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重难专攻（二十一）中点弦问题
重难点题型1 椭圆中的中点弦问题
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际
情况处理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点M (x0, y0)， x0= x1+x2
2
， y0= y1+ y2
2
椭圆中的中点弦解题步骤:
第一步：若
，
是椭圆
上不重合的两点，则
，
第二步：两式相减得
，
第三步：
是直线
的斜率
，
是线段
的中点
，化简可得
，此种方法为点差法。
目录●重难点题型分布
特别提醒：
若
是椭圆
上不垂直于x 轴的两点，
是
的中点，
为椭圆的中心，则直
线
与
的斜率之积为定值
1．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为
，椭圆
与直线
交于
两点，
线段
的中点为
，若直线
的斜率为
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
【分析】设
，则
，由点差法求解离心率即可.
【详解】设
，则
，
则
，两式相减可得
，
，即
，
即
，
，故
.
故选：B
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆
，过点
作倾斜角为
的直线与
交于
，
两点，当
为线段
的中点时，直线
（
为坐标原点）的斜率为
，则
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
【分析】利用点差法可得
，由
，
，可得
，可求椭圆的
离心率.
【详解】设
，所以
，
两式相减得
，即
，
又
，所以
，整理得
，
又
，
，所以
，所以
，
所以椭圆
的离心率
.
故选：D.
3．（2024·江西鹰潭·一模）已知椭圆
：
的左焦点为
，如图，过点
作倾斜角为
的直线与椭圆
交于
，
两点，
为线段
的中点，若
（
为坐标原点），则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
【分析】根据题意求出
点坐标，再利用点差法求得
，进而可得椭圆离心率.
【详解】依题意，椭圆的左焦点为
，
，
过
作
轴，垂足为
，由
，
得
，
，则
，
设
，则有
，
，
由
，两式相减得
，
则有
，
所以
.
故选：B.
4．（23-24 高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆
的右焦点和上顶点分别为点
和点A，直线
交椭圆于P，Q 两点，若F 恰好为
的重心，则椭圆的离
心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求弦中点所在的直线方程或斜率
【分析】首先设
的中点
，由点差法得
，再根据重心的性质求得点
的坐标，联立求得
椭圆的离心率，再结合条件
，即可求解.
【详解】设
，
，
的中点为点
，
，两式相减得
，
化解得
，即
，得
，
所以
，
，
，由F 恰好为
的重心，
则
，即
，得
，
，
即
，
，
所以
，则
，平方后得
，
，即
，
解得：
或
，
由条件
，得
，即
，得
，
所以
.
故选：A
【点睛】方法点睛：本题考查了求离心率的方法，①可以直接求出
求出离心率，②由条件构造关于
的齐次方程，即可求解离心率.
5．（2025·天津宁河·模拟预测）已知椭圆
过点
，长轴长为
，过点
且斜率为
的直线与椭圆相交于不同的两点
、
．
(1)求椭圆的方程；
(2)若线段
中点的横坐标是
，求直线的斜率；
(3)在
轴上是否存在点
，使
是与
无关的常数？若存在，求出点
的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，且点
【难度】0.4
【知识点】根据a、b、c 求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的定值问题、由弦中点求
弦方程或斜率
【分析】（1）由已知条件可得出关于
、
的方程组，解出
、
的值，即可得出椭圆的方程；
（2）设点
、
，则
，利用点差法可得出
，结合点
在直线
上，可得出
，代入
可得出
的值；
（3）假设在
轴上存在点
满足题设条件，设点
、
，将直线的方程与椭圆方程
联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算结合
为定值，可得出
，求出
的值，即可得出结果.
【详解】（1）由题意可得
，可得
，因此椭圆方程为
，即
.
（2）设点
、
，则
，
因为
，这两个等式作差可得
，
即
，
由题意可知，直线
的方程为
，
线段
的中点
在直线
上，所以，
，可得
，
所以
，故
，故直线的斜率为
.
（3）在
轴上存在点
，使
是与
无关的常数.
证明：假设在
轴上存在点
，使
是与
无关的常数，
因为直线过点
且斜率为
，所以，直线的方程为
，
由
得
.
设
、
，则
，
，
因为
，
，
所以
设常数为，则
，
整理得
对任意的
恒成立，
，解得
，
即在
轴上存在点
，使
是与
无关的常数.
6．（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知椭圆
：
，左右焦点分别为
，
，上下顶点分别为A，
B，左右顶点分别为C，D，又P，Q 是
上异于椭圆顶点的两点.
(1)若点Q 在第一象限且满足
的面积比
的面积大，求点Q 的横坐标的取值范围；
(2)若线段
的中点坐标为
，求直线
的方程；
(3)记点A 在直线
上的射影为点H，且直线
的斜率是直线
的斜率的3 倍，试判断：过点A、H、O
（
为坐标原点）三点的圆是否为定圆?若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)定圆，
【难度】0.65
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数、由弦中点
求弦方程或斜率
【分析】（1）由
，结合三角形的面积公式可得
，再由椭圆的方程代入计算，即
可得到结果；
（2）由点差法代入计算，即可得到结果；
（3）联立直线
与椭圆方程，即可表示出点
的坐标，然后联立直线
与椭圆方程，表示出点
的坐
标，从而表示出直线
的方程，即可得到直线
过定点
，
从而得到结果.
【详解】（1）设
，由
，得
，
所以
，即
，
又因为
，所以
，
解得
，即点Q 的横坐标的取值范围为
；
（2）设
，
，
则
，两式相减作差可得
，
即
，即
，即
，
又
，所以
，
由直线的点斜式可得
，
化简可得
，
所以直线
的方程为
；
（3）
，
，
设直线
的方程为
，
直线
的方程为
，
，
联立
，消
得
，
则
，所以
，
所以
，故
，
联立
，消
得
，
则
，
所以
，所以
，
故
，
当
，即
时，
，
则直线
的方程为
，
即
，过定点
，
当
，即
时，此时
，
直线
过定点
，
设
，因为
，
，所以过点A，H，O（
为坐标原点）三点的圆即为过点A，
，
O（
为坐标原点）三点的圆，
因为
过原点，点
，点
，
所以过点A，H，O（
为坐标原点）三点的圆是定圆
.
重难点题型2 双曲线中的中点弦问题
双曲线用点差法，式子可以整理成：1=a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=k⋅a2
b2⋅y0
x0
1．（2025·湖南邵阳·三模）已知直线
与双曲线
相交于
，
两点，且
弦
的中点是
，则此双曲线
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
【分析】利用点差法，求
，即可求双曲线的渐近线方程.
【详解】设
，
，
则
，两式相减得
，
，即
，即
，
所以双曲线的渐近线方程为
.
故选：C
2．已知双曲线
的右焦点为
，过点
的直线交双曲线
于
、
两点.若
的中点坐标为
，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据a、b、c 求双曲线的标准方程、由弦中点求弦方程或斜率
【分析】设
、
，由
，利用点差法求解.
【详解】解：设
、
，
若
轴，则线段
的中点在
轴上，不合乎题意，
因为线段
的中点坐标为
，则
，
则
，两式相减得
，
则
，
因为
，所以，
，
所以，
，解得
，
因此，双曲线
的标准方程为
.
故选：D.
3．（2025·山西临汾·二模）已知双曲线
的左焦点为
，过点
且倾斜角为
的
直线与
的左支交于
两点，
为线段
的中点，若
（
为坐标原点），则双曲线
的离心率是 .
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由韦达定理或斜率求弦中点
【分析】联立直线
与双曲线的方程，求出点
坐标，由给定关系求出离心率.
【详解】设双曲线
的半焦距为，则
，直线
方程为
，
由
消去
得
，
，设
，则
，
于是点
，
，
解得
，所以双曲线
的离心率
.
故答案为：
4．已知双曲线
，斜率为
的直线与
的左右两支分别交于
两点，点
的坐
标为
，直线
交
于另一点
，直线
交
于另一点
.若直线
的斜率为
，则
的离心率
为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
【分析】设
，线段AB 的中点
，代入双曲线的方程中可得
，两式相
减得
，可得
①，设
，线段CD 的中点
，同理得
②，由
，得
三点共线， 从而求得
，由此可求得双曲线的离心率.
【详解】
设
，线段AB 的中点
，
则
，两式相减得
，
所以
①，
设
，线段CD 的中点
，同理得
②，
因为
，所以
，则
三点共线，
所以
，将①②代入得：
，
即
，
所以
，即
，
所以
，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题主要考查了双曲线离心率的求解，难度较大，解答本题的关键在于结合点差法表
示出点
的坐标，从而得到
的关系式，即可求解.
5．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线
的一条渐近线被圆
截得的弦
长为
，点
的坐标为
，点P 在圆
上，线段
的垂直平分线交线段
于点Q．
(1)求动点Q 的轨迹曲线C 的方程；
(2)斜率为
的直线m 交双曲线E 于点A，B，若弦
的中点M 恰好在曲线C 上，求点M 的坐标；
(3)记双曲线E 与曲线C 在第一象限的交点为
的平分线为n，在曲线C 上是否存在不同的点S，
T，使得点关于直线n 对称？若存在，求出S，T 所在直线方程，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
或
．
(3)存在，
【难度】0.4
【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中的定直线、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、由中点弦坐
标或中点弦方程、斜率求参数
【分析】（1）根据点到直线距离及椭圆定义计算求出椭圆方程；
（2）应用点差法 计算得出
代入椭圆方程计算得出点的坐标；
（3）先联立双曲线及椭圆再得出
的方程分别为
，方法一：应用点到直线距离
结合点差法证明；方法二：应用角平分线定理计算；方法三应用角的正切的关系计算得出直线；方法四：
应用直角三角形内切圆性质求解.
【详解】（1）双曲线
的渐近线为
，
不妨取一条渐近线为
，
如，则圆心
到直线
的距离
，
从而
解得
，
故
，
所以，点Q 的轨迹C 是以
为焦点，长轴长为8 的椭圆，
因此其标准方程为
．
（2）设
则
且
，
两式相减，得
，
从而
，即
，
代入
，解得
，
故点M 的坐标为
或
．
（3）联立
解得
，
从而，
的方程分别为
，
（方法一）设
为
的平分线n 上任意一点，则
，
化简得
或
，
但平分线n 与x 轴的交点在
之间，
检验可知所求角平分线n 的方程为
．
设
的中点为
，
则
，直线
的斜率
因为
所以
，故
，
代入
得
但点
与点N 重合，即在椭圆上，矛盾！
故在曲线C 上不存在不同的点S，T，使得点S，T 关于直线n 对称．
（方法二）设
为
的平分线n 与x 轴的交点（如图），
由角平分线定理得，
，
即
，
（利用E 到
的距离相等也可），
解得
，从而所求角平分线n 的方程为
．
（以下同方法一）
（方法三）设E 为
的平分线n 与x 轴的交点（如图），
易知，
，可解得
，即
，
所以
，
从而所求角平分线n 的方程为
．
（以下同方法一）
（方法四）设
为
的内心（如图），
内切圆半径为r，
则
，
可得
，即I 的坐标为
，
从而所求角平分线n 的方程为
．
（以下同方法一）
6．（2024·河南新乡·二模）已知
是双曲线
的右焦点，过点F 的直线与E
交于
两点（不同于E 的顶点），当直线过点
时，C 恰为
的中点．
(1)求E 的方程；
(2)设
分别为E 的左、右顶点，
与
交于点
与
交于点Q，若D 为
的中点，证明
为定值，并求出该定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析；
【难度】0.15
【知识点】根据a、b、c 求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率
求参数
【分析】（1）设
，代入方程利用点差法得
，联立
求解即可
（2）直线AB 的方程为
，联立方程，根据题意结合韦达定理可证
均在直线
上，求
的坐标，利用向量的坐标运算可得
，结合几何知识即可得
的值.
【详解】（1）因为右焦点
，所以
，
设
，
因为直线过点
时，C 恰为
的中点，
由中点坐标公式得，
，
又
在双曲线上，
所以
①，
②，两式相减得
，
所以
，
因为直线的斜率为
，
又
，所以
，所以
，
故双曲线E 的方程为
.
（2）由（1）知
，且
分别为E 的左、右顶点，可知
，
由题意可知：直线AB 的斜率可以不存在，但不为0，
设直线AB 的方程为
，此时直线AB 必与双曲线相交，
设
，可知
，
联立方程
，消去x 可得
，
则
，可得
，
因为直线AM 的方程为
，直线BN 的方程为
，
则
，
可得
，则
，即
，
同理可得
，即
均在直线
上，
则
，
，
可得
，
可知
，即
，
可知
，所以
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为
；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于
（或
）的一元二次方程，注意
的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为
、
（或
、
）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
重难点题型3 抛物线中的中点弦问题
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入抛物线方程，得y
12=2 px 1； y
22=2 px 2
；
将两式相减，可得( y1−y2)( y1+ y2)=2 p( x1−x2)；整理得：
y1−y2
x1−x2
=
2 p
y1+ y2
1．（2024·山西临汾·二模）已知抛物线
，过点
的直线与
相交于A，B 两点，且
为弦AB 的中点，则直线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】抛物线的中点弦
【分析】直线与
相交于A，B 两点，且点
为弦AB 的中点，利用点差法求解.
【详解】解：设
，
因为直线与
相交于A，B 两点，所以
，
由题意得
，
故选：D
2．如图，已知抛物线E：
的焦点为F，过F 且斜率为1 的直线交E 于A，B 两点，线段AB
的中点为M，其垂直平分线交x 轴于点C，
轴于点N.若四边形
的面积等于8，则E 的方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线的中点弦
【分析】根据
求出
的坐标，然后得
的方程，令
，得
的坐标，利用直角梯形的面积求出
，可得抛物线方程.
【详解】易知
，直线AB 的方程为
，四边形OCMN 为直角梯形，且
.
设
，
，
，则
，
所以
，所以
，
，∴
.
所以MC 直线方程为
，∴令
，∴
，∴
.
所以四边形OCMN 的面积为
，∴
.
故抛物线E 的方程为
.
故选：B.
3．（2024·广东·模拟预测）已知
为坐标原点，点
在抛物线
上，且
.记点
的轨迹为曲线
，若直线与曲线
交于
两点，且线段
中点的
横坐标为1，则直线
的斜率为 .
【答案】
/0.5
【难度】0.65
【知识点】求平面轨迹方程、抛物线的中点弦、直线与抛物线交点相关问题
【分析】设直线
，则
，结合已知用
表示出
的坐标，消去参数即可得曲线
的方程，由点差法即可得解.
【详解】
显然
斜率均存在，
设直线
，则
，联立
，得
，同理
，
设
，则
，化简可得，曲线
.
设
，则
，两式相减可得，
，
则
.
故答案为：
.
4．已知抛物线
的焦点为F，Q（2，3）为C 内的一点，M 为C 上任意一点，且
的最小值为4，则p＝ ；若直线l 过点Q，与拋物线C 交于A，B 两点，且Q 为线段AB
的中点，则
的面积为 ．
【答案】 2；
．
【难度】0.65
【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中
的三角形或四边形面积问题、抛物线的中点弦
【分析】把
转化为
到准线的距离
，可得
的最小值，从而求得
，设
，
，代入抛物线方程相减求得直线
的斜率，得直线方程，可求得原点
到直线
的距离，直线
方程与抛物线方程联立消元，应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长
，从而得三角形面积．
【详解】
是抛物线的准线，过
作
于
，过
作
于
，
则
，
，易知当
是
与抛物线的交点时，
取得最小值，
所以
，
，
设
，
，显然
，
，
，
由
得
，
，
直线
方程为
，即
，
原点
到直线
的距离为
，
由
，得
，
，
，
，
所以
．
故答案为：2；
．
5．（2025·浙江台州·二模）已知抛物线
：
的焦点为
，直线l 与抛物线
交于A，B
两点，且
为线段AB 的中点．
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)求直线l 的方程；
(3)过点
作抛物线
的两条切线，分别交l 于C，D 两点，求
面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.4
【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线的中点
弦
【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标求得
，即可求解；
（2）根据点差法，结合斜率公式即可求解直线的斜率，进而可判断直线过焦点，由焦点弦公式即可求解；
（3）设设抛物线的切线方程为
，联立直线与抛物线得交点坐标关系，设
的方程为
，联立
，求出
、
，进而求得
，利用点到直线的距离公式求出
点到直线线的距离，根据三角形面积公式列关系利用导数求出最值即可.
【详解】（1）因为抛物线
：
的焦点为
，
所以
，
所以抛物线
.
（2）由题易知直线
的斜率存在．设
，则
可得
．
因为线段
的中点为
，所以
，
所以
，则
的方程为
，即
．
（3）设抛物线的切线方程为
，
，即
，由
，可得
，
，设
的方程为
，
联立
，
，同理
，
，
点到直线线的距离
，所以
，
令
，
因为
，则
，
，
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
，此时
.
6．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知O 为坐标原点，抛物线
的焦点为
，点
在C 上，且
(1)求C 的标准方程；
(2)已知直线l 交
于
两点，且
的中点为
，求直线l 的方程.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】正弦定理解三角形、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线的中点弦
【分析】（1）由点在抛物线上得A 坐标，结合正弦定理得
，即可求解；
（2）利用点差法结合中点坐标求解.
【详解】（1）过点A 作
轴于B，易知点
则
所以
在
中，由正弦定理得
得
所以
解得
，
所以C 的标准方程为
（2）当直线l 的斜率不存在时，MN 的中点不可能为
，故直线l 的斜率存在且不为零，
设直线l 的斜率为
则
,两式相减得
，整理得
因为
的中点为
,所以
，所以
所以直线l 的方程为
，即
