文档文本内容
微专题拓展10 利用导数解决双变量经典模型
目录
01 解题方法总结..............................................................................................................................2
02 重难点题型梳理......................................................................................................................... 3
题型一：同构构造................................................................................................................................3
题型二：任意存在................................................................................................................................6
题型三：差值换元、比值换元..........................................................................................................10
题型四：转化为两根和积形式..........................................................................................................21
题型五：转化为单变量......................................................................................................................27
题型六：零点代换、主元法..............................................................................................................33
题型七：放缩消元..............................................................................................................................37
03 课后拓展精练............................................................................................................................45
在数学问题中，双变量问题常借助导数求解，以下是常见方法：
1、变更主元法：当问题中两个变量地位不均等，可确定一个为主元，另一个视为参数，将双变量问
题转化为关于主元的单变量函数问题。例如已知含双变量的不等式恒成立，把其中一个变量看作主元，构
造函数，利用导数求其最值，进而求解另一个变量的范围。
2、构造差函数法：对于双变量不等式，可通过移项构造差函数，将问题转化为证明差函数的单调性
或最值问题。对差函数求导，分析其单调性，从而证明不等式。
3、利用极值点关系：若双变量与函数极值点相关，先求出函数极值点满足的方程，再利用方程关系
对双变量进行消元或转化，最后结合导数求解。
题型一：同构构造
例1 ．（2026· 浙江· 模拟预测）已知函数
，对于任意的
、
，当
时，总有
成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】不妨设
，由
可得出
，
即
，
令
，其中
，
则
，所以，函数
在
上为增函数，
则
，则
，
令
，其中
，
，
令
，其中
，所以，
，
所以，函数
在
上单调递增，
因为
，
，
所以，存在
，使得
，则
，
令
，其中
，则
，故函数
在
上为增函数，
因为
，
，所以，
，
由
可得
，所以，
，可得
，
且当
时，
，此时函数
单调递减，
当
时，
，此时函数
单调递增，
所以，
，
所以，
．
故选：A．
例2．（2026·高三·广东江门·阶段检测）已知
若对于任意两个不等的正实数
、
，都有
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】不妨设
，可得
，可得
，
令
，则
，
所以，函数
在
上为增函数，
对任意的
恒成立，所以，
，
当
时，
，当且仅当
时，等号成立，
所以，
．
故选：B．
例3 ．（2026· 高三· 河北沧州· 阶段检测）已知函数
的定义域为
，且对
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，因为对
，当
时都有
恒成立，
等价于
，即
，
令
，则
，所以
在
上为减函数，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
令
，则
，
所以函数
在
上单调递减，在
单调递增，
又
，
，且
，
所以
，
所以
，解得
，
故选：A．
变式1．（2026·高三·广西·月考）已知函数
，若对任意的
，都有
，
则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对任意的
，都有
，即
，
在
上单调通递增，
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
令
，则
，
当
时
；当
时，
，
故
，所以
．
故选：C
变式2．已知函数
，对任意
，
，且
，都有
成
立，则实数a 的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，易知函数
在
上是增函数，
不妨设
，则
．
由
，所以
．
所以
，即
．
设
，则
在区间上
是减函数．
所以
在
时恒成立，
因为
，所以
在
时恒成立，
即
在
时恒成立，即
．
而
在区间上
是增函数，所以
的最大值为
，所以
，
又
，所以
．
故选：B．
题型二：任意存在
例4．已知函数
若
，使
成立，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
，该二次函数开口向上，对称轴为
，因此
在
上单调递
减，
则
，即
的值域为
．
当
时，
，
．
当
时：
恒成立，故
，
在
上单调递增，
当
时，
；当
时，
，
因此
的值域为
，显然包含
，满足条件；
当
时：
，值域为
，取不到
，不满足条件；
当
时：
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增．
最小值为
，要让值域包含
，只需最小值
，
即
满足条件．
综上：
的取值范围是
．
例5 ．已知函数
．若对任意的
，都存在唯一的
，使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
且
，
又对任意的
，
，都存在唯一的
，
，使得
成立，
或
，
又
，
，故
，
，解得
．
故选：C
例6．（2026·高三·湖北·阶段检测）已知函数
的定义域为
，若对于任意的
，都存在
，使得
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
，
，
，
令
，可得
或
，
当
时，
，则
，
，则
，
所以函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递减，
当
时，
时，
，
所以函数
在
上为减函数，
设
，
因为对于任意的
，都存在
，使得
，
所以对于任意的
，都存在
，使得
，
所以函数
在
上的值域包含与函数
在
上值域，
当
时，
，
函数
在
上为减函数，
函数
在
上的值域为
，函数
在
上的值域为
，
所以函数
在
上的值域为
，
由已知
，
所以
，又
，所以
，（注：由此可排除A，B，C）
当
时，
，
，
函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递减，
函数
在
上的值域为
，函数
在
上的值域为
，
所以函数
在
上的值域为
，与已知矛盾，
当
时，
，
，
因为函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递减，
所以函数
在
上的值域为
，函数
在
上的值域为
，
所以函数
在
上的值域为
，与已知矛盾，
当
时，
，
，
，则
，
，则
，
所以函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递减，
所以函数
在
上的值域为
，函数
在
上的值域为
，
所以函数
在
上的值域为
，
，满足要求
当
时，
，
，
函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递增
所以函数
在
上的值域为
，函数
在
上的值域为
，
所以函数
在
上的值域为
，
，满足要求，
综上所述，
，
故选：D．
变式3 ．已知函数
，
．若对任意
，总存在
，使得
成立，则实数
的最大值为（ ）
A．7
B．5
C．
D．3
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
所以当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
因为
，
，
，
，
所以当
时，
，
因为
，所以
在区间
上单调递减，
所以当
时，
，
因为对任意
，总存在
，使得
成立，所以
，即
，
所以实数
的最大值为3，
故选：D
变式4．（2026·高三·贵州·阶段检测）已知函数
，
，若存在
，对任意
，使得
恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】易知
，令
得
，
得
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
时，
单调递增，即
，
而
时，
，
由题意可知
，所以
，即
．
故选：A
变式5．（2026·广西南宁·一模）已知函数
，
，
，若
，
，使得
成立，则
的最小值为（ ）
A．-5
B．-4
C．
D．-3
【答案】A
【解析】
，则当
时，
，当
时，
，
，
，作函数
的图像如图所示，
当
时，方程两根分别为
和
，则
的最小值为
．故选A
题型三：差值换元、比值换元
例7．已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若
有两个极值点
，
，且
．
（i）求实数
的取值范围；
（ii）当
时，求
的取值范围．
【解析】（1）当
时，
，
，
令
，则
，
令
，
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
又
，
所以
，
，
所以
单调递增区间为
，无递减区间.
（2）（i）由题知，
，
若
，
恒成立，无极值；
若
，则
，即
有两个不同实根
，
，且
，
显然
，令
，则
，
代入上式得
，
，
设
，则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
若
，则
，
又
，
，
所以
，
；
若
，
，
则
，
在
上单调递增，
又
，
即
时，
，
此时
最多只有一个解，不满足题意，舍去.
综上，
的取值范围为
.
（ii）设
，由
，
两式相除得，
，即
，
又
，代入得
，即
，
而
代入得，
，则
，
所以
，
记
，
令
，则
，
令
，则
，
又
，所以
，则
，
所以
在
上单调递减，
在
上单调递增，
又
，
，
且
，
所以
，即
.
例8．已知函数
，
．
(1)若曲线
在点
处的切线方程为
，求a，b 的值；
(2)已知
，记
为
的导函数，
，若
存在两个极值点
．
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）已知
，求
的取值范围．
【解析】（1）由题意，函数
的定义域为
，
求导得
．
由题意，切点为
，切线斜率为e．
所以
，
，
解得
，
．
（2）（ⅰ）（ⅰ）法1：当
时，
，求导得
．
因
有两个极值点
，
，
故方程
有两个正实根，因此
，解得
．
因
是方程
的根，故
．
由
，又因为
，则
．
将
代入
，得
．
要证
，即证
，
即证
，即证
，
令
，
，则
，
在
上单调递增，
故
，即
．
法2：当
时，
，求导得
．
因
有两个极值点
，
，故方程
有两个正实根，
因此
，解得
．
因为
，
又
，所以
，
因为
在
单调递减，
所以
，
所以
．
（ⅱ）令
，由
，得
，
，
故
．
．
令
，
，
．
令
，则
，
在
上单调递增，
故
，
，
在
上单调递增．
已知
，故
，
即
．
例9．（2026·高三·河北秦皇岛·期末）已知函数
，
，
.
(1)讨论
的单调性;
(2)若
与
有相同的最小值，求实数
的值;
(3)设
是
的两个不同的极值点，判断
与
的大小，并证明你的结论.
【解析】（1）函数
的定义域为
.
.
因为
恒成立，所以当
时，
恒成立，
是增函数；
当
时，令
，得
.
因为
是增函数，所以当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.
综上，当
时，
是增函数；
当
时，
在
上单调递减；在
上单调递增.
（2）由（1）得，当
时，
是增函数，无最小值；
当
时，
单调在
上单调递减；在
上单调递增，所以
在
处取得最小值，
最小值为
.
，定义域为
.
.
当
时，
恒成立，
是减函数，无最小值；
当
时，令
，得
.
因为
是增函数，所以当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.
所以
在
处取得最小值，最小值为
.
因为
与
有相同的最小值，所以
，即
.
令
，则
.
令
，则
.
令
，得
；令
，得
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
所以
在
处取得最大值，最大值为
.
所以
是减函数.
因为
，所以方程
有唯一实数根.
所以
.
（3）
，证明如下：
函数
的定义域为
.
.
设
是
的两个不同的极值点，则
是方程
，即
的两
个不同实根.
即
，所以
.
令
，则
.
令
，则
.
令
，则
.
因为
，所以
恒成立，所以
为增函数.
所以
，即
，所以
为增函数，所以
.
因为
，所以
，即
.
即
.
变式6．已知函数
．
(1)若函数
在
上是减函数，求实数m 的取值范围；
(2)若函数
在
上存在两个极值点
，
，且
，证明：
．
【解析】（1）∵
在
上是减函数，
∴
在定义域
上恒成立，
∴
，设
，则
，
由
，得
，由
，得
，
∴函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
∴
．∴
．
故实数m 的取值范围是
．
（2）由（1）知
，
∵函数
在
上存在两个极值点
，
，且
，
则由
，
两式相加、相减分别可得
与
，
∴
，∴
，
设
，则
，要证
，
只需证
，只需证
，只需证
，
构造函数
，则
，
∴
在
上单调递增，
∴
，即
，∴
．
变式7．（2026·山西·模拟预测）已知函数
.
(1)若函数
在定义域上单调递增，求
的取值范围；
(2)若
；求证：
；
(3)设
，
是函数
的两个极值点，求证：
.
【解析】（1）由题意知函数
的定义域为
，
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
又
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，即
的取值范围是
.
（2）证明：若
，
，所以
，
令
，解得
，所以当
时，
，
当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，当且仅当
时，等号成立.
令
，
，所以
，
令
，解得
，所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，又等号不同时成立，
所以
.
（3）证明：由题意可知
，
因为
有两个极值点
，
，
所以
，
是方程
的两个不同的根，
则
且
所以
，
所以要证
，即证
，
即证
，即证
，即证
.
令
，则证明
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，则
，即
，
所以原不等式
成立.
变式8．（2026·天津·一模）已知
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)已知
是
的导函数，若存在
，使得
对任意
成立，求
的取值范
围；
(3)若
有两个极值点
，且
，求证：
.
【解析】（1）当
时，
.
因为
，所以
，
.
曲线
在点
处的切线方程
.
即
.
（2）因为
，
所以
，
因为
，
当
时，
，当
时，
，
即
在
上单调递增，
在
上单调递减
故
在
处取得最大值，最大值为
.
因为存在
，对于任意
，都有
成立
所以
，即
恒成立，等价于
，
即对任意
，
恒成立.
设
，则
令
，则
.
①当
时，因为
，则显然有
，
可知
在
上单调递减，则
，
所以
在
上单调递减，
所以
，即对任意
恒成立，
所以
满足题意;
②当
时，令
，解得：
，
当
时，
，则
单调递增，
此时
，则
在
上单调递增，所以
，
即当
时，
，即
不恒成立，
可知
不合题意.
综上所述，
.
（3）由（2）可得，
在
上单调递增，在
上单调递减，
若
有2 个极值点
，需满足
，且
.
因为
有2 个极值点
，
，
所以等价于方程
的两根为
，且
，
即方程
的两根为
，
令
，则等价于方程
的两根为
，
所以
，即
因为
令
，则即证
因为
，所以
在
上单调递增，
下证
：
，所以可得
即
，即证
，
因为
，即
，因此即证
，
令
，
则
，
因此
在
上单调递增，
，所以
得证.
因为
，所以
，
又发现
且
在
上单调递增，
因此
即
得证.
题型四：转化为两根和积形式
例10．（2026·湖南·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)已知
存在两个极值点
，若
，且
，求
的最小值．
【解析】（1）由函数的解析式可知
，
，
①若
，则
恒成立，
在
上单调递增，
②若
，则由
，得
或
；
由
，得
．
在
上单调递减，在
和
上单调递增，
③若
，则由
，得
；
由
，得
．
在
上单调递减，在
上单调递增，
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，
在
和
上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
（2）
是方程
的两个根，
，
，且
，所以
，
，
令
，则
．
在
上单调递减，
，
的最小值为
.
例11．（2026·高三·江苏扬州·阶段检测）已知
.
(1)若曲线
在
处的切线与
垂直，求实数
的值；
(2)若函数
存在两个不同的极值点
，求
的取值范围.
【解析】（1）因为
，所以
，
又曲线
在
处的切线与
垂直，
所以
，解得
.
（2）因为
，
，
所以
的两个极值点
是方程
的两正根，
所以
，解得
，
所以
，
令
，则
，
所以
在
单调递减，
当
时，
，且
，
所以
的取值范围是
.
例12．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求函数
的极值；
(2)若
时，
，求a 的取值范围；
(3)若函数
有两个极大值点
，求
的范围.
【解析】（1）
时，
令
或
（舍去）或
（舍去）
（0,2）
2
（2,4）
+
0
-
↗
极大值
↘
极大值为
，函数
无极小值；
（2）法 1：
所以
时，
，所以
．
当
时，
，
．
综上，
的取值范围是
．
法 2： 因为
，
所以
关于
对称，
所以
时，
等价于
时，
．
首先：由
时，
得
．
其次：证明
时，
时，
，
当
时，
在
递增，
．
当
时，
① 当
，即
时，
递增．
② 当
，即
时，
存在唯一
使得
，即
．
递增：
递减．
③ 当
，即
时，
递减．
综上，
最小值为
，
因为
，
所以
时，
．
综上，
的取值范围是
．
法 3：令
，
．
令
，
时，
，等价于
时，
，
．
① 当
时，
递增．
② 当
时，存在唯一
使得
．
递增，
递减．
③ 当
时，
，
在
上递减，其最小值为
，
欲满足题意，需
，即
，
结合条件，此情况下
的范围是
，
综上
时，
，
因为
，
所以
时，
，当且仅当
．
综上，
的取值范围是
.
（3）当
时，
只有一个极值点．
当
时，
，
令
或
．
若函数有两个极大值点
，
则
在
有两个不等实根
，
所以
，且
．
+
0
-
0
+
0
-
↗
极大值
↘
极小值
↗
极大值
↘
由表可知，函数
的两个极大值点为
，极小值点为
，
，
，
变式9．（2026·北京·三模）已知
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
存在两个不同的极值点
，求证：
．
【解析】（1）当
时，
，
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
.
（2）
，
令
，得
，令
，则
，
原方程可化为
①，则
是方程①的两个不同的根，
所以
，解得
，
由韦达定理得
，
所以
，
所以
，
令
，则
，
所以函数
在
上单调递减，
所以
，
所以
.
题型五：转化为单变量
例13．（2026·河南商丘·模拟预测）已知函数
的定义域为
，其导函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线的方程，并判断是否经过一个定点；
(2)若
，满足
，且
，求
的取值范围．
【解析】（1）因为
，
所以
（c 为常数）．
因为
，所以
，
所以
．
又
，
所以曲线
在点
处的切线的方程为
，
即
，
所以经过定点
．
（2）令
，可得
．
因为
，满足
，且
，
所以关于
的方程
有两个不相等的正实数根
，
则
，
所以
，
令函数
，
则
，
令
，得
，
因为当
时，
，
当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
又当
时，
，
所以
的取值范围为
，
即
的取值范围为
．
例14．已知函数
，
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)若函数
在其定义域内单调递增，求实数
的取值范围；
(3)若
，且
有两个极值点
，其中
，求
的取值范围．
【解析】（1）当
时，函数
的定义域为
，
，
所以
，
令
，解得
或
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
因此，函数
的极大值为
，极小值为
．
（2）
的定义域为
，
则题意等价于
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
由基本不等式知，
时，
，
当且仅当
时等号成立，
所以
，即实数
的取值范围为
；
（3）由已知
，
因为
有两个极值点
，
所以
为方程
的两个不相等的实数根，
则
，
，
因为
，所以
，
又
，解得
，
所以
，
设
，
则
，
所以
在
上单调递减，
又
，
，
所以
，
即
的取值范围为
.
例15．（2026·江西抚州·二模）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程.
(2)若
在区间
上单调递减，求
的取值范围.
(3)若
，且
存在两个极值点
，证明：
.
【解析】（1）由题意得
，
，
而
，则
，
故曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）
，
又
在区间
上单调递减，
所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
因为函数
在
上单调递增，
所以
，所以
，
故
的取值范围是
.
（3）证明：
，
因为
存在两个极值点
，所以
满足
，即
，
不妨设
，则
.
又
则要证
，
即证
，
又
，则
，
即证
，即证
.
设函数
，
则
，
所以
在
上单调递减，又
，则
，
所以
，
即
得证.
变式10．（2026·高三·山东泰安·期末）已知函数
，
.
(1)当
时，求函数
的曲线上点
处的切线方程；
(2)当
时，求
的单调区间；
(3)若
有两个极值点
其中
，求
的最小值.
【解析】（1）当
时，
所以
，
，又
，
过切点
的切线方程为
，
即：
.
（2）由题意得：
，
,
令
,
①当
,即
，则
恒成立，
即
恒成立，
在
上单调递增.
②当
时，即
，令
,即
，
解得：
或
令
，解得：
综上，当
时，
的单调增区间为
，
当
时，单调增区间为
，
单调减区间为
.
（3）由（2）知，
，
，
由题意知，
是方程
的两根,
，
，
，
令
当
时，
,
所以
，
在
上单调递减，
即
的最小值为
.
题型六：变量大小关系、主元法
例16．（2026·高三·北京·开学考试）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求函数
在区间
上的最小值；
(3)函数
，当
时，求证：对任意的
，且
，有
．
【解析】（1）由题意得，
，所以
，又
，所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）由（1）得
，
因为
在
上单调递减，
在
上也单调递减，
所以
在区间
上单调递减，
因为
，
；
所以
在
上有且只有一个零点，记为
，
所以当
时，
；当
时，
，
即函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
从而函数的最小值在
或
上取到，
又因为
，而
，
所以
在区间
上的最小值为
.
（3）由
，得
.
对任意的
，且
，令
，则
只需证明
设
，
则
所以
在
单调递增，于是
.
又因为
，当
时，
，由此可得
，
所以原不等式得证.
例17．已知函数
(1)求
的单调区间；
(2)若
对
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，其中
，证明：
．
【解析】（1）函数
的定义域为
．
又
，
当
时，
；当
时
；当
时，
．
故
在区间
内为增函数，在区间
内为减函数，
即
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（2）因为
对
恒成立，
即
对
恒成立，
即
对
恒成立，
即
对
恒成立，
令
，
，注意到
，
又
，
当
时
，所以
在
上单调递增，则当
时
，
即对
，
恒成立，不符合题意；
当
时，则当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
，即
时，
在
上单调递减，则当
时
，符合题意；
当
，即
时，
在
上单调递增，则当
时
，不符合
题意；
综上可得实数
的取值范围为
；
（3）因为
，其中
，
则
，即
．
由
，得
．
由（1）不妨设
，则
，从而
，得
，
令
，
则
，
当
时，
，
在区间
内为减函数，
，
从而
，所以
，
由（1）得
即
．①
令
，则
，
当
时，
，
在区间
内为增函数，
，
从而
，所以
．
又由
，可得
，
所以
．②
由①②得
．
例18．已知函数
，
(1)当
时，求
在
处的切线方程
(2)若
恒成立，求
的范围
(3)若
在
内有两个不同零点
，
，求证：
．
【解析】（1）由于
，所以
，
，
则
，
，
故切线方程为
，即
，
（2）因为
，
，
进而
，即
，
令
，
，
当
，
，
单调递增，
当
，
，
单调递减，
当
时，
，
所以
，因此
，
，故
；
（3）
在
内有两个不同零点
，
，
则
，
有两个根
，
，即
，
由（2）知，当
，
在
单调递增，
单调递减．
故
，
欲证
，即证
，
由于
，
在
单调递减，
所以只需证明
，即证
，
欲证
，即证
，即
，
即证
，即证
，而该式显然成立，
所以
，
欲证
，即证
，
，即证
，
即证
，即证
，即证
，
令
，
只需证
，
，
令
，
，
在
单调递增，
，得证．
题型七：放缩消元
例19．对于正数
，
，当
时，定义
为
，
的对数平均值，且
，我
们把上述不等式称为对数平均不等式．人工智能DeepSeek 给出了不等式右端的证明：
（ⅰ）不妨设
，则
等价于
，
即证：
，令
，即证：
对一切
恒成立．
记
，则
，
所以
在
上单调递增，从而有
证毕．
(1)请参照以上方法证明：
；
(2)已知函数
①若
有两个极值点
，
，求
的取值范围；
②在①的条件下利用“对数平均不等式”证明：
．
【解析】（1）不妨设
，则
等价于
，
即
，令
，即证
，
令
，则
，所以函数
在
上单调递减，
所以
，所以
，即
成立;
（2）①由
得，
，
因为函数
有两个极值点
，所以
有两个相异正根，即
有两个相异正根，由韦达定理可知两根之积为
即
，解得
，即
的取值范围为
;
②由①知:
满足
，所以
，
不妨设
，则
，
要证
，即证
，
即证
.
由对数平均不等式
，
又
，故
，所以
成立，
因此
，得证.
例20．已知函数
，
为
的导函数.若
的两个极值点分别为
和
，且
.
(1)求实数
的取值范围；
(2)证明：
.
【解析】（1）
，且定义域
．
因为
有两个极值点，所以
是方程
的两个正根，
即
有两个正根
.
令
，则
，
令
，解得
.
所以当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
取得最小值，为
，
当
时，
，
又当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
时，
的图象与直线
有两个不同的交点，所以
.
（2）由（1）可知
，且
时，
，又
，所以
.
令
，则
，
在
上单调递增，又
，
所以
时，
，
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，即
，则
，
又因为
，所以
，
所以
，即
.
例21．（2026·河北雄安·三模）已知函数
，函数
，
为实数．
(1)证明：
．
(2)若
．
（ⅰ）证明：
有两个零点
，
，且若
，则
；
（ⅱ）证明：
．
【解析】（1）
，
令
，则
，
故
在
上单调递减，又
，
则当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，即得证；
（2）（ⅰ）
，
令
，则
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，故
在
上单调递减，
又
，
故当
时，
，当
时，
，
即
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
，由
，则
，
当
时，
，由
，则
，当
时，
，
故
有两个零点
，
，且若
，则
；
（ⅱ）由（1）知，
恒成立，
当
时，有
，即
，
不妨设
，则
，有
，
即
，则
，整理得
；
当
时，有
，即
，
又
，即
，
则
，整理得
，
设关于的方程
，
，
故该方程有两根，设为
、
，且
，则
，
由
，
，
则
，故
.
变式11．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知函数
（
，e 为自然对数的底
数）.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求函数
的极值点的个数；
(3)若
有两个极值点
，
证明：
.
【解析】（1）由题可知
，
，
又
，所以曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）当
时，
，
令
，则
，
令
，则
，
当
时，
恒成立，
(即
)在
上单调递增，
所以
故
(即
)在
上单调递增，
即
，
所以
在
上单调递增；
当
时，
，
，又
，
所以
，所以
在
上单调递增；
当
时，
，所以
，
所以
在
上单调递增，又
，
，
所以
，使得
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
所以
，使得
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
又
在
和
处有意义，所以
是连续函数，端点不断开，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
有一个极大值点，一个极小值点，共两个极值点.
（3）因为
，
是
的两个极值点，所以
，
即
，
所以
.
要证
，
即证
，
即证
，即证
.
令
，则
恒成立，
所以
在
上单调递增，
因为
，所以
，即
，
得证.
变式12．已知函数
(1)若
，求证：
；
(2)讨论函数
的零点个数；
(3)令
，若
，
，求证：
．
【解析】（1）若
，
，
，
当
时，
，
递减；当
时，
，
递增，
所以函数
在
处取得极小值也是最小值
.
因此
，得证．
（2）因为函数
，定义域为
，
.
①
时，
，
在
上递增，注意到
，
，
，所以
在
上
有唯一的零点；
②
时，
在
上无零点；
③
时，
在
上递减；
上递增，
所以
；
（ⅰ）当
时，
，所以
恒成立，
无零点；
（ⅱ）当
时，
有唯一的零点
；
（ⅲ）当
时，
且
时，
，当
时，
，
所以
在
和
上各有一个零点，共两个零点．
综上：（ⅰ）当
时，
无零点；（ⅱ）当
或
时，
有唯一的零点；
（ⅲ）当
时，
恰有两个零点．
（3）
，当
时，所证不等式显然成立，
当
时，由对称性，不妨设
，
令
，
，
即证：
，其中
，
，
所以
，下面证明
，
即证
，
.令
，
设
，则
，
所以函数
在
上单调递减，因此
，即
，所以
.
当
时，
，
设
，则
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
所以函数
在
处取得极小值也是最小值
，所以
，
即
对任意
成立，所以
当
时，
，
因为函数
在
上单调递增，
所以
.
因此当
时，
.
综上所述，
，
成立，即
成立，因此原不等式成立.
1 ．已知
，过点
可作曲线
的两条切线，切点为
，
．求
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，设切点坐标为
，
则曲线在该点处的切线方程为：
，
又
在切线上，即
，
则方程
有两不同解
，
令
，
易知
时，
单调递增不合理，故
．
当
时，
，当
时，
单调递减，
时，
单调递增，故
为极小值；
要使
有两解，则
，即
，
令
在
上单调递增，
又因为
，所以
易知
，
又因为
为方程
的解，故有
，
代入可得
，故所求取值范围为
．
故选：A
2．已知函数
，
，若对任意
，总存在
，使得
，
则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
时，
，
，当且仅当
，即
时等号
成立，所以
，
是增函数，
时，
，
由题意，
，
．
故选：C．
3．已知函数
（
）．
(1)若
在
处取得极值，求
的值；
(2)求函数
的单调区间；
(3)设
，若
，
，
恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】（1）由题意得
，且
，解得
.
当
时, 函数在
左右导数符号异号，极值点成立.
综上
.
（2）由上知
，
①当
时，
对任意
，都有
，因此
恒成立，
此时
，
在
上单调递增，
②当
时，
令
，解得
，因为
，所以
，
当
时，
，此时
，
单调递增，
当
时，
，此时
，
单调递减.
综上，当
时，
的单调递增区间为
，无单调递减区间，
当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（3）由题意得
，
由上知若
，
单调递增至
，无最大值，不符合题意，因此必须有
，
当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
所以
，
设
，则
，令
，解得
，
当
时，
单调递减， 当
时，
单调递增，
所以
，即
恒成立，
即
恒成立，当且仅当
时等号成立，
令
，则有
，其中
，
所以有
，整理得
，
因为
，所以有
，
当且仅当
时等号成立,
因为
在
上严格单调递增，且当
时
,
当
时
，且
，
故必然存在唯一的
使得
,即等号可以取得，
即
恒成立，即
，
则
，解得
.
综上， 实数
的取值范围是
.
4．已知函数
，函数
(1)若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求b 的值；
(2)若
，
，使
成立，求m 的取值范围；
(3)设函数
有两个不同的零点
，
，且满足
，求实数a 的取值范
围．
【解析】（1）
的定义域为
，求导得
.
则曲线
在点
处的切线斜率
.
因切线与直线
垂直，故直线
斜率必存在，为
，
故有
，解得
.
（2）由
，求导得
.
令
，得
，
当
时，
，当
时，
，
则
在
上单调递减；在
上单调递增，
则
，则
的最小值为
.
题设条件等价于：对任意
，
恒成立，
即
对任意
恒成立.
设
，则
.
令
，得
，
当
时，
，当
时，
，
则
在
上单调递增；在
上单调递减，
因
，
，且
，
∴
，∴
.
（3）由
，得
，
令
，求导得
，
当
时，
，当
时，
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
而当
时，
恒成立，且
，
由
有两个零点，即方程
有两个不等的正根，亦即直线
与
的图象有两个公共点，
因此
，即
，
由
，得
，且
，
不妨设
，将
代入
，
得
，即
，
令
，求导得
，令
，
求导得
，则函数
在
上单调递减，
有
，即
，函数
在
上单调递减，
由
，得
，则
，
因此函数
在
上单调递减，即
，
于是
，有
，则
，
又
，而
，
，
在
上递增，而
，因此
在
上递增，
则
，即
，解得
，
所以a 的取值范围是
.
5．已知函数
.
(1)求
的最小值；
(2)若对
，
，使得
，求实数
的取值范围.
【解析】（1）因为
，所以
，
令
，即
，解得
，
所以当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
所以当
时，
取得最小值，即
最小值为
.
（2）因为
，使得
，即
.
由（1）知，
，所以
在
上有解，
当
时，函数
在
上单调递增，所以
，不合题意.
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，
则
，解得
或
，又因为
，所以实数
的取值范围为
.
6．已知函数
，其中
.
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)若函数
在定义域上单调递增，求实数
的取值范围；
(3)若
在
上存在两个极值点
，求
的取值范围.
【解析】（1）当
时，
，定义域为
，
所以
，
所以
，又
，
所以函数
在
处的切线方程为
，即
.
（2）
的定义域是
，
函数
在定义域上单调递增，则
对
恒成立，
即
，
因为
，当且仅当
时等号成立，
所以
时，
恒成立，即
在
上单调递增.
（3）
在
上有两个极值点
，
则
，即
在
上有两个不等实数根
，
解得
，且
，
此时
，
，
令
，则
，
所以
在
上单调递减，
又由
，由
可知
，即
。
联立解得
，所以
。
且
所以
的取值范围是
.
7．（2026·高三·山东·期中）已知函数
(1)若
，讨论
的单调性;
(2)若
有两个极值点，求实数a 的取值范围；
(3)当
时，设函数
为
的导函数.证明：对任意的
，有
【解析】（1）当
，
，所以
，
显然
或
时，
，即此时
单调递增；
时，
，即此时
单调递减；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
（2）易知
，
若
有两个极值点，等价于
有两个不同的变号零点，
令
，即
有两个不同的变号零点，
则
，
易知
时，
，
或
时，
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
时，
取得极小值也是最小值
，
在
时，
取得极大值
，
又
时，
，
，
作出
大致图象如下：
要使得
有两个不同根，需
有两个不同交点，
由题意可知
，
注意到
时，此时在零点
的左右附近，
均有
，即
，不符合题意，舍去；
所以
；
（3）易知
，
所以
，
，
要证
，即证
，
不妨设
，即证
，
设
，即证
令
，
易知
，即
单调递增，
所以
，证毕.
8．（2026·高三·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）已知函数
．
(1)求函数
在
上的最值及其零点个数；
(2)若对于任意的
，均有
，求
的取值范围．
【解析】（1）易知
，
则
定义域上恒成立，
所以
在
上单调递增，则
，
即最大值为
，最小值为
，
又
，根据零点存在定理和函数的单调性，则
在
上只有一个零点；
（2）设
，则对于任意的
，均有
，
即
在
上单调递增，
所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
令
，则
，
令
，则
，即
在
上单调递增，
又
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，故
.
9．已知函数
，
，设
.
(1)若
，求
的最大值；
(2)求
在
上的最小值；
(3)若
有两个不同的零点
，求证：
.
【解析】（1）依题意，函数
，其定义域为
，
当
时，
，求导得
，
当
时，
，
；当
时，
，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递增减，
所以
的最大值为
.
（2）函数
，求导得
，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，而
，
因此函数
在
上单调递增，在
上单调递减，又
，
所以当
时，
；当
时，
.
（3）依题意，不妨令
，
，即
，
两式相减得
，
不等式
，
令
，则
，
令函数
，
，函数
在
上单调递增，
因此
，即
，则
，
所以
.
