文档文本内容
重难点24：同角三角函数与诱导公式的运
用问题之题型归纳（九大题型总结）
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................4
题型一、基于单一三角函数值的其余三角函数值求解................................4
题型二、基于同角三角函数关系的三角函数式化简....................................5
题型三、利用同角关系证明三角恒等式........................................................7
题型四、同角三角函数正余弦和差与乘积的运用........................................8
题型五、已知正切求有关正余弦齐次式值问题..........................................10
题型六、利用诱导公式求三角函数值..........................................................12
题型七、利用诱导公式化简三角函数式......................................................13
题型八、利用诱导公式证明三角恒等式......................................................14
题型九、同角三角函数关系与诱导公式综合..............................................16
题型精析・方法突破提能力..............................................................................18
同角三角函数的核心公式（解题基础）
所有题型均基于以下 2 组关系，需牢记 “符号优先” 原则（由角所在象限确定三
角函数正负）：
平方关系：sin
2α +cos
2α =1（变形：sin
2α +cos
2α =1，cos
2α =1−sin
2α ）；
商数关系：tan α = sin α
cosα
（cosα ≠0，即α ≠π
2 +kπ )，(k ∈ℤ）。
题型
1 ：基于单一三角函数值的其余三角函数值求解
已知sin α 、cosα 、tan α 中的一个值，及角α所在象限（或范围），求另外两
个值（如 “已知sin α = 3
5 ，α ∈( π
2 ,π )，求cosα 和tan α”）。
解题步骤
步骤1：定符号：根据角α的象限，结合 “一全正、二正弦、三正切、四余弦” 确定未知
三角函数的正负；
知识网络・核心根基深扎牢
步骤2 ：用平方关系求另一个函数值：若已知sin α ，用cos
2α =1−sin
2α求\
(\cos\alpha\)（反之亦然），注意开方时保留第一步确定的符号；
用商数关系求正切值：代入tan α = sin α
cosα
计算，结果符号与第一步一致。
题型
2 ：基于同角三角函数关系的三角函数式化简
给出含sin α 、cosα 、tan α的混合式（如sin α −cosα
tan α −1
），要求化简为 “单个三
角函数” 或 “常数”，常含根号、分式或高次项。
解题步骤
步骤1：统一函数名：利用tan α = sin α
cosα
，将式中所有正切化为正弦和余弦，减少函数种
类；
消去分母 / 根号：分式通分后约分，根号内利用平方关系sin
2α +cos
2α =1化简（注意根
号开方的符号）；
步骤2：合并同类项 / 约分：消去多余项，最终化为最简形式（如sin α 、cosα或常
数）。
典型示例
题型
3 ：利用同角关系证明三角恒等式
要求证明 “左边三角函数式 = 右边三角函数式”，两侧均含sin α 、cosα、tan α
的混合项（如证明sin
4α −cos
4α =sin
2α −cos
2α ）。
解题步骤
步骤1：选择化简方向：优先化简 “较复杂的一侧”（项数多、次数高、含分式 / 根号
的一侧），或两侧同时化简为同一形式；
步骤2：用同角关系变形：对所选一侧，通过 “统一函数名”“平方关系展开”“因式分
解” 等手段化简；
步骤3：验证两侧相等：若化简后两侧完全一致（或均等于同一常数），则恒等式成立。
题型
4 ：同角三角函数正余弦和差与乘积的运用
同角三角函数的正余弦和差与乘积，本质是通过 “完全平方公式” 关联，核心等式
如下：
和的平方：(sin α +cosα )
2=sin
2α +2sin α cosα +cos
2α =1+2sin α cosα；
差的平方：(sin α −cosα )
2=sin
2α −2sin α cosα +cos
2α =1−2sin α cosα；
和差与乘积的转化：
已知sin α +cosα =k ，则sin α cosα = k
2−1
2
；
已知sin α −cosα =m，则sin α cosα = 1−m
2
2
；
已知sin α cosα =n，则sin α +cosα =± ❑√1+2n，sin α −cosα =± ❑√1−2n（符号由
(α )所在象限确定）。
题型
5 ：已知正切求有关正余弦齐次式值问题
正余弦齐次式是指式子中每一项的正余弦次数之和相等的三角函数式，常见类型：
一次齐次式：如asin α +bcosα（每顶次数和为 1）；
二次齐次式：如asin
2α +bsin α cosα +c cos
2α（每顶次数和为 2）；
齐次分式：如asin α +bcosα
c sin α +d cosα
（分子分母均为一次齐次式）、asin
2α +bsin α cosα
c cos
2α +d sin
2α
（分
子分母均为二次齐次式）。
这类式子的关键特性：可通过 “除以cosα（一次齐次式）” 或 “除以cos
2α（二次齐
次式）”，将所有项转化为tan α的表达式，进而代入已知值计算。
题型
6 ：利用诱导公式求三角函数值
已知某锐角或特殊角的三角函数值，求 “任意角（如负角、大于90
∘的角、含π的
角）” 的三角函数值，如 “已知sin30
∘= 1
2 ，求sin 210
∘、cos(−150
∘)的值”。
解题步骤
步骤1：将目标角拆分为 “诱导公式形式”：把目标角写成 “k ⋅π
2 +α”（k ∈ℤ，α
为锐角或特殊角）；
步骤2：按 “奇变偶不变” 判断函数名是否改变：确定k的奇偶性，变名或保留原函数
名；
步骤3：按 “符号看象限” 确定结果正负：将α 视为锐角，判断“k ⋅π
2 +α” 所在象
限，结合函数符号规律定号；
步骤4：代入已知值计算：将\(\alpha\)的三角函数值代入，得到结果。
题型
7 ：利用诱导公式化简三角函数式
给出含多个任意角的三角函数式（如sin(π +α )、cos( 3 π
2 −α )），要求化简为
“仅含锐角α 的三角函数式”或“常数”，如化简sin(π −α )cos(2π −α )
tan(π +α )cos(−α )
。
解题步骤
步骤1：逐个处理式子中的诱导公式项：对每个三角函数，按 “奇变偶不变，符号看象
限” 化简；
步骤2：利用同角三角函数关系辅助化简：结合tan α = sin α
cosα 、sin
2α +cos
2α =1等，消去
多余项；
步骤3：合并同类项或约分：最终化为最简形式（含单个三角函数或常数）。
题型
8 ：利用诱导公式证明三角恒等式
要求证明 “左边三角函数式 = 右边三角函数式”，且两边均含多个任意角的三角函
数（需用诱导公式化简后验证等式成立），如证明sin(π −α )sin(π +α )=sin
2α。
解题步骤
步骤1：选择化简方向：优先化简 “较复杂的一侧”（项数多、角的形式复杂的一侧），
或两侧同时化简；
步骤2：对两侧分别用诱导公式化简：按 “定号→变名” 步骤处理每个三角函数；
步骤3：化简后验证两侧是否相等：若化简后两侧表达式完全一致（或均等于同一常
数），则等式成立。
【例题1】若
sinθ
1−cosθ =2，则sinθ =（ ）
A．4
5
B．−4
5
C．3
5
D．−3
5
【1-1】已知α是锐角，❑√3sinα +2❑√2cosα = ❑√11，则sinα =（ ）
A．
❑√77
11
B．
❑√33
11
C．
❑√55
11
D．
❑√11
11
【1-2】已知角θ∈[0,π)，且满足sinθ+2cosθ =0，则sinθ的值为（ ）
A．2❑√5
5
B．−2❑√5
5
C．
❑√5
5
D．−
❑√5
5
【1-3】化简cosα
1+sinα −cosα
1−sinα =（ ）
实战演练・能力进阶攀高峰
题型一、基于单一三角函数值的其余三角函数值求解
典例探究
举一反三
题型二、基于同角三角函数关系的三角函数式化简
典例探究
【例题2】化简cosα tanα =（ ）
A．cosα
B．cos
2α
C．sinα
D．sin
2α
【2-1】已知α为第二象限角，则x = sin α
|sin α ) +
❑√1−sin
2α
cosα
的值是（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
【2-2】❑√2+2cos8+2❑√1−sin 8的化简结果是（ ）
A．4 cos 4−2sin 4
B．2sin 4
C．2sin 4−4 cos 4
D．−2sin 4
【2-3】化简：
sin α
1−cosα ⋅❑√
tan α −sin α
tan α +sin α
．
【例题3】求证：
(1)1−2sin x cos x
cos
2 x−sin
2 x
= 1−tan x
1+ tan x ；
(2)sin
4 x +cos
4 x =1−2sin
2 x cos
2 x.
举一反三
题型三、利用同角关系证明三角恒等式
典例探究
举一反三
【3-1】证明：cot
2α −cos
2α =cot
2α ⋅cos
2α．
【3-2】证明下列恒等式：2cos
2θ+sin
4θ =cos
4θ+1．
【3-3】求证：
（1）1+ tan
2α =
1
cos
2α
；
（2）sin
4α −cos
4α =sin
2α −cos
2α；
（3）tan
2α sin
2α = tan
2α −sin
2α.
【例题4】已知sinθ+cosθ =
❑√5
2
，则sinθcosθ =（ ）
A．−1
8
B．−1
4
C．1
8
D．1
4
【4-1】已知α是第二象限角,sin α cosα =−1
5
,则cosα −sin α =
A．
❑√35
5
B．−
❑√35
5
题型四、同角三角函数正余弦和差与乘积的运用
典例探究
举一反三
C．−
❑√35
5
或
❑√35
5
D．7
5
【4-2】已知sin α −cosα =−1
3
，则sin α cosα =（ ）
A．2
9
B．4
9
C．2
3
D．8
9
【4-3】已知sinα cosα =−1
8
，α ∈(0,π)，则sinα −cosα =（ ）
A．
❑√5
2
B．−
❑√5
2
C．
❑√3
2
D．−
❑√3
2
【例题5】已知sinθ =−2cosθ，则3+cos
2θ
sinθcosθ =（ ）
A．−6
B．−1
2
C．8
D．−8
【5-1】若tan α =3，则sin2α −2cos
2α =（ ）
A．−2
5
B．2
5
C．−6
5
D．6
5
【5-2】已知tanα
tanα −1 =−1，则sin
2α +sinα cosα +2=（ ）
题型五、已知正切求有关正余弦齐次式值问题
典例探究
举一反三
A．2
3
B．12
5
C．3
4
D．13
5
【5-3】若tanα = 1
4 ，则cosα
sin
3α +sinα cos
2α +cosα
=（ ）
A．5
8
B．8
5
C．5
4
D．4
5
【例题6】已知cos(
9π
2 −α)= 7
8
，则sin(3π+α )=（ ）
A．−7
8
B．7
8
C．−
❑√15
8
D．
❑√15
8
【6-1】cos(−10π
3 )=（ ）
A．
❑√3
2
B．−
❑√3
2
C．1
2
D．−1
2
【6-2】sin 400°cos20°−cos40°cos110° =（ ）
A．−
❑√3
2
B．
❑√3
2
C．−1
2
D．1
2
题型六、利用诱导公式求三角函数值
典例探究
举一反三
【6-3】若sin(5π−α )=
❑√2
3
，则sin α =（ ）
A．
❑√7
3
B．
❑√2
3
C．−
❑√2
3
D．−
❑√7
3
【7-1】化简sin(π−α )
tan(π+α ) ⋅
cot(
π
2 −α)
cos(
π
2 +α)
= .
【7-1】化简：sin(α + π
2 )tan(π +α )cos(π −α )
cos(−α )tan(π −α )
= ．
【7-2】已知tanα =3，则
sin(
π
2 −α)−cos(−π−α )
sin(π−α )+cos(
3π
2 +α)
= .
题型七、利用诱导公式化简三角函数式
典例探究
举一反三
【7-3】化简：
sin(π
2 +α )⋅sin(π−α )⋅tan α
2cos( 3π
2 −α )⋅cos(5π−α )⋅tan(3π−α )
= ．
【例题8】求证：sin α
1+cosα = 1−cosα
sin α
.
【8-1】已知：asin α +bcosα =c，acosα −bsin α =d，求证：a
2+b
2=c
2+d
2．
【8-2】求证：当k =2或3 时，
tan(k π−α )tan(k π+α )
cos(2k π−α )sin[(2k +1)π+α ] = sin α
cos
3α
.
【8-3】求证：sin α
cos
2α
−2sin α +cos
2α sin α = sin
5α
cos
2α
．
题型八、利用诱导公式证明三角恒等式
典例探究
举一反三
【8-4】求证：
tan(2π−a)cos(
3π
2 −a)cos(6π−a)
sin(a+ 3π
2 )cos(a+ 3π
2 )
=−tan a
【例题9】若π
2 <α <π，则cosα ❑√
1−sin α
1+sin α −❑√1−2sin α cosα =（ ）
A．sin α +1
B．2cosα +sin α
C．−sin α −cosα
D．cosα −1
【9-1】若tanθ−1
2tanθ+1 =1．则1
2 cos2θ+2的值为（ ）
A．−17
10
B．17
10
C．−2❑√5
5
D．2❑√5
5
【9-2】已知cosθ = 3
5
，且θ是第四象限的角，则sin2θ
cos2θ+1
的值为 .
【9-3】已知sinθ−cosθ = 1
5 ,π<θ<2π，则（ ）
A．sin2θ = 24
25
B．π<θ< 3π
2
C．cos2θ =−7
25
D．cos(2θ−π
4 )= 31❑√2
50
题型九、同角三角函数关系与诱导公式综合
典例探究
举一反三
【突破提升训练・1】设sinθ−cosθ =
❑√2
3 ，则sinθ⋅cosθ =（ ）
A．−7
18
B．−1
18
C．1
18
D．7
18
【突破提升训练・2】sin2025
∘+
❑√2
2 tan2025
∘=（ ）
A．❑√2
B．
❑√2
2
C．0
D．−❑√2
【突破提升训练・3】已知cosα = 3
5
，则sin(
3
2 π−α)=（ ）
A．4
5
B．−4
5
C．3
5
D．−3
5
【突破提升训练・4】已知tan α =2，则sin α cos2α
sin α −cosα
＝（ ）
A．−6
5
B．6
5
C．6
D．－6
【突破提升训练・5】已知0<α <π
2
，0< β <π
2
，且3cosα =cos(α −2 β)，则tan α的最
小值为（ ）
A．2
B．2❑√2
C．4
D．4 ❑√2
【突破提升训练・6】若点P(4 ,−3)在角α的终边上，则cos(2α −3π)⋅tan(α −π)
sin(π−α )
=
题型精析・方法突破提能力
（ ）
A．−7
20
B．7
20
C．−7
25
D．7
25
【突破提升训练・7】已知tan α =3，且α在第一象限，则cosα = ．
【突破提升训练・8】已知tan α =−3
4
，α ∈(0,π)，则sin α −cosα = ．
【突破提升训练・9】已知cosα =−4
5 ,α ∈(0,π )，则tan α = .
【突破提升训练・10】已知tan x =2, x∈(π , 3 π
2 )，则cos x= .
【突破提升训练・11】已知sin α +cosα =−1
3
，则sin α cosα = ．
【突破提升训练・12】设sinθ−cosθ =
❑√2
3
，则sinθ⋅cosθ =
【突破提升训练・13】已知tanα = 3
4
，则sinα −4cosα
5sinα +2cosα
的值为 .
【突破提升训练・14】若tanα =1，则sinα +cosα
2sinα −cosα = .
【突破提升训练・15】已知tan α =2，则sin
2α −sin α cosα = .
【突破提升训练・16】已知sinα = 1
3，则cos(α +π
2 )= ．
【突破提升训练・17】化简：
cos(π+α )cos(
π
2 +α)
sin(−π
2 −α)
= .
【突破提升训练・18】（1）化简：
❑√1+2sin10
°cos10
°
cos10
°+
❑√1−cos
210
°
.
（2）已知α是第三象限角，且tan α是方程x
2−x−2=0的一个实根，求
sin
2α −2sin α cosα +3cos
2α的值.
【突破提升训练・19】化简：1−2sin α cosα
cos
2α −sin
2α
⋅1+2sin α cosα
1−2sin
2α
.
【突破提升训练・20】（1）化简：sin
2α ⋅tan α + cos
2α
tan α +2sin α ⋅cosα.
（2）求证：tan α ⋅sin α
tan α −sin α = tan α +sin α
tan α ⋅sin α
.
【突破提升训练・21】化简：
(1)
sin(2π+α )cos(π+α )
cos(π
2 +α )
；
(2)sin(360
∘+α )
cos(360
∘−α )
.
【突破提升训练・22】化简：
sin(π−α )cot(
π
2 −α)cos(−α )
tan(π+α )tan(
π
2 +α)sin(2π−α )
.
【突破提升训练・23】求证：
cos(π −θ)
cosθ[sin(
3 π
2 −θ)−1)
+
cos(2π −θ)
cos(π +θ)sin(
π
2 +θ)−sin(
3 π
2 +θ)
=
2
sin
2θ ．
【突破提升训练・24】求证:tan(π −α )cos(2π −α )sin(
3
2 π −α)
cos(−π −α )sin(π +α )
=1
.
【突破提升训练・25】证明：
tan(2π−x)sin(−2π−x)cos(6π−x)cos(π−x)
sin(x + 3π
2 )cos(
π
2 −x)
=sin x．
【突破提升训练・26】证明：2sin (α +nπ )cos(α −nπ )
sin (α +nπ )+sin (α −nπ ) =(−1)
ncosα，n∈Z．
