重难点29：解三角形图形之培优类题型归
纳（十二大培优题型总结）
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................3
题型01、解三角形图形之妙用两次正弦定理...............................................3
题型02、解三角形图形之妙用两次余弦定理...............................................4
题型03、解三角形图形之张角定理...............................................................5
题型04、解三角形图形之高线问题...............................................................6
题型05、解三角形图形之角平分线问题.......................................................6
题型06、解三角形图形之中线问题...............................................................7
题型07、解三角形图形之等面积法...............................................................8
题型08、解三角形图形之重心问题...............................................................6
题型09、解三角形图形之外心及外接圆问题...............................................7
题型10、解三角形图形之内心及内接圆问题...............................................6
题型11、解三角形图形之两边夹问题...........................................................7
题型12、解三角形图形之证明类问题...........................................................7
题型精析・方法突破提能力................................................................................9
知识点：解决三角形图形类问题的方法：
1.两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性
质解题；
2.等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单
的问题，相似是三角形中的常用思路；
3.正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
4.构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系
知识网络・核心根基深扎牢
的不错选择；
5.平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运
算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
6.建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使
得问题更加直观化.
题型01 解三角形图形之妙用两次正弦定理
解三角形图形之妙用两次正弦定理的解题策略
1.识别共角/共边关联图形：分析图形结构，找出含公共角或公共边的两个三角形，明确两
三角形中已知量、待求量，标注边与角的对应关系。
2.两次用定理建等式求解：对两个三角形分别列正弦定理表达式，利用共角正弦值相等或
共边长度相等联立等式，消去中间量，计算得待求量并验证。
1．如图，四边形ABCD中∠BAC =90
∘，∠ABC =60
∘，AD⊥CD，设∠ACD =θ．
（1）若△ABC面积是△ACD面积的4倍，求sin2θ;
（2）若tan ∠ADB = 1
2
，求tanθ.
2．如图，四边形ABCD中∠BAC =90
∘，∠ABC =30
∘，AD⊥CD，设∠ACD =θ.
（1）若ΔABC面积是ΔACD面积的4 倍，求sin 2θ；
实战演练・能力进阶攀高峰
（2）若∠ADB = π
6
，求tanθ.
3．在①AB =2 AD，②sin ∠ACB =2sin ∠ACD，③S△ABC =2S△ACD这三个条件中任选
一个，补充在下面问题中，并解答.
已知在四边形ABCD 中，∠ABC +∠ADC =π，BC =CD =2，且______.
(1)证明：tan ∠ABC =3 tan ∠BAC；
(2)若AC =3，求四边形ABCD 的面积.
4．如图，在平面四边形ABCD中，∠BCD =π
2 ，AB =1，∠ABC = 3π
4
.
(1)当BC = ❑√2，CD = ❑√7时，求△ACD的面积；
(2)当∠ADC =π
6
，AD =2时，求cos∠ACD.
题型02 解三角形图形之妙用两次余弦定理
解三角形图形之妙用两次余弦定理的解题策略
1.定位共边/共角的关联三角形：剖析图形，找到含公共边或公共角的两个三角形，明确各
三角形的已知边、角及待求量，标注边与角的对应关系。
2.两次用定理联立求解：对两个三角形分别列余弦定理表达式，利用公共边相等或公共角
余弦值相等联立等式，消去中间量，计算待求量并验证合理性。
5．在平面四边形ABCD中，∠ABD =∠BCD =90
∘，∠DAB = 45
∘.
（1）若AB =2，∠DBC =30
∘，求AC的长；
（2）若tan ∠BAC = 3
4
，求tan∠DBC的值.
6．如图，四边形ABCD中，cos∠BAD = 1
3
，AC = AB =3 AD．
(1)求sin ∠ABD；
(2)若∠BCD =90°，求tan ∠CBD．
7．如图，梯形ABCD中，AB//CD，AD =2❑√3,BC =2．
(1)求证：sinC = ❑√3sin A；
(2)若C =2 A，AB =2CD，求梯形ABCD的面积．
8．在△ABC中，AB = 4，AC =2❑√2，点D 为BC的中点，连接AD并延长到点E，使
AE =3 DE.
(1)若DE =1，求∠BAC的余弦值；
(2)若∠ABC =π
4
，求线段BE的长.
题型03 解三角形图形之张角定理
解三角形图形之张角定理的个数的解题策略
1.识别张角定理适用图形：确认图形中存在一点对某线段两端点形成张角，且该点与线段
构成的两个小角已知或关联，明确已知边长、角度及待求量。
2.代入定理列等式求解：按张角定理sin α
b
+ sin β
a
= sin(α + β)
c
（对应边与角匹配）列等
式，代入已知量计算待求边/角，验证符合图形逻辑。
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知点D 在BC边上，AD⊥AC，
sin ∠BAC = 2❑√2
3
， AB =3 ❑√2，AD =3，则CD = .
10．在△ABC中，角A 、B、C所对的边分别为a、b、c，AD是∠BAC的角平分线，
若∠BAC =π
3 ，| AD|=2❑√3，则2b+c的最小值为
11．已知AD 是△ABC的∠A角平分线，cos∠BAC = 3
4
，AB =5，AC =2，则AD =
.
12．在△ABC中，角A 、B、C的对边分别为a、b、c，∠ABC =120°，∠ABC的平
分线交AC于点D，且BD =1，则a+c的最小值为 .
题型04 解三角形图形之高线问题
解三角形图形之高线问题的解题策略
1.定位高线关联的直角三角形：明确高线将原三角形分成两个直角三角形，标注公共高线
及对应的锐角、直角边（原三角形的边），确定已知量与待求量。
2.用三角函数或定理求解：在直角三角形中用锐角三角函数（如sin A =对边/斜边）求高
线；或结合面积公式S = 1
2 ah反求，验证结果符合直角三角形性质。
13．在△ABC中，C =π
6 ,CA边上的高等于
❑√3
2 CA，则sin B =（ ）
A．
❑√3
2
B．1
2
C．
❑√3
3
D．1
3
14．△ABC 中，BD 是AC 边上的高，A = π
6 ，cos B =−5 ❑√13
26
，则BD
AC =（ ）
A．
❑√3
9
B．
❑√13
9
C．
❑√3
3
D．
❑√13
3
15．在△ABC中，角A ,B ,C的对边为a，b，c，sin A +cos A =2❑√2sin B，且
a
2+c
2−b
2= ❑√3ac.
(1)求A；
(2)若△ABC的周长为3+ ❑√3+ ❑√2，求AB边上的高.
16．记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知tan B = 1
2 tanC.
(1)求c
2−b
2
a
2
的值；
(2)若a= ❑√21，且△ABC的周长为7+ ❑√21，求边b上的高.
题型05 解三角形图形之角平分线问题
解三角形图形之角平分线问题的解题策略
1.明确角平分线及关联条件：标注角平分线分得的等角，确定角平分线长度、所分对边的
两段比例（角平分线定理），明确已知边、角及待求量。
2.用定理或面积法求解：用角平分线定理AB
AC = BD
DC 求边的比例；或用面积和（
S∆ABD+ S∆ACD= S∆ABC）求角平分线长度，验证合理性。
17．在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，a=2，∠C =2π
3
，CD 是∠C
的角平分线，且CD =1，则AB =（ ）
A．2❑√3
B．❑√3
C．2
D．1
18．在△ABC中，∠BAC =90°，AD 是∠BAC的角平分线，AB =3，AC = 4，E 是AC
的中点，则DE 的长度为（ ）
A．2❑√37
7
B．2❑√17
7
C．
❑√37
7
D．
❑√17
7
19．在△ABC中，AC =2 AB，AE为BC边上的中线，点E在BC边上，设AE =tAB．
(1)当∠BAC = 2π
3
时，求t的值；
(2)若AD为∠BAC的角平分线，且点D也在BC边上，求DE
BC
的值；
20．在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别a，b，c，且bcos A +acos B =−2c cos A
(1)求角A 的值；
(2)若sin B =3sinC，BC 边上的中线长为1，AD为角A 的角平分线，求CD的长．
题型06 解三角形图形之中线问题
解三角形图形之中线问题的解题策略
1.明确中线及关联条件：标注中线分对边为相等两段的特征，确定中线长度、原三角形三
边及相关角，明确已知量与待求量，可构造辅助线（如倍长中线）转化问题。
2.用中线定理或构造法求解：用中线定理A B
2+ A C
2=2 A D
2+2B D
2求中线或边长；或向
量方法，结合正余弦定理计算，验证结果合理性。
21．在△ABC中，已知AC =5, AB =3,BC =7 , AD是BC边上的中线，则AD =（ ）
A．15
4
B．
❑√19
2
C．7
2
D．15
7
22．在△ABC中，AB =2❑√2，AC = ❑√6，BC边上的中线AD = ❑√5，则△ABC的面积S 为
( )
A．
❑√39
4
B．
❑√23
4
C．
❑√39
2
D．
❑√23
2
23．已知△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
sinC cosB−cosC sin B
sin B+sinC
= b
a.
(1)求c
b
的值；
(2)若sin A :sin B = ❑√3:1，求A；
(3)若a= ❑√3，且边BC上的中线AD =
❑√7
2
，求△ABC的周长.
24．已知△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，2acos B =2c +b．
(1)求A；
(2)若a= 4 ,b+c =2❑√5，求△ABC中BC 边中线AD 长．
题型07 解三角形图形之等面积法
解三角形图形之等面积法的解题策略
1.确定面积表达的不同维度：明确可通过不同边及对应高、两边及夹角等表示面积，标注
已知的边、高、角，确定待求量（高、边、角等）及关联的面积表达式。
2.联立面积等式求解：根据面积相等列等式，代入已知量计算待求量；结合三角形边角关
系验证，确保结果符合实际。
25．已知△ABC 中，a,b,c分别为内角A ,B ,C的对边，且
2asin A =(2b+c)sin B+(2c +b)sinC.
(1)求角A的大小；
(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC 的角平分线，且AD =2，b=3，求△ABC 的
面积.
26．已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
2asin A =(2b+c)sin B+(2c +b)sinC．
(1)求A 的大小；
(2)设点D 为BC 上一点，AD 是△ABC 的角平分线，且AD = 4，AC =6，求△ABC 的
面积．
27．在△ABC中，设角A，B，C 所对的边长分别为a，b，c，且
(c−b)sinC =(a−b)(sin A +sin B)．
（1）求A；
（2）若D 为BC上点，AD平分角A，且b=3，AD = ❑√3，求BD
DC
．
28．已知锐角△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且a
b+c = sin B−sinC
sin A −sinC
．
(1)求B；
(2)若b= ❑√6，角B的平分线交AC于点D，BD =1，求△ABC的面积．
题型08 解三角形图形之重心问题
解三角形图形之重心问题的解题策略
1.明确重心及核心性质：标注重心是三条中线交点，其分中线比为2:1（顶点到重心:重心到
对边中点），确定已知的中线长度、三角形边/角及待求量。
2.结合中线定理求解：用重心分中线比例求中线各段长度；或先借中线定理求中线全长，
再按2:1 分配得重心相关线段，结合正余弦定理补全求解并验证。
29．在△ABC中，角A､B､C 所对的边分别为a､b､c，若a=2，B = π
3
，C = 5 π
12
，点O､H 分
别为△ABC的外心和重心，则|OH )的值为（ ）
A．
❑√3−1
3
B．❑√3−1
C．
❑√3+1
3
D．❑√3+1
30．在钝角△ABC中，a,b,c分别是△ABC的内角A ,B ,C所对的边，点G是△ABC的重
心，若AG⊥BG，则cosC的取值范围是（ ）
A．(0,
❑√6
3 )
B．[
4
5 ,
❑√6
3 )
C．(
❑√6
3 ,1)
D．[
4
5 ,1)
31．已知△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且3c
2=a
2+8b
2．
(1)求cos B的最小值；
(2)若M 为△ABC的重心，∠AMC =90°，求sin ∠AMB
sin ∠CMB
．
32．记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知
❑√3asin B−acosC =ccos A ,b= ❑√6,G为△ABC的重心．
(1)若a=2，求c的长；
(2)若AG =
❑√3
3
，求△ABC的面积．
题型09 解三角形图形之外心及外接圆问题
解三角形图形之外心及外接圆问题的解题策略
1.明确外心及外接圆核心性质：标注重心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等（即
外接圆半径R），确定已知边、角及待求量（R 或顶点距离等）。
2.用正弦定理求解并验证：根据正弦定理
a
sin A =2 R，代入已知边a和对角A 求R；或结
合垂直平分线性质定位外心，计算相关线段，验证符合外接圆特征。
33．在△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且a，b，c 是公差为2 的等差数
列.
(1)若2sinC =3sin A，求△ABC的面积.
(2)是否存在正整数b，使得△ABC的外心在△ABC的外部?若存在，求b 的取值集合；
若不存在，请说明理由.
34．在△ABC 中，三内角A，B，C 对应的边分别为a，b，c，a＝6．
(1)求bcosC＋ccosB 的值；
(2)若O 是△ABC 的外心，且❑√3⋅OA
→
+OB
→
+ ❑√2⋅OC
→
= 0
→，求△ABC 外接圆的半径．
35．在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c；3b= 4 c，cosC = 4
5
.
（1）求cos A的值；
（2）若△ABC的外心在其外部，a=7，求△ABC外接圆的面积.
36．在△ABC中，角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，(tan A +1)(tan B+1)=2，
c =2❑√2，a=2，O为△ABC的外心，连接OA，OB，OC．
（1）求△OAB的面积；
（2）过B作AC边的垂线交于D点，连接OD，试求cos∠OBD的值．
题型10 解三角形图形之内心及内接圆问题
解三角形图形之内心及内接圆问题的解题策略
1.明确内心及内切圆核心性质：标注内心是三角平分线交点，到三边距离相等（即内切圆
半径r），确定已知边、角、面积及待求量（r 或内心相关线段等）。
2.用面积公式或定理求解：借面积公式S = pr（p 为半周长）求r；或结合角平分线定理求
线段比例，定位内心，计算相关长度，验证符合内切圆特征。
37．在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，I 为△ABC 的内心，延长线段AI
交BC 于点D，此时⃑CB =3⃑CD
(1)求sin B
sinC
；
(2)若∠ADB=2π
3
，求b+c
a
.
38．已知△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，a=7,
2c cos B =(3a−2b)cosC.
(1)求cosC；
(2)若B =2C，M 为△ABC的内心，求△AMC的面积.
39．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
2sin B =sin A +cos A ⋅tanC．
(1)求C的值；
(2)若△ABC的内切圆半径为
❑√3
2
，b= 4，求a−c．
40．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知
❑√3b=a(❑√3cosC −sinC).
(1)求A；
(2)若a=8，△ABC的内切圆半径为❑√3，求△ABC的周长.
题型11 解三角形图形之两边夹问题
解三角形图形之两边夹问题的解题策略
1.锁定两边夹结构及已知量：识别图形中“两边夹一角”或“两边夹公共边”结构，标注
已知的两边长度、夹角或关联角，明确待求的边、角或线段长度。
2.选定理列关系求解：“两边夹一角”用余弦定理求第三边；“两边夹公共边”对两三角
形分别用正弦/余弦定理，联立公共边等式消元，计算后验证符合三角形性质。
41．在ΔABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，若cos A +sin A −
2
sin B+cos B =0，
则a+b
c
的值是（ ）
A．2
B．❑√3
C．❑√2
D．1
42．在ΔABC中，已知边a,b,c所对的角分别为A ,B ,C，若
5−2cos
2B−3cos
2C =2sin A sin BsinC +sin
2 A，则tan A = ．
43．在ΔABC中，已知边a、b、c所对的角分别为A、B、C，若a= ❑√5，
2sin
2B+3sin
2C =2sin A sin BsinC +sin
2 A，则ΔABC的面积S = .
44．在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，设S 是△ABC 的面积，若b
2+c
2﹣
1
3 a
2= 4 ❑√3
3
S，则角A 的值为 ．
题型12 解三角形图形之证明类问题
解三角形图形之证明类问题的解题策略
1.明确证明目标与已知条件：梳理待证结论（如边的关系、角相等），标注已知边、角及
图形特征（如中线、角平分线），确定从边化角或角化边的证明方向。
2.用定理转化推导结论：借正余弦定理、三角恒等变换或图形性质转化已知条件，逐步向
待证结论靠拢；推导中注意边角对应，最后验证逻辑闭环确保证明成立。
45．已知△ABC的内角A ,B ,C的对边为a,b,c，且sin A −sinC
sin B
=
❑√2a−b
a+c
．
(1)求C；
(2)若2absinC =c
2tanC，求证：tan A tan B
tan A +tan B = 1
2
．
46．在△ABC中a=6,b−c =1,sinC =
❑√7
4
.
(1)求b的值及△ABC的面积；
(2)求证：A =2C.
47．在△ABC中，D为BC边上一点.
若AD =CD，
（1）若B =60
°,BA =5,BC =8，求sin∠BAD；
（2）求证：AB
AC = BD
CD ⋅sin∠C
sin∠BAD
；
48．在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，三角形面积为S，若D 为AC 边
上一点，满足AB⊥BD，BD =2，且a
2=−2❑√3
3
S+abcosC.
(1)求角B；
(2)证明：4
a + 2
c = ❑√3；
1．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，∠ABC =120° ，∠ABC 的平分
线交AC 于点D，且BD＝1，则4 a+c 的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．7
2．如图，在△ABC 中，tanC＝4．CD 是AB 边上的高，若CD2﹣BD•AD＝3，则△ABC 的面
积为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12
3．记△ABC的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，a=2b，cosC =−1
4
，AB 边上的角
平分线长度为t，则c
t =（ ）
A．3
B．6
C．3 或6
D．❑√6
4．△ABC 的内角A､B､C 的对边分别为a､b､c，若a=4，b=3，c=2，则中线AD 的长为（
题型精析・方法突破提能力
）
A．❑√5
B．❑√10
C．
❑√5
2
D．
❑√10
2
5．在△ABC中，角A 、B、C的对边分别为a、b、c，∠ABC =120°，∠ABC的平
分线交AC于点D，且BD =2，则△ABC的面积最小值为 .
6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=7，b+c =13，内切圆半径
r = ❑√3，则tan A = .
7．在ΔABC中，已知边a,b,c所对的角分别为A ,B ,C，若
2sin
2B+3sin
2C =2sin A sin BsinC +sin
2 A，则tan A =
8．如图，在平面四边形ABCD中，∠BCD = π
2 , AB =1,∠ABC = 2π
3
．
(1)若BC =2,CD = ❑√7，求△ACD的面积；
(2)若∠ADC = π
6 , AD =2，求cos∠ACD．
9．在锐角△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
2cos
22C =3−5cos2(
23 π
2
−C)
.
(1)求角C；
(2)若点D在AB上，BD =2 AD，BD =CD，求AC
BC
的值.
10．如图，在梯形ABCD中，AB //CD，AD⋅sin D =2CD⋅sin B.
(1)求证：BC =2CD；
(2)若AD = BC =2，∠ADC =120
∘，求AB的长度.
11．在四边形ABCD中，BC =1，AC =CD，AC平分
∠BCD，A B
2+ A C
2−BC
2
AC
=2 AC −❑√3 BC．
(1)求∠ACB；
(2)当BD
AB
取最大值时，求AC．
12．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，bsin A + B
2
=c sin B.
(1)求角C；
(2)若AB边上的高线长为2❑√3，求△ABC面积的最小值.
13．记△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知b+c =2asin(C +π
6 )．
(1)求A；
(2)若a=2❑√3，⃗BA ⋅⃗CA = 3
2
，∠BAC的角平分线交BC 于点D，求AD的长．
14．在锐角△ABC中，角A ,B ,C的对边分别是a，b，c，若2c−b
a
=cosB
cos A
(1)求角A的大小；
(2)若a=2，求中线AD长的范围（点D是边BC中点）.
15．如图，在△ABC中，AB =2，3sin
2B−2cos B−2=0，且点D在线段BC上．
(1)若∠ADC = 3π
4
，求AD的长；
(2)若BD =2 DC，sin∠BAD
sin∠CAD = 4 ❑√2，求△ABD的面积．
16．如图，在△ABC中，AB = 4，cos B = 1
3
，点D在线段BC上.
（1）若∠ADC = 3π
4
，求AD的长；
（2）若BD =2 DC，△ACD的面积为16 ❑√2
3
，求sin ∠BAD
sin ∠CAD 的值.
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+ ❑√3asin B =c +b．
(1)求角A的大小;
(2)若b=3，点G是△ABC的重心，且AG = ❑√21，求△ABC内切圆的半径．
18．设a，b，c 分别为△ABC的内角A，B，C 的对边，AD 为BC 边上的中线，c＝1，
∠BAC = 2π
3 ，2c sin A cos B =asin A −bsin B+ 1
2 bsinC．
(1)求AD 的长度；
(2)若E 为AB 上靠近B 的四等分点，G 为△ABC的重心，连接EG 并延长与AC 交于
点F，求AF 的长度．
19．在△ABC 中，sin A cos
∶
B tan
∶
A＝12 16 15.
∶
∶
（1）求sin C；
（2）若AB＝8，点D 为△ABC 外接圆上的动点，求⃑DA ⋅⃑DC的最大值．
20．在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知b= ❑√2，c =bcos A．
(1)求角B；
(2)求1
a + 1
c
的最小值；
(3)⊙O为△ABC的外接圆，P 为⊙O外一点，过P 点作⊙O的切线，切点分别为
E，F，求⃗PE⋅⃗PF的最小值．
21．已知在△ABC中，其角A、B、C所对边分别为a、b、c，且满足
bcosC + ❑√3bsinC =a+c．
(1)若b= ❑√3，求△ABC的外接圆半径；
(2)若a+c = 4 ❑√3，且⃗BA ⋅⃗BC =6，求△ABC的内切圆半径
22．在△ABC中，角A，B，C对应的边长为a，b，c，且sin B
sin A = a+(b−c)cosB
b+(c−b)cos A
.
(1)求角A；
(2)若a=2，b(sin B+2sinC)=6(3sin A −2sinC)，求b，c.
23．在△ABC中，点D，E 都是边BC 上且与B，C 不重合的点，且点D 在B，E 之间，
AE⋅AC ⋅BD = AD⋅AB⋅CE．
(1)求证：sin ∠BAD =sin ∠CAE．
(2)若AB⊥AC，求证：A D
2
B D
2 + A E
2
C E
2 =
2
1−sin∠DAE
．
24．已知△ABC的三边长a、b、c，三内角为A 、B、C．求证：
π
3 ≤aA +bB+cC
a+b+c
<π
2 ．
