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第 02 讲 等差数列及其前 n 项和(分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（22-23高二上·河北保定·期末）若数列 为等差数列，且 ，则 等于
（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知等差数列 的前 项和为 ，若
，则 （ ）
A．48 B．42 C．24 D．21
3．（24-25高二上·全国·课后作业）我国古代数学家杨辉、朱世杰等研究过高阶等差数列的
求和问题，如数列 就是二阶等差数列，数列 的前 项和是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）已知公差为−2的等差数列 是其前 项和，
且 .若对任意 都有 ，则 的值为（ ）
A．6 B．7 C．6或7 D．8
5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列 中， ， ，
则数列 的前9项和等于（ ）
A．27 B． C．45 D．
6．（24-25高二·上海·随堂练习）已知数列{a )满足 ， ，则 的值为
n
（ ）
A．1000 B．1013 C．1011 D．1012
7．（23-24高二下·四川绵阳·期末）设等差数列 的前 项和为 ，已知 ，
则 （ ）
A．32 B．64
C．84 D．108
8．（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）已知等差数列 的公差为 ，前 项和为.若 成等差数列，且 ，则 （ ）
A．12 B．21 C．32 D．56
二、多选题
9．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知等差数列 的前n项和为 ，且满足 ，
，则下列选项正确的有（ ）
A． B．数列 是递增数列
C．当n＝15时， 取得最大值为225 D． 的最小值为1
10．（23-24高二下·全国·期末）已知数列 的首项为4，且满足
，则（ ）
A． 为等差数列
B． 为递增数列
C． 的前 项和
D． 的前 项和
三、填空题
11．（2025·宁夏·模拟预测）设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则使
的 的最大值为 .
12．（2024·福建福州·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，当且仅当
时 取得最小值，则 的公差的取值范围为 .
四、解答题
13．（23-24高二上·广西南宁·期中）等差数列 的前 项和为 ，已知 ，
.
(1)求 的通项公式；
(2)求 ，并求 的最大值.B能力提升
1．（24-25高三上·山东烟台·开学考试）已知实数 构成公差为 的等差数列，若
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列 满足 ， ，
且数列 的前n项和 有最大值，那么 取最小正值时，n等于（ ）
A．4045 B．4046 C．4035 D．4034
3．（23-24高一下·天津）在数列 中， ，则数
列 的通项
4．（23-24高三上·河北唐山）已知 是等差数列， 是各项均为正数的等比数列，
， ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)在数列 中，去掉 中的项，剩下的项按原来顺序构成数列 ，求 的前40项
和 .
C综合素养（新定义解答题）
1．（2025·江苏·模拟预测）设n为正整数，数列 为正整数数列，且满足数列 和
均为等差数列，则称数列 为“五彩的”(1)判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由；①有穷数列数列W：1，5，2，4，
3，2；②无穷数列 ，通项公式为
(2)若数列 为“五彩的”且严格单调递增.
（i）证明：数列 和 公差相等；
（ii）证明：数列一定为等差数列.
