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第四章 三角函数与解三角形
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．若点P(-3，2sin π
3 )在角α 的终边上，则sinα 的值为（ ）
A．1
2
B．
❑√3
2
C．- 1
2
D．-
❑√3
2
【答案】A
【分析】根据任意角三角函数的定义进行求解．
【解答】解：由已知，点P（﹣3，❑√3），所以sinα=
❑√3
❑√(-3)
2+3
= 1
2．
故选：A．
2．已知sinθ＝﹣2cosθ，则3+co s
2θ
sinθcosθ =（ ）
A．﹣6
B．- 1
2
C．8
D．﹣8
【答案】D
【分析】由已知求得tanθ＝﹣2，化为二次齐次式，再化为tanθ 的代数式，求解即可．
【解答】解：由题意可得tanθ＝﹣2，
所以3+co s
2θ
sinθcosθ = 3 sin
2θ+ 4 co s
2θ
sinθcosθ
= 3tan
2θ+ 4
tanθ
= 3×4+ 4
-2
=-8．
故选：D．
3．已知α 为锐角，且sin(2α - π
4 )=- 1
9，则sin(α + π
8 )=（ ）
A．2
3
B．1
3
C．- 1
3
D．- 2
3
【答案】A
【分析】令β =α + π
8 ，利用倍角公式即可求出sin
2 β = 4
9 ，再根据α 的范围即可求出．
【解答】解：利用换元法令β =α + π
8 ，则α = β - π
8 ，
则2α - π
4 =2( β - π
8 )- π
4 =2 β - π
2 ，
故sin(2α - π
4 )=sin(2 β - π
2 )=-cos2 β =2sin
2 β -1=- 1
9，
可得sin
2 β = 4
9 ，因为α 为锐角，则β =α + π
8 ∈( π
8 ，5 π
8 )，
则sin(α + π
8 )= sinβ = 2
3．
故选：A．
4．在△ABC 中，2A＝B+C，AC＝8，cosC = 1
7 ，则BC＝（ ）
A．11
B．7
C．16
D．56
5
【答案】D
【分析】由三角形内角和确定A = π
3 ，再由sinB＝sin（A+C），结合正弦定理即可求解．
【解答】解：因为2A＝B+C，在△ABC 中，可得A+B+C＝π，
可得A = π
3 ，
显然sinC＞0，故sinC =
❑√1-co s
2C = 4 ❑√3
7
，
于是sinB =sin( A +C )= sinAcosC + sinCcosA =
❑√3
2 × 1
7 + 4 ❑√3
7
× 1
2 = 5 ❑√3
14 ，
在△ABC 中由正弦定理可得AC
sinB = BC
sinA ，即
8
5 ❑√3
14
= BC
❑√3
2
，
解得BC= 56
5 ．
故选：D．
5．已知函数f ( x)=sin(2 x + π
3 )，将f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，得到函数g（x）的图象，
若g（x）的图象与f（x）的图象关于y 轴对称，则φ 的最小值等于（ ）
A．π
12
B．π
6
C．π
4
D．π
3
【答案】B
【分析】根据函数平移可得g( x)=sin(2 x +2φ+ π
3 )，进而根据g（x）＝f（﹣x）即可代入化简得
φ = π
6 +kπ ，k ∈Z求解．
【解答】解：g( x)= f ( x +φ)=sin(2 x +2φ+ π
3 )，要g（x）的图象与f（x）的图象关于y 轴对称，则
g( x)= f (- x)=sin(-2 x + π
3 )=sin(2 x + 2π
3 )，
所以2φ+ π
3 = 2π
3 +2kπ ，k ∈Z，故φ= π
6 +kπ ，k ∈Z，
又φ＞0，故φmin= π
6 ．
故选：B．
6．已知函数f ( x)= Asin(ωx +φ)( A ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2 )的部分图象如图所示，若方程f（x）＝
2m 在[- 7 π
12 ，0]上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A．（﹣2，﹣1]
B．(-1，- 1
2 ]
C．(-1，
❑√3
2 )
D．[- 1
2 ，
❑√3
2 )
【答案】B
【分析】首先根据函数f（x）的图象，可得A，T 的值，进而可得ω＝2，将点( π
12 ，2)代入f（x）＝2sin
（2x+φ），结合|φ|＜π
2 ，即可得f ( x)=2sin(2 x + π
3 ).令t =2 x + π
3 ，则t ∈[- 5 π
6 ，π
3 ]，可得方程f
（x）＝2m 在[- 7 π
12 ，0]上有两个不相等的实数根等价于函数y＝sint 的图象与直线y＝m 在[- 5 π
6 ，π
3 ]
上有两个交点，在同一平面直角坐标系下画出函数y＝sint，t ∈[- 5 π
6 ，π
3 ]的图象与直线y＝m，数形结
合即可求解．
【解答】解：由题意，根据函数f（x）的部分图象，可得A＝2，1
4 T = π
3 - π
12 = π
4 ，
可得T＝π，可得ω= 2π
T =2，
因为f（x）＝2sin（2x+φ）经过点( π
12 ，2)，
根据五点法作图可得2× π
12 +φ= π
2 +2kπ ，k ∈Z，
可得φ = π
3 +2kπ ，k ∈Z，
又|φ|＜π
2 ，
可得φ = π
3 ，
所以f ( x)=2sin(2 x + π
3 )，
令t =2 x + π
3 ，则当x∈[- 7 π
12 ，0]时，t =2 x + π
3 ∈[- 5 π
6 ，π
3 ]，
所以方程f（x）＝2m 在[- 7 π
12 ，0]上有两个不相等的实数根，等价于函数y＝sint 的图象与直线y＝m 在
[- 5 π
6 ，π
3 ]上有两个交点，
在同一平面直角坐标系下画出函数y＝sint，t ∈[- 5 π
6 ，π
3 ]的图象与直线y＝m 如下图所示：
可得实数m 的取值范围为m∈(-1，- 1
2 ]．
故选：B．
7．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0），若对于任意实数φ，f（x）在区间[π
4 ，3 π
4 ]上至少有2 个
零点，至多有3 个零点，则ω 的取值范围是（ ）
A．[8
3，16
3 ）
B．[4，16
3 ）
C．[4，20
3 ）
D．[8
3，20
3 ）
【答案】B
【分析】原问题转化为y＝sint 在区间[π
4 ω+θ，3 π
4 ω+θ]上至少有2 个t，至多有3 个t，使得y＝sint= 1
2
，求ω 的取值范围，作出图象可知满足条件的最短区间长度为2π，最长区间长度为8 π
3 ，由此建立ω 的不
等式组求ω 的取值范围．
【解答】解：令f（x）＝0，则sin（ωx+φ）= 1
2，令t＝ωx+φ，则sint= 1
2，
则原问题转化为：
y＝sint 在区间[π
4 ω+φ，3 π
4 ω+φ]上至少有2 个t，至多有3 个t，使得y＝sint= 1
2，求ω 的取值范围，
作出y＝sint 与y= 1
2的图象，如图所示：
由图可知，满足条件的最短区间长度为13 π
6
- π
6 =2π，
最长区间长度为17 π
6
- π
6 = 8 π
3 ，
2π≤（3 π
4 ω+φ）﹣（π
4 ω+φ）＜8 π
3 ，解得4≤ω＜16
3 ，
所以ω 的取值范围是[4，16
3 ）．
故选：B．
8．在锐角三角形ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且a2＝b2+bc，则c
b的取值范围为
（ ）
A．（1，3）
B．（2，3）
C．（1，2）
D．（2，4）
【答案】C
【分析】由已知条件结合余弦定理可得b＝c
2bcosA
﹣
，利用正弦定理边化角得sinB＝sin（A
B
﹣），求得
A＝2B，结合△ABC 是锐角三角形和三角形内角和定理求出B∈( π
6 ，π
4 )，再由正弦定理结合三角恒等
变换可得b
c = 4 co s
2B -1，运算得解．
【解答】解：在锐角三角形ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且a2＝b2+bc，
由余弦定理，a2＝b2+c2
2bccosA
﹣
与a2＝b2+bc 联立，可得bc＝c2
2bccosA
﹣
，
即b＝c
2bcosA
﹣
，由正弦定理可得，sinB＝sinC
2sinBcosA
﹣
，即sinB＝sin（A
B
﹣），
故B＝A
B+2kπ
﹣
，k∈Z 或B+ A - B =2×( π
2 +kπ )，k ∈Z（舍去），
因为2B＝A+2kπ∈（0，2π），故k＝0，故A＝2B，
所以C＝π
3B
﹣
，因为△ABC 是锐角三角形，
所以{
0＜2B＜π
2
0＜B＜π
2
0＜π -3 B＜π
2
，解得π
6 ＜B＜π
4 ，
则
❑√2
2 ＜cosB＜
❑√3
2 ，
所以c
b = sinC
sinB = sin(π -3 B)
sinB
= sin(B+2B)
sinB
= sinBcos2B+cosBsin2B
sinB
＝cos2B+2cos2B＝4cos2B
1
﹣∈（1，2）．
故选：C．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若sinα•cosα＞0，则α 为第一象限角
B．将表的分针拨快5 分钟，则分针转过的角度是﹣30°
C．终边经过点（a，a）（a≠0）的角的集合是{α |α = π
4 +kπ ，k ∈Z }
D．在一个半径为3cm 的圆上画一个圆心角为30°的扇形，则该扇形面积为3 π
2 c m
2
【答案】BC
【分析】A 项可得正余弦同号，由此判断；B 项，表针转过的角度是负角，且转一圈是﹣360°；C 项找经
过点的特殊性可确定；D 项利用弧长公式l＝αR，S= 1
2lR 即可．
【解答】解：A．若sinα•cosα＞0，则α 为第一象限角或第三象限角，错误；
B．将表的分针拨快5 分钟，则分针转过的角度是﹣30°，正确；
C．终边经过点（a，a）（a≠0）的角的终边再直线y＝x 上，故角的集合是{α|α= π
4 +kπ，k∈Z}，正确；
D．弧长l= π
6 ×3= π
2 ，扇形面积为1
2 × π
2 ×3= 3 π
4 ，故错误；
故选：BC．
10．记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知A 是△ABC 的最小内角，且tanA 为整数，
cosA +asinC =2❑√2，则下列说法正确的是（ ）
A．A = π
4
B．c＝3
C．当C＞B＞A，且tanB 也是整数时，tanC＝﹣3
D．△ABC 面积的取值范围是[ 9
4 ，9
2 ]
【答案】ABD
【分析】对于A，根据条件易得tanA＝1，即可判断；对于B，利用正弦定理计算即得；对于C，根据tanB
也是整数，且C＞B＞A，可分tanB＝2 和tanB≥3 两种情况，利用差角的正切公式计算判断；对于D，由正
弦定理推得b=
3sin( 3 π
4 -C )
sinC
= 3
2
❑√2× sinC +cosC
sinC
，结合π
4 ≤C ≤π
2 ，利用正切函数的单调性即可求得
△ABC 面积的范围判断．
【解答】解：对于A，因A 是△ABC 的最小内角，则0＜A ≤π
3 ，
又因tanA 为整数，故tanA＝1，可得A = π
4 ，故A 正确；
对于B，由cosA +asinC =2❑√2，A = π
4 ，可得asinC = 3 ❑√2
2
，
由正弦定理，a
sinA =
c
sinC ，可得csin π
4 =asinC = 3 ❑√2
2
，解得c＝3，故B 正确；
对于C，由A+B+C＝π，可得B+C= 3 π
4 ，因C ＞B＞π
4 ，且tanB 也是整数，
若tanB＝2，因tan 5 π
12 = tan( π
4 + π
6 )
=
1+
❑√3
3
1-
❑√3
3
= 3+ ❑√3
3- ❑√3 =2+ ❑√3，
则π
3 ＜B＜5 π
12 ，则π
3 ＜C ＜5 π
12 ，
此时，tanC = tan( 3 π
4 - B)=-1-tanB
1-tanB =1-
2
1-tanB =3＞tanB符合题意；
若tanB＝3，则π
3 ＜B＜5 π
12 ，同理π
3 ＜C ＜5 π
12 ，此时，tanC =1-
2
1-tanB =2＜tanB，不合题意，
随着tanB 取更大的整数，tanC 的值逐渐减小，不合题意，
故当C＞B＞A，且tanB 也是整数时，tanC＝3，故C 错误；
对于D，由正弦定理，b
sinB =
c
sinC 和B+C = 3 π
4 ，
可得b=
3sin( 3 π
4 -C )
sinC
= 3
2
❑√2× sinC +cosC
sinC
，
因A 是△ABC 的最小内角，则B≥π
4 ，B+ A ≥π
2 ，则π
4 ≤C ≤π
2 ，
当C = π
2 时，b= 3
2
❑√2，
△ABC 的面积为SΔABC = 1
2 absinC = 1
2 × 3
2
❑√2× 3
2
❑√2= 9
4 ，
当π
4 ≤C ≤π
2 时，b= 3
2
❑√2×(1+
1
tanC )，因tanC≥1，
则1≤1+
1
tanC ≤2，3
2
❑√2≤b≤3 ❑√2，
故9
4 ≤SΔABC≤9
2，
综上，△ABC 面积的取值范围是[9
4 ，9
2 ]，故D 正确．
故选：ABD．
11．关于函数f（x）＝sin|x|+|cosx|，有下述四个结论，则正确的有（ ）
A．2π 是f（x）的一个周期
B．f（x）的最小值为﹣1
C．f（x）在区间( π
2 ，3 π
4 )上单调递减
D．f（x）在（﹣2026π，2026π）上有4052 个零点
【答案】BD
【分析】举反例得到A 错误；由sin|x|+|cosx|≥
1
﹣，且sin| 3 π
2 |+|cos 3 π
2 |=-1，判断B 正确；当
x∈( π
2 ，3 π
4 )时，去绝对值可得函数解析式，得到f（x）在区间( π
2 ，3 π
4 )上单调递增，再由复合函数
的单调性判断C；说明函数f（x）＝sin|x|+|cosx|为偶函数，并得到x≥0 时，f（x）＝sinx+|cosx|的一个周期
为2π，考虑x∈[0，2π]，得到f（x）的分段函数，令f（x）＝0，可得x = 5 π
4 ，7 π
4 ，从而得到（﹣
2026π，2026π）上零点个数．
【解答】解：对于A，f (- π
4 )=sin|- π
4 |+|cos(- π
4 )|=sin π
4 +cos π
4 = ❑√2，
f (- π
4 +2π )=sin| 7 π
4 |+|cos 7 π
4 |=-
❑√2
2 +
❑√2
2 =0，f（- π
4 ）≠f (- π
4 +2π )，
则2π 不是f（x）的一个周期，故A 错误；
对于B，因为﹣1≤sin|x|≤1，0≤|cosx|≤1，所以sin|x|+|cosx|≥
1
﹣，
且当x = 3 π
2 时，sin| 3 π
2 |+|cos 3 π
2 |=-1+0=-1，故f（x）的最小值为﹣1，故B 正确；
对于C，当x∈( π
2 ，3 π
4 )时，f ( x)=sin| x|+|cosx|= sinx -cosx = ❑√2sin( x - π
4 )，
由x∈( π
2 ，3 π
4 )，得x - π
4 ∈( π
4 ，π
2 )，z＝x- π
4 在（π
4 ，π
2 ）上单调递增，
而函数y = ❑√2sinz在z∈( π
4 ，π
2 )上单调递增，
所以f（x）在区间( π
2 ，3 π
4 )上单调递增，故C 错误；
对于D，f（x）＝sin|x|+|cosx|的定义域为R，
且f（﹣x）＝sin|（﹣x）|+|cos（﹣x）|＝sin|x|+|cosx|＝f（x），
可得f（x）＝sin|x|+|cosx|为定义域上的偶函数，
当x≥0 时，f（x）＝sinx+|cosx|，
此时满足f（x+2π）＝sin（x+2π）+|cos（x+2π）|＝sinx+|cosx|＝f（x），
所以x≥0 时，f（x）＝sinx+|cosx|的一个周期为2π，
则当x∈[0，2π]时，有f ( x)={
sinx +cosx ，0≤x ≤π
2
sinx -cosx ，π
2 ＜x ≤3 π
2
sinx +cosx ，3 π
2 ＜x ≤2π
，
令f（x）＝0，可得x = 5 π
4 ，7 π
4 ，
故x∈[0，2026π）上有2026 个零点，同理可得x∈（﹣2026π，0）上有2026 个零点，
综上，f（x）在（﹣2026π，2026π）上有4052 个零点，故D 正确．
故选：BD．
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．在△ABC 中，若B = π
4 ，a= ❑√2，S△ABC＝2，则△ABC 的外接圆半径为 ．
【答案】❑√5
【分析】根据三角形的面积公式算出c＝4，然后由余弦定理算出b= ❑√10，最后运用正弦定理求出△ABC
的外接圆半径的大小．
【解答】解：根据题意，可得S△ABC = 1
2 acsinB =2，即1
2 ×❑√2⋅c⋅
❑√2
2 =2，解得c＝4，
由余弦定理得b2＝a2+c2
2ac
﹣
＝2+16
2
﹣❑√2×4cosπ
4 =10，解得b= ❑√10（舍负）．
所以△ABC 的外接圆半径R 满足2R=
b
sinB =
❑√10
❑√2
2
=2❑√5，可得R= ❑√5．
故答案为：❑√5．
13．若α ∈(0，π
2 )，β ∈( π
2 ，π )且cos(α + β)=-
❑√3
3 ，tanα =3-2❑√2，则2α+β 的值为 ．
【答案】3 π
4
【分析】结合同角基本关系及和差角公式即可求解．
【解答】解：因为α ∈(0，π
2 )，tanα＝3
2
﹣
❑√2＜
❑√3
3 ，
故α∈（0，π
6 ），
因为β∈（π
2 ，π），所以π
2 ＜α + β ＜7 π
6 ，
因为cos（α+β）=-
❑√3
3 ＞-
❑√3
2 ，
所以α+β∈（π
2 ，π），
所以sin（α+β）=
❑√6
3 ，tan（α+β）=- ❑√2，
则tan（2α+β）= tanα + tan(α + β)
1-tanαtan(α + β) =- ❑√2+3-2❑√2
1-(3-2❑√2)×(- ❑√2) =-1，
又2α+β∈（π
2 ，3
2π），
所以2α+β= 3 π
4 ．
故答案为：3 π
4 ．
14．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π），其图像的一个对称中心是(- π
6 ，0)，将f（x）图像向左
平移π
3 个单位长度后得到函数g（x）的图像．若对任意x1，x2∈[0，t]，当x1＜x2 时，都有f（x1）﹣f
（x2）＜g（x1）﹣g（x2），则实数t 的最大值为 ．
【答案】π
6
【分析】根据函数的对称性求出φ 的值，利用图象变换关系求出g（x），构造函数h（x）＝f（x）﹣g
（x），将条件转化为当x∈[0，t]，h（x）为增函数，利用函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）一个对称中心是(- π
6 ，0)，
∴- π
6 ×2+φ＝kπ，k∈Z，即φ= π
3 +kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜π，∴当k＝0 时，φ= π
3 ，即f（x）＝sin（2x+ π
3 ），
将f（x）图像向左平移π
3 个单位长度后得到函数g（x）的图像，
即g（x）＝sin[2（x+ π
3 ）+ π
3 ]＝sin（2x+π）＝﹣sin2x，
由f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），得f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），
设h（x）＝f（x）﹣g（x），则不等式等价为当x1＜x2 时，h（x1）＜h（x2），
即若对任意x∈[0，t]，h（x）为增函数．
h（x）＝sin（2x+ π
3 ）+sin2x= 1
2sin2x+
❑√3
2 cos2x+sin2x
= 3
2sin2x+
❑√3
2
cos2x= ❑√3（
❑√3
2
sin2x+ 1
2cos2x）= ❑√3sin（2x+ π
6 ），
当x∈[0，t]时，2x∈[0，2t]，所以2x+ π
6 ∈[π
6 ，2t+ π
6 ]，
因为对任意x∈[0，t]，h（x）为增函数，
所以2t+ π
6 ≤π
2 ，所以2t≤π
3 ，所以0＜t≤π
6 ，
即t 的最大值为π
6 ．
故答案为：π
6 ．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2b＝c+2acosC．
（1）求A；
（2）若△ABC 的周长为9，面积为3 ❑√3
4
，求a．
【分析】（1）根据正弦定理化简所给等式，结合两角的正弦公式化简，进而求得角A 的大小；
（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式与余弦定理列式求解，即可得到本题的答案．
【解答】解：（1）根据2b＝c+2acosC，由正弦定理得2sinB＝sinC+2sinAcosC，
在△ABC 中，sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+sinCcosA，
则2sinAcosC+2cosAsinC＝sinC+2sinAcosC，整理得2cosAsinC＝sinC，
结合sinC＞0，可得cosA = 1
2，又A∈（0，π），所以A = π
3 ．
（2）由（1）得S△ABC = 1
2 bcsinA =
❑√3
4 bc = 3 ❑√3
4
，解得bc＝3，
根据△ABC 的周长为a+b+c＝9，可得b+c＝9
a
﹣，
由余弦定理得a2＝b2+c2
2bccosA
﹣
＝（b+c）2
3bc
﹣
，可得a2＝（9
a
﹣）2
9
﹣，解得a＝4．
16．已知函数f ( x)= sin
2 x + ❑√3 sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期和对称轴方程；
（2）求f（x）在区间[- π
3 ，π
3 ]上的最大值，并求出此时对应的x 的值．
【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简得f ( x)=sin(2 x - π
6 )+ 1
2，结合正弦函数的周期公式与对称性
求出答案；
（2）求出2 x - π
6 ∈[- 5 π
6 ，π
2 ]，根据正弦函数的最大值进行求解，可得本题答案．
【解答】解：（1）由题意得f（x）= 1
2（1
cos2x
﹣
）+
❑√3
2 sin2x
＝sin2xcosπ
6 -cos2xsinπ
6 + 1
2 =sin（2x- π
6 ）+ 1
2，
所以f（x）的最小正周期T= 2π
2 =π，
令2 x - π
6 = π
2 +kπ ，k ∈Z，解得x = π
3 + k
2 π ，k ∈Z，
可得f（x）的对称轴方程为x = π
3 + k
2 π ，k ∈Z．
（2）若x∈[- π
3 ，π
3 ]，则2 x - π
6 ∈[- 5 π
6 ，π
2 ]，
当2 x - π
6 = π
2 ，即x = π
3 时，sin(2 x - π
6 )=1，f（x）取得最大值3
2，
所以f（x）在区间[- π
3 ，π
3 ]上的最大值为3
2，此时x = π
3 ．
17．已知函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，π
2 ＜φ＜π )，f (0)=
❑√3
2 ，且对任意x1，x2，若|f（x1）﹣f
（x2）|＝1，则|x1﹣x2|的最小值为π
6 ．
（1）求ω 和φ；
（2）求图像y＝f（x）与y =cosx(sinx + ❑√3cosx)在[0，10π]上的交点个数．
【分析】（1）根据f (0)=
❑√3
2 求出φ= 2π
3 ，不妨令θ1＝ωx1+φ，θ2＝ωx2+φ，根据|f（x1）﹣f（x2）|＝
1，则|x1
x2|
﹣
的最小值为π
6 得到|θ1
θ2|
﹣
最小值为π
3 ，故π
6 =
π
3
ω
，求出ω＝2；
（2）f ( x)=sin(2 x + 2π
3 )，恒等变换得到g( x)=sin(2 x + π
3 )+
❑√3
2 ，换元后，等价于
sin(u- π
3 )=-
❑√3
2 ，u∈[ π
3 ，61π
3
]，解得u＝2kπ 或u=- π
3 +2kπ(k ∈Z )，分两种情况，得到
sin(u- π
3 )=-
❑√3
2 且u∈[ π
3 ，61π
3
]的u 共有10+10＝20 个，得到答案．
【解答】解：（1）由题意函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，π
2 ＜φ＜π )，f (0)=
❑√3
2 ，
可得f (0)= sinφ =
❑√3
2 ，而π
2 ＜φ＜π，所以φ= 2π
3 ；
不妨令θ1＝ωx1+φ，θ2＝ωx2+φ，
则|f ( x1)- f ( x2)|=|sinθ1-sinθ2|=|sin( θ1+θ2
2
+ θ1-θ2
2
)-sin( θ1+θ2
2
- θ1-θ2
2
)|
=2|cos θ1+θ2
2
||sin θ1-θ2
2
|=1≤2|sin θ1-θ2
2
|，
当且仅当{
θ1= π
3 + k1π
θ2= 2π
3 + k2 π
或{
θ1= 2π
3 + k1π
θ2= π
3 + k2 π
(k1，k2∈Z ，k1+ k2=2k ，k ∈Z )时该式取等，
故|sin θ1-θ2
2
|最小为1
2，此时|θ1
θ2|
﹣
可取最小值π
3 ，
而y＝sinx 在(0，π
2 )单调递增，|sin θ1-θ2
2
|最小为1
2，故| θ1-θ2
2
|不存在比π
6 更小的取值，
即|θ1
θ2|
﹣
不存在比π
3 更小的取值，即满足条件的|θ1
θ2|
﹣
最小值为π
3 ，
|θ1
θ2|
﹣
＝|（ωx1+φ）﹣（ωx2+φ）|＝ω|x1
x2|
﹣
，
且对任意满足|f（x1）﹣f（x2）|＝1 的实数x1，x2，|x1
x2|
﹣
的最小值为π
6 ，故π
6 =
π
3
ω ，ω=2；
（2）由（1）可得f ( x)=sin(2 x + 2π
3 )，不妨令g( x)=cosx(sinx + ❑√3cosx)，
则g( x)=cosxsinx + ❑√3co s
2 x = 1
2 ⋅2sinxcosx +
❑√3
2 (2co s
2 x -1)+
❑√3
2
= 1
2 sin 2 x +
❑√3
2 cos2 x +
❑√3
2 =sin(2 x + π
3 )+
❑√3
2 ，
此时，图象y＝f（x）与y =cosx(sinx + ❑√3cosx)在[0，10π]上的交点个数，
等于方程sin(2 x + 2π
3 )=sin(2 x + π
3 )+
❑√3
2 在[0，10π]上的解的个数，
令u=2 x + π
3 ，则该方程等价于sin(u+ π
3 )= sinu+
❑√3
2 ，u∈[ π
3 ，61π
3
]，
化简得1
2 sinu-
❑√3
2 cosu=-
❑√3
2 ，即sin(u- π
3 )=-
❑√3
2 ，u∈[ π
3 ，61π
3
]，
此时，u- π
3 =- π
3 +2kπ或u- π
3 =- 2π
3 +2kπ(k ∈Z )，
即u＝2kπ 或u=- π
3 +2kπ(k ∈Z )，
u＝2kπ（k∈Z）时，π
3 ≤2kπ ≤61π
3
，1
6 ≤k ≤61
6 ，k共有1，2，3，……，10 这10 个取值，
即有10 个符合条件的u；
u=- π
3 +2kπ(k ∈Z )时，π
3 ≤- π
3 +2kπ ≤61π
3
，1
3 ≤k ≤31
3 ，
k 共有1，2，3，……，10 这10 个取值，即有10 个符合条件的u；
故满足sin(u- π
3 )=-
❑√3
2 且u∈[ π
3 ，61π
3
]的u 共有10+10＝20 个，
即图象y＝f（x）与y =cosx(sinx + ❑√3cosx)在[0，10π]上的交点个数为20．
18 ．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其外接圆的半径为2❑√3，且
bcosC =a+
❑√3
3 csinB．
（1）求角B；
（2）若∠B 的角平分线交AC 于点D，BD = ❑√3，点E 在线段AC 上，EC＝2EA，求△BDE 的面积．
【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简可求得tanB =- ❑√3，结合角的取值范围可求得角
B 的值；
（2）利用正弦定理可求得b 的值，利用S△ABC＝S△BCD+S△ABD 可得ac = ❑√3(a+c)，余弦定理可得
（a+c）2
ac
﹣
＝36，两式联立可得a=c =2❑√3，然后利用三角形的面积公式可求得△BDE 的面积．
【解答】解：（1）因为bcosC =a+
❑√3
3 csinB，
由正弦定理可得sinBcosC = sinA +
❑√3
3 sinCsinB，
又A＝π﹣（B+C），所以sinBcosC =sin(B+C )+
❑√3
3 sinCsinB，
所以sinBcosC = sinBcosC +cosBsinC +
❑√3
3 sinCsinB，
即sinCcosB+
❑√3
3 sinCsinB =0，
∵C∈（0，π），故sinC≠0，
∴cosB+
❑√3
3 sinB =0，即tanB =- ❑√3，
又B∈（0，π），则B = 2π
3 ；
（2）
由（1）可知，B = 2π
3 ，又外接圆的半径为2❑√3，
由正弦定理可知b
sinB = 4 ❑√3，
所以b= 4 ❑√3sin 2π
3 =6，
因为BD 是∠ABC 的平分线，故∠CBD =∠ABD = 1
2 ∠ABC = π
3 ，
又BD = ❑√3，
由S△ABC＝S△BCD+S△ABD，
可得1
2 acsin 2π
3 = 1
2 a⋅❑√3sin π
3 + 1
2 c⋅❑√3sin π
3 ，即ac = ❑√3(a+c)，①
由余弦定理可知，b
2=a
2+c
2-2accos 2π
3 ，即（a+c）2
ac
﹣
＝36，②
由①②可知a=c =2❑√3，
所以BD⊥AC，
又∵EC＝2AE，则DE＝1，
所以S△BDE= 1
2 ×1×❑√3=
❑√3
2 ．
19．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（π
4 ，0），将
函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个π
2 单
位长度后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式
（2）是否存在x0∈（π
6 ，π
4 ），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若
存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数a 与正整数n，使得F（x）＝f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013 个零点．
【分析】（1）依题意，可求得ω＝2，φ= π
2 ，利用三角函数的图象变换可求得g（x）＝sinx；
（2）依题意，当x∈（π
6 ，π
4 ）时，1
2 ＜sinx＜
❑√2
2 ，0＜cosx＜1
2⇒sinx＞cos2x＞sinxcos2x，问题转化为
方程2cos2x＝sinx+sinxcos2x 在（π
6 ，π
4 ）内是否有解．通过G′（x）＞0，可知G（x）在（π
6 ，π
4 ）内单
调递增，而G（π
6 ）＜0，G（π
4 ）＞0，从而可得答案；
（3）依题意，F（x）＝asinx+cos2x，令F（x）＝asinx+cos2x＝0，方程F（x）＝0 等价于关于x 的方程a
=- cos2 x
sinx ，x≠kπ（k∈Z）．问题转化为研究直线y＝a 与曲线y＝h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点
情况．通过其导数，列表分析即可求得答案．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，
∴ω= 2π
T =2，
又曲线y＝f（x）的一个对称中心为( π
4 ，0)，φ∈（0，π），
故f（π
4 ）＝sin（2× π
4 +φ）＝0，得φ= π
2 ，所以f（x）＝cos2x．
将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变）后可得y＝cosx 的图象，
再将y＝cosx 的图象向右平移π
2 个单位长度后得到函数g（x）＝cos（x- π
2 ）的图象，
∴g（x）＝sinx．
（2）当x∈（π
6 ，π
4 ）时，1
2 ＜sinx＜
❑√2
2 ，0＜cos2x＜1
2，
∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，
问题转化为方程2cos2x＝sinx+sinxcos2x 在（π
6 ，π
4 ）内是否有解．
设G（x）＝sinx+sinxcos2x
2cos2x
﹣
，x∈（π
6 ，π
4 ），
则G′（x）＝cosx+cosxcos2x+2sin2x（2
sinx
﹣
），
∵x∈（π
6 ，π
4 ），
∴G′（x）＞0，G（x）在（π
6 ，π
4 ）内单调递增，
又G（π
6 ）=- 1
4 ＜0，G（π
4 ）=
❑√2
2 ＞0，且G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（π
6 ，π
4 ）
内存在唯一零点x0，即存在唯一零点x0∈（π
6 ，π
4 ）满足题意．
（3）依题意，F（x）＝asinx+cos2x，令F（x）＝asinx+cos2x＝0，
当sinx＝0，即x＝kπ（k∈Z）时，cos2x＝1，从而x＝kπ（k∈Z）不是方程F（x）＝0 的解，
∴方程F（x）＝0 等价于关于x 的方程a=- cos2 x
sinx ，x≠kπ（k∈Z）．
现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a=- cos2 x
sinx 的解的情况．
令h（x）=- cos2 x
sinx ，x∈（0，π）∪（π，2π），
则问题转化为研究直线y＝a 与曲线y＝h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．
h′（x）= cosx(2sin
2 x +1)
sin
2 x
，令h′（x）＝0，得x= π
2 或x= 3 π
2 ，
当x 变换时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：
x
（0，π
2 ）
π
2
（π
2 ，π）
（π，3 π
2 ）3 π
2
（3 π
2 ，
2π）
h′（x）
+
0
﹣
﹣
0
+
h（x）
↗
1
↘
↘
1
﹣
↗
当x＞0 且x 趋近于0 时，h（x）趋向于﹣∞，
当x＜π 且x 趋近于π 时，h（x）趋向于﹣∞，
当x＞π 且x 趋近于π 时，h（x）趋向于+∞，
当x＜2π 且x 趋近于2π 时，h（x）趋向于+∞，
故当a＞1 时，直线y＝a 与曲线y＝h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2 个交点；
当a＜﹣1 时，直线y＝a 与曲线y＝h（x）在（0，π）内有2 个交点，在（π，2π）内无交点；
当﹣1＜a＜1 时，直线y＝a 与曲线y＝h（x）在（0，π）内有2 个交点，在（π，2π）内有2 个交点；
由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1 时，直线y＝a 与曲线y＝h（x）在（0，nπ）内总有偶数个交点，从
而不存在正整数n，使得直线y＝a 与曲线y＝h（x）在（0，nπ）内恰有2013 个零点；
又当a＝1 或a＝﹣1 时，直线y＝a 与曲线y＝h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3 个交点，由周期性，
2013＝3×671，
∴依题意得n＝671×2＝1342．
综上，当a＝1，n＝1342，或a＝﹣1，n＝1342 时，函数F（x）＝f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013
个零点．
