31.三角函数的图像与性质应用中的十大核心考点
一.基本原理
1.正弦函数
的性质.(1).定义域:
.
R
x
x
y
,
sin
R
(2).值域:
.
sin
[ 1,1]
x
(3).周期性: 周期函数，周期是
,最小正周期为
.
)
0
(,
2
k
Z
k
k
且
2
(4).奇偶性: 奇函数，其图象关于原点对称.
(5).单调性:增区间：
2
,
2
(
)
2
2
k
k
k
Z
（
）
减区间：
3
2
,
2
(
)
2
2
k
k
k
Z
（
）
(6).对称性: 对称轴：
， 对称中心：
)
(,
2
Z
k
k
x
)
(
),
0,
(
Z
k
k
2.正弦型函数
的性质.
R
x
A
x
A
y
,0
),
sin(
(1).定义域:
.
R
(2).值域:
]
,
[
A
A
(3).周期性: 周期函数，周期是
.
|
|
2
T
(4).奇偶性: 当
时为奇函数；当
时为偶函数.
Z
k
k
,
Z
k
k
,
2
(5).单调性: 当
时：令
，求解增区间.
0
Z
k
k
x
k
,
2
2
2
2
令
，求解减区间.
Z
k
k
x
k
,
2
2
3
2
2
当
时：注意单调区间的转化.
0
(6).对称性: 对称轴：令
，求解对称轴方程，对称轴处取最值.
)
(,
2
Z
k
k
x
对称中心：令
，求解对称中心坐标.
)
(,
Z
k
k
x
余弦型类似推导，此处不再赘述，请读者自行填补.可以看到，处理复合型函数性质的妙
招就在于换元，令
，换成标准的正弦（余弦函数来处理）.
x
t
3.一些复杂的性质
①.零点与对称轴之间的距离等于四分之一个周期的奇数倍；
②.对称轴方程就是一条对称轴加半个周期的整数倍；
③.若
在区间
上单调,则必要条件是：区间长度不超过半个周期,即
,
( )
f x
[ , ]
a b
b
a
充分条件是：单调区间是最大单调区间的子集，即
[
,
]
,
2
2
a
b
k
k
综上可得,
[
,
]
,
2
2
b
a
a
b
k
k
④.对称轴公式：(1).
(2).
)
(
)
(
x
a
f
x
a
f
)
2
(
)
(
x
a
f
x
f
⑤.中心对称公式：(1).
，(2).
b
x
a
f
x
a
f
2
)
(
)
(
b
x
a
f
x
f
2
)
2
(
)
(
⑥.最值表示：
|)
(
|
)
(
,
0x
f
x
f
D
x
4.
4.1.仿射变换：
平面上的所有点横坐标变为原来的
倍，纵坐标变为原来的
倍，即
xOy
a
b
.
x
ax
y
by
4.2.仿射变换具有以下性质
（1）仿射变换把直线变成直线.
（2）仿射变换保持共线三点的简单比值不变.
（3）仿射变换把线段变成线段,并保持线段的分比不变.
（4）若纵坐标保持不变，横坐标拉伸
倍后，水平长度也拉伸
倍（
）
a
a
0
a
二．典例分析
题型1.识图与做图
例1．（2023 年全国甲卷）函数
的图象由函数
的图象向左平移
y
f x
π
cos 2
6
y
x
π
6
个单位长度得到，则
的图象与直线
的交点个数为（ ）
y
f x
1
1
2
2
y
x
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：因为
向左平移
个单位所得函数为
π
cos 2
6
y
x
π
6
，所以
，而
显然过
π
π
π
cos 2
cos 2
sin 2
6
6
2
y
x
x
x
sin 2
f x
x
1
1
2
2
y
x
与
两点，作出
与
的部分大致图像如下，
1
0,
2
1,0
f x
1
1
2
2
y
x
考虑
，即
处
与
的大小关
3π
3π
7π
2
,2
,2
2
2
2
x
x
x
3π
3π
7π
,
,
4
4
4
x
x
x
f x
1
1
2
2
y
x
系，
当
时，
，
；
3π
4
x
3π
3π
sin
1
4
2
f
1
3π
1
π
4
2
8
4
3
1
2
y
当
时，
，
；
3π
4
x
3π
3π
sin
1
4
2
f
1
3π
1
3π
4
1
2
4
2
8
y
当
时，
，
；所以由图可知，
与
7π
4
x
7π
7π
sin
1
4
2
f
1
7π
1
7π
4
1
2
4
2
8
y
f x
的交点个数为.故选：C.
1
1
2
2
y
x
3
例2．（2024 年新高考1 卷）当
时，曲线
与
的交点个数
[0,2 ]
x
Î
sin
y
x
2sin 3
6
y
x
为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
解析：因为函数
的最小正周期为
，函数
的最小正周期为
sin
y
x
2π
T
π
2sin 3
6
y
x
，所以在
上函数
有三个周期的图象， 在坐标系中结合五
2π
3
T
0,2π
x
π
2sin 3
6
y
x
点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6 个交点.故选：C
题型2.由图象的基本性质求参数（解析式）
这里的基本性质主要指的是函数图像与坐标轴交点，对称轴等基本性质.
例3.（2020 全国1 卷.）设函数
在
的图像大致如下图，则f(x)
( )
cos
π
(
)
6
f x
x
[ π,π]
的最小正周期为（ ）
A.
B.
C.
D.
10π
9
7π
6
4π
3
3π
2
解析：由图可得：函数图象过点
，又它是函数
图象与
轴负半轴的第一
4
,0
9
f x
x
个交点，所以
，解得：
，故
的最小正周期为
，故选：
4
9
6
2
3
2
f x
4π
3
C.
点评：再利用图象求参数时，要注意“升降零点”的概念，此题中
就是余弦函
4
,0
9
数上升中的零点，这样做的好处就是可以在一个周期内考虑问题，从而有效地缩小参数范
围.
再看同款下例.
例4.（2021 甲卷） 已知函数
的部分图像如图所示，则满足条件
2cos(
)
f
x
x
的最小正整数x 为________．（凌晨讲数学）
7
4
( )
( )
0
4
3
f x
f
f x
f
解析：由图可知
，即
，所以
；由降零点可得
3
13
3
4
12
3
4
T
2
T
2
，即
；所以
.
2
3
2
6
( )
2cos 2
6
f x
x
因为
，
；
7
(
)
2cos
1
4
3
f
(
)
2cos
0
3
2
f
所以由
可得
或
；
7
4
( ( )
(
))( ( )
(
))
0
4
3
f x
f
f x
f
( )
1
f x
( )
0
f x
因为
，所以，结合图形可知，最小正整数应该
1
2cos 2
2cos
1
6
2
6
f
满足
，即
，解得
，令
，可
( )
0
f x
cos 2
0
6
x
,
3
6
k
x
k
k
Z
0
k
得
，可得
的最小正整数为2.
5
3
6
x
x
题型3.由图像的几何性质求解析式
这里指的是依托于图像的对称性等性质进一步构造几何图形来刻画
的关系，相较于上
,
一类，这类题目具有一定的综合性.
例5．若函数
与
图象的任意连续三个交点构成等腰直角三角形，则
4sin
y
x
4cos
y
x
正实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
2π
8
2π
4
π
4
π
解析：作出函数
和
的图象，设两图象相邻的3 个交点分别为A，
4sin
y
x
4cos
y
x
B，C，如图所示，作
，垂足为D，易知
，又
为等腰直角三角
CD
AB
4 2
CD
ABC
A
形，所以
，所以
的最小正周期
，即
，所以
.
8 2
AB
4sin
y
x
8 2
T
2π
8 2
2π
8
故选:A.
题型4.图像对称轴（中心），周期公式的综合应用
例6.（2022 新高考1 卷）记函数
的最小正周期为
．若
π
( )
sin(
)
(
0)
4
f x
x
b
T
，且
的函数图象关于点
中心对称，则
2 π
π
3
T
( )
y
f x
3π
(
,2)
2
π
( )
2
f
A．
B．
C．
D．
1
3
2
5
2
3
解析：
，
的函数图象关于点
中心对称，则有
，且
2π
(2,3)
T
( )
y
f x
3π
(
,2)
2
2
b
，所以
，则
；解得
，由
3π
(
)
2
2
f
3π
π
sin(
)
2
2
2
4
3π
π
2 π ,
2
4
Z
k
k
8
1
6
k
得
，
，故
．
(2,3)
2
k
5
2
1
π
( )
2
2
5 π
π
sin(
)
2
1
2
2
4
f
例7.（2022 全国乙卷）记函数
的最小正周期为
，
)
0,0
)(
cos(
)
(
x
x
f
T
若
，
为
的零点，则
的最小值为_________.
2
3
)
(
T
f
9
x
)
(x
f
解析：由于
，故
，且
，故
，
2
T
2
3
cos
)
(
T
f
0
6
，故
的
Z
k
k
Z
k
k
f
9
3
2
6
9
0
6
9
cos
9
最小值为3.
题型5.图象平移
下面看到函数图象的平移问题，这也是三角函数图象中的经典考题.
例8.（2021 全国乙卷）把函数
图像上所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐
( )
y
f x
1
2
标不变，再把所得曲线向右平移
个单位长度，得到函数
的图像，则
3
sin
4
y
x
( )
f x
A.
B.
7
sin 2
12
x
x
sin 2
12
x
C.
D.
7
sin 2
12
x
sin 2
12
x
解析：函数
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，得到
( )
y
f x
1
2
的图象，再把所得曲线向右平移
个单位长度，应当得到
(2 )
y
f
x
3
2
3
y
f
x
的图象，根据已知得到了函数
的图象，所以
sin
4
y
x
2
sin
3
4
f
x
x
，
令
,则
,所以
,所以
2
3
t
x
,
2
3
4
2
12
t
t
x
x
sin 2
12
t
f t
.
sin 2
12
x
f x
注：异名三角函数的平移：跟同名三角函数的平移基本上相同，区别在于需要根据诱导公
式将其变为同名三角函数的平移问题，再按同名三角函数平移平移思路进行平移.
题型6.三角函数加绝对值
全国卷在三角函数的考察方面呈现两个明显的特点，第一，多选项，第二，构造性，通过
一些常见的构造方式，考察分类讨论，数形结合能力，比如2019 年一卷的11 题，将常见
的正弦函数套上绝对值，这样的构造方式会由于绝对值的参与使得很多考生望而生怯，本
文通过对几道常见的带绝对值的三角函数性质研究，力争探索出一些解题的通性通法，提
高解题能力.此类问题的解题顺序可以归纳为：
①.分析奇偶性，周期性；
②.去绝对值，写成分段函数；
③.画出草图，结合图象及对称性的定义判断，包括代入必要的特值.
我们可以再通过下面一些练习进一步提升此类题目的解题能力.
二．典例分析
例9．（2019 全国卷一）关于函数
有下述四个结论：
sin |
|
| sin
|
f x
x
x
①
是偶函数 ②
的最大值为2
f x
f x
③
在
有4 个零点 ④
在区间
单调递减
f x
,
f x
,
2
π π
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④
B．②③④
C．①③④
D．①②③
分析：去绝对值是关键步骤，这样就可以将其转化为熟悉的三角函数形态，这个时候就需
要分析奇偶性与周期性从而将分析问题的区间尽可能的缩小到小范围内，这个时候，实际
也完成了去绝对值的过程，因此，处理此类带绝对值的三角函数问题，分析奇偶性与周期
性是两个必备的过程.
解析：
的定义域为
，
sin |
|
| sin
|
f x
x
x
R
因为
，故
为偶函数，结论①正
sin
sin(
)
sin
sin
( )
f
x
x
x
x
x
f x
( )
f x
确，再分析周期性，周期为
.这样就可以去掉绝对值化成分段函数，当
2
，
*
[2
,(2
1) ],
x
k
k
k
N
sin
sin
2sin
f x
x
x
x
当
，
*
((2
1) ,(2
2) ],
x
k
k
k
N
sin
sin
0
f x
x
x
故当
时，
0
x
*
*
2sin ,
[2
,(2
1) ],
0,
((2
1) ,(2
2) ],
x x
k
k
k
N
f x
x
k
k
k
N
故函数的最大值为2，结论②正确，根据图象可得，
在
有3 个零点，故结论
f x
,
③错误，由图象可以看出，
在区间
单调递减，结论④正确.
f x
,
2
π π
题型7.三角函数求w
例10．（2019 全国3 卷）设函数
=sin（
）(
＞0)，已知
在
有
f x
5
x
f x
0,2
且仅有5 个零点，下述四个结论：
①
在（
）有且仅有3 个极大值点②
在（
）有且仅有2 个极小值点
f x
0,2
f x
0,2
③
在（
）单调递增④
的取值范围是[
)
f x
0,10
12 29
5 10
，
其中所有正确结论的编号是
A．①④
B．②③
C．①②③
D．①③④
解析：当
时，
，∵
在
有且仅有5 个零
[0,2 ]
x
,2
5
5
5
x
f x
[0,2 ]
点，∴
，∴
，故④正确，由
，知
5
2
6
5
12
29
5
10
5
2
6
5
时，令
时取得极大值，①正确；
,2
5
5
5
x
5
9
,
,
5
2
2
2
x
极小值点不确定，可能是2 个也可能是3 个，②不正确；因此由选项可知只需判断③是否
正确即可得到答案，当
时，
，若
在
单
0,10
x
(
2)
,
5
5
10
x
f x
0,10
调递增，则
，即
，∵
，故③正确．故选D
(
2)
10
2
<3
12
29
5
10
例11.（2022 年全国甲卷）设函数
在区间
恰有三个极值点、两个
π
( )
sin
3
f x
x
(0,π)
零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5 13
,
3 6
5 19
,
3 6
13 8
,
6 3
13 19
,
6
6
解析：解：依题意可得
，因为
，所以
，
0
0,
x
,
3
3
3
x
要使函数在区间
恰有三个极值点、两个零点，又
，
的图象如下
0,
sin
y
x
,3
3
x
所示：则
，解得
，即
．故选：C．
5
3
2
3
13
8
6
3
13 8
,
6 3
题型8.对三角函数图像的深度理解（仿射角度）
例12．（2023 年新高考2 卷）已知函数
，如图
是直线
与曲线
sin
f x
x
B
A,
1
2
y
的两个交点，若
，则
__________
y
f x
π
6
AB
π
f
解析：设
，由
可得
，由
可知，
或
1
2
1
1
,
,
,
2
2
A x
B x
π
6
AB
2
1
π
6
x
x
1
sin
2
x
π
2 π
6
x
k
，
，由图可知，
，即
，
5π
2 π
6
x
k
Z
k
2
1
5
π
2π
π
6
6
3
x
x
2
1
2π
3
x
x
．因为
，所以
，即
，
．
4
2
8π
π
sin
0
3
3
f
8π
π
3
k
8 π
π
3
k
Z
k
所以
，所以
或
8
2
( )
sin 4
π
π
sin 4
π
π
3
3
f x
x
k
x
k
2
sin 4
π
3
f x
x
，又因为
，所以
，
2
sin 4
π
3
f x
x
0
0
f
2
( )
sin 4
π
3
f x
x
．故答案为：
．
2
3
π
sin 4π
π
3
2
f
3
2
例13.（24 届湖北省武汉二调）如图，在函数
的部分图象中，若
sin
f x
x
，则点
的纵坐标为（ ）
TA
AB
A
A．
B．
C．
D．
2
2
2
3
1
2
3
2
2
3
解析：（方法1）由题意
，则
，所以
，设
3π
2
x
3π
2
x
3π
,0
2
T
，因为
，所以
，解得
，
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
TA
AB
2
1
2
1
3π
2
2
2
x
x
y
y
2
1
2
1
3π
2
2
2
x
x
y
y
所以
1
2
2
1
1
3π
3π
2
2
sin 2
2
2
2
y
y
f x
f
x
x
，所以
，又由图可知
，
2
2
1
1
1
cos 2
2
1 2sin
1 2
x
x
y
2
1
1
2
2
1
0
y
y
1
0
y
所以
.故选：B.
1
3
1
2
y
（方法2）考虑到伸缩变换不改变中点的特征，考虑令
,取
，
( )
sin
f x
x
,0
2
T
,则
,有
,
，所以
0
0
,
A x
y
0
0
2
,2
2
B
x
y
0
0
sin x
y
0
0
0
sin 2
2
cos2
2
x
y
x
，解得
.
2
0
0
2
1 2
y
y
2
0
0
0
3
1
2
2
1
0,
2
y
y
y
题型9.实际应用中的三角函数图像建构
例14．耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克
风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使
噪音降为0，完成降噪（如图所示），已知噪音的声波曲线是
，通过主动降噪芯
3cos2
y
x
片生成的反向声波曲线是
（其中
，
，
），则
sin
y
A
x
0
A
0
0
π
（ ）.
A．
B．
C．π
D．
π
3
π
2
3π
2
解析：由于抵消噪音，所以振幅没有改变，即
，所以
，要想抵
3,
2
A
3sin(2
)
y
x
消噪音，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是
，即
，因为
3cos2
y
x
3π
2 π
(
Z)
2
k
k
，所以令
，即
，故选：D.
0
π
0
k
3π
2
题型10.三角函数新定义（多选压轴）
例15．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两
种三角函数：定义
为角
的正矢，记作
；定义
为角
的余矢，记作
1 cos
sin
ver
1
sin
．给出下列结论，其中正确的为（ ）
covers
A．函数
在
上单调递增
sin
f x
ver
x
coversx
π
[
,π]
4
B．若
，则
1
3
sin
1
coversx
ver
x
2
sin2
2
1
5
ver
x
covers x
C．若
，
，
，则
的最小值为0
sin
g x
ver
x coversx
[0
x
π]
2
( )
g x
D．若
，则
的最小值为
sin2
h x
ver
x
coversx
( )
h x
9
8
解析：对于
，因
A
π
sin
1 cos
1 sin
sin
cos
2sin
4
f x
ver
x
coversx
x
x
x
x
x
，
当
时，
，
，由正弦函数的性质可知
在
，
上不单调，故
π
[
,π]
4
x
π
[0
4
x
3π]
4
sin
y
x
[0
3π]
4
错误；
对于B，由
，可得
，而
1
3
sin
1
coversx
ver
x
sin
tan
3
cos
x
x
x
，故
2
2
2
2
2
sin2
2
1
1 cos2
1 sin2
1
sin2
cos2
1
2sin cos
2cos
2sin
cos
2
2tan
2
4
2
1
10
5
ver
x
covers x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
cos x
x
cos x
sin x
tan x
正确；
对于C，
，
sin
1 cos
1 sin
1
sin
cos
sin
cos
g x
ver
x coversx
x
x
x
x
x
x
令
，因为
，所以
，则
，
π
sin
cos
2 sin(
)
4
t
x
x
x
π
[0,
]
2
x
[1,
2]
t
2
1
sin
cos
2
t
x
x
则有
，所以
（1）
，所以
，故正确；
2
2
1
1
1
1
2
2
2
m t
t
t
t
min
m t
m
0
0
min
g x
对于D，因为
2
2
1
9
sin2
1 cos2
1 sin
cos2
sin
2sin
sin
1
2 sin
4
8
h x
ver
x
coversx
x
x
x
x
x
x
x
，所以当
时，
，故正确．故选：BCD．
1
sin
4
x
9
8
min
h x
三．习题演练
1．（2025 河南郑州二模）函数
与函数
的图象交点个数为
2sin 2
6
f x
x
2
log
g x
x
（ ）
A．
B．
C．
D．
3
5
6
7
2．（2025 广东广州一模）已知
，曲线
与
相邻的三个交点构
0
cos
y
x
π
cos
3
y
x
成一个直角三角形，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3 π
3
2 π
2
2π
3π
3．（2025 广东一模）已知函数
的周期为
，且在
上单调递增，则
可以是
f x
2
0,1
f x
（ ）
A．
B．
C．
D．
sinπ
f x
x
π
sin 2
f x
x
cos2π
f x
x
tanπ
f x
x
4．（2025 江苏宿迁二模）已知函数
的极值点与
的零
sin
cos
f x
x
x
π
tan
4
g x
x
点完全相同，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2
1
5．（2025 浙江温州二模）已知函数
，
，则两个函数的图象仅通过平
sin
f x
x
cos
g x
x
移就可以重合的是（ ）
A．
与
y
f x
g x
y
f
x
B．
与
2
2
y
f x
g x
y
f x g x
C．
与
y
f
f x
y
f
g x
D．
与
y
f
f x
y
g
f x
6．点
将一条线段
分为两段
和
，若
，则称点
为线段
M
AB
AM
MB
5
1
2
AM
BM
AB
MA
M
的黄金分割点.已知直线
与函数
的图象相交，
为
AB
( 1
1)
y
a
a
sin
y
x
, ,
A B C
相邻的三个交点，则（ ）
A．当
时，存在
使点
为线段
的黄金分割点
0
a
B
AC
B．对于给定的常数
，不存在
使点
为线段
的黄金分割点
a
B
AC
C．对于任意的
，存在
使点
为线段
的黄金分割点
a
B
AC
D．对于任意的
，存在
使点
为线段
的黄金分割点
a
B
AC
7．（2025 湖北武汉二模）函数
，则下列关于
的说法
2
2
π
π
sin
sin
12
4
f x
x
x
f x
中正确的是（ ）
A．最小正周期是
π
B．最大值是2
C．是区间
上的减函数
π 2π
,
3
3
D．图象关于点
中心对称
π ,1
6
8．（福建省厦门市2025 届高三第三次质量检测数学试题）已知直线
为函数
π
3
x
图象的一条对称轴，则（ ）
sin2
cos2
f x
x
a
x
A．
的最小正周期为
f x
2π
B．
3
3
a
C．
2 3
3
f x
D．
的图象关于点
对称
f x
π ,0
12
9．（2025 安徽合肥二模）将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到
π
sin 2
6
f x
x
π
6
函数
的图象，则（ ）
g x
A．
与
的图象关于直线
对称
f x
g x
7π
4
x
B．
与
的图象关于点
对称
f x
g x
4π ,0
3
C．当
时，
7π 8π
,
3
3
x
f x
g x
D．当
时，
与
的图象恰有4 个交点
2π,4π
x
f x
g x
参考答案
1．（2025 河南郑州二模）函数
与函数
的图象交点个数为
2sin 2
6
f x
x
2
log
g x
x
（ ）
A．
B．
C．
D．
3
5
6
7
解析：
通过五点法
作出周期函数
的图象，再通过
π
5π
2π
11π
7π
,2 ,
,0 ,
, 2 ,
,0 ,
,2
6
12
3
12
6
f x
两点法
作出单调函数
的图象，因为
，所以通过图象
1,0 , 4,2
2
log
g x
x
7π 17π
4
,
6
12
可判断它们有个交点，故选：A.
3
2．（2025 广东广州一模）已知
，曲线
与
相邻的三个交点构
0
cos
y
x
π
cos
3
y
x
成一个直角三角形，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3 π
3
2 π
2
2π
3π
解析：设曲线
与
相邻的三个交点为
cos
y
x
π
cos
3
y
x
1
1
2
2
3
3
,
,
,
,
,
A x y
B x
y
C x
y
，
，
π
1
3
π
cos
cos
cos
sin
sin
0
3
2
2
6
x
x
x
x
x
解得
，不妨取
，则
，
π
π ,
Z
6
k
x
k
0,1,2
k
1
2
3
π
7π
13π
,
,
6
6
6
x
x
x
w
w
w
=
=
=
所以
，则
，由题意得
1
2
3
3
3
3
,
,
2
2
2
y
y
y
=
= -
=
2
2
2
2
2
π
2π
3,
AB
BC
AC
w
w
æ ö
æ ö
÷
÷
ç
ç
=
=
+
=
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è ø
è
ø
ABC
V
为直角三角形，所以
，即
，解得
，故选：A．
2
2
2
AB
BC
AC
2
2
π
2π
2
6
w
w
æ ö
æ ö
÷
÷
ç
ç
+
=
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è ø
è
ø
3 π
3
w=
3．（2025 广东一模）已知函数
的周期为
，且在
上单调递增，则
可以是
f x
2
0,1
f x
（ ）
A．
B．
C．
D．
sinπ
f x
x
π
sin 2
f x
x
cos2π
f x
x
tanπ
f x
x
解析：对于A，
，但
，
，
2π
2
π
T
1
π
2
sin
4
4
2
f
5
5
1
sin
π
6
6
2
f
所以函数
在
上不单调递增，不符合题意；
f x
sin x
0,1
对于B，
，所以函数
的周期为
，当
π
π
2
sin
π
sin
2
2
f x
x
x
f x
f x
2
0
1
x
时，
，因为
，函数
在
上单调递增，
π
π
sin
sin
2
2
f x
x
x
π
π
0
2
2
x
sin
y
x
π
0, 2
所以函数
在
上单调递增，同理可得函数
在
上单调递
π
sin 2
f x
x
0,1
π
sin 2
f x
x
1,2
减，，所以函数
的最小正周期为
，B 正确；
π
sin 2
f x
x
2
对于C，因为
，
，所以函数
在
上不
1
π
cos
0
4
2
f
1
1
2
f
cos
cos2
f x
x
0,1
单调递增，不符合题意；
对于D，函数
的定义域为
，
，所以结论函数
f x
tan x
1
1
,
2
2
k
k
Z
k
f x
tan x
在
单调递增错误，不符合题意；故选：B.
0,1
4．（2025 江苏宿迁二模）已知函数
的极值点与
的零点
sin
cos
f x
x
x
π
tan
4
g x
x
完全相同，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2
1
解析：
，由
，得
①，
π
sin
cos
2 sin
4
f x
x
x
x
π
π
π
4
2
x
k
π
π
,
Z
4
x
k
k
对于
，由
，得
，依题意
，所以
π
tan
4
g x
x
π
π
4
x
k
π
π
,
Z
4
x
k
k
0
②，由于函数
的极值点与
π
π
π
π
4
,
Z
4
k
k
x
k
sin
cos
f x
x
x
π
tan
4
g x
x
的零点完全相同，对比①②可得
.故选：B
1
5．（2025 浙江温州二模）已知函数
，
，则两个函数的图象仅通过平
sin
f x
x
cos
g x
x
移就可以重合的是（ ）
A．
与
y
f x
g x
y
f
x
B．
与
2
2
y
f x
g x
y
f x g x
C．
与
y
f
f x
y
f
g x
D．
与
y
f
f x
y
g
f x
解析：若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合，则这两个函数的振幅相等，
最小正周期也相等，
对于A 选项，
，所以，函数
的振
π
sin
cos
2 sin
4
x
x
f x
g
x
x
y
f x
g x
幅为
，函数
的振幅为，所以，这两个函数的振幅不相等，故
2
y
f
x
1
y
f x
g x
与
的图象不能通过平移重合，A 错；
y
f
x
对于B 选项，
，
2
2
2
2
sin
cos
cos2
x
x
x
f x
g x
，
1
sin
cos
sin 2
2
f x g x
x
x
x
函数
的振幅为，函数
的振幅为
，所以，
2
2
y
f x
g x
1
y
f x g x
1
2
与
的图象不能通过平移重合，B 错；
2
2
y
f x
g x
y
f x g x
对于C 选项，因为
，
，
sin sin
f
f x
x
π
sin cos
sin sin
2
f
g x
x
x
将函数
的图象向左平移
个单位长度可与函数
的图象重合，C
y
f
f x
π
2
y
f
g x
对；
对于D 选项，
，函数
与
的图
π
cos sin
sin sin
2
g
f x
x
x
y
f
f x
y
g
f x
象不能通过平移重合，D 错.故选：C.
6．点
将一条线段
分为两段
和
，若
，则称点
为线段
M
AB
AM
MB
5
1
2
AM
BM
AB
MA
M
的黄金分割点.已知直线
与函数
的图象相交，
为
AB
( 1
1)
y
a
a
sin
y
x
, ,
A B C
相邻的三个交点，则（ ）
A．当
时，存在
使点
为线段
的黄金分割点
0
a
B
AC
B．对于给定的常数
，不存在
使点
为线段
的黄金分割点
a
B
AC
C．对于任意的
，存在
使点
为线段
的黄金分割点
a
B
AC
D．对于任意的
，存在
使点
为线段
的黄金分割点
a
B
AC
解析：若
，则
，即
点
为线段
的黄
5
1
2
AM
AB
3
5
5
1
2
5
1
BM
MA
5
1
2
AM
AB
M
AB
金分割点，当
时，
，不存在
使点
为线段
的黄金分割点，故选项A，C
0
a
1
AB
BC
B
AC
错误；如下图，当
时，
，当
时，
，则
，
1
a
0
AB
BC
1
a
AB
BC
0,
AB
BC
则存在一个
使得
，故选项
错；对于选项D，若
与
0
1,1
a
5
1
2
AB
BC
B
sin
y
x
相交于相邻的三点
，其横坐标分别为
，则
( 1
1)
y
a
a
, ,
A B C
1
2
3
1
2
3
,
,
x x x
x
x
x
，将
变换成
后，点
分别对应到点
，
2
1
3
1
x
x
AB
AC
x
x
sin
y
x
sin
y
x
, ,
A B C
,
,
A B C
且满足
，故
，即
对比
3
1
2
1
2
3
,
,
x
x
x
x
x
x
2
1
2
1
3
1
3
1
x
x
x
x
A B
AB
A C
x
x
AC
x
x
,
值
无影响，故选项D 正确.
AB
AC
故选：D.
7．（2025 湖北武汉二模）函数
，则下列关于
的说法
2
2
π
π
sin
sin
12
4
f x
x
x
f x
中正确的是（ ）
A．最小正周期是
π
B．最大值是2
C．是区间
上的减函数
π 2π
,
3
3
D．图象关于点
中心对称
π ,1
6
解析：
2
2
π
π
1 cos 2
1 cos 2
π
π
6
2
sin
sin
12
4
2
2
x
x
f x
x
x
，则
的最小正周期是
，故选项A
3
3
3
π
sin 2
cos2
1
sin 2
1
4
4
2
6
x
x
x
f x
2π
π
2
正确；
由三角函数的性质可知
，即
的最大值是
，故选项B 错误；
3
1
2
f x
f x
3
1
2
时，
，因为
在
上单调递减，故
是区
π 2π
,
3
3
x
π
π 7π
2
,
6
2
6
x
sin
y
z
π 7π
,
2
6
z
f x
间
上的减函数，故选项C 正确；
π 2π
,
3
3
令
，解得
，故
的图象的对称中心为
，
π
2
π,
Z
6
x
k
k
π
π ,
2
12
k
x
k
Z
f x
π
π ,1
2
12
k
，令
得
，所以
的图象不关于点
中心对称，故选项D
k Z
π
π
π
2
12
6
k
1
Z
6
k
f x
π ,1
6
错误.故选：AC
8．（福建省厦门市2025 届高三第三次质量检测数学试题）已知直线
为函数
π
3
x
图象的一条对称轴，则（ ）
sin2
cos2
f x
x
a
x
A．
的最小正周期为
f x
2π
B．
3
3
a
C．
2 3
3
f x
D．
的图象关于点
对称
f x
π ,0
12
解析：
，其中
，
2
sin2
cos2
1
sin 2
f x
x
a
x
a
x
tan
a
则
的最小正周期为
，故选项A 错误；
，
f x
2π
π
2
2cos2
2 sin 2
f
x
x
a
x
因为直线
为函数
图象的一条对称轴，所以
π
3
x
sin2
cos2
f x
x
a
x
，即
，解得
，故选项B 正确；
π
2π
2π
2cos
2 sin
0
3
3
3
f
a
1
3
2
2
0
2
2
a
3
3
a
由B 可知，
，
3
2 3
3
1
2 3
π
sin2
cos2
sin2
cos2
sin 2
3
3
2
2
3
6
f x
x
x
x
x
x
因为
，所以
，故选项C 正确；
1
π
1
sin 2
6
x
2 3
3
f x
，故选项D 错误.故选：BC.
π
2 3
π
π
sin 2
1
0
12
3
12
6
f
9．（2025 安徽合肥二模）将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到
π
sin 2
6
f x
x
π
6
函数
的图象，则（ ）
g x
A．
与
的图象关于直线
对称
f x
g x
7π
4
x
B．
与
的图象关于点
对称
f x
g x
4π ,0
3
C．当
时，
7π 8π
,
3
3
x
f x
g x
D．当
时，
与
的图象恰有4 个交点
2π,4π
x
f x
g x
解析：由题得，
，
( )
sin[2(
)
]
sin(2
)
6
6
6
π
π
π
g x
x
x
A：与
的图象关于直线
对称的函数为
( )
f x
7π
4
x
，故A 正确；
7π
7π
π
43π
π
( 2
)
sin[2(
)
]
sin( 2
)
sin(2
)
( )
4
2
6
6
6
y
f
x
x
x
x
g x
B：当
时，
，
4π
3
x
1
(
)
sin(2
)
1, (
)
sin(2
)
3
3
6
3
3
6
2
4π
4π
π
4π
4π
π
f
g
，所以
与
的图象不关于点
对称，故B 错误；
(
)
(
)
0
3
3
4π
4π
f
g
( )
f x
( )
g x
4π
(
,0)
3
C：
，当
时，
，
π
π
( )
( )
sin(2
)
sin(2
)
cos2
6
6
f x
g x
x
x
x
7π 8π
(
,
)
3
3
x
14π 16π
2
(
,
)
3
3
x
令
，则
，
在
上恒小于0，所以
在
上恒大
2
t
x
14π 16π
(
,
)
3
3
t
cost
14π 16π
(
,
)
3
3
cost
14π 16π
(
,
)
3
3
于0，即
，即
，故C 正确；
( )
( )
0
f x
g x
( )
( )
f x
g x
D：令
，即
，得
（无解）或
( )
( )
f x
g x
π
π
sin(2
)
sin(2
)
6
6
x
x
π
π
2
2
2 π
6
6
x
x
k
，解得
，又
，所以
π
π
2
π
(2
)
2 π,
6
6
x
x
k k
Z
π
π ,
4
2
k
x
k
Z
(2π,4π)
x
，解得
（
），所以
，即函数
图象
π
π
2π
4π,
4
2
k
k
Z
7
15
2
2
k
k Z
4,5,6,7
k
( ), ( )
f x g x
共有4 个交点，故D 正确.故选：A
