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【第26 讲：平面向量的概念及其线性运算】
【新高考课程标准要求】
1.理解向量的概念与表示：了解平面向量的实际背景，如力、速度、位移等，理解平面向量的意义和两个
向量相等的含义，明确向量的大小和方向是其基本要素。同时，要理解向量的几何表示，即可以用有向线
段来表示向量，掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量（共线向量）、相等向量、相反向量等概念。
2.掌握向量的线性运算：掌握向量的加、减运算，需熟练运用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加
法和减法运算，并理解其几何意义。例如，通过三角形法则可以直观地看出向量相加时“首尾相连，首指
向尾”的特点。掌握向量的数乘运算，理解实数与向量数乘的运算规则，即
，以及数乘运算
的几何意义，如当
时，
与
方向相同等。同时，要理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定
理，即向量
与
共线，当且仅当有唯一一个实数
，使得
。
3.了解线性运算性质：了解向量的线性运算性质及其几何意义，如向量加法的交换律和结合律，数乘运算
的分配律等，能够运用这些性质进行相关的推理和计算，体会向量运算与实数运算的联系与区别，感受向
量运算的独特性。
【知识梳理】
平面向量的概念
1. 向量：既有大小又有方向的量，用有向线段表示，有向线段的长度就是向量的模，如向量
的模记作
。
2. 零向量：长度为0 的向量，记作
，其方向是任意的。
3. 单位向量：长度等于1 个单位长度的向量。对于非零向量
，其单位向量为
。
4. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作
。规定
与任一向量平行。
5. 相等向量：长度相等且方向相同的向量，若
与
相等，记作
。
6. 相反向量：长度相等且方向相反的向量，向量
的相反向量记作
。
平面向量的线性运算
1. 向量的加法
定义：求两个向量和的运算。规定
。
三角形法则：已知非零向量
，
，在平面内任取一点，作
，
，则
，即
“首尾相接，首尾连”。
平行四边形法则：已知两个不共线向量
，
，作
，
，以
，
为邻边作平行四
边形，则以
为起点的对角线向量就是
。
运算律：交换律
；结合律
。
2. 向量的减法
定义：向量
加上
的相反向量，叫做
与
的差，即
。
三角形法则：已知向量
，
，在平面内任取一点，作
，
，则
，即“共
起点，连终点，指向被减向量”。
3. 向量的数乘
定义：实数
与向量
的积是一个向量，记作
。其长度
；当
时，
与
方向
相同，当
时，
与
方向相反，当
时，
。
运算律：
；
；
。
4. 共线向量定理：向量
与非零向量
共线的充要条件是有且只有一个实数
，使得
。
常用结论
1. 中点公式的向量形式：若
为线段
的中点，
为平面内任一点，则
。
2. 三点共线等价形式：若
（
，
为实数），且
，
，
三点共线，则
。
反之，若
，则
，
，
三点共线。
3. 向量三角不等式：已知非零向量
，
，则
，当且仅当
与
同向或反
向共线时，部分等号成立。
【课前自测】
1．（2025·河南·三模）若点A 在点O 的正北方向，点B 在点O 的南偏西
方向，且
，
则向量
表示（ ）
A．从点O 出发，朝北偏西
方向移动
B．从点O 出发，朝北偏西
方向移动
C．从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km
D．从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km
2．（23-24 高一下·广东江门·阶段练习）设
是非零向量，则
是
成立的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3．（24-25 高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知
为不共线向量，
，则（ ）
A．
三点共线
B．
三点共线
C．
三点共线
D．
三点共线
4．（2025·云南临沧·模拟预测）关于非零向量
，
，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
，
不是共线向量
5．（2024·河北·模拟预测）在平行四边形
中，
是
的中点，
与
交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·河南·模拟预测）已知
，
，且对任意的
，
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．3
D．
7．（2025·湖南·三模）在
中，点
是线段
上一点，若
，
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·广东茂名·模拟预测）在平行四边形
中，点E、F 分别是
边的中点，
分
别与
交于R、T 两点，
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点一：平面向量的基本概念】
【例题】1．（2025 高三·天津·专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．
B．
，
是单位向量，则
C．若
，则
D．两个相同的向量的模相等
2．（24-25 高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．零向量没有方向
C．相等向量的长度相等
D．共线向量是在同一条直线上的向量
【针对训练】3．（2025 高一·全国·专题练习）已知非零向量
，使得
成立的充分非必要
条件是（ ）．
知识讲解与常考题型
题型分类
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
则
C．若
是共线的单位向量.同
D．若
，则
不是共线向量
多选题5．（24-25 高一下·江苏盐城·期末）下列选项中，正确的是（ ）
A．若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同
B．若向量
，则
C．若向量
，
满足
，则
或
D．若非零向量
与
共线，则
，
，
三点共线
【解题策略】
1. 紧扣核心定义，双向验证“大小”与“方向”
向量的本质是“既有大小又有方向的量”，解题时需同时验证这两个要素，避免单一维度判断：
判断相等向量：需同时满足“长度相等”和“方向相同”，二者缺一不可。
判断平行（共线）向量：需满足“方向相同或相反”，且明确“非零向量”前提（零向量与任一向量
平行，但非零向量平行需方向关系）。
判断单位向量/零向量：单位向量仅要求“长度为1”，方向不唯一；零向量仅要求“长度为0”，方
向任意，需特别注意其特殊性。
2. 利用几何意义，简化抽象关系
向量可通过有向线段直观表示，其线性运算的几何法则是解题关键：
加法：遵循“三角形法则”（首尾相连，和向量起点接首、终点接尾）或“平行四边形法则”（共起
点，和向量为对角线）。
减法：遵循“三角形法则”（共起点，差向量从减数终点指向被减数终点）。
通过几何意义可快速分析向量间的位置、长度关系，避免纯代数运算的繁琐。
3. 抓住特殊向量（零向量），规避易错点
零向量是概念题的高频易错点，需牢记其特性：
零向量方向任意，故“零向量与任意向量平行”，但不满足平行关系的传递性（如
且
，无
法推出
）。
涉及“向量共线”“向量垂直”等命题时，需先考虑是否为零向量，排除特殊情况后再判断一般情况。
4. 借助共线向量定理，解决共线问题
共线向量定理是判断向量共线、三点共线的核心工具：
若
，则
的充要条件是存在唯一实数
，使得
。
三点
共线的充要条件：存在实数
，满足
且
，可通过设参数、
列等式求解。
5. 明确向量与数量的本质区别
避免混淆向量与数量的性质：
数量仅含大小，可比较大小；向量含大小和方向，不能直接比较大小，仅能比较其模（
与
）
的大小。
向量的运算（如加法、数乘）需遵循向量法则，而非单纯的数值运算。
【考点二：平面向量的线性运算】
【例题】1．（2025·山东泰安·模拟预测）在平行四边形
中，已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·全国·模拟预测）在
中，点
为
边的中点，点
为
的中点.记
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【针对训练】3．（23-24 高一下·河南开封·期末）如图，在平行四边形
中，
为
的中点，
与对角线
相交于点
，记
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·湖北·模拟预测）在平行四边形
中，点
是
边上的点，
，点
是线段
的
中点，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
5．（2024·四川·一模）如图，在
中，点
分别在
边上，且
，点
为
中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．（2025 高三·全国·专题练习）在
中，已知
，且
，则
．
【解题策略】
1. 熟练运用线性运算的核心法则
解题前需牢记运算的基本规则，避免基础错误：
加法法则：
三角形法则：首尾相连，和向量 = 首向量起点 → 尾向量终点（
）。
平行四边形法则：共起点，和向量 = 以两向量为邻边的平行四边形对角线（
，
为平行四边形）。
减法法则：共起点，差向量 = 被减向量终点 → 减向量终点（
）。
数乘法则：
长度：
；
方向：
时与
同向，
时与
反向，
时为零向量。
2. 优先“基底化”：用已知向量表示未知向量
根据平面向量基本定理（同一平面内不共线的两向量可作为基底，表示任意向量），解题时优先选择“已
知条件多、位置特殊”的向量作为基底（如三角形的邻边、平行四边形的边），将未知向量转化为基底的
线性组合：
步骤：① 确定基底（如
、
）；② 将目标向量（如
）拆分为与基底相关的向量；③ 利用
运算法则合并，整理成
的形式。
关键：拆分时紧扣图形中的线段关系（如中点、三等分点、平行关系），通过“加/减”衔接向量。
3. 善用几何意义：简化抽象运算
线性运算的几何意义是“将代数运算转化为直观图形关系”，尤其适用于含几何图形（三角形、平行四边
形、多边形）的题目：
遇“中点”“中线”：利用“中点向量公式”（如
为
中点，则
），快速
建立向量关系。
遇“平行”“共线”：结合数乘的方向性质（如
且
，则
）。
遇“多边形”：利用“向量多边形法则”（如四边形
中，
），简化
多向量求和。
4. 巧用“共线向量定理”：解决参数与共线问题
共线向量定理是线性运算中“关联向量与参数”的核心工具，适用于求参数、判断三点共线：
定理应用：若
，则
存在唯一
⇨
，使
。
三点共线：若
共线，且
，则
（反之亦成立）。解题时可设参数，
通过向量相等列方程求解
。
5. 注重“运算律”：简化复杂表达式
向量线性运算满足交换律、结合律、分配律，合理运用可简化计算：
交换律：
；
结合律：
；
分配律：
，
。
示例：计算
，可先展开分配律，再合并同类向量（结果为
）。
6. 警惕“零向量”与“方向”陷阱
零向量：数乘中若
，需考虑
或
两种情况；共线问题中，零向量与任一向量共线，
需先排除零向量再判断非零向量的共线关系。
方向：数乘的方向是易错点，需明确
的正负对向量方向的影响，避免因方向判断错误导致结果符号
出错。
【考点三：共线定理及其应用】
【例题】1．（2024·浙江·模拟预测）已知向量
，
是平面上两个不共线的单位向量，且
，
，
，则（ ）
A．
、
、
三点共线
B．
、
、
三点共线
C．
、
、
三点共线
D．
、
、
三点共线
2．（2025·湖南邵阳·三模）设
为
所在平面内一点，
．若
，
则
的值为（ ）
A．4
B．5
C．
D．
3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在
中，
为线段
上一点，且
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【针对训练】4．（2025·海南·模拟预测）在
中，点
为
边上一点，已知
，则角
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高一下·湖北十堰·期中）如图，在
中，
，过点
的直线分别交直线
，
于不同的两点
，
.设
，
，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（24-25 高一下·湖北武汉·期中）如图，在
中，
，P 是BN 上的一点，若
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·全国·模拟预测）已知平面上点
，
，
满足
，且
，点
满足
，动点
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．1 或
【解题策略】
一、明确共线定理的核心内容
解题前需精准掌握定理的“充要条件”，避免条件遗漏：
定理表述：若向量
，则向量
与
共线（平行）的充要条件是：存在唯一实数
，使得
。
关键条件：
1. 必须强调
（若
，则
需为
，且
不唯一，定理不成立）；
2.
的唯一性：若
且
，则
，可用于列方程求参数。
二、核心应用场景与解题策略
1. 判定三点共线（最高频应用）
转化逻辑：三点
共线
向量
⇨
与
共线（或
与
共线）。
解题步骤：
1. 选取三点中的两个向量（如
和
），确保其中一个非零；
2. 根据共线定理设关系：
（
为实数）；
3. 若向量用坐标表示，可列横、纵坐标相等的方程，求解
；若用基底表示，可通过基底系数相等
列方程。
重要推论：若
为平面内任意一点，
共线
存在实数
⇨
，使得
，且
（反之亦成立）。解题时可直接利用“
”快速建立参数关系，简化计算。
2. 求参数值（含坐标与基底两种情况）
情况1：向量用坐标表示
策略：设
（
），
，则
⇨
（此为坐标形式的共线
条件，由
推导得出：
，
，消去
即得）。直接代入坐标列方程，求解参数（如
向量坐标中的未知量）。
情况2：向量用基底表示
策略：设基底为
（不共线），若
，
，则
存在
⇨
，使
得
且
（基底系数成比例）。通过系数比例关系列方程，求解参数（如
中的未知
量）。
3. 证明线线平行（几何证明题）
转化逻辑：要证两条直线平行（不重合），可证直线上的“方向向量”共线。
解题步骤：
1. 分别在两条直线上取非零方向向量（如直线
的方向向量
，直线
的方向向量
）；
2. 证明存在实数
，使得
（即
与
共线）；
3. 补充说明两条直线不重合（可通过直线上一点不在另一条直线上证明），即可得
。
三、避坑关键：警惕易出错点
1. 忽略“非零向量”条件：应用定理时，必须先明确所设的“基准向量”（如
）非零，否则可能出现
不唯一或逻辑矛盾（例如，若
，
，则不存在
使
）。
2. 混淆“共线”与“重合”：向量共线仅表示方向相同或相反，对应直线可能平行或重合。若题目要求
“直线平行”，需额外证明两直线不重合；若仅需“三点共线”，则无需排除重合（三点共线本身包含重
合情况）。
3. 误用“
”的前提：推论“
且
”的前提是“
为任意点，
共线”，若
与
共线，该推论仍成立，但需确保向量表达式正确，避免因点的位置错误导致系数
计算偏差。
一、单选题
1．（25-26 高二上·全国·课后作业）下列四个命题中为真命题的是（ ）
A．已知
是空间中任意五点，则
B．若向量
，
满足
，则
C．若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量
D．若
，则
四点共面
2．（24-25 高一下·广东深圳·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若
，则
与
方向相同或相反
B．若
，则
C．“
”是
，
共线”的充要条件
D．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等
3．（2025·云南·模拟预测）在平行四边形
中，点E 是
边上的四等分点（靠近点D），则（ ）
课后针对训练
A．
B．
C．
D．
4．（2025·安徽·模拟预测）已知在
中，点D 满足
，设
，
则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
5．（2025·湖北宜昌·二模）已知
均为单位向量.若
，则
与夹角的大小是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高一下·安徽阜阳·期中）如图，已知
，用
，
表示
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·甘肃甘南·三模）
中，若
，
，
，则向量
可用
，
表示为
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·江苏南通·三模）已知
，
为平面内一组基底，
，
，
，
若A，B，D 三点共线，则a 的值为（ ）
A．2
B．
C．0
D．1
9．（2025·湖南·模拟预测）如图，在
中，点
是线段
上靠近点
的三等分点，过点
的直线分
别交直线
、
于点
、
.设
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（24-25 高一上·辽宁大连·期末）如图，已知
分别是
边
上的点，且满足
，
，
与
交于
，连接
并延长交
于
点．若
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
11．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC 是边长为1 的正三角形，
是BN 上一点且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
二、填空题
12．（24-25 高一下·贵州遵义·阶段练习）
中，
为边
的中点，
为中线
上的一点（不包含
端点），且
，则
的最小值为 .
13．（21-22 高三上·江苏镇江·期中）已知非零向量
，
不共线，若
，
，
，且A，C，D 三点共线，则
．
14．（2023·陕西咸阳·模拟预测）在
中，点
是
的中点，点
在
上，且
，
，则
.
三、解答题
15．（2025 高一·全国·专题练习）如图，已知点
是
所在平面内一点，满足
，
求
与
的面积之比．
16．（24-25 高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形
中，
，设
.
(1)用
表示
；
(2)证明：
三点共线.
