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2.2 函数的单调性与奇偶性
1
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2
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4
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5
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考点一 无参函数求单调区间
【例1-1】（2023 云南丽江）下列函数中，定义域为
，且在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A 选项，
的定义域为
，故排除A.
B 选项，
的定义域为
，故排除B.
C 选项，
的定义域为
，在
上有增有减，故排除C.
D 选项，
的定义域为
，令
，在
上单调递增，
在
上单调递增，所以
在
上单调递增.
故选：D
【例1-2】（2023 春·江西）函数
的单调递增区间为__________.
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，则
，
令
，解得
，故函数
的单调递增区间为
.故答案为：
.
【例1-3】（1）（2023·江西）函数
的单调增区间是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
（2）（2022·广东）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
和
C．
和
D．
和
6
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（3）（2022 秋·河北廊坊·高三校考阶段练习）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】（1）C（2）B（3）D
【解析】（1）由
，
则
为偶函数，
的图像关于
轴对称.
当
时，
，对称轴为
，所以
在
上递增，在
递减；
则当
时，
在
递增，在
递减，
则有
的递增区间为
.
故选：C
（2）
如图所示：
函数的单调递增区间是
和
．故选：B.
（3）因为
，所以
的增区间为
，故选：D.
7
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【例1-4】（1）（2023·江西）函数
的单调减区间为______.
（2）（2024 河南）
的单调增区间为
【答案】（1）
（2）
【解析】函数
中，
，解得
或
，即函数
的定义域为
，
在
上单调递减，在
上单调递增，而
在
单调递增，
于是得
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
的单调减区间为
.故答案为：
（2）由
，得
或
，则函数的定义域为
，
令
，则
，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
在定义域内为减函数，
所以
在
上递增，在
上递减，所以
的单调增区间为
，
【一隅三反】
1．（2024·北京）下列函数中，在
为增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A 不正确，
在每一个单调区间上增，在
不是增函数，
时函数不存在；B 是对称轴
为
，在
不是增函数；C 在
为减函数，D 求导得可
，可知D 正确
故选：D．
2（2021·4 安徽）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
8
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【答案】B
【解析】
，
的单调递增区间是
.故选：B.
3.（2024 广东茂名）已知
，则函数
的单调递增区间为 .
【答案】
【解析】
，画出函数图象，结合图象得函数
的单调递增区间为
.故答案为：
.
4．（2024 上海）函数
的单调递增区间为 ．
【答案】
【解析】因为
，所以
所以函数
的定义域为
，
设
，所以
在
上单调递减，
在
上单调递增，
而
在
单调递增，由复合函数的单调性可知，函数
的单调增区间为
.
故填：
．
5（2023·云南·校联考二模）函数
的单调递增区间为____________．
【答案】
/
【解析】由题得函数定义域为
，
所以
在
上单调递增，又
，所以当
时，
，
故
的单调递增区间为
（或
）．故答案为：
9
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6（2022·山东）函数
的单调减区间是_______．
【答案】
【解析】令
，则
∵
，∴
在
上单调递减作出
的图象
由图象可以
在
上单调递减，在
上单调递增
∴
在
上单调递增，在
上单调递减故答案为：
.
考点二 根据单调性求参数
【例2-1】（2023·广西）已知函数
在区间（-∞，1]是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．[1，+∞）
B．（-∞，1]
C．[-1，+∞）
D．（-∞，-1]
【答案】A
【解析】
对称轴为
，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以
.
故选：A
【例2-2】（2024 福建三明·期中）函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，因为函数
在区间
上单调递减，所以根据复合函数的单调性可得，
函数
在区间
上单调递减，所以
，解得
，故选：C.
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【例2-3】（2023·陕西商洛·一模）已知函数
是定义在
上的增函数，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
是定义在
上的增函数，所以
，解得
.
故选：B
【例2-4】（2024·陕西榆林·一模）已知函数
在
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，函数
在
上单调递减，不符合题意，所以
，
由题可知
恒成立，即
.令
，
则
，所以
在
上单调递增，由
，
可得
，即
，所以
，所以
，
当
时，
，不符合题意，故
的取值范围是
.故选：B
【一隅三反】
1．（2022·4 浙江）设
，则“
”是“函数
在
为减函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】由题意可得
为减函数，则
，解得
.
因为
推不出
，
，所以“
”是“函数
在
为减函数”的必要不充分
条件，
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故选：B
2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）函数
在
上单调递减，则t 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
在
上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数
在
上单调递减，
则
，解得
.故选：A
3（2023 秋·江西抚州）已知函数
在
上是减函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
在
上是减函数，
当
时，
恒成立，
而函数
在区间
上不单调，因此
，不符合题意，
当
时，函数
在
上单调递增，于是得函数
在区间
上单调递减，
因此
，并且
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：D
4．（2024 内蒙古赤峰）已知
，且
，函数
在
上单调，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】D
【解析】因为函数
在
上单调，由函数解析式可得函数在R 上单调递增不满足题意，
故
在R 上单调递减，所以
，解得：
故选：D.
5（2023·四川南充·模拟预测）函数
在
上是减函数的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
在
上是减函数，只需要
即可，
若
，则
，成立；
若
，则
是二次函数，由二次函数的性质可得，
时
恒成立.
若
，当
和
时，
，故不成立.
所以，当
时，
，而
是
的充分不必要条件.
故选：A.
6．（2023·陕西渭南·模拟预测）已知函数
在区间
上单调递增，则
的最小值为 ．
【答案】
/
【解析】因为
，所以
，
所以函数
在区间
上单调递增，即
在
上恒成立，
显然
，所以问题转化为
在
上恒成立，
设
，所以
，所以
在
上单调递增，
所以
，
，所以
的最小值为：
.故答案为：
.
考点三 函数奇偶性的判断
【例3】（2024 安徽合肥）判断下列各函数是否具有奇偶性
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(1)
(2)
(3)
(4)
；
(5)
(6)
【答案】(1)奇函数(2)非奇非偶函数(3)非奇非偶函数(4)奇函数(5)即是奇函数也是偶函数(6)非奇非偶函数
【解析】（1）
的定义域为
，它关于原点对称.
，故
为奇函数.
（2）
的定义域为
不关于原点对称，故
既不是奇函数也不是偶函数.
（3）因为
，所以
，即函数
的定义域为
，不关于原点对称，
故
既不是奇函数也不是偶函数.
（4）由
，得
，且
，所以
的定义域为
，关于原点对称，
所以
.又
，所以
是奇函数.
（5）对于函数
，因为
，所以
，
其定义域为
，关于原点对称.因为对定义域内的每一个
，都有
，
所以
，
，
所以
既是奇函数又是偶函数.
（6）因为
，所以
，所以
的定义域为
，不关于原点对称，
所以
既不是奇函数也不是偶函数.
【一隅三反】
（2023·广东潮州）判断下列函数的奇偶性．
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(1)
； (2)
； (3)
(4)
； (5)
． (6)
；
(7)
； (8)
．
【答案】(1)非奇非偶函数(2)奇函数(3)偶函数(4)既是奇函数又是偶函数(5)奇函数(6)奇函数
(7)既不是奇函数也不是偶函数(8)偶函数
【解析】（1）函数f(x)的定义域为
，不关于原点对称，所以
是非奇非偶函数．
（2）f(x)的定义域为
，关于原点对称．
，所以
为奇函数．
（3）
的定义域为
，且关于原点对称，
当
时，
，则
；
当
时，
，则
，故
是偶函数．
（4）由
得x2=3，解得x=±
，即函数f(x)的定义域为
，
从而f(x)=
＋
=0.因此f(－x)=－f(x)且f(－x)=f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(5)显然函数f(x)的定义域为R，
f(－x)=log2[－x＋
]=log2(
－x)=log2(
＋x)－1=－log2(
＋x)=－f(x)，故f(x)为奇函数．
（6）
的定义域为
.因为
，所以
是奇函
数.
（7）
的定义域为
，不关于原点对称，所 以
既不是奇函数也不是偶函数.
（8）
的定义域为
.
因为
,
15
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且
，所以
，
所以
，所以
，所以
是偶函数.
考点四 根据奇偶性求参数
【例4-1】（2024·内蒙古包头·一模）已知
是奇函数，则
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【解析】因为
，则函数
的定义域为
，
即
是定义在
上的奇函数，则
，则
，所以
.
经检验，当
时，
为奇函数，满足题意.
故选：D.
【例4-2】（2024·浙江·二模）若函数
为偶函数，则实数a 的值为（ ）
A．
B．0
C．
D．1
【答案】A
【解析】
的定义域为
，
，
由于
为偶函数，故
，即
，
故
，解得
故选：A
【例4-3】（多选）（2024 北京）设函数
是定义在区间
上的奇函数
，
则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
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【解析】根据题意，函数
是定义在区间
上的奇函数，
则
，
即
，则
，
解可得
或
（舍），
即
，则
，解可得
，
故
，即
的取值范围为
，故选：AC.
【一隅三反】
1．（2024·河南郑州·模拟预测）函数
是偶函数，则a 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
是偶函数，所以
，所以
，故D 正确.
故选：D.
2．（2024·宁夏银川·一模）“
”是“函数
为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数
为偶函数，且
为奇函数，
可知
为奇函数，则
，
即
，整理得
，
因为
，可得
，
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即函数
为偶函数，等价于
，
显然
是
的真子集，
所以“
”是“函数
为偶函数”充分不必要条件.
故选：A.
3．（2024 甘肃兰州）设函数
是定义在
上的奇函数，且
．则函数
的解析式
为 ．
【答案】
【解析】由奇函数的性质可知，
，即
，又
，得
，
所以
.故答案为：
4.（2024 长沙市）函数
是定义在
上的奇函数．若
，则
的值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】A
【解析】函数
是定义在
上的奇函数，则
，解得
．又
，则
，所以
．故选：A
考点五 根据奇偶性求解析式
【例5-1】（2024 上海）已知函数
为奇函数，当
时，
，当
时，
的表达式为（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，
，
，又
为奇函数，
，
即当
时，
.故选：B.
【例5-2】（2024 黑龙江哈尔滨）已知
为奇函数，
为偶函数，且满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意知，
为奇函数，
为偶函数，则
，
所以
，即
，解得
.故选：B
【一隅三反】
1．（2024 上海杨浦）已知奇函数
在区间
上的解析式为
，则
在区间
上的解析式
．
【答案】
【解析】依题意，当
时，
，故
在区间
上的解析式
.故答案为：
2．（2024 云南昆明·阶段练习）
为定义在
上的奇函数，当
时，
，则
时，
．
【答案】
【解析】当
时，
，则
，因为
为定义在
上的奇函数，
所以
．故答案为：
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3．（2024 山东潍坊·期中）已知
，
是分别定义在
上的奇函数和偶函数，且
，
则
.
【答案】
【解析】
和已知条件相加得
故
故
答案为：
4．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则当
时，
．
【答案】
【解析】当
，又因为
为
上的奇函数，
所以
，解得
，
又
，所以当
．故答案为：
.
考点六 函数性质应用之比较大小
【例6-1】（2024·天津·一模）已知实数a，b，c 满足
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，得到
，又
，函数
是减函数，
所以
，又
，得到
，所以
，故选：A.
【例6-2】（2023·四川成都·二模）已知函数
，若
，
，
，
则
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
20
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【答案】D
【解析】根据题意，函数
，其导数函数
，
因为
，所以
在
上恒成立，
则
在
上为增函数；
，
所以
为奇函数，所以
，
又由
，则
；
故选：D．
【例6-3】（2024·云南贵州·二模）已知
，则
的大关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
，
当
时，
，
在
上递增；
当
时，
，
在
上递减,
故
.
则
，即
；
由
可知
，故
.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，且对
，满足
，若
21
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，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得，
是单调递增函数，
，
.故选：B.
2．（2024 陕西渭南·期末）已知函数
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由于函数
在R 上均为增函数，
故
在R 上单调递增，
由于
，
故
，故
，即
，
故选：D
3．（2024·北京·模拟预测）函数
，记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】注意到
定义域为全体实数，且
，
所以
是
上的偶函数，从而
，
22
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因为
在
上单调递增，所以
关于
在
上单调递减，
而
，所以
.选：B.
4．（2022·全国·模拟预测）设
是定义域为
的偶函数，且
在
上单调递减，则
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵
是定义域为
的偶函数，∴
，
∵
，
在
上单调递减，∴
，
∴
.故选：C.
5．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数
，若
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
的定义域为
，
又
，
所以
是偶函数，
23
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又
，
令
，则
恒成立，
所以当
时，
，即
，
又
在
上单调递增，所以
，
所以
在
上恒成立，则
在
上单调递增，
构造函数
，则
，
令
，得
，令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，又
，
所以
，所以
，
所以
，所以
.
故选：B.
考点七 函数性质之解不等式
【例7-1】（2024·江苏宿迁·一模）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解法一：函数
的定义域为R，函数
分别是R 上的增函数和减函数，
因此函数
是R 上的增函数，由
，得
，解得
，
所以原不等式的解集是
.
故选：A
解法二：特值当
时，
，排除B，D，当
时，
，排除C，
对A：当
时，
，因为函数
是R 上的增函数，所以
，故A 成立.
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故选A．
【例7-2】（2024 江西·阶段练习）已知函数
，则满足不等式
的
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得
的定义域为
，
又
，故
为偶函数，
而当
时，易知
单调递增，
而对于
，
在
上恒成立，
所以
在
上也单调递增，
故
在
上单调递增，
则由
，得
，解得
或
.
故选：D.
【例7-3】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知定义在
上的函数
，满足不等式
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，则
，原函数化为
，
令
，显然
，
即函数
是奇函数，又函数
都是
上的增函数，
因此函数
是
上的增函数，不等式
，
则
，
25
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于是
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：A
【一隅三反】
1．（2024·北京延庆·一模）已知函数
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
单调递增，且
，
，
所以存在唯一
，使得
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，且
，
所以由
可得
，
故选：A
2．（23-24 高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数
，若
，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
的定义域为R，且
，所以函数
为奇函数；
由随着
的增大，
越来越大，
越来越小，所以
越来越大，
所以函数
在
上单调递增.
.
故选：C
26
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3．（2024 广东茂名）已知函数
的定义域为
的奇函数，
，对任意两个不等的正实数
都有
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【解析】不妨设
，则
等价于
，
所以
在
上单调递增，
又函数
为奇函数，所以
在
上单调递增，
，作出
的图象如下：
结合
的图象得不等式
或
或
，
故答案为：
.
4（2024·辽宁·一模）已知函数
，若
成立，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】记
，
27
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令
，解得
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减.
因为
，
所以
为偶函数.
所以
，
又
在
上单调递增，
所以
，即
，解得
.
故选：C
5．（2024·四川南充·二模）设函数
，则满足
的
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
设
，又易知
，
为
上的奇函数，
又
，
在
上单调递增，
又
，
，
，
，又
为
上的
奇函数，
，又
在
上单调递增，
，
，
故满足
的
的取值范围是
．故选：C．
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一．单选题
1．（2023·海南海口·模拟预测）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
和
C．
D．
和
【答案】B
【解析】
，
则由二次函数的性质知，当
时，
的单调递减区间为
；
当
，
的单调递减区间为
，
故
的单调递减区间是
和
.
故选：B
2．（2024·广东·一模）已知
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
的定义域为
，且
，所以
为偶函数，
又当
时，
单调递增，且
，所以由
可得
，即
，
解得
，故选：B
3．（2024·四川攀枝花·二模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
29
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【解析】易知
在
上单调递增，则
，即
，
而由
单调递增，得
，即
，
又
单调递增，故
则
.
故选：A
4．（2023·全国·模拟预测）“
”是“函数
在区间
上单调递增”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性可知：
要满足函数
在区间
上单调递增，
需要
，
因为
，所以“
”是“函数
在区间
上单调递增”的必要不充分条件．
故选：B．
5．（2024 吉林·阶段练习）已知函数
(
且
)是R 上的单调函数，则a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
(
且
)是R 上的单调函数，
若
是R 上的单调递增函数，则
，
30
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解得
；
若
是R 上的单调递减函数，则
，
解得
；
综上，a 的取值范围是
.
故选：B.
6．（2024·广东广州·一模）已知函数
的部分图像如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】观察图象可知函数为偶函数，
对于A，
，为奇函数，排除；
对于B，
，为奇函数，排除；
同理，C、D 选项为偶函数，而对于C 项，其定义域为
，不是R，舍去，故D 正确.
故选：D
7．（2024 重庆开州·期中）已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
.若函数
在区
间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
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【解析】因为是
定义在R 上的奇函数，
所以
，
因为当
时，
，
所以当
时，
，
，
所以由二次函数的单调性可知
的最大的单调递增区间为
，
若函数
在区间
上单调递增，则
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：C.
8．（2024 安徽）已知函数
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由函数
，
设
，
则不等式
，可化为
，
即
，
又由函数
的定义域为
，关于原点对称，
且
，所以
为奇函数，
又由函数
为
上的增函数，
为
上的减函数，
所以函数
为
上的增函数，
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所以不等式
，即为
，
可得
，解得
，即不等式的解集为
.
故选：A.
二．多选题
9．（2024 安徽滁州·阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】对于A，函数
的定义域为
，显然该函数在定义域上不单调，A 不是；
对于B，函数
的定义域为R，
都是奇函数，也都是增函数，
因此
在R 是奇函数，又是增函数，B 是；
对于C，函数
的定义域为R，
，即函数
是偶函数，C 不是；
对于D，函数
的定义域为R，
，
即函数
是奇函数，且当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
上单调递增，因此函数
在R 上单调递增，D 是.
故选：BD
10．（2024·江西·一模）已知函数
，若不等式
对任意的
恒成
立，则实数a 的取值可能是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】BCD
【解析】因为
，
所以
，
即函数
的图象关于直线
对称.
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当
时，
为增函数；
令
，则
，
时，
，
，所以
，所以
为增函数，
所以当
时，
为增函数.
由对称性可知，当
时，
为减函数.
因为
恒成立，所以
恒成立，
即
，解得
.
故选：BCD.
11．（23-24 高三下·河南·阶段练习）已知非常数函数
的定义域为
，且
，
则（ ）
A．
B．
或
C．
是
上的增函数D．
是
上的增函数
【答案】AC
【解析】在
中，
令
，得
，即
．
因为函数
为非常数函数，所以
，A 正确．
令
，则
．
令
，则
，①
令
，则
，②
由①②，解得
，从而
，B 错误．
令
，则
，即
，
因为
，所以
，所以C 正确，D 错误．
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故选：AC
三．填空题
12．（2024 安徽）函数
是偶函数，则
.
【答案】
【解析】因为
是偶函数，
可得
，所以
.
故答案为：
.
13．（2024·青海·一模）已知函数
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【解析】
的定义域为
，
，
为定义在
上的奇函数；
与
均为
上的增函数，
为
上的减函数，
为定义在
上的增函数；
由
得：
，
，解得：
，
的解集为
.
故答案为：
.
14．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
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【解析】设函数
，则
，
，
，
所以
，
化简得
．
因为
的定义域为
，关于原点对称，
且
，
，
所以
为奇函数，
当
时，函数
单调递增，又函数
在其定义域上单调递增，所以
单调递增，又函数
单调递增，故函数
单调递增，又
为奇函数，
所以
在
上单调递增，
故
，得
，
解得:
，即原不等式的解集为
．
故答案为：
.
四．解答题
15．（2024 高三·全国·专题练习）已知定义域为R 的函数f(x)＝
是奇函数．
(1)求实数a，b 的值；
(2)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递减函数；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0 恒成立，求实数k 的取值范围
【答案】(1)a＝2，b＝1
(2)证明见解析
36
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(3)(－∞，－
)
【解析】(1) 解：因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，
即b＝1，所以f(x)＝
.
由f(1)＝－f(－1)，知
＝－
，解得a＝2.
经检验a＝2，b＝1 符合题意．
(2) 证明：由(1)知f(x)＝
＝－＋
，
设任意x1，x2 (
∈－∞，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x2)－f(x1)＝
.
因为y＝2x 在(－∞，＋∞)上为增函数，所以2x1－2x2＜0，
所以f(x2)－f(x1)＜0，即f(x1)＞f(x2)，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
(3) 解：因为f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，且是奇函数，
f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0，
所以 f(t2－2t)＜f(－2t2＋k)，
所以3t2－2t－k＞0 对任意的t∈R 恒成立，
所以Δ＝4＋12k＜0，解得k＜－.
故实数k 的取值范围是(－∞，－
).
16．（2024 河南周口·期末）已知函数
是定义在
上的函数，
恒成立，且
.
(1)确定函数
的解析式，并用定义研究
在
上的单调性；
(2)解不等式
.
【答案】(1)
，函数
在
上是增函数
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(2)
【解析】（1）根据题意，
是
上的奇函数，故
，
又
，故
，则
，
时，
，所以
为奇函数，
故
.
在
上是增函数，理由如下，
设
，则
，
因为
，所以
，且
，则
，
则
，即
，
所以函数
在
上是增函数；
（2）
等价于
，
又
在
是单调增函数，故可得
，
解得
，即不等式
的解集为
.
17．（2024 湖北·开学考试）已知函数
为偶函数．
(1)求实数
的值；
(2)解关于
的不等式
；
(3)设
，若函数
与
图象有
个公共点，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
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(2)
(3)
【解析】（1）函数的定义域为
，
因为函数
为偶函数．
所以
，
即
，
所以
，
所以
；
（2）因为
，
当
时，
，
单调递增，
所以
在
上单调递增，又函数
为偶函数，
所以函数
在
上单调递减；
因为
，所以
，
解得
或
，
所以不等式的解集为
（3）因为函数
与
图象有
个公共点，
所以方程
有两个不同的根，
方程即为
，
可化为
，
39
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则有
，
，
设
，则
，
即
，
又
在
上单调递增，
所以方程
有两个不等的正根；
所以
，
解得
，
所以
的取值范围为
．
18．（23-24 高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数
是定义在R 上的奇函数，且
时，
．
(1)求
时，函数
的解析式；
(2)若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设
，则
，
时，
．
，
是定义在R 上的奇函数，
，
故
，
；
40
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（2）
等价于
，
时，
单调递减，
又
为定义在R 上的奇函数，故
在R 上为减函数，
所以
对任意
恒成立，
即
对任意
恒成立，
只需
，
，
，
，
，即实数
的取值范围是
．
19．（2024 河北石家庄·阶段练习）已知函数
定义域为R，且对任意的x，
，都有
，且当
时，
，其中
．
(1)证明：
是奇函数；
(2)不等式
对所有的
均成立，求实数m 的范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）函数
定义域为R，
令
，有
，可得
，
令
，有
，即
，
所以
是奇函数；
（2）由（1）知
是奇函数，任取
，且
，
则
，
41
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因为
时，
，
所以
，
即
，所以
在
上单调递减，
所以由
对所有的
均成立，
可得
，即
对所有的
均成立，
即
对所有的
均成立，
，
因为
在
上都为增函数，
所以
在
上为增函数，
可得
，
所以
.
42
