2)将函数交点问题转化为方程f(x)=g(x)根的个数问题,也通过构造函数y=f(x)-g(x),把交点个数问题转化为利
用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况.
4.找点时若函数有多项有时可以通过恒等变形或放缩进行并项，有时有界函数可以放缩成常数，构造函数
时合理分离参数，避开分母为0 的情况.
【例1】（2024 届河南省湘豫名校联考高三下学期考前保温卷数）已知函数
．
(1)求
的极大值；
(2)若
，求
在区间
上的零点个数．
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【解析】（1）由题易得，函数
的定义域为
，
又
，
所以，当
时，
随
的变化情况如下表：
0
2
0
0
极小值
极大值
由上表可知，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
所以
的极大值为
．
当
时，
随
的变化情况如下表：
0
2
0
0
极大值
极小值
由上表可知，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
所以
的极大值为
．
综上所述，当
时，
的极大值为
；当
时，
的极大值为0．
（2）方法一：当
时，
，所以函数
．
由
，得
．
所以要求
在区间
上的零点的个数，
只需求
的图象与
的图象在区间
上的交点个数即可．
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由（1）知，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在区间
上单调递减．
又
在区间
上单调递增，
且
，
所以
与
的图象在区间
上只有一个交点，
所以
在区间
上有且只有1 个零点．
因为当
时，
，
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以
在区间
上有极大值
，
即当
时，恒有
．
又当
时，
的值域为
，且其最小正周期为
，
现考查在其一个周期
上的情况，
在区间
上单调递增，
在区间
上单调递减，
且
，
，
所以
与
的图象在区间
上只有一个交点，
即
在区间
上有且只有1 个零点．
因为在区间
上，
，
所以
与
的图象在区间
上无交点，
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即
在区间
上无零点．
在区间
上，
单调递减，
单调递增，
且
，
所以
与
的图象在区间
上只有一个交点，
即
在区间
上有且只有1 个零点．
所以
在一个周期
上有且只有2 个零点．
同理可知，在区间
上，
且
单调递减，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
且
，
，
所以
与
的图象在区间
和
上各有一个交点，
即
在
上的每一个区间
上都有且只有2 个零点．
所以
在
上共有
个零点．
综上可知，
在区间
上共有
个零点．
方法二：当
时，
，所以函数
．
当
时，
，所以
在区间
上单调递减．
又
，所以存在唯一零点
，使得
．
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所以
在区间
上有且仅有一个零点．
当
时，
，所以
．
所以
在
上无零点．
当
时，
，所以
在区间
上单调递增．
又
，所以存在唯一零点．
当
时，
，
设
，则
所以
在
上单调递增．
又
，
所以存在
，使得
．
即当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增．
又
，所以
在区间
上有且仅有一个零点
所以
在区间
上有且仅有一个零点．
当
时，
，
设
，则
所以
在
上单调递增．
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又
，所以
在区间
上单调递减：
又
，
所以存在唯一
，使得
．
所以
在区间
上有且仅有一个零点．
所以
在区间
上有两个零点．
所以
在
上共有
个零点．
综上所述，
在区间
上共有
个零点．
(二) 根据函数零点个数确定参数取值范围
根据函数零点个数确定参数范围的两种方法
1.直接法：根据零点个数求参数范围,通常先确定函数的单调性,根据单调性写出极值及相关端点值的范围,
然后根据极值及端点值的正负建立不等式或不等式组求参数取值范围；
2.分离参数法：首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参
数的不等式,再通过解不等式确定参数范围,分离参数法适用条件：(1)参数能够分类出来；(2)分离以后构造
的新函数,性质比较容易确定.
【例2】（2024 届天津市民族中学高三下学期5 月模拟）已知函数
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)求证：
；
(3)函数
有且只有两个零点，求a 的取值范围．
【解析】（1）因为
，
所以曲线
在
处的切线斜率为
，
又
，所以切线方程为
.
（2）记
，则
，
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当
时，
，函数
在
上单调递减；
当
时，
，函数
在
上单调递增.
所以当
时，
取得最小值
，
所以
，即
.
（3）
，
由题知，
有且只有两个不相等实数根，
即
有且只有两个不相等实数根，
令
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减.
当
趋近于
时，
趋近于
，当
趋近于
时，
趋近于，
又
，所以可得
的图象如图：
由图可知，当
时，函数
的图象与直线
有两个交点，
所以，a 的取值范围为
.
(三)零点存在性赋值理论及应用
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1.确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题,作为解答题一般不提倡利用图象
求解,而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点, 赋值之所以“热”, 是因为
它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性, 唯一性)； 求含参函数的极
值或最值； 证明一类超越不等式； 求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取
值范围等,零点赋值基本模式是已知 f (a) 的符号,探求赋值点 m (假定 m a )使得 f (m) 与 f (a) 异
号,则在 (m,a) 上存在零点．
2.赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保：确保参数能取到它的一切值； 确保赋值点 x0 落在
规定区间内；确保运算可行
三个优先：（1）优先常数赋值点；（2）优先借助已有极值求赋值点；（3）优先简单运算.
3.有时赋值点无法确定,可以先对解析式进行放缩,再根据不等式的解确定赋值点（见例2 解法）,放缩
法的难度在于“度”的掌握,难度比较大.
【例3】（2024 届山东省烟台招远市高考三模）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，若方程
有三个不等的实根，求实数
的取值范围.
【解析】（1）求导知
.
当
时，由
可知，
在
上单调递增；
当
时，对
有
，对
有
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）当
时，
，故原方程可化为
.
而
，所以原方程又等价于
.
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由于
和
不能同时为零，故原方程又等价于
.
即
.
设
，则
，从而对
有
，对
有
.
故
在
上递增，在
上递减，这就得到
，且不等号两边相等当且仅当
.
然后考虑关于
的方程
：
①若
，由于当
时有
，而
在
上递增，故方程
至多有一个解；
而
，
，所以方程
恰有一个解；
②若
，由于
在
上递增，在
上递减，故方程
至多有两个解；
而由
有
，
再结合
，
，
，即知方程
恰有两个解，且这两个解分
别属于
和
；
③若
，则
.
由于
，且不等号两边相等当且仅当
，故方程
恰有一解
.
④若
，则
，故方程
无解.
由刚刚讨论的
的解的数量情况可知，方程
存在三个不同的实根，当且
仅当关于的二次方程
有两个不同的根
，且
，
.
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一方面，若关于的二次方程
有两个不同的根
，且
，
，则首先有
，且
.
故
，
，所以
.
而方程
的解是
，两解符号相反，故只能
，
.
所以
，即
.
这就得到
，所以
，解得
.
故我们得到
；
另一方面，当
时，关于的二次方程
有两个不同的根
，
.
且有
，
，
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.
综上，实数
的取值范围是
.
(四)隐零点问题
1.函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的,称之为“显零点”；另一类是能
够判断其存在但无法直接表示的,称之为“隐零点”.
2.利用导数求函数的最值或单调区间,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零点存在,但无
法求出,我们可以设其为
,再利用导函数的单调性确定
所在区间,最后根据
,研究
,我们
把这类问题称为隐零点问题. 注意若f ( x)
中含有参数a,关系式
f '( x0)=0
是关于
x0,a
的关系式,确定
x0的
合适范围,往往和a 的范围有关.
【例4】（2024 届四川省成都市实验外国语学校教育集团高三下学期联考）已知函数
，
.
(1)若函数
，
，讨论函数
的单调性；
(2)证明：
.（参考数据：
，
）
【解析】（1）由题意
，所以
，
当
时，
，所以
在
上为增函数；
当
时，令
得
，
所以若
时，
，所以
，所以
在
上为增函数，
若
时，
，且
时，
，
时，
，
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所以
在
上为增函数，在
上为减函数，
综上：当
时，
在
上为增函数，
当
时，
在
上为增函数，在
上为减函数；
（2）
等价于
，
设
，则
，
因为
，所以
，
设
，则
，则
在
上单调递增，
而
，
所以存在
，使
，即
，所以
，即
，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
所以
，
设
，则
，
则
在
上单调递增，
，
则
，则不等式
恒成立，
即不等式
成立.
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【例1】（2024 届山西省晋中市平遥县高考冲刺调研）已知函数
.
(1)求函数
在区间
上的最小值；
(2)判断函数
的零点个数，并证明.
【解析】（1）因为
，
所以
，令
，
，
当
时，
，
所以
在
上单调递减，且
，
，
所以由零点存在定理可知，在区间
存在唯一的
，使
又当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
又因为
，
，
所以函数
在区间
上的最小值为
.
（2）函数
在
上有且仅有一个零点，证明如下：
函数
，
，则
，
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若
，
，
所以
在区间
上单调递增，又
，
，
结合零点存在定理可知，
在区间
有且仅有一个零点，
若
，则
，
，则
，
若
，因为
，所以
，
综上，函数
在
有且仅有一个零点.
【例2】（2024 届江西省九江市高三三模）已知函数
，且
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有三个不同的实数解，求
的取值范围.
【解析】（1）解法一：
令
，则
在
上单调递增.
又
当
时，
，即
；当
时，
，即
在
上单调递减，在
上单调递增.
解法二：
①当
时，由
得
，由
得
在
上单调递减，在
上单调递增
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②当
时，同理可得
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）解法一：由
，得
，易得
令
，则
又
为偶函数，
由（1）知
在
上单调递增，
，即
有三个不同的实数解.
令
，由
，得
由
，得
，
在
上单调递增，在
上单调递减，且
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减
当
时，
；当
时，
，故
解得
或
，故
的取值范围是
解法二：由
得
，易得
令
，则
在
上单调递减，在
上单调递增.
由
，得
或
两边同时取以为底的对数，得
或
，
，即
有三个不同的实数解
下同解法一.
【例3】（2024 届重庆市第一中学校高三下学期模拟预测）已知函数
．
(1)求证：
；
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(2)若
是
的两个相异零点，求证：
．
【解析】（1）令
，则
．
令
，得
；令
，得
．
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
所以
，所以
．
（2）易知函数
的定义域是
．
由
，可得
．
令
得
；令
得
．
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
．
①当
，即
时，
至多有1 个零点，故不满足题意．
②当
，即
时，
．
因为
在
上单调递增，且
．所以
，
所以
在
上有且只有1 个零点，不妨记为
，且
．
由（1）知
，所以
．
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因为
在
上单调递减，
，
所以
在
上有且只有1 个零点，记为
，且
．
所以
，所以
．
同理，若记
则有
，
综上所述，
．
【例4】（2022 高考全国卷乙理）已知函数
（1）当
时,求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若
在区间
各恰有一个零点,求a
取值范围．
【解析】（1）当
时,
,所以切点为
,
,所以切线斜率为2
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）
,
,
设
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若
,当
,即
所以
在
上单调递增,
故
在
上没有零点,不合题意,
若
,当
时,
所以
在
上单调递增,所以
,即
所以
在
上单调递增,
,
故
在
上没有零点,不合题意.
若
,
(1)当
,则
,所以
在
上单调递增,
,
所以存在
,使得
,即
.
当
单调递减,当
单调递增,
所以当
,当
,
所以
在
上有唯一零点,
又
在
没有零点,即
在
上有唯一零点,
(2)当
,
,设
,
则
,所以
在
上单调递增,
,所以存
,使得
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当
单调递减
当
单调递增,
,
又
,所以存在
,使得
,即
当
单调递增,当
单调递减
有
而
,所以当
,
所以
在
上有唯一零点,
上无零点,
即
在
上有唯一零点,
所以
,符合题意,
综上得
在区间
各恰有一个零点,
的取值范围为
.
【例5】（2024 届辽宁省凤城市高三下学期考试）已知函数
.
(1)求函数
的最小值；
(2)求证：
.
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【解析】（1）因为函数
，所以
，
记
，
，
所以
在
上单调递增，且
，
所以当
时，
，即
，所以
在
单调递减；
当
时，
，即
，所以
在
单调递增，且
，
所以
.
（2）要证
，
只需证明：
对于
恒成立，
令
，则
，
当
时，令
，
则
，
在
上单调递增，
即
在
上为增函数，
又因为
，
，
所以存在
使得
，由
，
得
即
即
即
，
所以当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
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所以
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，
所以
，所以
，
即
.
1.（2024 届湖南省长沙市第一中学高考最后一卷）已知函数
.
(1)求
的最小值；
(2)设函数
，讨论
零点的个数.
2．（2024 届河南省信阳市高三下学期三模）已知函数
(1)若
恒成立，求a 的值；
(2)若
有两个不同的零点
，且
，求a 的取值范围.
3．（2024 届江西省吉安市六校协作体高三下学期5 月联考）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若函数
有2 个零点，求
的取值范围.
4．（2024 届广东省茂名市高州市高三第一次模拟）设函数
，
.
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(1)当
时，
在
上恒成立，求实数
的取值范围；
(2)若
在
上存在零点，求实数
的取值范围.
5．（2024 届河北省张家口市高三下学期第三次模）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：
．
6．（2024 届上海市格致中学高三下学期三模）已知
，
，是自然对数的底数.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)若关于
的方程
有两个不等实根，求
的取值范围；
(3)当
时，若满足
，求证：
.
7．（2024 届河南师范大学附属中学高三下学期最后一卷）函数
的图象在
处
的切线为
.
(1)求
的值；
(2)求
在
上零点的个数.
8．（2024 年天津高考数学真题）设函数
．
(1)求
图象上点
处的切线方程；
(2)若
在
时恒成立，求
的值；
(3)若
，证明
．
9．（2024 届河北省高三学生全过程纵向评价六）已知函数
，
.
(1)当
时，求
的极值；
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(2)当
时，
恒成立，求
的取值范围.
10．（2024 届四川省绵阳南山中学2 高三下学期高考仿真练）已知函数
.
(1)讨论
的零点个数；
(2)若关于
的不等式
在
上恒成立，求
的取值范围.
11．（2024 届四川省成都石室中学高三下学期高考适应性考试）设
(1)当
，求函数
的零点个数.
(2)函数
，若对任意
，恒有
，求实数
的取值范围
12．（2023 届云南省保山市高三上学期期末质量监测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围.
13．（2024 届广东省揭阳市高三上学期开学考试）已知函数
.
(1)当
时，证明：
；
(2)若关于
的不等式
恒成立，求整数
的最小值.
14．（2023 届黑龙江省哈尔滨市高三月考）设函数
(1)若
，
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，不等式
对任意
恒成立，求整数k 的最大值．
15．（2023 届江苏省连云港市高三学情检测）已知函数
.
(1)判断函数
零点的个数，并证明；
(2)证明：
.
3
2
2
( )
3
3
f x
x
ax
b x
1
a
0
b
( )
y
f x
1,
1
f
0
a
b
1
ln
1
x
k
f
f
x
x
1,
x
2
1
( )
e x
f x
x
( )
f x
2e
ln
2
cos
0
x
x
x
x
x
