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2.3 函数的周期性及对称性
1
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2
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考点一 函数的对称性
【例1-1】（1）（2024·四川南充·二模）已知函数
，则函数
的图象（ ）
A．关于点
对称
B．关于点
对称
C．关于点
对称
D．关于点
对称
（2）（2024·河北唐山·一模）已知函数
的图像关于点
对称，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．3
（3）（2024 江苏扬州）定义在
上的函数
和
的图象关于
轴对称，且函数
是
奇函数，则函数
图象的对称中心为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-2】（1）（2024·云南昆明）设
是定义域为
的奇函数，且
，当
时，
，
．
（2）（2024·广西南宁）若函数
的图象关于直线
对称，则
．
【一隅三反】
1．（2024 安徽合肥）已知
是定义在
上的奇函数，满足
，
，则
（ ）
A．0
B．
C．2
D．6
2．（2024 上海）若直线
过函数
图象的对称中心，则
最
小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．9
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3．（2024·河南·模拟预测）已知定义域为R 的函数
的图象关于点
成中心对称，且当
时，
，若
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
4．（2023·河北衡水·一模）（多选）已知函数
的图象的对称轴方程为
，则函数
的解析式可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024 江苏）写出一个同时具有下列性质①②③的函数
.①
是定义域为
的奇函
数；②
；③
.
考点二 函数的周期性
【例2-1】（2023·上海嘉定·三模）函数
，
满足
，当
，
，
则
.
【例2-2】．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为
的函数
满足
，且当
时，
，则
.
【例2-3】（2024·陕西榆林·二模）已知定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．-2
【例2-4】（2024·陕西西安·一模）已知定义在
上的奇函数
满足
，则以下说法错误的是
（ ）
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A．
B．
是周期函数，且2 是其一个周期
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知
是定义在R 上的偶函数，且周期
.若当
时，
，
则
（ ）
A．4
B．16
C．
D．
2．（2024 山东淄博市）已知定义在
上的奇函数
满足
，且在
上有
，
则
A．2
B．
C．
D．
3（2024 广西柳州）已知
是定义域为
的奇函数，且满足
.若
，则
_______________.
考点三 函数对称性与周期性的综合运用
【例3-1】（2022·全国·模拟预测）已知函数
的定义域为
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-2】（2023·贵州黔西·一模）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
的图象关于
对称．若
，则
（ ）
A．3
B．2
C．0
D．50
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【例3-3】（2024·河南·模拟预测）已知
是定义在
上的函数，满足
，且满足
为
奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．函数
图象关于直线
对称
B．函数
的周期为2
C．函数
图象关于点
中心对称
D．
【一隅三反】
1．（2024 海南省）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．3
D．6
2．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知
是定义在
上的奇函数，若
为偶函数且
，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．4
3．（2024·山东菏泽）（多选）已知函数
的定义域为R，
为奇函数，且对
，
恒成立，则（ ）
A．
为奇函数
B．
C．
D．
4．（2024·安徽芜湖·二模）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为偶函数，
，则
=（ ）
A．4036
B．4040
C．4044
D．4048
考点四 函数四大性质综合运用
【例4-1】（1）（2023·河北邯郸·一模）已知函数
为偶函数，且函数
在
上单调递增，则关
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于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）（2023·全国·模拟预测）已知函数
的定义域为R，
，且
在
上单调递减，
则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-2】（1）（2024 广东）已知定义在
上的奇函数
满足
，且在区间
上是增函
数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）（2023·新疆·校联考二模）已知函数
，若
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024 江西宜春·开学考试）已知定义在R 上的函数
在
上单调递增，且
为偶函数，则
不等式
的解集为（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知定义域为
的函数
在
单调递减，且
，则使
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得不等式
成立的实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
或
.
3.（2023 春·广西·高三校联考阶段练习）已知函数
在
上单调递减，
，
为偶函数，当
时，
，若
，
，
，则a，b，c 的大
小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 湖南长沙）已知定义在
上的奇函数
满足
，且在区间
上
是增函
数，令
，
，
，则
，
，
的大小关系为 .
5．（2024·四川达州·二模）已知函数
满足
，且
在
上单调递增，当
时，
，则m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五 抽象函数的性质
【例5-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）已知函数
的定义域为
，设
为
的导函数，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
【例5-2】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）（多选）若函数
的定义域为
，且
，
，则（ ）
A．
B．
为偶函数
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C．
的图象关于点
对称
D．
【一隅三反】
1．（2024·河南新乡·二模）已知函数
满足
，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
是奇函数 B．
是奇函数 C．
是奇函数 D．
是奇函数
2．（2024·吉林·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
3．（2024·山西吕梁·一模）已知函数
满足
，则下列结论不正
确的是（ ）
A．
B．函数
关于直线
对称 C．
D．
的周期为3
考点六 奇函数+常数模型
【例6-1】（2024·吉林·模拟预测）已知函数
，若
，则
．
【一隅三反】
1．（2024·山西临汾）已知函数
，若
，则
．
2．（2024 河南省）已知函数
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
一．单选题
1．（2024 江西上饶）已知
，若
，则
（ ）
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A．4042
B．2024
C．
D．
2（2024·山东烟台·一模）已知定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·广西·模拟预测）已知定义在
上的函数
在
上单调递减，且
为偶函数，则不等
式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·山东青岛·一模）
，
，
，则
的值为（ ）
A．2
B．1
C．0
D．－1
5.（2024·江苏连云港）函数
的定义域为
，且
与
都为奇函数，则说法不正确的是
（ ）
A．
为奇函数
B．
为周期函数
C．
为奇函数
D．
为偶函数
6．（2024 黑龙江））已知定义在R 上的偶函数
满足
，当
时
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
7.（2023·四川成都·校考三模）已知函数
,则不等式
的解集为
（ ）
11
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A．
B．
C．
D．
8（2023·河南·三模）我们称
为“二阶行列式”，规定其运算为
．已知函数
的定义域
为
，且
，若对定义域内的任意
都有
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
是周期函数
D．
没有极值点
二．多选题
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，若
，
均为奇函
数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·新疆·二模）已知
是定义域为
的函数，满足
，当
时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最小正周期为4
B．
的图象只关于直线
对称
C．当
时，函数
有5 个零点
D．当
时，函数
的最小值为
11 ．（2024· 广东韶关· 二模）已知定义在R 上的函数
的导函数分别为
，且
，
，则（ ）
A．
关于直线
对称
B．
12
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C．
的周期为4
D．
三．填空题
12．（2023·陕西宝鸡·二模）请写出一个图像关于点
对称的函数的解析式 ．
13．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域均为R，若
，
，且当
时
单调递减，则
的解集为 ．
14．（2024·吉林白山·一模）已知函数
的定义域为
，且
，
，请
写出满足条件的一个
（答案不唯一），
．
四．解答题
15．（2024 重庆·阶段练习）函数
对任意的实数a，b，都有
，且当
时，
.
(1)求
的值；
(2)求证：
是R 上的增函数；
(3)解关于实数x 的不等式
.
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16．（2024 上海·阶段练习）设函数
的定义域
,若对任意
，均有
成立，则称
为“无奇”函数．
(1)判断函数①
和②
是否为“无奇”函数，说明理由；
(2)若函数
是定义在
上的“无奇”函数，求实数a 的取值范围；
(3)若函数
是“无奇”函数，求实数m 的取值范围．
17．（2024 江苏淮安·期末）已知
是定义在R 上的函数，满足：
，
，且
当
时，
．
(1)求
的值；
(2)当
时，求
的表达式；
(3)若函数
在区间
（
）上的值域为
，求
的值．
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18．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数
是定义在
上的周期函数，周期
，函数
（
）是奇函数．又已知
在
上是一次函数，在
上是二次函数，且在
时函数取得最
小值
．
(1)证明：
；
(2)求
的解析式；
(3)求
在[4，9]上的解析式．
19．（2024 上海·期中）已知定义在全体实数上的函数
满足：①
是偶函数；②
不是常值函数；
③对于任何实数
，都有
．
(1)求
和
的值；
(2)证明：对于任何实数
，都有
；
(3)若
还满足对
有
，求
的值．
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