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第四章 三角函数与解三角形
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．若点P(-3，2sin π
3 )在角α 的终边上，则sinα 的值为（ ）
A．1
2
B．
❑√3
2
C．- 1
2
D．-
❑√3
2
2．已知sinθ＝﹣2cosθ，则3+co s
2θ
sinθcosθ =（ ）
A．﹣6
B．- 1
2
C．8
D．﹣8
3．已知α 为锐角，且sin(2α - π
4 )=- 1
9，则sin(α + π
8 )=（ ）
A．2
3
B．1
3
C．- 1
3
D．- 2
3
4．在△ABC 中，2A＝B+C，AC＝8，cosC = 1
7 ，则BC＝（ ）
A．11
B．7
C．16
D．56
5
5．已知函数f ( x)=sin(2 x + π
3 )，将f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，得到函数g（x）的图象，
若g（x）的图象与f（x）的图象关于y 轴对称，则φ 的最小值等于（ ）
A．π
12
B．π
6
C．π
4
D．π
3
6．已知函数f ( x)= Asin(ωx +φ)( A ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2 )的部分图象如图所示，若方程f（x）＝
2m 在[- 7 π
12 ，0]上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A．（﹣2，﹣1]
B．(-1，- 1
2 ]
C．(-1，
❑√3
2 )
D．[- 1
2 ，
❑√3
2 )
7．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0），若对于任意实数φ，f（x）在区间[π
4 ，3 π
4 ]上至少有2 个
零点，至多有3 个零点，则ω 的取值范围是（ ）
A．[8
3，16
3 ）
B．[4，16
3 ）
C．[4，20
3 ）
D．[8
3，20
3 ）
8．在锐角三角形ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且a2＝b2+bc，则c
b的取值范围为
（ ）
A．（1，3）
B．（2，3）
C．（1，2）
D．（2，4）
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若sinα•cosα＞0，则α 为第一象限角
B．将表的分针拨快5 分钟，则分针转过的角度是﹣30°
C．终边经过点（a，a）（a≠0）的角的集合是{α |α = π
4 +kπ ，k ∈Z }
D．在一个半径为3cm 的圆上画一个圆心角为30°的扇形，则该扇形面积为3 π
2 c m
2
10．记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知A 是△ABC 的最小内角，且tanA 为整数，
cosA +asinC =2❑√2，则下列说法正确的是（ ）
A．A = π
4
B．c＝3
C．当C＞B＞A，且tanB 也是整数时，tanC＝﹣3
D．△ABC 面积的取值范围是[ 9
4 ，9
2 ]
11．关于函数f（x）＝sin|x|+|cosx|，有下述四个结论，则正确的有（ ）
A．2π 是f（x）的一个周期
B．f（x）的最小值为﹣1
C．f（x）在区间( π
2 ，3 π
4 )上单调递减
D．f（x）在（﹣2026π，2026π）上有4052 个零点
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．在△ABC 中，若B = π
4 ，a= ❑√2，S△ABC＝2，则△ABC 的外接圆半径为 ．
13．若α ∈(0，π
2 )，β ∈( π
2 ，π )且cos(α + β)=-
❑√3
3 ，tanα =3-2❑√2，则2α+β 的值为 ．
14．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π），其图像的一个对称中心是(- π
6 ，0)，将f（x）图像向左
平移π
3 个单位长度后得到函数g（x）的图像．若对任意x1，x2∈[0，t]，当x1＜x2 时，都有f（x1）﹣f
（x2）＜g（x1）﹣g（x2），则实数t 的最大值为 ．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2b＝c+2acosC．
（1）求A；
（2）若△ABC 的周长为9，面积为3 ❑√3
4
，求a．
16．（15 分）
已知函数f ( x)= sin
2 x + ❑√3 sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期和对称轴方程；
（2）求f（x）在区间[- π
3 ，π
3 ]上的最大值，并求出此时对应的x 的值．
17．（15 分）
已知函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，π
2 ＜φ＜π )，f (0)=
❑√3
2 ，且对任意x1，x2，若|f（x1）﹣f（x2）|
＝1，则|x1﹣x2|的最小值为π
6 ．
（1）求ω 和φ；
（2）求图像y＝f（x）与y =cosx(sinx + ❑√3cosx)在[0，10π]上的交点个数．
18．（17 分）
在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为2❑√3，且bcosC =a+
❑√3
3 csinB．
（1）求角B；
（2）若∠B 的角平分线交AC 于点D，BD = ❑√3，点E 在线段AC 上，EC＝2EA，求△BDE 的面积．
19．（17 分）
已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（π
4 ，0），将函数
f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个π
2 单位长
度后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式
（2）是否存在x0∈（π
6 ，π
4 ），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若
存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数a 与正整数n，使得F（x）＝f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013 个零点．
