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1 / 6 2025 春八年级数学下册 | 月考必考题型 二次根式的应用问题（2025 新课标） 【1】如图，一根细线上端固定，下 端系一个小球，让这个小球来回自由 摆动，来回摆动一次所用的时间t（单 位：s）与细线的长度l（单位：m） 之间满足关系t = 2π l 10．当细线的 长度为0.4m 时，小球来回摆动一次 所用的时间是多少？（结果保留小数 点后一位） 解：由题意可得： t＝2π 𝟎.𝟒 𝟏𝟎≈2×3.14×0.2≈1.3， 答：小球来回摆动一次所用的时间是 1.3 秒 【2】某居民小区有块形状为长方形 ABCD 的绿地，长方形绿地的长BC 为243m，宽AB 为128m，现要在 长方形绿地中修建一个长方形花坛 （即图中阴影部分），长方形花坛的 长为( 14 +1)m，宽为( 14 ―1)m． （1）长方形ABCD 的周长是多少？ 解：长方形ABCD 的周长： ＝2（𝟐𝟒𝟑+ 𝟏𝟐𝟖） ＝2（9 𝟑+ 8 𝟐） ＝18 𝟑+ 16 𝟐（m）， 答：长方形ABCD 的周长是 18 𝟑+ 16 𝟐（m）， （2）除去修建花坛的地方，其它地 方全修建成通道，通道上要铺上造价 为5 元/m2的地砖，要铺完整个通道， 则购买地砖需要花费多少元？（结果 化为最简二次根式） 解：购买地砖需要花费 ＝5[ 𝟐𝟒𝟑× 𝟏𝟐𝟖― ( 𝟏𝟒+𝟏) ( 𝟏𝟒―𝟏)] 2 / 6 ＝5[72 𝟔― （14﹣1）] ＝5（72 𝟔― 13） ＝360 𝟔― 65（元）； 答：买地砖需花费（360 𝟔― 65） 元 【3】有一块矩形木块，木工采用如 图方式，求木板上截出两个面积分别 为18dm2 和32dm2 的正方形木板， 求剩余木料的面积． 解：∵两个正方形木板的面积分别为 18dm2 和32dm2， ∴这两个正方形的边长分别为： 𝟏𝟖= 3 𝟐（dm ）， 𝟑𝟐= 4 𝟐 （dm）， ∴剩余木料的面积为： （4 𝟐― 3 𝟐）×3 𝟐 = 𝟐× 3 𝟐= 6（dm2）． 【4】如图，有一张边长为6 3cm 的正方形纸板，现将该纸板的四个角 剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒 子，剪掉的四个角是面积相等的小正 方形，此小正方形的边长为3cm．求： （1）剪掉四个角后，制作长方体盒 子的纸板的面积； 解：制作长方体盒子的纸板的面积为： （6 𝟑）2﹣4×（𝟑）2 ＝108﹣12 ＝96（cm2） （2）长方体盒子的体积． 解：长方体盒子的体积： （6 𝟑― 2 𝟑）（6 𝟑― 2 𝟑）× 𝟑 ＝4 𝟑× 4 𝟑× 𝟑 ＝48 𝟑（cm3）． 【5】在学习了“二次根式”后，李 梅在练习册上遇到了下列这道题，请 你帮李梅完成该题． 一个长方体的塑料容器中装满水，该 塑料容器的底面是边长为224cm 的正方形，现将塑料容器的一部分水 倒入一个高为490cm 的圆柱形玻 3 / 6 璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑 料容器中的水面下降了40cm（提示： 圆柱的体积＝πr2h，其中，r 为底面 的半径，h 为高，π取3） （1）求从塑料容器中倒出的水的体 积； 解：由题意可得： 𝟐𝟐𝟒× 𝟐𝟐𝟒× 𝟒𝟎= 448 𝟏𝟎 （cm3）． 答：从塑料容器中倒出的水的体积为 448 𝟏𝟎cm3； （2）求圆柱形玻璃容器的底面的半 径． 解：设圆柱形玻璃容器的底面的半径 为r，根据题意可得： π×r2 × 𝟒𝟗𝟎= 448 𝟏𝟎， 解得：r = 𝟖𝟑 𝟑． 答：圆柱形玻璃容器的底面的半径为 𝟖𝟑 𝟑cm． 【6】有一块矩形木板，木工采用如 图的方式，在木板上截出两个面积分 别为18dm2和32dm2的正方形木板． （1）求剩余木料的面积． 解：∵两个正方形的面积分别为 18dm2 和32dm2， ∴这两个正方形的边长分别为3 𝟐 dm 和4 𝟐dm， ∴剩余木料的面积为（4 𝟐― 3 𝟐）× 3 𝟐= 6（dm2） （2）如果木工想从剩余的木料中截 出长为1.5dm，宽为1dm 的长方形 木条，最多能截出 块这样的木条． 解：4＜3 𝟐＜4.5，1＜𝟐＜2， ∴从剩余的木料中截出长为1.5dm， 宽为1dm 的长方形木条，最多能截 出2 块这样的木条. 【7】海啸是一种破坏力极强的海浪， 由海底地震、火山爆发等引起，在广 阔的海面上，海啸的行进速度可按公 式v = gd计算，其中v 表示海啸的 4 / 6 速度（m/s），d 为海水的深度（m）， g 表示重力加速度9.8m/s2．若在海 洋深度980m 处发生海啸，求其行进 速度． 解：由题意可得：g＝9.8m/s2， d＝980m， 则 v = 𝐠𝐝= 𝟗.𝟖× 𝟗𝟖𝟎= 98 （m/s）， 答：海啸的行进速度为98m/s． 【8】高空抛物极其危险，是我们必 须杜绝的行为．据研究，高空抛物下 落的时间t（单位：s）和高度h（单 位：m）近似满足公式t = h 5（不考 虑风速的影响） （1）从50m 高空抛物到落地所需时 间t1 是多少s，从100m 高空抛物到 落地所需时间t2 是多少s； 解：当h＝50 时，t1 = 𝟓𝟎 𝟓= 𝟏𝟎 （秒）； 当h＝100 时，t2 = 𝟏𝟎𝟎 𝟓= 𝟐𝟎= 2 𝟓（秒） （2）t2 是t1 的多少倍？ 解：∵ 𝐭𝟐 𝐭𝟏= 𝟐𝟓 𝟏𝟎= 𝟐， ∴t2 是t1 的𝟐倍． （3）经过1.5s，高空抛物下落的高 度是多少？ 解：当t＝1.5 时，1.5 = 𝐡 𝟓， 解得h＝11.25， ∴下落的高度是11.25 米． 【9】如图，面积为48cm2 的正方形， 四个角是面积为3cm2 的小正方形， 现将四个角剪掉，制作一个无盖的长 方体盒子，求这个长方体盒子的体 积．本资料更多版本+其他相关资料 请关注公众号学海无涯甜作舟→菜 单获取免费资料即可 5 / 6 解：∵大正方形面积为48cm2， ∴边长为𝟒𝟖= 4 𝟑cm， ∵小正方形面积为3cm2， ∴边长为𝟑cm， ∴长方体盒子的体积＝（4 𝟑― 2 𝟑） 2• 𝟑= 12 𝟑cm3． 【10】如果一个三角形的三边长分别 为a、b、c，记p = a+b+c 2 ，那么这 个 三 角 形 的 面 积 S = p(p ― a)(p ― b)(p ― c)，这个公式 叫“海伦公式”．若a＝5，b＝6，c＝ 7，利用以上公式求三角形的面积S． 解：当a＝5，b＝6，c＝7 时， p = 𝐚+𝐛+𝐜 𝟐 = 𝟓+𝟔+𝟕 𝟐 = 9， 𝐒= 𝟗(𝟗― 𝟓)(𝟗― 𝟔)(𝟗― 𝟕) = 𝟗× 𝟒× 𝟑× 𝟐 = 𝟔𝟔． 【11】材料：海伦公式是利用三角形 三条边长求三角形面积的公式，用符 号表示为： S = p(p ― a)(p ― b)(p ― c)（其中a， b，c 为三角形的三边长，p = a+b+c 2 ， S 为三角形的面积）．利用上述材料 解决问题： 当a = 5，b＝3，c＝2 5时． （1）直接写出p的化简结果为 . 解：∵a = 𝟓，b＝3，c＝2 𝟓， ∴p = 𝐚+𝐛+𝐜 𝟐 = 𝟓+𝟑+𝟐𝟓 𝟐 = 𝟑+𝟑𝟓 𝟐 （2）写出计算S 值的过程． 解：S = 𝐩(𝐩― 𝐚)(𝐩― 𝐛)(𝐩― 𝐜) = 𝟗×(𝟗―𝟓)(𝟓―𝟏) 𝟏𝟔 = 𝟗 ＝3． 【12】已知长方形的长为a，宽为 b，且a = 3 2 12，b = 1 2 48． （1）求长方形的周长； 解：∵a = 𝟑 𝟐𝟏𝟐= 𝟑𝟑，b = 𝟏 𝟐𝟒𝟖= 2 𝟑， ∴长方形的周长是：2（a+b） ＝2（𝟑𝟑+ 2 𝟑）= 𝟏𝟎𝟑； （2）当S 长方形＝S 正方形时，求正方 形的周长． 6 / 6 解：设正方形的边长为x，则有x2＝ ab， ∴x = 𝐚𝐛= 𝟑𝟑× 𝟐𝟑 = 𝟏𝟖= 𝟑𝟐， ∴正方形的周长是4x＝12 𝟐． 【13】已知长方形的长a = 1 2 48， 宽b = 1 3 27． （1）求该长方形的周长； 解：∵a = 𝟏 𝟐𝟒𝟖= 2 𝟑，b = 𝟏 𝟑𝟐𝟕= 𝟑， 长方形的周长＝2×（ 𝟏 𝟐𝟒𝟖+ 𝟏 𝟑𝟐𝟕） ＝2×（2 𝟑+ 𝟑）＝6 𝟑； （2）若另一个正方形的面积与该长 方形的面积相等，试计算该正方形的 周长． 解：长方形的面积＝2 𝟑× 𝟑= 6， 根据面积相等，则正方形的边长= 𝟔， 所以，正方形的周长＝4 𝟔
