2011-2020年高考数学真题分专题训练专题20不等式性质与基本不等式（教师版含解析）_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

十年大数据*全景展示
专题 20 不等式性质与基本不等式
年 份
题号
考 点
考 查 内 容
2012
文 11
不等式解法
利用指数函数与对数函数的图像与性质解不等式及数形结合思想
2013
卷 2
理 1
不等式解法
一元二次不等式解法、集合运算[
卷 1
理 1
不等式解法
一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系
2014
卷 2
理 1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
卷 1
理 1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
卷 1
文 15
不等式解法
与分段函数结合的函数不等式解法，分类整合思想及转化与化归思想
2015
卷 2
理 1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
2016
卷 3
理 1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
卷 2
文 1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
卷 2
理 2
不等式解法
一元二次不等式解法及并集运算
卷 1
文 8
不等式性质
及其应用
不等式的性质及其应用、指数函数与对数函数的图象与性质
卷 1
理 8
不等式性质
及其应用
不等式的性质及其应用、指数函数与对数函数的图象与性质
卷 1
理 1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
2017
卷 3
理 15
文 16
不等式解法
与分段函数结合的函数不等式解法，分类整合思想及转化与化归思想
卷 1
理 1
不等式解法
简单指数不等式解法及集合并集、交集运算
2018
卷 1
文 12
不等式解法
与分段函数结合的函数不等式解法，数形结合思想及转化与化归思想
2019
卷 1
理 1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
卷 2
理 1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
卷 2
理 6
不等式性质
及其应用
不等式的性质及其应用、指数函数与对数函数的图象与性质．
卷 3
理 1
不等式解法
一元二次不等式解法及交集运算
2020
卷 1
理 14
不等关系
指数函数、对数函数的单调性，数式的大小比较
卷 3
文 12
三角函数，基
本不等式
三角函数图象及其性质，均值不等式
2
4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
大数据分析*预测高考
考
点
出现频率
2021 年预测
考点66 不等式性质及其应用
3/22
2021 年仍将与集合运算结合重点考查一元二次不等式解法与
分段函数不等式的解法，基本不等式的多在解析几何、函数最
值中考查，难度为基础题或中档题．
考点 67 不等式解法
19/22
考点 68 基本不等式
0/22
十年试题分类*探求规律
考点 66 不等式性质及其应用
1．(2020 全国 I 理 14)若2
a  log  a  4
b   2 log  b ，则
(
)
A.
a  2b
【答案】B
B.
a  2b
C.
a  b
2
D.
a  b
2
【解析】【解析】设 f (x)  2
x  log x ，则 f (x) 为增函数，∵ 2
a  log a  4
b  2 log b  2
2b  log b ，
∴ f (a)  f (2b)  2
a  log
a  (2
2b  log 2b)  2
2b  log
b  (2
2b  log 2b)  log
1  1  0 ，
2 2
∴ f (a)  f (2b) ，∴ a  2b ．
∴ f (a)  f (b
2 )  2
a  log  a  (2
b 2  
 log  b
2) 

当b  1
 
时，f (a)  f (b
2 )  2  0 
 
，此时f (a) 

2
2b   log  b  (2
b 2   
 log  b
2 )   2
2b   2
b2   
 log  b ，
f (b
2 ) ，有 a  b
2 ；当b  2 时， f (a)  f (b
2 )  1  0 ，
此时 f (a)  f (b
2 ) ，有 a  b
2 ，∴C、D 错误，故选 B．
2．(2020 
 
天津6)
 
设a  3
0.7 ,b  1 
0.
8
   
   
, c  log 0.7 0.8 ，则 a,b, c 的大小关系为( )
A.
a  b  c
B.
b  a  c
C.
b  c  a
 1 
0.8
D.
c  a  b
【答案】D【解析】由题知c  log 0.8  1， b 
 3
0.8 ，易知函数 y  3
x 在 R 上单调递增，所以
0.7
   
   
b  3
0.8   3
0.7   a  1 ，所以c  a  b ，故选 D．
3．(2019•新课标Ⅱ，理 6)若 a  b ，则(
)
A.
ln(a  b)  0
【答案】B
B.
3
a  3
b
C． a
3  b
3  0
D．| a || b |
【解析】取 a  0 ， b  1 ，则ln(a  b)  ln1  0 ，排除 A ； 3
a  3
0  1  3
b  3
1  1 ，排除 B ；
3
2
2
2
1
1
a
3  0
3  (1)
3  1  b
3 ，故C 对； | a | 0 | 1| 1  b ，排除 D ．故选C ．
4．(2016•新课标Ⅰ，理 8)若 a  b  1 ， 0  c  1 ，则(
)
A.
a
c  b
c
C． a logb c  b loga c
【答案】C
B.
ab
c  ba
c
D
 
．loga c  logb c
【解析】 a  b  1， 0  c  1 ，函数 f (x)  x
c 在(0, ) 上为增函数，故 a
c  b
c ，故 A 错误，
∵函数 f (x)  x
c1 在(0, ) 上为减函数，故 a
c 1  b
c 1 ，故ba
c  ab
c ，即 ab
c  ba
c ；故 B 错误；
∵ 
log
c  0 ，且log c  0 ， 
log
b  1 
 
，即logc b  loga c  1 ，即log c  log
c ．故 D 错误；
a
b
a
log  a
log  c
a
b
c
b
0  loga c  logb c ，故 b loga c  a logb c ，即b loga c  a logb c ，即 a logb c  b loga c ，故C 正确；故选C ．
5．(2016•新课标Ⅰ，文 8)若 a  b  0 ， 0  c  1 ，则(
)
A.
loga c  logb c
【答案】B
B.
logc a  logc b
C.
a
c  b
c
D.
c
a  c
b
【解析】 a  b  0 ， 0  c  1 ，logc a  logc b ，故 B 正确；当 a  b  1 时， 0  loga c  logb c ，故 A 错
误； a
c  b
c ，故C 错误； c
a  c
b ，故 D 错误，故选 B
6．(2017 山东)若 a  b  0 ，且 ab  1 ，则下列不等式成立的是
A.
a  1  b
b
2
a  log2 a  
b
B.
b  log
2
a
2a  b  a  1
b
C.
a  1  log
b
2 a  b  
b
2
a
D. log2 a  b  a  1  b
b
2
a
【答案】B
 
【解析】解法一：取a  2 
 
，b  1 
 
，则a  1  2  2  4 
 
，b 


1
2  1 
， log (a  b)  log 4  2 ，所以
b  log 
2
a
2
2
b
a  b  a  1 
， 选 B．
b
2
a
2
2
8
2
2
解法二：由题意 a  1，0  b  1 ，所以 b   1，a  1  a  a  2a  2 ，又a  b  1，所以(a  b)
2   (a  
b) ，
2
a
 
所以2  log (a  b)
2  log (a  b)  log 2
b
 1 ，故 b
2
a  log2 a  b  a  1 
， 选 B．
b
7．(2016 年北京)已知 x, y  R ，且 x  y  0 ，则
A．

 0
B． sin x  sin y  0
C． ( 1 )
x  ( 1 ) 
y 
 0
ab
D． ln x  ln y  0
x
y
2
2
【答案】C
1
1
1
1
1
1
【解析】因为 x  y  0 ，选项 A，取 x  1, y ，则
2

选项 B，取 x  , y 
，则sin x  sin y  sin 
sin
2

 1 2  1  0 ，排除 A；
x
y
 1  0 ，排除 B；
2
选项 D， x  2, y ，则ln x  ln y  ln( xy)  ln1  0 ，排除 D，故选 C．
2
8．(2014 山东)若 a  b  0 ， c  d  0 ，则一定有(
)
A.
a  b
c
d
【答案】D
B.
a  b
c d
1
1
C.
a  b
d
c
D.
a  b
d
c
a
b
a
b
【解析】由c  d  0   
 0 ，又 a  b  0 ，由不等式性质知：  
 0 ，所以

，故
d
c
选 D．
d
c
d
c
9．(2014 四川)已知实数 x, y 满足 a
x  a 
y (0  a  1) ，则下列关系式恒成立的是
A.

x
2 1
1
y
2 1
B． ln(x
2 1)  ln( y
2 1)
C. sin x  sin y
【答案】D
D.
x
3  y
3
【解析】由已知得 x  y ，此时 x
2 , y
2 大小不定，排除 A，B；由正弦函数的性质，可知 C 不成立；故选 D．
10．(2014 辽宁)已知定义在[0,1] 上的函数 f (x) 满足：
① f (0)  f (1)  0 ；
1
 
②对所有x, y [0,1]
 
，且x  y ，有| f (x)  f ( y) |
| x  y |．
2
若对所有 x, y [0,1]，| f (x)  f ( y) | k 恒成立，则k 的最小值为(
)
A.
1
2
B.
1
4
C.
1 
2
D.
1
8
1
1
1
【答案】B【解析】不妨设0 ≤ y ≤ x ≤1 ，当0  x  y ≤
时，
2
f (x)  f ( y) 
x  y ≤
；
2
4
当
 x  y ≤1 时，
2
f (x)  f ( y) f (x)  f (1) f ( y)  f (0)
≤ f (x)  f (1)  f ( y)  f (0)  1 x 1  1 y  0
2
2
1
1
1
1
1
1

(1 x) 
y 

( y  x) 
，∴ k ≥．
2
2
2
2
4
4
考点 67  不等式解法
1．(2019•
Ⅰ
新课标，理 1)已知集合 M  {x | 4  x  2} ， N  {x | x
2  x  6  0}，则 M  N  (
)
A．{x | 4  x  
3}
【答案】C
B．{x | 4  x  2}
C．{x | 2  x  2}
D．{x | 2  x  3}
【解析】 M  {x | 4  x  2} ， N  {x | 2  x  3} ， M  N  {x | 2  x  2} ，故选C ．
2．(2019•
Ⅱ
新课标，理 1)设集合 A  {x | x
2  5x  6  0}， B  {x | x  1  0} ，则 A B  (
)
A． (,1)
【答案】A
B． (2,1)
C． (3, 
1)
D． (3, )
【解析】根据题意， A  {x | x
2  5x  6  0}  {x | x  3 或 x  2} ， B  {x | x  1  0}  {x | x  
1} ， 则 A B  {x | x  1}  (,1) ，故选 A ．
3．(2019•
Ⅲ
新课标
，理 1)已知集合 A  {1，0，1， 2} ， B  {x | x
2  1}，则 A B  (
)
A．{1 ，0，1}
B．{0 ，1}
C．{1 ，1}
D．{0 ，1， 2}
【答案】A
【解析】因为 A  {1，0，1， 2} ， B  [1,1] ，所以 A B  {1 ，0，1} ，故选 A ．
2
 x , x0
4．(2018•
Ⅰ
 
新课标，文12)
 
设函数f (x)  
1, x  0
，则满足 f (x  1)  f (2x) 的 x 的取值范围是(
)
A． ( ， 
1]
【答案】D
B． (0, 
)
2
 x , x0
C． (1, 
0)
D． (, 0)
 
【解析】函数f (x)  
1, x  0
解得 x (, 0) ，故选 D ．
，的图象如图，满足 f (x  1)  f (2x) ，可得： 2x  0  x  1 或 2x  x  10 ，
5．(2017•新课标Ⅰ，理 1)已知集合 A  {x | x  1} ， B  {x | 3
x   1} ，则( )
A． A B  {x | x  0} B． A B  
R
C． A B  {x | x  
1}
D． A B  
【答案】A
【解析】由题知， B  {x | 3
x  1}  {x | x  0}， A B  {x | x  0} ，故 A 正确， D 错误；
A B  {x | x  1} ，故 B 和C 都错误，故选 A ．
6．(2016•
Ⅰ
新课标，理 1)设集合 A  {x | x
2  4x  3  0}， B  {x | 2x  3  0} ，则 A B  (
)
A． (3,  3)
2
B． 
(
3
3,   
)
2
3
(1,    )
2
D． ( 3 ， 
3)
2
【答案】D
【解析】集合 A  (1, 3) ， B  ( 3 ， ) ， A B  ( 3 ， 3) ，故选 D ．
2
2
7．(2016•新课标Ⅱ，理 2)已知集合 A  {1 ，2， 3}， B  {x | (x  1)(x  2)  0 ， x  Z}，则 A B 等于(
)
A． {1}
B． {1 ， 2}
C．{0 ，1，2， 3}
D．{1 ，0，1，2， 3}
【答案】C
【解析】集合 A  {1 ，2， 3}， B  {x | (x  1)(x  2)  0 ， x  Z}  {0 ，1} ， A B  {0 ，1，2， 3}，
故选
C ．
8．(2016•
Ⅱ
新课标，文 1)已知集合 A  {1 ，2， 3}， B  {x | x
2   9} ，则 A B  (
)
A．{2 ， 1 ，0，1，2， 3}
B．{2 ， 1 ，0，1， 2}
C．{1 ，2， 3}
D． {1 ， 2}
【答案】D
【解析】集合 A  {1 ，2， 3}， B  {x | x
2  9}  {x | 3  x  3}， A B  {1， 2} ，故选 D ．
9．(2016•
Ⅲ
新课标
，理 1)设集合 S  {x | (x  2)(x  3)0} ， T  {x | x  0} ，则 ST  (
)
A． [2 ， 3]
B． ( ， 2][3 ， 
)
【答案】D
C．[3 ， 
)
D． (0 ， 2][3 ， )
【解析】由题知 S  ( ， 2][3 ， ) ，T  (0, ) ， ST  (0 ， 2][3 ， ) ，故选 D ．
10．(2015•新课标Ⅱ，理 1)已知集合 A  {2 ， 1 ，0，1， 2} ， B  {x | (x  1)(x  2)  0} ，则 A  B 
 (
) A．{1 ， 0}
B．{0 ，1}
C．{1 ，0，1}
D．{0 ，1， 2}
【答案】A
【解析】 B  {x | 2  x  1} ， A  {2 ， 1 ，0，1， 2} ， A B  {1 ， 0} ，故选 A ．
C．
11．(2014 
Ⅰ
 
新课标，理1)
 
已知集合A={ x | x
2  2x  3  0 }，B={ x |－2≤ x ＜2
 
＝，则A  B =
A ．[-2，-1]
B ．[-1，2)
C ．[-1，1]
D ．[1，2)
4  x2
2
【答案】A
【解析】∵A= (, 1] [3, ) ，∴ A  B =[-2，-1]，故选 A．
12．(2014 新课标Ⅱ，理 1)设集合 M=｛0，1，2｝，N=x | x2   3x  2≤0，则 M  N =(
) A．｛1｝
B． ｛2｝
C． ｛0，1｝
D． ｛1，2｝
【答案】D
【解析】∵ N =x x
2  3x  2  0  x 1  x  2，∴ M  N  1, 2，故选 D．
13．(2013 新课标Ⅰ，理 1)已知集合 A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x|－ 5＜x＜ 5｝，则
(
)
A、A∩B=
B、A∪B=R
C、B⊆A
D、A⊆B
【答案】B
【解析】A=(-  ，0)∪(2，+  )， ∴A∪B=R，故选 B．
14．(2013 新课标Ⅱ，理 1)已知集合 M={ x ∈R| (x 1)
2  4 }，N={-1，0，1，2，3}，则 
M∩N= A．{0，1，2}
B．{-1，0，1，2}
C．{-1，0，2，3}
D．
{0，1，2，3}
【答案】A
【解析】M=(-1，3)， ∴M∩N={0，1，2}，故选 A．
15．(2012•新课标，文 1)已知集合 A={x| x2－x－2<0}，B={x|－1<x<1}，
则(A)AB
(B)BA
(C)A=B
(D)A∩B=
【答案】B
【解析】A=(－1，2)，故 BA，故选 B．
16．( 2017 山东)设函数 y 
的定义域 A ，函数 y  ln(1 x) 的定义域为 B ，则 A  B=
A． (1, 2)
B． (1, 2]
C． (2,1)
【答案】D
D．[2,1)
【解析】由4  x
2 ≥ 0 得2 ≤ x ≤ 2 ，由1 x  0 得 x  1，故A  B={x | 2 ≤ x  1} ，选 D．
17．(2012•
 
新课标，文11)
 
当0< x ≤1
 
时，4
x   log
2
a x ，则 a 的取值范围是
(A)(0， 2)
(B)(  2，1)
(C)(1， 2)
(D)( 2，2)
2
2
【答案】A
0  a  1

【解析】由指数函数与对数函数的图像知
1
1  ，解得0  a 
，故选 A．


loga
 42
2
2
18．(2015 山东)已知集合 A  {x | x
2  4x  3  0} ， B  {x | 2  x  4}，则 A 
 B = A．(1，3) B．(1，4)
C．(2，3)
D．(2，4)
1
2
【答案】C
【解析】 A  {x | x
2  4x  3  0}  {x |1  x  3}, A B  (2, 3) ．
19．(2013 陕西)在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于 300m2 的内接矩形花园(阴影部分)， 
则其边长 x(单位 m)的取值范围是
A．[15，20]
B．[12，25]
C．[10，30]
D．[20，30]
【答案】C
【解析】如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为 y ，则 SADE
SABC  ( 40  y )
2 ，所以 y  40  x ，又 xy ≥ 300 
，
40
所以 x(40  x) ≥ 300 ，即x
2  40x  300  0 ，解得10 ≤ x ≤ 30 ．
20．(2013 重庆)关于 x 的不等式 x
2  2ax  8a
2  0 ( a  0 )的解集为(x , x ) ，
 
且x2  x1  15 
 
，则a 
5
7
15
15
A.
B．
C．
D．
2
2
4
2
【答案】A
 
【解析】∵由x
2  2ax  8a
2  0
( a  0 )，得(x  4a)(x  2a)  0 ，即 2a  x  4a ，∴ x   2a, 
x
 4a ，
1
2
15
5
∵ x2  x1  4a  (2a)  6a  15 ，∴ a  
6

．故选 A．
2
x 1, x  0
f (x)   x
21．(2017•新课标Ⅲ，理 15)设函数
2
【答案】( 1 
 
，)
4
, x  
0
，则满足 f (x)  f (x  1 )  1 的 x 的取值范围是
．
2
x  1   1
【解析】若 x  0 ，则
2
2 ，则 f (x)  f (x  1 )  1 等价为 x  1  x  1  1  1 ，即 2x   1 ，则 x   
1 ，
2
2
2
4
 1  x  0
此时
4
，
当 x  0 时， f (x)  2
x  1， x  1   1 ，
2
2
2

当 x  1  0 即 x  1 时，满足 f (x)  f (x  1 )  1 恒成立，
2
2
2
0  x  1   1
1  x  0
当
2
2 ，即 
2
时， f (x  1 )  x  1  1  x  1  1 ，
2
2
2
2
此时 f (x)  f (x  1 )  1 恒成立，综上 x   1 ．
2
4
e
x1 , x  1,
22．(2014 新课标 I，文 15)设函数 f  x     1
则使得 f  x  2 成立的 x 的取值范围是     ．
【答案】(,8]
x  1
x3 , x  1,
x  1
【解析】原不等式等价于

x1
或 1
，解得 x  8 ，故 x 的取值范围是(,8]．
e
 2
23．(2017 江苏)
 
记函数f (x) 
x3   2
的定义域为 D ．在区间[4, 5] 上随机取一个数 x ，则 x  D 的
概率是 ．
5
【答案】
9
【解析】由6  x  x
2 ≥ 0 ，解得2 ≤ x ≤ 3，根据几何概型的计算公式得概率为
3  (2)  5
5  (4)
9
24．(2014 江苏)已知函数 f (x)  x 2  mx  1, 若对于任意 x [m, m  1] ，都有 f (x)  0 成立，则实数 m 的
取值范围是   ．
【答案】(
, 0)
2
 f (m)  2m
2 1  0
【 解析】 由题意可得
f (x)  0 对于 x [m, m 1] 上恒成立， 即  f (m 1)  2m
2  3m  0 
， 解得

 m  0 ．
2
25．(2013 重庆)设 0 ≤≤，不等式8x
2  (8sin)x  cos 2≥0 对 x  R 恒成立，则 a 的取值范围
为           
 
 ．

5
【答案】． [0, ] [
,]
6
6
【解析】不等式8x
2  (8sin)x  cos 2 0 
 
对x  R 恒成立，
 则有  (8sin)
2   4 8 cos 2 64 sin 
2  32 cos 2≤0
6  x  x 2
2
即2 sin
2 cos 2 2 sin
2 (1  2 sin
2 )
∴ sin
2 ≤ 1 
．∴  1  sin  1 
．
 4 sin
2 1≤ 0 ．
4
2
2
又0    ，结合下图可知，∈ 0, π    5π , π ．
6     6 
26．(2013 江苏)已知 f (x) 是定义在R 上的奇函数．当 x  0 时， f (x)  x
2  4x ，则不等式 f (x)  x 的解
集用区间表示为       
 
 ．
【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)
 
【解析】做出f (x)  x
2  4x
( x  0 )的图像，如下图所示．由于 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，利用奇函
数图像关于原点对称做出 x＜0 的图像．不等式 f (x)  x ，表示函数 y＝ f (x) 的图像在 y＝x 的上方，观
察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)．
27．(2013 四川)
 
已知f (x) 
 
的定义域为R 
 
的偶函数，当x  0 时，f (x)  x 
2  4x 
 
，那么，不等式f (x  2)  5
的解集是            
 
 ．
【答案】(－7，3)
【解析】当 x ≥0 时，令 x
2  4x  5 ，解得， 0 ≤ x  5 ．又因为 f (x) 为定义域为 R 的偶函数，则不等式
f (x  2)  5 等价于5  x  2  5 ，即－7＜ x ＜3；故解集为(－7，3)．
28．(2012 福建)已知关于 x 的不等式 x
2  ax  2a  0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是     
 
 ．
【答案】(0，8)
【解析】因为不等式 x2﹣ax+2a＞0 在 R 上恒成立．∴△= (a)
2  8a  0 ，解得 0＜ a ＜8．
29．(2012 江苏)已知函数 f (x)  x
2   ax  b(a，b  R) 的值域为[0 ， ) ，若关于 x 的不等式 f (x)  c 的
解集为(m ，m  6) ，则实数c 的值为   ．

a
【答案】9
【解析】因为 f (x) 的值域为[0，+∞)，所以  0, 即 a 
2  4b ，所以 
x
2
a 
2
2
ax 
 c  0 的两根，由一元
4
 
二次方程根与系数的关系得2m  6  a, m(m  6) 
x
2   9
c, 解得c =9．
4

2
2

30．(2012 江西)不等式
x  
2
 0 的解集是          
 
 ．
【答案】(3, 2)  (3, )
【解析】不等式可化为(x  3)(x  2)(x  3)  0 采用穿针引线法解不等式即可．
31．(2018 浙江)已知 R ，函数 f (x)  
 x  4, x ≥
，当 2 时，不等式 f (x)  0 的解集是
x
2  4x  3, x  
                      
 
 ．若函数 f (x) 恰有 2 个零点，则的取值范围是          
 
 ．
【答案】(1, 4) 
 
；(1, 3]  (4, )
【解析】若 2 ，则当 x ≥ 2 时，令 x  4  0 ，得2 ≤ x  4 ；当 x  2 时，令 x
2  4x  3  0 ，得1  
x  2 ．综上可知1  x  4 ，所以不等式 f (x)  0 的解集为(1, 4) ．令 x  4  0 ，解得 x  4 ；令 x
2  
4x  3  0 ，解得 x  1 或 x  3 ．因为函数 f (x) 恰有 2 个零点，结合函数的图象(图略)可知1  ≤ 3 
或 4 ．
考点 68  基本不等式应用
1．(2020 
 
全国3 
 
文12)
 
已知函数f (x)  sin x 
1
sin 
x
，则(
)
A.
f (x) 的最小值为 2
B．
C． f (x) 的图像关于直线 x  π 对称
D．
f (x) 的图像关于 y 轴对称
f (x) 的图像关于直线 x  π 
对称
2
【答案】D【解析】由题意得sin x [1，0)  (0，1] ．对于 A，当sin x  (0，1] 时，
f (x)  sin x 

1  2 
sin x
 2 ，当且仅当sin x  1 时取等号；当sin x [1，0) 时，
f (x)  sin x    1
  sin x 
1
  2
 2 ，当且仅当sin x  1 时取等号，所以 A 错
sin x

sin x 


误．对于 B， f (x)  sin(x) 
1
 sin x  1    f (x) ，所以 f (x) 是奇函数，图象关于原点对称，
sin(x)

sin x 


所以 B 错误．对于 C， f (x  π)  sin(x  π) 
1
 sin x  1  ，
sin(x  π)

sin x 
f (π  x)  sin(π  x) 


1
 sin x 
1
，则 f (x  π)  f (π  x ) ， f (x) 的图象不关于直线 x  π 对称，
sin(π  x)
sin x

π 

π 
1
1
所以 C 错误．对于 D， f  x 
  sin x 
 





sin  x 


 cos x 
，
π 
cos x


2
sin x 

1
sin 
x
sin x 
1
sin x
a
b
b
2
a
4

f  π  x   sin π  x  


1
 cos x 
1
，所以 f  x  π   f  π  x  ，f (x) 的图象关于直线 x  π 对
 2

 
2

 π

cos x

2 
 2

2




sin 
x 





称 ， 所 以     D      正 确 ． 故 选      D． 2．
(2020 山东 11)已知 a  0 ， b  0 ，且 a  b  1 ，则(
)
A
 
．a
2  b
2  1
2
【答案】ABD
B.
2
ab  1
2
C.
log 2 a  log2 b  2
D ．

 2
【思路导引】根据 a  b  1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解．
【解析】对于A， a
2   b
2   a
2   1 a
2
 2a
2  2a 1  2  a 


1 
2

 1  1
2
2
，当且仅当 a  b  1 
时，等
2
号成立， 故 A 正确； 对于 B ， a  b  2a 1  1 ， 所以 2
ab  2
1  1 
， 故 B 正确； 对于 C ，
2
 a  b 
2
1
1
log2 a  log2 b  log2 ab  log2 
2
  log2  4 
 2 ，当且仅当 a  b  
2 
时，等号成立，故 C 不正确；


对于D，因为
   b 
2  
 1 
2
 1 a  b  2 ，所
以


，当且仅当 a  b  1 
时，等号
2
成立，故 D 正确，故选：A BD．
3．(2020 上海 13)下列不等式恒成立的是
(
)
A.
a
2  b
2  2ab
B.
a
2  b
2  2ab
C.
a  b  
2
D.
a  b  2
【答案】B
【解析】由基本不等式可知 a
2  b
2  2ab ，故 A 不正确； a
2  b
2  2ab  a
2  b
2  2ab  0 ，即
a  b
2   0 恒成立，故 B 正确；当 a  1, b  1 时，不等式不成立，故 C 不正确；当 a  0, b  1 时，
不等式不成立，故 D 不正确，故选 B．
4．(2013 四川)已知函数 f (x)  4x  a (x  0, a  0) 在 x  3 时取得最小值，则 a 
．
x
【答案】36
 
【解析】因为x  0, a  0 ，f (x)  4x  a  2
x
 4a ，当且仅当 4x  a 
，即 x  3，解得 a  36 ．
x
a  b
5．(2015 陕西)
 
设f (x)  ln x 
 
，0  a  b 
 
，若p  f (
1
ab ) ， q 

f (
) ，
2
r 
( f (a)  f (b)) ，则下列关系式中正确的是
2
2
a
a
ab
ab
ab
4x 
a
x
2
ab
ab
a1a3
a1a3
3


A.
q  r  p
【答案】B
B.
q  r  p
C.
p  r  q
D.
p  r  q
【解析】∵ 0 < a < b ，∴ a + b >
，又 f (x) = ln x 在(0,+
2
) 上单调递增，故 f 
(
ab ) 
<
f ( a + b ) ，
2
即 q > p ，∵ r 
=
1 ( f (a)  f (b)) 
2
= 1 (ln a  ln b) = ln
= f ( ab ) = p ，∴ p = r < q ．
2
6．(2015 北京)设an  是等差数列．下列结论中正确的是
A．若 a1   a2   0 ，则 a2   a3   0
B．若 a1  a3  0 ，则 a1  a2  0
C．若0  a1   a2  ，则 a2  
D．若 a1   0 ，则a2   a1 a2   a3   0
【答案】C
【解析】若{an } 是递减的等差数列，则选项 A, B 都不一定正确．若{an } 为公差为 0 的等差数列，则选项 D
不正确．对于 C 选项，由条件可知{a } 为公差不为 0 的正确数列，由等差中项的性质得 a  = a1  + a3  ，由基
n
2
2
本不等式得 a1  + a3  >
，所以 C 正确．
2
7．(2014 重庆)若log（4  3a  4b） 
log2
ab ,则a  b 的最小值是
A． 6  
2
【答案】D
B． 7  
2
C． 6  
4
D． 7  4
4
3
【 解析】 由已知得 3a  4b  ab ， 且 ab  0 ， 可知 a  0, b  0 ， 所
以

 1 ( a  0, b  0 ) ，
a
b
4
3
4b
3a
4b
3a
a  b  (a  b)(    )  7 

≥ 7  4
，当且仅当

时取等号．
a
b
a
b
a
b
8．(2013 福建)若 2
x  2 
y  1 ，则 x  y 的取值范围是
A．[0,2]
【答案】D
B．[2,0]
C．[2,)
D． (,2]
【解析】本题考查的是均值不等式．因为1  2
x  2 
y  2
所以 x  y  2 ，当且仅当 2
x  2 
y ，即 x  y 时取等号．
，即 2
x y  2
2 ，
9．(2013 山东)设正实数 x, y, z 满足 x
2  3xy  4 y
2  z  0 ．则当 xy 
取得最大值时，
z
2
1
2
的最大值为
x
y
z
9
A．0
B．1
C．
4
D．3
3
3
3
3
2x  2 y
2 x2  4 y2
36
1
3






【答案】B
【解析】由 
，得 
．
所以
，当且仅当
，
即
时取等号此时
， 
．
，
故选 B．
10．(2013 山东)设正实数 x, y, z 满足 x 
2   3xy  4 y 
2   z  0 ，则当 z
xy 取得最大值时， x  2 y  z 的最大
值为
9
A．0
B．
8
【答案】C
9
C．2
D．
4
【解析】由 x
2  3xy  4 y
2  z  0 得 x
2  4 y
2  3xy  z ，
z
x
2  4 y
2
4xy

 3 
 3 
 3  1，
xy
xy
xy
xy
当且仅当 x
2   4 y
2 即 x  2 y 时， z
xy 有最小值 1，
将 x  2 y 代入原式得 z  2 y
2 ，
所以 x  2 y  z  2 y  2 y  2 y 
2  2 y 
2  4 
y ， 当 y  1 时有最大值 2．故选 C．
11．(2012 浙江)若正数 x, y 满足 x  3y  5xy ，则3x  4 y 的最小值是( )
24
28
A.
B．
5
5
C．5
D．6
【答案】C
【 解 析 】 
x  3y  
5xy
， ∴

 
5
1
1
3
1  3 x 12 y
13
， ∴
(3x
4 y) (
)
(
)
1 
 2 
 
13 
 5 ．
5
5
y
x
5
y
x
5
y
x
5
12．(2012 陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b ( a  b )，其全程的平均时速为v ，则
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
1
1
A． a  v 
B． v 
=
【答案】A
C.
< v 
<
2S
a  b
2
2
2ab
D. v 
=
2ab
a  b
2
【解析】设从甲地到乙地所走路程为 S ，则 v  S
S
 1
1   
a  b 
 
2  ab 

．
2ab


a
b
a
b
2a
2
         
 
 
∵ a  b ，∴ v 

 a ，∴ a  v 
．选 A．
a  b
2a
13．(2011 陕西)设0  a  b ，则下列不等式中正确的是
a  b
a  b
A． a  b 

B． a 

 b
2
a  b
C． a 
 b 
D．
2
2
 a  a  b  b
2
【答案】B
【解析】(方法一)已知 a  b 
和
a  b

，比较a 与
，
2
因为 a
2  (  ab )
2   a(a  b)  0 ，所以 a 
，同理由
b
2  ( ab )
2  b(b  a)  0 
得
a  b
b  a
 b ；作差法： b 

 0 ，
2
2
a  
b
所以
2
a  b
 b ，综上可得 a 

 b ；故选 B．
2
(方法二)取 a  2 ， b  8 ，
a  b
a  b
则
 4 ，
2
 5 ，所以 a 

 b ．
2
14．(2011 上海)若 a, b  R ，且 ab  0 ，则下列不等式中，恒成立的是
A.
a
2  b
2  2ab
【答案】D
B.
a  b  
2
C．


2
a
b
D
 
．b  a  2
a
b
【解析】对于 A 取 a  b  1 ，此时 a
2  b
2  2ab  2 ，因此 A 不正确；对于 B 取
a  b  1 ，此时 a  b  2  2
 2 ，因此 B 不正确；对于 C 取 a  b  1 ，
1
1
2
此时

 2 
     
   2 ，因此 C 不正确；对于 D，∵ ab  0 ，
a
b
ab
∴ b  0 ， b  0 ，∴ b  a ≥ 
2
 2 ，D 正确．
a
a
a
b
ab
ab
ab
ab
ab
b  a
a b
3
3
xy
xy
xy
xy
3
xy
xy
4
15．(2020 江苏 12)已知5x
2 y
2  y
4  1( x, y  R) ，则 x
2  y
2 的最小值是   
  ．
4
【答案】
5
2
2
2
(5x
2  y
2 )  4 y
2 
2
25
2
2 2
2
2
4
 
【解析】4  (5x  y )  4 
y
[
]  
( x   y )  ， 故 x   y  
，
2
4
5
当且仅当5x
2  y
2  4 y
2  2 
 
，即x
2 
3 
， y
2  1 
时，取等号．∴{x
2  y
2 }

．
10
2
min
5
16．(2020 
 
天津14)
 
已知a  0,
b  0 ，且 ab  1 ，则 1   1 8
的最小值为
．
 
 
【答案】4
2a
2b
a  b
 
【思路导引】根据已知条件，将所求的式子化为a  b 
2
8
a  
b
，利用基本不等式即可求解．
【解析】 a  0,b  0,a  b  0 
 
，ab  1 ， 
1
  1  
8
  ab  ab 
8
2a
2b
a  b
2a
2b
a  b
 a  b 
2
8
 2
a  b
 4 ，当且仅当 a  b =4 时取等号，结合 ab  1 ，解得
a  2 

3,b  2 
 
，或a  2 
3, b  2 
时，等号成立，故答案为： 4 ．
17．(2019 
 
天津理13)
 
设x  0,
y  0,
x  2 y  5 ，则 
(x 1)(2 y 1) 
的最小值为
．
【答案】 4
【解析】x  0 ， y  0 ， x  2 y  5 ，
则   x    1     2   y    1     2  xy
      x      2   y     1    2  xy
      
6  2
xy

6
；
由基本不等式，
2
x  3
6  2
x  2

 4
(当且仅当
2

6
 
时，即xy  3 
 
，且x  2 y  5
时，即 y  1 
或 y  3 时，等号成立)．


2
  x    1      2   y   
  1   
故
的最小值为 4
．
a  b 8
2a  b
3
xy
xy
xy
2 xy 
6
xy
xy
3
18．(2018 天津)
 
已知a , b  R 
 
，且a  3b  6  0 
 
，则2
a   1
8
b
1
的最小值为
．
【答案】
4
2
9
9
 
【解析】由a  3b  6  0 
 
，得a  3b  6 
 
，所以2
a   1
8
b = 2
3b6 
1
≥ 
2
2
3b
= 2  2
3 = 1 
，当且
4
 
仅当2
3b6 
1
2
3b
，即b  1 时等号成立．
19．(2017 北京)已知 x  0 ， y  0 ，且 x  y  1，则 x
2  y
2 的取值范围是   
  ．
1
【答案】[ ,1]
2
【解析】由题意， u  x
2  y
2  x
2  (1 x)
2  2x
2  2x 1  2(x  1 )
2  1 
，且 x [0,1] ，又 x  0 时，
2
2
u  x
2   y
2   1 ，x  1 
时，u  x
2  y
2  1 
，当 x  1 时，u  x
2  y
2  1 ，所以 x
2  y
2 取值范围为[ 1 ,
1] ．
2
min
2
2
a
4  4b
4 1
20．(2017 天津)若 a, b  R ， ab  0 ，则
ab
【答案】4
a
4   4b
4  1
4a
2b
2 1
1
的最小值为           
 
 ．
2
2
1
2
【解析】
≥
 4ab 
≥ 4 ，当且仅当
a
 
2b
，且 ab ，即 a  
时取等
ab
ab
ab
2
2
号．
21．(2017 江苏)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为4x
万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则 x 的值是     
 
 ．
【答案】30
 
【解析】总费用为4x  600  6  4(x  900)  4  
2
x
x
 240 ，当且仅当 x  900 
，即 x  30 时等号成立．
x
22．(2017 浙江)已知 a  R ，函数 f (x) | x  4  a | a 在区间[1，4]上的最大值是 5，则 a 的取值范围
x
是      
 
 ．
【答案】(, ]
2
4
【解析】∵ x [1, 4]，∴ x 
[4, 5]
x
 
①当a ≥5 
 
时，f (x)  a  x  4  a  2a  x  4 ≤ 2a  
2
x
x
所以 f (x) 的最大值 2a  4  5 ，即 a 
(舍去)
2
4
4
 2a  4 ，
②当 a ≤ 4 时， f (x)  x 
 a  a  x ≤ 5 ，此时命题成立．
x
x
23b6  1
23b
900
x  4
x
6
8 c
5
8 c
5
8 c
5






③当 4  a  5 时， f (x)max  max{| 4  a | a,| 5  a | a} ，则
| 4  a | a ≥| 5  a | 
a
 | 4  a | a  5
| 4  a | a | 5  a | a
或
，
| 5  a | a  5
9
9
解得 a 
或a 
，
2
2
9
综上可得，实数a 的取值范围是(, ]．
2
23．(2014 浙江)已知实数 a,b,c 满足 a  b  c  0 ， a
2  b
2  c
2   1 ，则 a 的最大值是      
 
 
【答案】
3
【解析】由a  b  c  0 
 
得，a  b  c 
 
，则a
2  (b  c)
2  b
2  c
2  2bc
≤ b
2   c
2   b
2   c
2   2 b
2   c
2  ，又 a
2   b
2   c
2   1 ，所以3a
2  ≤ 2 ，解得 

6 ≤ a ≤6 
，故a 的最大
3
3
值为
．
3
24．(2014 辽宁)对于c  0 
 
，当非零实数a，b 满足4a
2  2ab  b
2  c  0 ，且使| 2a  b | 最大时，1  2  
4
a
b
c
的最小值为          
 
 ．
【答案】－1
【解析】设| 2a  b | 最大，则必须 a, b 同号，
因为4a
2  b
2  4ab  c  6ab ≤ c  3( 2a  b )
2 ，
2
故有(2a  b)
2 ≤ 4c ， c ≥ ( 2a  b )
2 ，当且仅当2a  b 时取等号，此时c  b
2 ，
2
1
2
4
4
所以
=
4 
 4(
1 
 
1 
)
2 1≥ 1 ．
a
b
c
b
b
2
b
2
25．(2014 辽宁)对于c  0 
 
，当非零实数a ，b 
 
满足4a
2  2ab  4b
2   c  0 ，且使| 2a 
 b |
的最小值为          
 
 ．
【答案】－2
【解析】 设 2a  b  t ，则 2a  t  b ，因为4a
2  2ab  4b
2  c  0 
， 所以将2a  t  b 代入整理可得6b
2  3tb  t 
2  c  0 ①，
由≥ 0 解得
≤ t ≤
，当 2a  b 取得最大值时， t 
，
3
4
5
最大时，
a
b
c
6
c
10
3c
210
5
c
4 10
c
3
4
5
代入①式得b 
，再由 2a  t  b 得 a 
，
所以



a
b
c
5

 5  5 
c
c
 (

2)
2  2 ≥2 ．
当且仅当c 
时等号成立．
2
26．(2014 湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆
数，单位：辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米/秒)、平均车长 l(单位：米)的
 
值有关，其公式为F 
76000v
．
v
2  18v  20l
(Ⅰ)如果不限定车型， l  6.05 ，则最大车流量为       
 
 辆/小时；
(Ⅱ)如果限定车型， l  5 ，则最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加   辆/小时．
【答案】1900
100
76000
76000
【解析】(Ⅰ) F 
v  20    6.05
 
  
18
v
≤
 1900 ，当且仅当v  11 时等号成立．
2 121 18
(Ⅱ) F 
76000
≤
v  20  5  
18
v
76000
 2000 ，当且仅当v  10 时等号成立．
2000 1900  100 ．
27．(2013 天津)设 a + b = 2， b>0， 则当 a =
时，
1
2 | a | | a | 取得最小值．
2 10
c
2 10
c
2 100 18
b | a |
4 | a |b
a
4
b
【答案】－2
【解析】∵ 1
 | a | 
=
a  
b
 | a | a

b
 | a |
2 | a |
b
4 | a |
b
4 | a | 4 | a |
b
≥
a
 2

a
1≥  1 1  3
4 | a |
当且仅当
b
4 | a 
|
4 | a |
4
4
 | a | , a  0 ，即 a  2, b  4 时取等号
b
故 1
2 | a 
|
| a | 
 
取得最小值时，a  2
b
28．(2013 四川)已知函数 f (x)  4x  a (x  0, a  0) 在 x  3 时取得最小值，则 a 
．
x
【答案】36
 
【解析】因为x  0, a  0 ，f (x)  4x  a  2
x
 4a ，当且仅当 4x  a 
，即 x  3 ，解得 a  36 ．
x
4x 
a
x
2 3
29．(2011 浙江)若实数 x, y 满足 x
2  y
2  xy  1 ，则 x  y 的最大值是 ．
【答案】
3
【 解析】 ∵ x
2  y
2  xy  1 ， ∴ (x  y)
2  xy  1 ， 即 (x  y)
2  ( x  y )
2 ≤1 ， ∴ (x  y)
2 ≤ 4 
，
2
3
x  y ≤
．
3
30．(2011 湖南)
 
设x, y  R ，则(x
2 

1 )( 1 4 y
2 ) 的最小值为
．
【答案】9
【解析】由柯西不等式可知(x
2 
y
2
1 )( 1
x
2
 4 y
2 )  (1  2)
2  9 ．
y
2
x
2
2 3