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重难专攻（二十一）中点弦问题
重难点题型1 椭圆中的中点弦问题
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际
情况处理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点M (x0, y0)， x0= x1+x2
2
， y0= y1+ y2
2
椭圆中的中点弦解题步骤:
第一步：若
，
是椭圆
上不重合的两点，则
，
第二步：两式相减得
，
第三步：
是直线
的斜率
，
是线段
的中点
，化简可得
，此种方法为点差法。
目录●重难点题型分布
特别提醒：
若
是椭圆
上不垂直于x 轴的两点，
是
的中点，
为椭圆的中心，则直
线
与
的斜率之积为定值
1．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为
，椭圆
与直线
交于
两点，
线段
的中点为
，若直线
的斜率为
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆
，过点
作倾斜角为
的直线与
交于
，
两点，当
为线段
的中点时，直线
（
为坐标原点）的斜率为
，则
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·江西鹰潭·一模）已知椭圆
：
的左焦点为
，如图，过点
作倾斜角为
的直线与椭圆
交于
，
两点，
为线段
的中点，若
（
为坐标原点），则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆
的右焦点和上顶点分别为点
和点A，直线
交椭圆于P，Q 两点，若F 恰好为
的重心，则椭圆的离
心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·天津宁河·模拟预测）已知椭圆
过点
，长轴长为
，过点
且斜率为
的直线与椭圆相交于不同的两点
、
．
(1)求椭圆的方程；
(2)若线段
中点的横坐标是
，求直线的斜率；
(3)在
轴上是否存在点
，使
是与
无关的常数？若存在，求出点
的坐标；若不存在，
请说明理由．
6．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知椭圆
：
，左右焦点分别为
，
，上下顶点分别为A，
B，左右顶点分别为C，D，又P，Q 是
上异于椭圆顶点的两点.
(1)若点Q 在第一象限且满足
的面积比
的面积大，求点Q 的横坐标的取值范围；
(2)若线段
的中点坐标为
，求直线
的方程；
(3)记点A 在直线
上的射影为点H，且直线
的斜率是直线
的斜率的3 倍，试判断：过点A、H、O
（
为坐标原点）三点的圆是否为定圆?若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.
重难点题型2 双曲线中的中点弦问题
双曲线用点差法，式子可以整理成：1=a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=k⋅a2
b2⋅y0
x0
1．（2025·湖南邵阳·三模）已知直线
与双曲线
相交于
，
两点，且
弦
的中点是
，则此双曲线
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知双曲线
的右焦点为
，过点
的直线交双曲线
于
、
两点.若
的中点坐标为
，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·山西临汾·二模）已知双曲线
的左焦点为
，过点
且倾斜角为
的
直线与
的左支交于
两点，
为线段
的中点，若
（
为坐标原点），则双曲线
的离心率是 .
4．已知双曲线
，斜率为
的直线与
的左右两支分别交于
两点，点
的坐
标为
，直线
交
于另一点
，直线
交
于另一点
.若直线
的斜率为
，则
的离心率
为 .
5．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线
的一条渐近线被圆
截得的弦
长为
，点
的坐标为
，点P 在圆
上，线段
的垂直平分线交线段
于点Q．
(1)求动点Q 的轨迹曲线C 的方程；
(2)斜率为
的直线m 交双曲线E 于点A，B，若弦
的中点M 恰好在曲线C 上，求点M 的坐标；
(3)记双曲线E 与曲线C 在第一象限的交点为
的平分线为n，在曲线C 上是否存在不同的点S，
T，使得点关于直线n 对称？若存在，求出S，T 所在直线方程，若不存在，请说明理由．
6．（2024·河南新乡·二模）已知
是双曲线
的右焦点，过点F 的直线与E
交于
两点（不同于E 的顶点），当直线过点
时，C 恰为
的中点．
(1)求E 的方程；
(2)设
分别为E 的左、右顶点，
与
交于点
与
交于点Q，若D 为
的中点，证明
为定值，并求出该定值．
重难点题型3 抛物线中的中点弦问题
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入抛物线方程，得y
12=2 px 1； y
22=2 px 2
；
将两式相减，可得( y1−y2)( y1+ y2)=2 p( x1−x2)；整理得：
y1−y2
x1−x2
=
2 p
y1+ y2
1．（2024·山西临汾·二模）已知抛物线
，过点
的直线与
相交于A，B 两点，且
为弦AB 的中点，则直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，已知抛物线E：
的焦点为F，过F 且斜率为1 的直线交E 于A，B 两点，线段AB
的中点为M，其垂直平分线交x 轴于点C，
轴于点N.若四边形
的面积等于8，则E 的方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·广东·模拟预测）已知
为坐标原点，点
在抛物线
上，且
.记点
的轨迹为曲线
，若直线与曲线
交于
两点，且线段
中点的
横坐标为1，则直线
的斜率为 .
4．已知抛物线
的焦点为F，Q（2，3）为C 内的一点，M 为C 上任意一点，且
的最小值为4，则p＝ ；若直线l 过点Q，与拋物线C 交于A，B 两点，且Q 为线段AB
的中点，则
的面积为 ．
5．（2025·浙江台州·二模）已知抛物线
：
的焦点为
，直线l 与抛物线
交于A，B
两点，且
为线段AB 的中点．
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)求直线l 的方程；
(3)过点
作抛物线
的两条切线，分别交l 于C，D 两点，求
面积的最小值.
6．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知O 为坐标原点，抛物线
的焦点为
，点
在C 上，且
(1)求C 的标准方程；
(2)已知直线l 交
于
两点，且
的中点为
，求直线l 的方程.
