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1.1 集合
1
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2
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3
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4
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考点一 集合中元素的互异性
【例1-1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-2】（2024 江苏宿迁）若
，则
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-3】（2024·陕西宝鸡·一模）若集合
中只有一个元素，则实数
（ ）
A．1
B．0
C．2
D．0 或1
【一隅三反】
1．（2023·北京海淀·模拟预测）设集合
，若
，则实数m=（ ）
A．0
B．
C．0 或
D．0 或1
2.（202,4·北京）已知集合
，且
，则a 可以为（ ）
A．－2
B．－1
C．
D．
3.（2024 浙江）已知
，
，若集合
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二 集合间的关系（无参型）
【例2-1】（2023·北京）已知集合
，
，则（ ）
A．
⫋
B．
C．
D．
【例2-2】（2024·广东·一模）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·福建福州）已知集合
，则下列关系中，正确的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
5
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2．（2023·宁夏银川）下列集合关系中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三 集合间的运算（无参型）
【例3-1】（2023·全国·高考真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-2】（2023·北京·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-3】（2023·全国·高考真题）设全集
,集合
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高考真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·陕西西安·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国·高考真题）设集合
，集合
，
，则
（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
4．（2024·四川成都·二模）如图，已知集合
，则阴影部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·辽宁·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四 子集的个数
【例4-1】（2024·四川·模拟预测）已知集合
，则集合
的子集有（ ）个
A．3
B．4
C．7
D．8
【例4-2】（2024·全国·模拟预测）已知集合
，则满足条件的集合
的个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【例4-3】（2024·湖南邵阳·二模）若集合
，集合
，则
的真子集
个数为（ ）
A．14
B．15
C．16
D．31
【一隅三反】
1．（2024 内蒙古鄂尔多斯）已知集合
，则集合
的真子集个数为（ ）
A．
B．
C．7
D．8
2．（2024 广东广州）设集合
，则
的子集个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7
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3．（2024·重庆·一模）已知集合
，
，则
的真子集个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·山东·模拟预测）满足条件
的集合
有（ ）
A．6 个
B．5 个
C．4 个
D．3 个
考点五 集合间的关系求参
【例5-1】（2024 辽宁）已知集合
，若
，则由实数
的所有可能的取值组成的集
合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-2】（2023·全国·高考真题）设集合
，
，若
，则
（ ）．
A．2
B．1
C．
D．
【例5-3】（2024·辽宁抚顺·一模）已知集合
，
，若
，则实数
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-4】（2024·江西鹰潭·一模）已知集合
，集合
，若
，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-5】（2023·江苏镇江·模拟预测）若集合
,则能使
成立的
所有
组成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023·四川绵阳·一模）集合
，
，且
，实数
的值为（ ）
A．
B．
C．或
D．或或
2．（2024·广东广州·一模）设集合
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8
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3．（2024·黑龙江·二模）已知
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·安徽阜阳·一模）设集合
或
，集合
，且
，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024 陕西）已知集合
或
，
，若
，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
考点六 函数集合
【例6】（2024·广东·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·河南·一模）集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．R
2．（2024·江西·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知集合
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2024 湖南）设集合A＝
，集合B＝
.则A
B＝
9
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（ ）
A．
B．
C．
D．R
考点七 点集
【例7-1】（2024·陕西榆林·二模）若集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例7-2】（2023·广东广州·模拟预测）已知集合
，则集合
的子集个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【例7-3】（2024 湖北黄冈）已知集合
，
.若
，则实数
（ ）
A．3
B．
C．3 或
D．
或1
【一隅三反】
1．（2024 安徽合肥）已知集合
，
.若
，则实数
（ ）
A．-3
B．
C．
D．3
2（2024·上海）已知
，则
（ ）
A．0
B．2
C．
D．0 或2
3（2023·安徽合肥·三模）已知集合
，集合
，则集合
的真子集个数
为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·内蒙古通辽）已知集合
，则集合
的真子集的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·河南新乡·二模）（多选）已知
，集合
，
，
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，
，则下列结论一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点八 集合与其他知识综合
【例8-1】（2023·全国·高考真题）已知等差数列
的公差为
，集合
，若
，则
（ ）
A．－1
B．
C．0
D．
【例8-2】（2024 河南信阳）点集
表示的曲线总长度等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·河南开封·二模）已知集合
，
则下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点集
，则点集
所表示的区域的面积为 ．
3（2024 广西）已知是虚数单位，集合
（整数集）和
的关系韦恩图如图所示，则阴
影部分所示的集合的元素共有（ ）
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．无穷个
4（2024 北京）已知函数
的部分图象如图所示，将函数
的图象向右平
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移
个单位长度，得到函数
的图象，若集合
，集合
，则
______．
考点九 集合的新定义
【例9-1】（2024 河北）德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A 和B 是全集
U 的子集，且无公共元素，则称集合
互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合．若全集
，则集合A 关于集合U 的正交集合B 的个数为（
）
A．8
B．16
C．32
D．64
【例9-2】（2023·全国·模拟预测）定义：若集合
满足
，存在
且
，且存在
且
，则称集合
为嵌套集合．已知集合
且
，
，
若集合
为嵌套集合，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·河南·模拟预测）定义
，若集合
，则A 中元素的个数为
（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
2．（2024 广东佛山 ）（多选）设P 是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意
，都有
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，且若
，则
，则称P 是一个数域．例如，有理数集Q 是数域．下列命题正确的是
（ ）
A．数域必含有0，1 两个数
B．整数集是数域
C．若有理数集
，则数集M 一定是数域
D．数域中有无限多个元素
3.（2024·黑龙江哈尔滨·一模）设
表示不超过
的正整数集合，
表示k 个元素的有限
集，
表示集合A 中所有元素的和，集合
，则
；若
，
则m 的最大值为 ．
一．单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国·一模）已知集合
，
，则
子集的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2024·江苏·一模）已知全集U 与集合A，B 的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
13
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A．
B．
C．
D．
4．（2024·河南·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
5．（2024·广东广州·模拟预测）已知集合
，
，则
的真子
集的个数为（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
6．（2024 辽宁沈阳）已知集合
满足
，那么这样的集合M 的个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
7．（2024 河南濮阳）已知集合
，则集合
的子集个数为
（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
8．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知集合
，
，若
中有且仅有三个整数，则
正数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二．多选题
9．（2024 山东）已知集合
，若集合A 有且仅有2 个子集，则a 的取值有
（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．1
10（2024·全国·模拟预测）非空集合A 具有如下性质：①若
，则
；②若
，则
下列
判断中，正确的有（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
11．（2024·辽宁辽阳·一模）已知集合
，则（ ）
A．
B．
14
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C．
D．
三．填空题
12．（2024·山东青岛·一模）已知集合
，
，则
的所有元素之和为 ．
13．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知集合
，
，则
的
子集个数为 .
14．（2024 上海·阶段练习）已知
，集合
，若集合A 恰有8 个子集，则n 的可
能值的集合为
四．解答题
15（2024 北京东城·期末）已知集合
，
.
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
，求实数
的取值范围；
(3)若将题干中的集合
改为
，是否有可能使命题
：“
，都有
”为真命
题，请说明理由.
16．（2023 北京）已知函数
的定义域为集合
，又集合
，且
.
(1)试确定
的值；
(2)求参数
的取值范围.
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17．（2024 辽宁·阶段练习）已知集合
.
(1)求
；
(2)若对任意的
恒成立，求
的取值范围.
18．（23-24 高三下·重庆·阶段练习）集合
，将集合A 中的元素按
由小到大的顺序排列成数列
，即
，
，数列
的前n 项和为
．
(1)求
，
，
；
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(2)判断672，2024 是否是
中的项；
(3)求
，
．
19．（2024·重庆·模拟预测）在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组
表示，在三维空间中点的坐
标可用三个有序数组
表示，一般地在
维空间中点A 的坐标可用n 个有序数组
表示，并定义n 维空间中两点
，
间的“距离”
．
(1)若
，
，求
；
(2)设集合
．元素个数为2 的集合M 为
的子集，且满足对于任意
，都存在唯一的
使得
，则称M 为“
的优集”．证明：“
的优集”M 存在，且M
中两不同点的“距离”是7．
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