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第03讲 数列求通项
目录
题型一： 法........................................................2
角度1：用 ，得到 .........................................2
角度2：将题意中的 用 替换.................................3
角度3：作差法....................................................3
题型二：数列前 项积 做商法.........................................6
题型三：累加法......................................................7
题型四：累乘法......................................................8
题型五：构造法......................................................9
题型六：倒数法.....................................................10
题型七：隔项等差数列...............................................11
题型八：隔项等比数列...............................................12
题型九：递推关系求通项.............................................14题型一： 法
角度1：用 ，得到
典型例题
例题1．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， ，且
．
(1)求数列 的通项；
例题2．（2023·全国·高三对口高考）根据下面的条件，求以下各个数列的通项公式：
(1)已知数列 的前n项和 满足 ；
例题3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列 的各项均为正数，其前 项和 满足
,(1)求 的通项公式；
角度2：将题意中的 用 替换
典型例题
例题1．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知 是数列 的前 项和，满足，且 .
(1)求 ；
例题2．（2023·全国·长郡中学校联考二模）已知正项数列 的前 项和为 ，且 ，
（ 且 ）.
(1)求数列 的通项公式；
角度3：作差法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）设数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
例题2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知数 满足
， 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式及前 项和 ；题型一精练核心考点
1．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模）数列 的前 项和为 ， ，若该数列满足
，则下列命题中错误的是（ ）
A． 是等差数列 B．
C． D． 是等比数列
2．（2023春·河南南阳·高二镇平县第一高级中学校考阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且满足
， ．
(1)求数列 的通项公式；
3．（2023·云南·校联考二模）正项数列 的前n项和为 ，已知 ．
(1)求证：数列 为等差数列，并求出 ， ；
4．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知各项为正数的数列 的前 项和为 ，满足
．
(1)求数列 的通项公式；5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且有 ．
求数列 的通项公式；
6．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知正项数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
题型二：数列前 项积 做商法
典型例题
例题1．（2023·四川·校联考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ,且满足 ,数
列 的前 项积 .
(1)求数列 和 的通项公式;例题2．（2023春·辽宁本溪·高二校考阶段练习）已知数列 的前 项和为
，数列 的前 项积为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项的积为 ，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）已知数列 的前n项之积为 ，且 ， ．
(1)求 的通项公式；
3．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知各项均为正数的数列 的前 项积为
，若 ， ．
(1)求 的通项公式；4．（2023春·北京海淀·高二人大附中校考期中）已知数列 的前n项和为 ， 为数列 的
前n项积，满足 （n为正整数），则 ___________； ___________．
题型三：累加法
典型例题
例题1．（2023春·广东深圳·高二深圳市耀华实验学校校考阶段练习）在数列 中， ，
，则 等于（ ）
A．4 B． C．13 D．
例题2．（2023·江苏·高二专题练习）已知数列 满足： ， ， ，则
______．
精练核心考点
1．（2023·江苏·高二专题练习）数列 中 ，且满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏·高二专题练习）数列 中， 且 ，则 _________.题型四：累乘法
典型例题
例题1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 , ,则（ ）
A． B．
C．数列 为递增数列 D．数列 为递减数列
例题2．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列 满足 ， ．
(1)求 的通项公式；
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知正项数列 满足 .求
的通项公式；
精练核心考点
1．（2023春·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考阶段练习）已知 ， ，则数列
的通项公式是 （ ）
A．n B． C．2n D．
2．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．3．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）已知 为等差数列， .
(1)求 的通项公式；
题型五：构造法
典型例题
例题1．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）已知数列 中， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 满足 ， ，求数列 的通项
公式．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 ， ，且对于 时恒有 ，求数列
的通项公式．
精练核心考点
1．（2023春·湖北·高二校联考期中）已知数列 满足 ， ．
(1)求证：数列 是等比数列；2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 _______．
题型六：倒数法
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，求 的通项公式．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，求 的通项公式．
精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式 ，且首项 ，求数列 的通项公
式．
2．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ，且 ，求其通项公式 ．题型七：隔项等差数列
典型例题
例题1．（多选）（2023春·江西·高二校联考期中）已知数列 的前 项和为 ，且 ，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列 是等比数列
C． D．
例题2．（多选）（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第十八中学校考开学考试）已知数列 的前
项和为 ，且 ， 则（ ）
A． B．
C．数列 为等差数列 D． 为奇数时，
例题3．（2023·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)求 ；
精练核心考点
1．（2023秋·天津和平·高二天津一中校考期末）已知数列 中， ， ， ，
数列 的前n项和为 .
(1)求数列 的通项公式；2．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知数列 满足 ， ， ，则数列
的前30项和为 _______.
题型八：隔项等比数列
典型例题
例题1．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知数列 满足 ， ，则 等
于（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， .
(1)设 ，求 和 的值及数列 的通项公式；
精练核心考点
1．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知数列 满足 ，且 ，
．
(1)求证： 是等比数列，并求 的通项公式；2．（多选）（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）数列 满足 ，
， ， 为数列 的前 项和，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东日照·三模）已知数列 满足： .
(1)当 时，求数列 中的第10项；
(2)是否存在正数 ，使得数列 是等比数列，若存在求出 值并证明；若不存在，请说明理由.
题型九：递推关系求通项
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足
，求数列 的通项公式．精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， ，求
.
