专题05
圆的压轴题（解析版）
1．圆的方程
(1)圆的方程①标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心坐标为(a，b)，半径为r.
②一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心坐标为
)
2
,
2
(
E
D
，半径r＝D2＋E2－4F
2
.
(2)点与圆的位置关系
①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d>r⇔点在圆外，d＝r⇔点在圆上；d<r⇔点在圆内．
②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r2(或0)作比较，大于r2(或0)时，点
在圆外；等于r2(或0)时，点在圆上；小于r2(或0)时，点在圆内．
2．直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如下表.
方法位置
关系
几何法：根据d＝|Aa＋Bb＋C|
A2＋B2
与
r 的大小关系
代数法：
2
2
2
0
Ax
By
C
x
a
x
b
r
消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号
相交
d<r
Δ>0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
3．圆与圆的位置关系
表现形式
位置关系
几何表现：圆心距d 与r1、
r2 的关系
代数表现：两圆方程联立组成的方
程组的解的情况
相离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|<d<r1＋r2
两组不同实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
类型一圆的方程
例1(1).点
1,0
P
，点Q 是圆
2
2
4
x
y
上的一个动点，则线段PQ的中点M 的轨迹方程是（
）
A．
2
2
1
1
2
x
y
B．
2
2
1
4
2
x
y
C．
2
2
1
1
2
x
y
D．
2
2
1
4
2
x
y
【答案】A
【分析】设出点M 坐标，得出Q 点坐标，代入圆方程，即可得到线段PQ的中点M 的轨迹方程.
【详解】设点M 的坐标为
,
M x y ，因为M 点是线段PQ的中点，
可得
2
1,2
Q
x
y
，点Q 在圆上，
则
2
2
(2
1)
(2 )
4
x
y
，即
2
2
1
1
2
x
y
.
故选：A.
(2).过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别为2 和3 的圆的方程为（
）
A．
2
2
2
3
0
x
y
x
y
B．
2
2
2
3
0
x
y
x
y
C．
2
2
2
3
0
x
y
x
y
D．
2
2
2
3
0
x
y
x
y
【答案】A
【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程.
【详解】设圆的方程为
2
2
2
2
0,(
4
0)
x
y
Dx
Ey
F
D
E
F
，
由题意知,圆过点
0,0 ，
2,0 和
0,3 ，
所以
0
4
2
0
9
3
0
F
D
F
E
F
，解得
2
3
0
D
E
F
，
所以所求圆的方程为
2
2
2
3
0
x
y
x
y
.
故选：A
(3).阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究
成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为
(
0,
1)
，那么点M 的轨迹就是阿波罗
尼斯圆．如动点M 与两定点
9 ,0
5
A
，
5,0
B
的距离之比为3
5 时的阿波罗尼斯圆为
2
2
9
x
y
．下面，我们
来研究与此相关的一个问题：已知圆
2
2
:
4
O x
y
上的动点M 和定点
1,0
A
，
1,1
B
，则2 MA
MB
的
最小值为（
）
A．2
10
B．
21
C．
26
D．
29
【答案】C
【分析】取点
( 4,0)
N
，推理证明得|
| 2 |
|
MN
MA
，把问题转化为求点M 到定点B，N 距离和的最小值作
答.
【详解】如图，点M 在圆
2
2
:
4
O x
y
上，取点
( 4,0)
N
，连接
,
MO MN ，有|
| 2 |
| 4
ON
OM
，
当点
,
,
O M N 不共线时，|
|
|
|
2
|
|
|
|
OM
ON
OA
OM
，又
AOM
MON
，因此AOM
∽
MON
△
，
则有|
|
|
|
2
|
|
|
|
MN
OM
MA
OA
，当点
,
,
O M N 共线时，有|
|
2
|
|
MN
MA
，则|
| 2 |
|
MN
MA
，
因此
2
2
2
|
|
|
| |
|
( 4 1)
1
26
MA
MB
MN
MB
BN
，当且仅当点M 是线段BN 与圆O 的交点时取
等号，
所以2 MA
MB
的最小值为
26 .
故选：C
(4).现有边长均为1 的正方形､正五边形､正六边形及半径为1 的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，
它们的中心的运动轨迹长分别为1l ，2l ，3l ，4l ，则（
）
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
A．1
2
3
4
l
l
l
l
B．1
2
3
4
l
l
l
l
C．1
2
3
4
l
l
l
l
D．1
2
3
4
l
l
l
l
【答案】B
【分析】由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为2π的弧长，设半径分别为r1，r2，r3，
r4，则半径为中心与顶点的距离，由正方形、正五边形、正六边形得几何特征可知1
2
2
r
，r1＜r2＜1，r3＝
r4＝1，再利用弧长公式即可得到l1＜l2＜l3＝l4．
【详解】解：由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为2π的弧长，
设半径分别为r1，r2，r3，r4，由题意可知，半径为中心与顶点的距离，
又因为正方形、正五边形、正六边形的边长均为1，圆的半径为1，
对于正方形，如图所示：
，∵∠AOB＝90°，∴1
2
2
r
；
对于正五边形，如图所示：
，∵∠AOB＝72°＜90°，∠OAB＝∠OBA＝54°＜72°，∴r1＜r2＜1；
对于正六边形，如图所示：
，∠AOB＝60°，∴△AOB 为等边三角形，∴r3＝OA＝1；
而r4＝1，
又因为l1＝2π•r1，l2＝2π•r2，l3＝2π•r3，l4＝2π•r4，
所以l1＜l2＜l3＝l4，
故选：B．
练习题
（1）已知点P 在直线
3
y
x
上运动，M 是圆
2
2
1
x
y
上的动点，N 是圆
2
2
(
9)
(
2)
16
x
y
上的动
点，则PM
PN
的最小值为（
）
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
A．13
B．11
C．9
D．8
【答案】D
【分析】根据圆的性质可得
5
PM
PN
PO
PC
，故求PM
PN
的最小值，转化为求PC
PO
的
最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.
【详解】如图所示，
圆
2
2
(
9)
(
2)
16
x
y
的圆心为
9,2
C
，半径为4，
圆
2
2
1
x
y
的圆心为
0,0
O
，半径为1，
可知
4
4,
1
1
PC
PN
PC
PO
PM
PO
，
所以
5
PM
PN
PO
PC
，
故求PM
PN
的最小值，转化为求PC
PO
的最小值，
设
0,0
O
关于直线
3
y
x
的对称点为G ，设G 坐标为
,
m n ，
则
1
3
2
2
n
m
n
m
，解得
3
3
m
n
，故
3, 3
G
，
因为PO
PG
，可得
2
2
(9
3)
(2
3)
13
PO
PC
PG
PC
GC
，
当
,
,
P G C 三点共线时，等号成立，
所以PM
PN
的最小值为13 5
8
.
故选：D.
2.“
1
a
”是“方程
2
2
2
2
2
6
5
0
x
y
ax
y
a
表示圆”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【答案】A
【分析】根据二元二次方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
表示圆的充要条件是
2
2
4
0
D
E
F
可得答案.
【详解】因为方程
2
2
2
2
2
6
5
0
x
y
ax
y
a
，即
2
2
5
3
0
2
a
x
y
ax
y
表示圆，
等价于
2
9
10
a
a
0，解得
9
a
或
1
a
.
故“
1
a
”是“方程
2
2
2
2
2
6
5
0
x
y
ax
y
a
表示圆”的充分不必要条件.
故选：A
3.已知平面内两个定点A ，B 及动点P ，若
PB
PA
（
0
且
1
），则点P 的轨迹是圆.后世把这种圆称为
阿波罗尼斯圆.已知
0,0
O
，
2
0, 2
Q
，直线1 :
2
3
0
l
kx
y
k
，直线2 :
3
2
0
l
x
ky
k
，若P 为1l ，2l
的交点，则3
2
PO
PQ
的最小值为（
）
A．3
3
B．6
3 2
C．9
3 2
D．3
6
【答案】A
【分析】由直线方程可得1
2
l
l
，则点P 的轨迹是以CD 为直径的圆，除去D 点，得到P 的轨迹方程为
2
2
2
9
3
x
y
y
，即
2
2
4
5
3
x
y
x
y
，可得
2
2
3
5
3
2
2
PQ
x
y
y
，取
5 ,0
2
A
，则
3
2 PQ
PA
，结合
3 3
2
AQ
，可得
3
2
2
2
PO
PQ
PA
PQ
AQ
，进而求解.
【详解】由已知1 :
2
3
0
l
kx
y
k
过定点
2,3
C
，
2 :
3
2
0
l
x
ky
k
过定点
2, 3
D
，
因为
1lk
k
，
2
1
lk
k
，所以
1
2
1
l
l
k
k
，即1
2
l
l
，
所以点P 的轨迹是以CD 为直径的圆，除去D 点，故圆心为
2,0
，半径为3，
则P 的轨迹方程为
2
2
2
9
3
x
y
y
，即
2
2
4
5
3
x
y
x
y
，易知O、Q 在该圆内，
又
2
2
2
2
2
2
2
2
3
9
9
5
45
9
5
45
9
2
2
4
4
4
4
4
4
4
PO
x
y
x
y
x
y
x
y
，
即
2
2
2
2
3
25
5
5
3
2
4
2
PO
x
x
y
x
y
y
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
取
5 ,0
2
A
，则3
2 PO
PA
，又
2
2
5
2
3 3
0
0
2
2
2
AQ
，
所以
3
3
2
2
2
2
3 3
2
PO
PQ
PO
PQ
PA
PQ
AQ
，
所以3
2
PO
PQ
的最小值为3 3.
故选：A.
4.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思
维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线
2
2
:
|
|
|
|
C x
y
x
y
就是一
条形状优美的曲线，若
,
P m n 是曲线C 上任意一点，则
3
m
n
的最小值是（
）
A．
2
2
B．1
C．
2
D．2
【答案】B
【分析】结合已知条件写出曲线C 的解析式，做出图，将问题转化为点到直线的距离，然后利用圆上一点
到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可求解．
【详解】当
0
x
且
0
y
时，曲线C 的方程可化为
2
2
1
1
1
2
2
2
x
y
；
当
0
x
且
0
y
时，曲线C 的方程可化为
2
2
1
1
1
2
2
2
x
y
；
当
0
x
且
0
y
时，曲线C 的方程可化为
2
2
1
1
1
2
2
2
x
y
；
当
0
x
且
0
y
时，曲线C 的方程可化为
2
2
1
1
1
2
2
2
x
y
，
曲线C 的图像如图所示；
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
因为
( , )
P m n 到直线
3
0
x
y
的距离为
2
2
|
3|
|
3|
2
1
1
m
n
m
n
d
，
所以|
3|
2
m
n
d
，
当d 最小时，易知
( , )
P m n 在曲线C 的第一象限内的图像上，
因为曲线C 的第一象限内图像是圆心为1 1
,
2 2
，半径
2
2
的半圆，
所以圆心1 1
,
2 2
到直线
3
0
x
y
的距离
2
2
1
1
3
2
2
2
2
2
1
1
d
，
所以
min
2
2
2
2
'
2
1
2
2
d
d
，
所以
3
m
n
的最小值为1.
故选：B
5.(多选题)数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美､对称美､和谐
美的结合产物.关于曲线
2
2
:
C x
y
x
y
，则下列结论正确的是（
）
A．曲线C 关于原点成中心对称图形
B．曲线C 关于x 轴，y 轴成轴对称图形
C．曲线C 上任意两点之间的距离都不超过2
D．曲线C 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于π
【答案】ABD
【分析】分类讨论去绝对值，可得曲线方程，从而可得曲线图像，最后可对命题进行判断.
【详解】当
0,
0
x
y
时，曲线方程可化为
2
2
1
1
1
2
2
2
x
y
，表示以1
2 , 1
2
为圆心，
2
2
为半径的圆在
第一象限的部分；
当
0,
0
x
y
时，曲线方程可化为
2
2
1
1
1
2
2
2
x
y
，表示以
1 1
,
2 2
为圆心，
2
2
为半径的圆在第二
象限的部分；
当
0,
0
x
y
时，曲线方程可化为
2
2
1
1
1
+ 2
2
2
x
y
，表示以
1
1
,
2
2
为圆心，2
2
为半径的圆在第三
象限的部分；
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
当
0,
0
x
y
时，曲线方程可化为
2
2
1
1
1
2
2
2
x
y
，表示以1
1
,
2
2
为圆心，
2
2
为半径的圆在第四
象限的部分；
当
0
x
时
0
y
或
1
y ；当
0
y
时
0
x
或
1
x ；图像上还有
0,0 ，
0,1 ，
0, 1
，
1,0 ，
1 0
,
这5
个点.
曲线图像如图所示:
对于A，将
,x
y
代入曲线方程有
2
2
(
)
(
)
x
y
x
y
，整理得
2
2
x
y
x
y
，所以曲线C 关于原点
成中心对称图形，故A 正确；
对于B，将
,x y
代入曲线方程有
2
2
(
)x
y
x
y
，整理得
2
2
x
y
x
y
，所以曲线C 关于y 轴成轴
对称图形，将
,x
y
代入曲线方程有
2
2
(
)
x
y
x
y
，整理得
2
2
x
y
x
y
，所以曲线C 关于x 轴成
轴对称图形，故B 正确；
对于C，如图，每个小圆半径
2
= 2
R
，
曲线上任意两点距离范围为
0,4R ，即两点距离范围为
0,2 2 ，故C 错误；
对于D，曲线C 所围成的“花瓣”形状区域可看成四个半圆和一个正方形组成，设它的面积为S，
2
2
1
4
π
(2 )
π
2
π
2
S
R
R
，故D 正确.
故选：ABD
类型二直线与圆的位置关系
例2.(1)已知直线:
4
0
l x
y
与x 轴相交于点A，过直线l 上的动点P 作圆
2
2
4
x
y
的两条切线，切点分
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
别为C，D 两点，记M 是CD 的中点，则AM 的最小值为（
）
A．2 2
B．3 2
C．17
D．3
【答案】A
【分析】设点
+4
P t
t
，
，
1
1
2
2
,
,
C x y
D x
y
，
，根据圆的切线的性质可得C，D 在以OP 为直径的圆上，
求得其圆的方程，再由C，D 在圆
2
2
4
x
y
上，可得直线CD 的方程，求得直线CD 恒过定点
11
Q ，，从
而得M 在以OQ 为直径的圆，得出圆的方程可求得AM 的最小值．
【详解】设点
+4
P t
t
，
，
1
1
2
2
,
,
C x y
D x
y
，
，因为PD，PC 是圆的切线，所以
,
OD
PD OC
PC
，
所以C，D 在以OP 为直径的圆上，其圆的方程为
2
2
2
2+
+4
+4
2
2
4
t
t
t
x
t
y
，
又C，D 在圆
2
2
4
x
y
上，则将两个圆的方程作差得直线CD 的方程：
+
+4
4
0
tx
t
y
，即
4
1
0
t x
y
y
，所以直线CD 恒过定点
11
Q ，，
又因为OM
CD
，M，Q，C，D 四点共线，所以OM
MQ
，即M 在以OQ 为直径的圆
2
2
1
1
1
+ 2
2
2
x
y
上，其圆心为
'
1 1
2 2
O
，，半径为
2
2
r =
，
所以
2
2
min
1
1
2
4
2 2
2
2
2
AM
AO
r
，所以AM 的最小值为2 2 ，
故选：A．
(2).若圆
2
2
:
12
10
25
0
C x
y
x
y
上有四个不同的点到直线:3
4
0
l
x
y
c
的距离为3，则c 的取值范围
是（
）
A．
,17
B．
17,13
C．
13,17
D．
12,18
【答案】C
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【分析】求出与直线l 平行且到直线l 的距离为3 的直线的方程分别为3
4
15
0
x
y
c
、3
4
15
0
x
y
c
，
由题意可知，这两条直线与圆C 都相交，根据直线与圆的位置关系可得出关于实数c 的不等式组，即可解得
实数c 的取值范围.
【详解】将圆C 的方程化为标准方程为
2
2
6
5
36
x
y
，圆心为
6, 5
C
，半径为6，
设与直线l 平行且到直线l 的距离为3的直线的方程为3
4
0
x
y
m
，
则
2
2
3
3
4
m
c
，解得
15
m
c
或
15
m
c
，
所以，直线3
4
15
0
x
y
c
、3
4
15
0
x
y
c
均与圆C 相交，
所以，
3 6
4 5
15
6
5
3 6
4 5
15
6
5
c
c
，解得13
17
c
，
因此，实数c 的取值范围是
13,17
.
故选：C.
(3).若直线:
2
0
l kx
y
与曲线
2
: 1 (
1)
1
C
y
x
有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（
）
A．4 ,2
3
B．4 ,4
3
C．
4
4
2,
,2
3
3
D．4 ,
3
【答案】A
【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】直线:
2
0
l kx
y
恒过定点(0, 2)
，
曲线
2
: 1
(
1)
1
C
y
x
表示以点(1,1) 为圆心，半径为1，且位于直线
1
x 右侧的半圆（包括点(1,2) ，(1,0) ）．
当直线l 经过点(1,0) 时，l 与曲线C 有两个不同的交点，此时
2
k
，直线记为1l ；
当l 与半圆相切时，由
2
|
3|
1
1
k
k
，得
4
3
k
，切线记为2l ．
分析可知当4
2
3
k
时，l 与曲线C 有两个不同的交点，
故选：A．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
(4).已知圆C ：
2
2
4
3
0
x
y
y
，一条光线从点
2,1
P
射出经x 轴反射，则下列结论不正确的是（
）
A．圆C 关于x 轴的对称圆的方程为
2
2
4
3
0
x
y
y
B．若反射光线平分圆C 的周长，则入射光线所在直线方程为3
2
4
0
x
y
C．若反射光线与圆C 相切于A ，与x 轴相交于点B ，则
2
PB
PA
D．若反射光线与圆C 交于M ，N 两点，则CNM
面积的最大值为
1
2
【答案】C
【分析】对于A，由对称的性质直接求解即可，对于B，由题意可知入射光线所在的直线过点
2,1
P
和(0, 2)
，
从而可求出直线方程，对于C，由题意可知反射光线所在的直线过点
(2, 1)
P
，则
PB
BA
P B
BA
P A
，然后由圆的性质可求出P A
，进而可求得PB
BA
的值，对于D，设
CMN
，
π
0,2
，表示弦长和弦心距，可表示出CNM
面积，从而可求出其最大值
【详解】对于A，由圆C 方程可得
2
2
2
1
x
y
，故圆心
0,2
C
，半径
1
r ，
圆C 关于x 轴对称的圆的圆心为
0, 2
C
，半径为1，
所求圆的方程为：
2
2
2
1
x
y
，即
2
2
4
3
0
x
y
y
，A 正确；
对于B，反射光线平分圆C 的周长，反射光线经过圆心
0,2
C
，
入射光线所在直线经过点
0, 2
C
，
1 2
3
2
2
C P
k
，
入射光线所在直线方程为：
3
2
2
y
x
，即3
2
4
0
x
y
，B 正确；
对于C，反射光线经过点
2,1
P
关于x 轴的对称点
2, 1
P
，
PB
BA
P B
BA
P A
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
2
1
2 3
P A
P C
，则
2 3
PB
BA
，C 错误；
对于D，设
π
0
2
CMN
，
则圆心
0,2
C
到直线
1
2
y
k x
的距离
sin
d
，
2
2 1 sin
2cos
MN
，
1
1
sin
cos
sin 2
2
2
CNM
S
MN d
，
则当
π
4
时，
max
1
2
CNM
S
，D 正确.
故选：C.
(5).设圆C 满足：①截y 轴所得弦长为2 ；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、
②的所有圆C 中.
(1)求圆心到直线1 :
2
0
l
x
y
的距离最小的圆C 的方程；
(2)在（1）的条件下，若圆C 的圆心在第一象限，将C 向左平移1个单位，向下平移1个单位，得到一个圆D ，
点M 为直线2 :
5
0
l
x
y
上一动点，过M 作圆D 的两条切线，切点分别为A 、B ，点N 为弦AB 的中点，
点
4 4
,
5 5
T
，求NT 的取值范围.
【答案】(1)
2
2
1
1
2
x
y
或
2
2
1
1
2
x
y
(2) 4 2
6 2
5
5
NT
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【分析】（1）设圆心为
,
C a b ，圆的半径为r ，根据条件①②可得
2
2
1
2
a
b
，利用基本不等式可求得圆
心到直线l 距离的最小值，结合等号成立的条件可求得圆C 的方程；
（2）设点
,
M m n ，求出直线AB 的方程，可求得直线AB 所过定点的坐标，进而可求得点N 的轨迹方程，
由圆的几何性质可求得NT 的取值范围.
【详解】（1）解：设圆心为
,
C a b ，圆的半径为r ，
因为圆C 被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，则劣弧所对的圆心角为90，
所以，
2
r
b
，
因为圆C 截y 轴所得弦长为2 ，则
2
1
r
a
，所以，
2
2
1
2
a
b
，
所以，圆心C 到直线l 的距离为
2
5
a
b
d
，
所以，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5
2
4
4
4
2
2
d
a
b
a
b
ab
a
b
a
b
b
a
≥
，
当且仅当
1
a
b
或
1
a
b
时，等号成立，则
2
2
r
b
，
所以，圆C 的标准方程为
2
2
1
1
2
x
y
或
2
2
1
1
2
x
y
.
（2）解：在（1）的条件下，由题意可知，圆C 的方程为
2
2
1
1
2
x
y
，
将C 向左平移1个单位，向下平移1个单位，得到一个圆D ，则圆D 的方程为
2
2
2
x
y
，
设点
,
M m n ，MD 的中点为
,
2 2
m n
E
，且
2
2
MD
m
n
，
所以，以MD 为直径的圆E 的方程为
2
2
2
2
2
2
4
m
n
m
n
x
y
，
则圆E 的方程为
2
2
0
x
y
mx
ny
，
将圆E 的方程与圆D 的方程作差可得
2
0
mx
ny
，
所以，直线AB 的方程为
2
0
mx
ny
，即
5
2
0
mx
m
y
，即
5
2
0
m x
y
y
，
由
0
5
2
0
x
y
y
，解得
2
5
x
y
，即直线AB 过定点
2
2
,
5
5
F
，
由垂径定理可知DN
NF
，设点
,
N x y ，则
,
DN
x y
，
2
2
,
5
5
FN
x
y
，
则
2
2
0
5
5
DN FN
x x
y y
，即
2
2
1
1
2
5
5
25
x
y
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
注意到圆
2
2
1
1
2
5
5
25
x
y
过原点，记点
1
1
,
5
5
G
，
但当点N 为坐标原点时，则线段AB 为圆D 的一条直径，
根据切线的几何性质可知，MA、MB 都与直线AB 垂直，矛盾，
所以，点N 的轨迹为圆
2
2
1
1
2
5
5
25
x
y
上去除原点后剩余的部分曲线，
易知直线TF 的直线方程为y
x
，则直线TF 过原点，
因为
2
TG
，圆G 的半径为
2
5
，
所以，
2
2
5
5
TG
NT
TG
，即4 2
6 2
5
5
NT
.
练习题
(1).若圆
2
2
:
2
4
3
0
C x
y
x
y
关于直线2
6
0
ax
by
对称，则由点
,a b 向圆所作的切线长的最小值是
（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【分析】可以用两种方法求最小值：（1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一
成一个，利用函数求最值；
（2）几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．
【详解】方法一：由
2
2
2
4
3
0
x
y
x
y
，得
2
2
1
2
2
x
y
，
依题意得圆心
1,2
C
在直线2
6
0
ax
by
上，
即
2
1
2
6
0
a
b
，整理得
3
a
b
①．
易知由点
,a b 向圆所作的切线长
2
2
1
2
2
l
a
b
②，
将①代入②，得
2
2
2
4
2
2
2
1
16
l
b
b
b
．
又
R
b
，所以当
1
b = - 时，min
4
l
．
方法二：因为过圆外一点的圆的切线长l 、半径r 和该点到圆心的距离d 满足勾股定理，
即
2
2
2
l
d
r
，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，则原问题转化成求该点与圆心的距离的最小值问
题．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
由题意知圆心
1,2
C
，半径
2
r
，点
,a b 满足
3
a
b
，即点
,a b 在直线
3
y
x
上；
所以点
,a b 与圆心的距离的最小值即圆心到直线
3
y
x
的距离d，
易求得
1
2
3
3 2
2
d
，所以切线长的最小值为
2
3 2
2
4
．
故选：C
(2).在平面直角坐标系中，直线
0
y
kx m k
与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，
2 2
AB
，若CA
CB
，
则当k ，m 变化时，点C 到点
1,1 的距离的最大值为（
）
A．4 2
B．3 2
C．2 2
D．
2
【答案】B
【分析】先求得A，B 两点坐标，根据
2 2
AB
得到
2
2
(
)
8
m
m
k
，再结合CA
CB
可得到C 轨迹为动
圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案.
【详解】由
0
y
kx m k
得
(
,0),
(0,
)
m
A
B
m
k
，
故由
2 2
AB
得
2
2
(
)
8
m
m
k
，
由CA
CB
得
0
AC BC
，设
( , )
C x y
，则(
, ) ( ,
)
0
m
x
y
x y
m
k
，
即
2
2
2
2
2
(
)
(
)
2
2
2
4
4
m
m
m
m
x
y
k
k
，即点C 轨迹为一动圆，
设该动圆圆心为( ,
)
x y
，则
,
2
2
m
m
x
y
k
，
整理得
,
2
y
k
m
y
x
，代入到
2
2
(
)
8
m
m
k
中，
得：
2
2
2
x
y
，即C 轨迹的圆心在圆
2
2
2
x
y
上，
故点（1,1）到点C 距离的最大值为
2
2
[1 0]
[1 0]
2
2
3 2
，
故选：B
(3).已知
( )
f x 是定义在R 上的增函数，函数
(
1)
y
f x
的图象关于点(1,0) 对称，若不等式
2
16
2 3
(
2)
0
f
x
f
k x
-
的解集为区间
,a b ，且
2
b
a
，则k （
）
A．
3
B．
3
C．2
D．2
【答案】B
【分析】根据条件可得函数
( )
f x 是定义在R 上的奇函数且在R 上的增函数，进而可得
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
2
16
(
2)
2 3
x
k x
，再利用数形结合即得.
【详解】∵函数
(
1)
y
f x
的图象关于点(1,0) 对称，
∴函数
( )
f x 的图象关于点(0,0) 对称，又
( )
f x 是定义在R 上的增函数，
∴函数
( )
f x 是定义在R 上的奇函数且在R 上的增函数，
由
2
16
2 3
(
2)
0
f
x
f
k x
－
，可得
2
16
2 3
(
2)
2 3
(
2)
f
x
f
k x
f
k x
-
+
，
∴
2
16
(
2)
2 3
x
k x
的解集为区间
,a b ，且
2
b
a
，
作出函数
2
16
y
x
与
(
2)
2 3
y
k x
的图象，
函数
2
16
y
x
表示圆心在原点，半径为4 的圆的上半部分，
(
2)
2 3
y
k x
表示过定点
2, 2 3
A
的
直线，
由图象结合条件可知
4
b
，又
2
b
a
，
∴
2
a
，即直线与半圆的交点N 的横坐标为2，故
2,2 3
N
，
∴
2 3
2 3
3
2
2
k
.
故选：B.
(4).数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（
0
且
1
）的点的轨迹
是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，
3 0
A , ，动点M 满
足
2
MA
MO
，得到动点M 的轨迹是阿氏圆C .若对任意实数k ，直线l ：
1
y
k x
b
与圆C 恒有公共
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
点，则b 的取值范围是（
）
A．
13, 13
B．
14, 14
C．
15, 15
D．
4,4
【答案】B
【分析】设点
,
M x y ，求出动点M 的轨迹圆C 的方程，再求出直线l 过定点坐标，依题意点
1,b 在圆C 的
内部，即可得到不等式，解得即可.
【详解】设点
,
M x y ，
2
MA
MO
，
2
2
2
2
(
3)
2
2
x
y
x
y
，
所以动点M 的轨迹为阿氏圆C ：
2
2
6
9
0
x
y
x
，
又直线
:
1
l y
k x
b
恒过点
1,b ，
若对任意实数k 直线
:
1
l y
k x
b
与圆C 恒有公共点，
1,b
在圆C 的内部或圆上，所以
2
1
15
0
b
，
所以
2
14
b
，解得
14
14
b
，
即b 的取值范围为
14, 14
.
(5).已知圆心在x 轴上的圆C 与直线: 4
3
6
0
l
x
y
切于点
3 6
,
5 5
M
.
(1)求圆C 的标准方程；
(2)已知
2,1
N
，经过原点且斜率为正数的直线1l 与圆C 交于
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
.求
2
2
PN
QN
的最大值．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
(2) 2 10
22
【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆C 的标准方程.
（2）设出直线1l 的方程，并与圆的方程联立，化简写出根与系数关系，求得
2
2
PN
QN
的表达式，结合换
元法以及基本不等式求得
2
2
PN
QN
的最大值.
【详解】（1）由圆心在x 轴上的圆C 与直线: 4
3
6
0
l
x
y
切于点
3 6
,
5 5
M
，设
,0
C a
，
直线: 4
3
6
0
l
x
y
的斜率为
4
3
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
则
6
5
3
5
CM
k
a
，所以
6
4
5
1
3
3
5
a
．
所以
1
a ，所以
1,0
C
，
2
2
3
6
1
2
5
5
CM
，即
2
r
，
所以圆C 的标准方程为
2
2
1
4
x
y
．
（2）设直线
1 :
0
l
y
kx k
，与圆联立方程组
2
2
1
4
y
kx
x
y
，
可得
2
2
1
2
3
0
k
x
x
，
2
4
12 1
0
k
，由根与系数的关系得
1
2
2
2
1
x
x
k
，
1
2
2
3
1
x x
k
，
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
1
PN
QN
x
y
x
y
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
x
kx
x
kx
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
12
4
1
2 1
4
2
10
16
1
k
k
x
x
k
x x
k
x
x
k
，
令
3
3
t
k t
（
），则
3
k
t
，
所以
2
2
12
4
4
4
4
16
16
16
16
10
1
10
1
3
6
2
6
k
t
k
t
t
t
t
t
4
16
2 10
22
2 10
6
，
当且仅当
10
t
t
，即
10
t
时取等号，此时
10
3
k
，
所以
2
2
|
|
PN
QN
的最大值为2 10
22
.
类型三圆与圆的位置关系
例3(1).已知圆
2
2
1 :
1
1
1
C
x
y
，圆
2
2
2 :
4
5
9
C
x
y
，点M、N 分别是圆
1
C 、圆
2
C 上的动点，
点P 为x 轴上的动点，则PN
PM
的最大值是（
）
A．3 5
4
B．9
C．7
D．3 5
2
【答案】B
【分析】分析可知
2
1
max
4
PN
PM
PC
PC
，设点
2 4,5
C
关于x 轴的对称点为
2
4, 5
C
，可得出
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
2
2
PC
PC
，求出
2
1
PC
PC
的最大值，即可得解.
【详解】圆
2
2
1 :
1
1
1
C
x
y
的圆心为
1 1, 1
C
，半径为1，
圆
2
2
2 :
4
5
9
C
x
y
的圆心为
2 4,5
C
，半径为3 ．
max
min
max
PN
PM
PN
PM
，
又
2
max
3
PN
PC
，
1
min
1
PM
PC
，
2
1
2
1
max
3
1
4
PN
PM
PC
PC
PC
PC
．
点
2 4,5
C
关于x 轴的对称点为
2
4, 5
C
，
2
2
2
1
2
1
1
2
4 1
5 1
5
PC
PC
PC
PC
C C
，
所以，
max
5
4
9
PN
PM
，
故选：B．
(2).已知圆
2
2
:
3
4
4
C
x
y
和两点
,0
A
m
，
,0
0
B m
m
，若圆C 上存在点P 使得
90
APB
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
则m 的最大值为（
）
A．8
B．7
C．6
D．5
【答案】B
【分析】设出P 的坐标，由圆C 上存在点P 使得
90
APB
，可构建m 的等式，解读m 的几何意义，结合
图形求出最值.
【详解】设点
,
P x y
圆C 上点P 使得
90
APB
，
0
AP BP
,
又
,
AP
x
m y
，
,
BP
x
m y
,
2
0
x
m
x
m
y
，即
2
2
2
x
y
m
0
m
2
2
m
x
y
，其意义表示为
,
P x y 到原点的距离，
又点P 在圆C 上,可知m
2
9 16
2
7
OC
,
故选：B.
(3).在平面直角坐标系xOy 中，若圆
2
2
2
1 : (
4)
(
1)
(
0)
C
x
y
r
r
上存在点P ，且点P 关于直线
1
y
x
的对
称点Q 在圆
2
2
2 : (
4)
4
C
x
y
上，则r 的取值范围是（
）
A．(3,7)
B．[3 ]
7
，
C．(3,
)
D．[3,
)
【答案】B
【分析】求出圆
1
C 关于直线
1
y
x
的对称圆的方程，由对称圆与圆
2
C 有公共点可得答案．
【详解】圆
2
2
2
1 : (
4)
(
1)
(
0)
C
x
y
r
r
的圆心为
1( 4,1)
C
，
设
1( 4,1)
C
关于直线
1
y
x
的对称点为
3( , )
C a b ，
所以
1
4
1
2
2
1
1
1
4
b
a
b
a
，解得
0
3
a
b
，
1( 4,1)
C
关于直线
1
y
x
的对称点为
3(0, 3)
C
，
由题意得，以
3
C 为圆心，以r 为半径的圆与圆
2
C 有公共点，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
所以
2
3
|
2 |
2
r
C C
r
，解得：3
7
r
.
故选：B．
(4).若圆
2
2
:
cos
sin
1
M
x
y
0
2
（
）与圆
2
2
:
2
4
0
N x
y
x
y
交于A、B 两点，则tan∠ANB
的最大值为（
）
A．1
2
B．3
4
C．4
5
D．4
3
【答案】D
【分析】分析出AB 为圆M 与圆N 的公共弦，且圆M 的半径为1，
2
AB
，
当M 的坐标为
1,0 时，
2
AB
，
2
2
2
2
10
3
cos
2
10
5
NA
NB
AB
AB
ANB
NA NB
由余弦函数的单调性确定
3
cos
5
ANB
时，
ANB
最大，此时tan
ANB
最大，最大值为4
3 .
【详解】
2
2
2
4
0
x
y
x
y
可化为
2
2
1
2
5
x
y
，
故圆N 的圆心为
1,2 ，半径为5 ，
由题意可知：AB 为圆M 与圆N 的公共弦，且圆M 的半径为1，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
所以
2
AB
且
2 5
AB
，故
2
AB
，
当M 的坐标为
1,0 时，
2
AB
，
在△NAB 中，
2
2
2
2
10
3
cos
2
10
5
NA
NB
AB
AB
ANB
NA NB
，
又
0,π
ANB
，
cos
y
x
在
π
0, 2
x
上单调递减，
故
ANB
为锐角，且当
3
cos
5
ANB
时，
ANB
最大，
又
tan
y
x
在
π π
,
2 2
x
上单调递增，
所以当
ANB
最大时，tan
ANB
取得最大值，且最大值为4
3 ，
故选：D
(5).已知圆M ：
2
2
4
2
3
0
x
y
x
y
和圆N ：
2
2
9
x
y
.
(1)若直线l 过点
0, 3
P
，且被圆M 截得的弦长为4，求l 的方程：
(2)求圆M 与圆N 的公共弦的长.
【答案】(1)
0
x
或=
3
y
(2)12 5
5
【分析】（1）先求得圆M 的标准方程，由此求得
2
d
，再分类讨论直线l 斜率存在的情况，利用点线距离
公式即可求得直线l 的方程；
（2）先由圆心距判断得两圆相交，再由圆的一般方程相减得到公共弦方程，由此利用弦长公式即可求得公
共弦长.
【详解】（1）由
2
2
4
2
3
0
x
y
x
y
得
2
2
2
1
8
x
y
，故圆M 的圆心为
2, 1
M
，半径为
2 2
r
，
设圆心M 到直线的距离为d ，由弦长公式得
2
2
2
4
r
d
，故
2
d
，
若直线l 斜率不存在，则
0
x
，此时圆心
2, 1
M
到直线l 的距离为2 ，符合题意；
若直线l 斜率存在，设直线方程为
3
y
kx
，即
3
0
kx
y
，
故
2
2
1 3
2
1
k
d
k
，解得
0
k
，则直线方程为=
3
y
，
所以直线l 得方程为
0
x
或=
3
y
.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
（2）因为圆N ：
2
2
9
x
y
，所以圆N 的圆心为
0,0
N
，
3
R
，
所以
2
2
2
1
5
MN
，
3
2 2,
3
2 2
R
r
R
r
，
故
MN
R
r
R
r
，即圆M 与圆N 相交，
联立
2
2
2
2
4
2
3
0
9
x
y
x
y
x
y
，两式相减得公共弦方程为2
3
0
x
y
，
所以圆心
0,0
N
到公共弦的距离为
1
0
0
3
3
4 1
5
d
，
又因为
3
R
，所以公共弦长为
2
2
1
9
12 5
2
2 9
5
5
R
d
.
练习题
(1).已知M 是圆
2
2
:
1
C x
y
上一个动点，且直线1 :
3
0
l
mx
ny
m
n
与直线
2
2
2 :
3
0( ,
R,
0)
l
nx
my
m
n
m n
m
n
相交于点P，则PM 的取值范围是（
）
A．[ 3
1,2 3
1]
B．[ 2
1,3 2
1]
C．[ 2
1,2 2
1]
D．[ 2
1,3 3
1]
【答案】B
【分析】根据给定条件确定出点P 的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答.
【详解】依题意，直线1 :
(
3)
(
1)
0
l
m x
n y
恒过定点
(3,1)
A
，直线2 : (
1)
(
3)
0
l
n x
m y
恒过定点
(
)
1,3
B
，
显然直线1
2
l
l
，因此，直线1l 与2l 交点P 的轨迹是以线段AB 为直径的圆，
其方程为：
2
2
(
2)
(
2)
2
x
y
，圆心
(2,2)
N
，半径2
2
r
，而圆C 的圆心
(0,0)
C
，半径1
1
r ，如图：
1
2
|
| 2 2
NC
r
r
，两圆外离，由圆的几何性质得：
min
1
2
|
|
|
|
2
1
PM
NC
r
r
，
max
1
2
|
|
|
|
3 2
1
PM
NC
r
r
，
所以PM 的取值范围是：[ 2
1,3 2
1]
.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
故选：B
(2).已知点P 在直线
4
x
y
上，过点P 作圆
2
2
:
4
O x
y
的两条切线，切点分别为A ，B ，点M 在圆
2
2
:(
4)
(
5)
1
G
x
y
上，则点M 到直线AB 距离的最大值为（
）
A．4
B．6
C．10
1
D．13
1
【答案】B
【分析】根据题意，设
( , )
P m n 为直线:
4
l x
y
上的一点，由切线的性质得点A 、B 在以OP 为直径的圆上，
求出该圆的方程，与圆O的方程联立可得直线AB 的方程，将其变形分析可得直线AB 恒过的定点，由点到
直线的距离分析可得答案．
【详解】根据题意，设
( , )
P m n 为直线
4
x
y
上的一点，则
4
m
n
，
过点P 作圆
2
2
:
4
O x
y
的切线，切点分别为A 、B ，则有OA
PA
，OB
PB
，
则点A 、B 在以OP 为直径的圆上，
以OP 为直径的圆的圆心为C( 2
m ，
)
2
n ，半径
2
2
1 |
|
2
2
m
n
r
OP
，
则其方程为
2
2
2
2
(
)
(
)
2
2
4
m
n
m
n
x
y
，变形可得
2
2
0
x
y
mx
ny
，
联立
2
2
2
2
4
0
x
y
x
y
mx
ny
，可得圆C 和圆O 公共弦AB 为：
4
0
mx
ny
，
又由
4
m
n
，则有
(4
)
4
0
mx
m y
，变形可得
(
)
4
4
0
m x
y
y
，
则有
0
4
4
0
x
y
y
，解可得
1
x
y
，故直线AB 恒过定点
(
)
1,1
Q
，
点M 在圆
2
2
:(
4)
(
5)
1
G
x
y
上，
则点M 到直线AB 距离的最大值为
2
2
|
| 1
(4
1)
(5 1)
1
6
GQ
．
故选：B．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
(3).古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190 年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的
科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（
0
k
且
1
k ）的点的轨迹是圆，
后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知
(0,0)
O
，
(3,0)
A
，圆
2
2
2
:(
2)
(
0)
C
x
y
r
r
上有且仅有一个点P
满足|
| 2 |
|
PA
PO
，则r 的取值可以为（）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】设动点P 的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点P 的轨迹方程，由点P 是圆C：
2
2
2
2
0
y
x
r
r
上有且仅有的一点，可得两圆相切，进而可求得r 的值．
【详解】设动点
,
P x y ，由
2
PA
PO
，得
2
2
2
2
3
4
4
x
y
x
y
，整理得
2
2
1
4
x
y
，
又点P 是圆C ：
2
2
2
2
0
y
x
r
r
上有且仅有的一点，所以两圆相切.
圆
2
2
1
4
x
y
的圆心坐标为
1,0
，半径为2，
圆C：
2
2
2
2
0
y
x
r
r
的圆心坐标为
2 0
,
，半径为r，两圆的圆心距为3，
当两圆外切时，
2
3
r
，得
1
r ，
当两圆内切时，
2
3
r
，
0
r
，得
= 5
r
．
故选：A.
(4).在平面直角坐标系xOy 中，已知点
1,0 ,
5,0
A
B
.若圆
2
2
:(
4)
(
)
16
M
x
y
m
上存在唯一点P ，使得
直线
,
PA PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为（
）
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
A．
15
B．3 5
C．
15
和3 5
D．15 和3 5
【答案】C
【分析】设出P 点的坐标，根据直线
,
PA PB 在y 轴上的截距之积列方程，根据唯一性求得m 的值.
【详解】圆
2
2
:(
4)
(
)
16
M
x
y
m
的圆心在直线
4
x
上，半径为4 ，所以
1,0
A
在圆M 外，
设
,
P a b ，其中
1
a 且
5
a
，
直线PA 的方程为
1 =
1
1
1
b
b
b
y
x
x
a
a
a
，纵截距为
1
b
a ，
直线PB 的方程为
5
5 =
5
5
5
b
b
b
y
x
x
a
a
a
，纵截距为
5
5
b
a
，
依题意有
5
=5
1
5
b
b
a
a
，整理得
2
2
2
=9
a
b
，
所以
,
P a b 在圆
2
2
2
=9
1,
5
x
y
x
x
上，圆心为
2,0 ，半径为3 .
则圆
2
2
2
=9
1,
5
x
y
x
x
与圆
2
2
:(
4)
(
)
16
M
x
y
m
有且只有一个公共点，
则两圆外切或内切，或圆
2
2
2
=9
x
y
与圆
2
2
:(
4)
(
)
16
M
x
y
m
相交，且其中一个交点的横坐标为5，
当两圆外切或内切时：
圆
2
2
:(
4)
(
)
16
M
x
y
m
的圆心为
4,m ，半径为4，
则
2
2
2 =4
3=1
m
或
2
2
2 =4
3=7
m
，
前者无解，后者解得
3
=
5
m
.
当圆
2
2
2
=9
x
y
与圆
2
2
:(
4)
(
)
16
M
x
y
m
相交，且其中一个交点的横坐标为5时，
2
2
5
2
=9
=0
y
y
，将
5,0 代入
2
2
(
4)
(
)
16
x
y
m
，
得
2
2
(5
4)
(0
)
16,
=
15
m
m
.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
综上所述，m 的值为3 5
或
15
.
故选：C
【点睛】关键点睛：求直线方程时，可以根据已知条件，利用合适的求法来求，如本题中，已知两点，则
可以考虑两点式，也可以考虑点斜式来求解.圆有关的问题，可考虑方程的思想，如本题中“截距之积”，这
就是一个方程，也即是一个等量关系式，是解题的突破口.
(5).已知
3,4
M
是半径为1 的动圆C 上一点，P 为圆
2
2
:
1
O x
y
上一动点，过点P 作圆C 的切线，切点分
别为A ，B ，则当AB 取最大值时，△PAB 的外接圆的方程为（
）
A．
2
2
3
4
6
0
x
y
x
y
B．
2
2
3
4
6
0
x
y
x
y
C．
2
2
3
4
0
x
y
x
y
D．
2
2
4
3
0
x
y
x
y
【答案】A
【分析】由题设，确定C 的轨迹方程，结合已知可得3
7
PC
，再根据切线的性质、勾股定理及面积法
得到AB 关于PC 的关系式且△PAB 的外接圆以线段PC 为直径，结合两圆的位置关系及其动点距离最值情
况，写出外接圆的方程.
【详解】由
1
MC ，则动圆心C 的轨迹方程为
2
2
3
4
1
x
y
.
P 为圆
2
2
:
1
O x
y
上的动点，又
5
OM
，
∴3
7
PC
，
∵
2
PC
AB
AC
PA
，
1
AC ，
2
2
2
PC
PA
AC
，
∴
2
2
1
2 1
PA
AB
PC
PC
，
∴当PC 最小时，AB 最小，当PC 最大时，AB 最大.
当
2
7
PC
OM
时，AB 取最大值，△PAB 的外接圆以线段PC 为直径，而PC 中点，即OM 中点为3 ,2
2
，
∴外接圆方程为
2
2
3
49
2
2
4
x
y
，即
2
2
3
4
6
0
x
y
x
y
.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
故选：A
(6).在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O：
2
2
2(
0)
x
y
r
r
与圆M ：
2
2
(
6)
4
x
y
.
(1)若圆O与圆M 有公共点，求正实数r 的取值范围；
(2)求过点
4,3
H
且与圆M 相切的直线l 的方程；
(3)当
2
r
时，设P 为平面上的点，且满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆
O和圆M 相交，且直线1l 被圆O截得的弦长与直线2l 被圆M 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P
的坐标.
【答案】(1)
4,8
(2)
4
x
或5
12
56
0
x
y
(3)
3,3 或
3, 3
【分析】（1）由两圆相交可得
1
2
1
2
r
r
OM
r
r
，解之可得r 的取值范围；
（2）分类讨论切线l 的斜率情况，再由线圆相切得到d
r
，解之可得直线l 的方程；
（3）利用弦定长公可将问题转化为圆心M 到直线1l 与圆心O直线2l 的距离相等，由此列出方程化简，可得
到等式，再由k 的无穷多解判定得
,
m n 的取值，进而得求.
【详解】（1）因为圆O：
2
2
2(
0)
x
y
r
r
，故
0,0
O
，半径为r ；
又因为M ：
2
2
(
6)
4
x
y
，故
6,0
M
，半径为2，
所以两圆圆心距为：
6
OM
，
因为圆M 与圆O有交点，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
所以
2
6
2
r
r
，得4
8
r
，即
4,8
r
.
（2）当直线l 的斜率不存在时，直线
4
x
符合题意；
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为
3
4
y
k x
即
3
4
0
kx
y
k
，
因为直线l 与圆M 相切，则
2
2
3
2
1
k
d
k
，即
5
12
k
，
此时直线l 的方程为
5
3
4
12
y
x
，即5
12
56
0
x
y
，
综上：直线l 的方程为
4
x
或5
12
56
0
x
y
.
（3）设点P 坐标为
,
m n ，因为有无数条直线符合要求，不妨设直线2l 与1l 的方程分别为：
(
)
y
n
k x
m
，
1 (
)
y
n
x
m
k
，即：
0
kx
y
n
km
，
1
1
0
x
y
n
m
k
k
，
因为直线1l 被圆O截得的弦长与直线2l 被圆M 截得的弦长相等，两圆半径相等，
由垂径定理可知圆心O到直线1l 与圆心M 直线2l 的距离相等，
故有
2
2
6
1
1
1
1
n
m
m
k
k
k
n
k
k
，即(6
)
m
n k
m
n
或(6
)
m
n k
m
n
，
由于关于k 的方程有无穷多解，故
6
0
0
m
n
m
n
，或
6
0
0
m
n
m
n
，
解得
3
3
m
n
或
3
3
m
n
，即点P 坐标为
3,3 或
3, 3
.
类型四能力提升创新题
1.关于下列命题，正确的个数是（
）
（1）若点
2,1 在圆
2
2
2
2
15
0
x
y
kx
y
k
外，则
2
k
或
4
k ；
（2）已知圆
2
2
:
cos
sin
1
M
x
y
，直线y
kx
，则直线与圆恒相切；
（3）已知点P 是直线2
4
0
x
y
上一动点，PA 、PB 是圆
2
2
:
2
0
C x
y
y
的两条切线，A 、B 是切点，
则四边形PACB的最小面积是2 ；
（4）设直线系
:
cos
sin
2
2cos
M
x
y
，M 中的直线所能围成的正三角形面积都等于12 3 ．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【分析】（1）根据一般方程表示圆和点
2,1 列不等式组可解出实数k 的取值范围，可判断出命题（1）的真
假；（2）计算圆心到直线y
kx
的距离d 的取值范围，可判断出命题（2）的真假；（3）找出当切线PA 、PB
的长取得最小值时点P 的位置，计算出PA 的长，并计算出此时四边形PACB的面积，可判断出命题（3）的
真假；（4）由直线系方程可知，M 中所有直线都是定圆
2
2
2
4
x
y
的切线，易知M 中的直线所能围成
的正三角形的面积不一定都相等，即可判断出命题（4）的真假.
【详解】对于命题（1），由于方程
2
2
2
2
15
0
x
y
kx
y
k
表示圆，则
2
2
4
4
15
0
k
k
，
整理得
2
3
64
0
k
，由于点
2,1 在该圆外，则
2
2
8
0
k
k
，所以
2
2
3
64
0
2
8
0
k
k
k
，
解得
8 3
4
3
k
或
8 3
2
3
k
，命题（1）为假命题；
对于命题（2），直线y
kx
过原点O，圆
2
2
:
cos
sin
1
M
x
y
的圆心M 的坐标为
cos ,sin
，
且
1
OM ，所以，圆心M 到直线y
kx
的距离
1
d ，则直线与圆相交或相切，命题（2）为假命题；
对于命题（3），圆C 的标准方程为
2
2
1
1
x
y
，圆心C 的坐标为(
)
0,1 ，半径长为1，圆心C 到直线
2
4
0
x
y
的距离为
2
2
5
5
2
1
d
，
min
5
PC
，则
2
2
min
5
1
2
PA
，四边形PACB的面
积的最小值为
min
1
2
2 1
2
2 PA
r
，命题（3）为真命题；
对于命题（4），直线系M 的方程为
2 cos
sin
2
0
x
y
，由于点
2,0 到直线M 的距离为
2
2
2
2
cos
sin
d
，直线系M 中所有的直线都是圆
2
2
:
2
4
D
x
y
的切线，
如下图，M 中的直线所能围成的正三角形ABC 和ADE 面积不相等，故（4）错误.
如下图所示：
因此，真命题的个数为1.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键是掌握点与圆的位置关系，直线与圆的位置
关系的应用，考查了转化和数形结合思想等数学思想方法，属于难题.
2.中国结是一种盛传于民间的手工编织工艺品，它身上所显示的情致与智慧正是中华民族古老文明中的一个
侧面.已知某个中国结的主体部分可近似地视为一个大正方形（内部是16 个全等的边长为1 的小正方形）和
凸出的16 个半圆所组成，如图，点A 是大正方形的一条边的四等分点，点C 是大正方形的一个顶点，点B
是凸出的16 个半圆上的任意一点，则AC AB
的最大值为（
）
A．33
3 17
2
B．33
2 17
2
C．33
17
2
D．9 17
2
【答案】C
【分析】利用向量数量积的几何意义将AC AB
的最大值进行转化，并确定取最大值时点B 的位置，再建立
坐标系求解作答.
【详解】AC AB
等于AB
在AC
上的投影向量与AC
的数量积，因此当AB
在AC
上的投影向量与AC
同向，
且投影向量的模最大时，AC AB
取到最大值，此时点B 在以点C 为半圆弧端点且在AC 上方的半圆上，
以大正方形的相邻两边分别为x，y 轴建立平面直角坐标系xOy ，如图，
(0,1),
(4,0)
A
C
，
则直线AC 的方程为
1
4
x
y
，以点C 为半圆弧端点且在AC 上方的半圆圆心为
1
(4, )
2
M
，
半圆M 的方程为
2
2
1
1
9
(
4)
(
)
(4
)
2
4
2
x
y
x
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
显然半圆M 在点B 处切线l 垂直于直线AC 时，AC AB
取得最大值，
设切线l 的方程为4
0
x
y
b
，于是
1
|16
|
1
2
2
17
b
，而点M 在切线l 的左上方，解得
17
31
2
b
，
即切线l ：
17
31
4
0
2
x
y
，由
17
31
4
0
2
1
4
x
y
x
y
解得
2( 17
33)
17
1
17
34
x
y
，
因此切线l 与直线AC 的交点
2( 17
33) 1
17
(
,
)
17
34
D
，此时
33 17
17
34
AD
，又
17
AC
，
所以AC AB
的最大值为33 17
17
33
17
17
34
2
.
故选：C
3.已知函数
ln
1
1
f x
a
x
a
R 的图象恒过定点A，圆
2
2
:
4
O x
y
上的两点
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
满
足
PA
AQ
R
，则
1
1
2
2
2
7
2
7
x
y
x
y
的最小值为(
)
A．2 5
B．7
5
C．15
5
D．30
2 5
【答案】C
【分析】设直线l 为2
7
0
x
y
.取圆O 的弦PQ 的中点为E，求出其轨迹方程，求出E 到直线l 距离的最
小值.过P、E、Q 分别作直线l 的垂线，垂足分别为M、R、N，将
1
1
2
2
2
7
2
7
x
y
x
y
转化为2 5 ER ，
即可求其最小值．
【详解】由题可知A 为(0，1)，且P、A、Q 三点共线，
设弦PQ 的中点为E(x，y)，连接OE，则OE⊥PQ，即OE⊥AE，
∴
0
OE AE
，由此可得E 的轨迹方程为
2
2
1
1
2
4
x
y
，
即E 的轨迹是以
1
0 2
，为圆心，1
2 为半径的圆，
设直线l 为2
7
0
x
y
，
则E 到l 的最小距离为
1
7
1
15
1
2
2
2
5
2 5
．
过P、E、Q 分别作直线l 的垂线，垂足分别为M、R、N，
则四边形MNQP 是直角梯形，且R 是MN 的中点，则ER 是直角梯形的中位线，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
∴
2
MP
NQ
ER
，
即
1
1
2
2
2
7
2
7
2
5
5
x
y
x
y
ER
，
即
1
1
2
2
2
7
2
7
x
y
x
y
15
1
2 5
2 5
15
5
2
2 5
ER
．
故选：C．
【点睛】本题需充分利用数形结合思想进行简答，问题的关键是求出PQ 的中点的轨迹，将要求最小值的式
子与点到直线的距离公式联系在一起，数形结合求解最值.
4.已知集合
2
2
,
(
cos )
(
sin )
4,0
π
P
x y
x
y
∣
.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部
分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：
①白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为1
3
；
②在阴影部分任取一点M ，则M 到坐标轴的距离小于等于3；
③阴影部分的面积为8π ；
④阴影部分的内外边界曲线长为8π .
其中正确的有
.
【答案】①②④
【分析】对于①，令
0
x
,求出
[
3, 1]
[ 3,3]
y
，求出点
,
A B 坐标即得解；对于②，利用圆的参数方程
设点，再利用绝对值三角不等式得解；对于③，利用割补法求解；对于④，求出阴影部分的内外边界曲线
的各个部分即得解.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【详解】对于①，由于
2
2
(
cos )
(
sin )
4
x
y
，令
0
x
时，整理得
3
2sin
0,2
y
y
，
解得
[
3, 1]
[ 3,3]
y
，“水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A，
则点A 的坐标为(0, 3)，点
(0, 1)
B
，
白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为|
| 1
3
AB
,故①正确；
对于②，由于
2
2
(
cos )
(
sin )
4
x
y
，整理得：
2cos
cos
2sin
sin
x
y
，
所以
2cos
cos ,2sin
sin )
(
M
，所以M 到坐标轴的距离为
|
| 2cos
cos
或| 2sin
sin
|
，
因为cos
[ 1,1],sin
[0,1]
，
所以2cos
cos
| | 2cos
|
| cos
| 2 1
3
|
，| 2sin
sin
| | 2sin
|
| sin
| 2 1
3
，
所以M 到坐标轴的距离小于等于3，故②正确；
对于③，由于
2
2
(
cos )
(
sin )
4
x
y
，令
0
y
时，整理得
3
2cos
2,2
y
y
，
解得
[ 3, 1]
[1,3]
x
，
因为
2
2
(
cos )
(
sin )
4
x
y
表示以
cos ,sin
Q
为圆心，半径为
2
r
的圆，
则1
3
r
OQ
OP
OQ
r
，
且0
π
，则
cos ,sin
Q
在x 轴上以及x 轴上方，
故白色“水滴”的下半部分的边界为以O为圆心，半径为1 的半圆，阴影的上半部分的外边界是以O为圆心，
半径为3 的半圆，
根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以
1,0
M
为圆心，半径为2 的圆弧，
设
1,0
N
，则
2
AN
AM
MN
，即
AN 所对的圆心角为π
3 ，
同理
AM 所在圆的半径为2，所对的圆心角为π
3 ，
阴影部分在第四象限的外边界为以
1,0
N
为圆心，半径为2 的圆弧，
设
3,0 ,
3,0
G
H
，可得
π
1,
3,
3
ON
OD
OND
，
DG 所对的圆心角为2π
3 ，
同理
DH 所在圆的半径为2，所对的圆心角为2π
3 ，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，
所以它的面积是
2
1
2π
1
11π
2
π 1
2
3
2
3
3
2
3
2
6
S
S
S
S
弓形
半圆
.
x 轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为
2
1
9
π
3
π
2
2
,
第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，
且等于
2
1
1
4
3
π
2
3 1
π
3
2
3
2
，
所以阴影部分的面积为9
4
3
11
16
π
2(
π
)
π
3
π
2 3
2
3
2
6
3
，故③错误；
对于④，x 轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为1
π
4
13
2π
3
2 2
3π
π
π
2
3
3
3
，
x 轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为1
1
1
11
2π 1 (
2π
2
π
2) 2
π
2
2
3
3
，
所以阴影部分的内外边界曲线长为13π
11π
8π
3
3
，故④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】关键点睛：解答本题有三个关键，其一是写出圆的参数方程，设出点的坐标，其二是利用割补法
求不规则图形的面积，其三是利用三角函数的值域求出图形与坐标轴的交点的坐标.
5.已知圆C 过点
0,0
O
，
1, 3
A
，
2,2 3
B
.
(1)求圆C 的标准方程；
(2)若过点C 且与x 轴平行的直线与圆C 交于点M ，N ，点P 为直线
5
x
上的动点，直线PM ，PN 与圆C 的
另一个交点分别为E ，F （EF 与MN 不重合），证明：直线EF 过定点.
【答案】(1)
2
2
1
3
4
x
y
(2)
2, 3
【分析】（1）利用待定系数法求得圆一般方程，再将其转化为标准方程；
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
（2）求出点M ，N 的坐标，设
0
5,
P
y
，根据3 PM
PN
k
k
，得出E ，F 的坐标，当直线EF 斜率存在时，
设直线EF 方程为y
kx
b
，与圆C 方差联立方程组，利用根与系数关系化简得出k 与b 的关系，进而得出
直线EF 恒过的定点坐标，再验证斜率不存在时仍成立.
【详解】（1）设圆C 的一般方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
，
又圆C 过点
0,0
O
，
1, 3
A
，
2,2 3
B
，
则
0
1 3
3
0
4 12
2
2 3
0
F
D
E
F
D
E
F
，
解得
2
2 3
0
D
E
F
，
所以圆C 的一般方程为
2
2
2
2 3
0
x
y
x
y
，
即其标准方程为
2
2
1
3
4
x
y
；
（2）由题意得
1, 3
C
，所以直线
:
3
MN
y
，点
1, 3
M
，点
3, 3
N
，
设点
0
5,
P
y
，
1
1
,
E x y
，
2
2
,
F x
y
，
所以
0
0
3
3
5
1
6
PM
y
y
k
，
0
0
3
3
5
3
2
PN
y
y
k
，
所以3 PM
PN
k
k
，
又
1
1
1
1
3
3
1
1
PM
EM
y
y
k
k
x
x
，
2
2
3
3
PN
FN
y
k
k
x
，
2
2
1
2
2
2
1
2
3
3
9
1
3
y
y
x
x
，
又E ，F 在圆C 上，
所以
2
2
1
1
3
4
1
y
x
，
2
2
2
2
3
4
1
y
x
，
2
2
1
2
2
2
1
2
4
1
4
1
9
1
3
x
x
x
x
，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
即
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
9
1
4
1
3
4
3
1
3
x
x
x
x
x
x
，
所以
1
2
4
4
9 1
1
1
3
x
x
，
整理得：
1
2
1
2
2
7
20
0
x x
x
x
，
当直线EF 斜率存在时，设直线EF 的方程为y
kx
b
，
代入
2
2
1
3
4
x
y
，
得
2
2
2
1
2
2 3
2
2 3
0
k
x
kb
k
x
b
b
，
则
1
2
2
2
2 3
2
1
kb
k
x
x
k
，
2
1
2
2
2 3
1
b
b
x x
k
，
所以
2
2
2
2
2 3
7 2
2 3
2
20
0
1
1
b
b
kb
k
k
k
，
即
2
2
7
2 3
10
7 3
3
0
b
k
b
k
k
，
即
2
3
5
3
0
b
k
b
k
，
得
3
2
b
k
或
3
5
b
k
，
当
3
2
b
k
时，直线EF 的方程为
3
2
y
k x
，过点
2, 3 ，
当
3
5
b
k
时，直线EF 的方程为
3
5
y
k x
，过点
5, 3 ，在直线
5
x
上，不成立，
当直线EF 斜率不存在时，1
2
x
x
，即
2
1
1
2
14
20
0
x
x
，解得
1
2
x
或
1
5
x
（舍），所以直线EF 过
2, 3 成
立，
综上所述，直线EF 恒过点
2, 3 .
1.在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆
2
2
9
x
y
上两动点，点
1,1
P
，且PA
PB
，则AB 的最大
值为（
）
A．3
2
B．3
2
C．4
2
D．4
2
【答案】D
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【分析】令
( , )
C x y 为AB 中点，根据直角三角形性质，圆中弦长、弦心距、半径的几何关系求得C 轨迹为圆，
求定点P 到所得圆上点距离的最大值，结合
2 |
|
AB
PC
即可求结果.
【详解】由PA
PB
，要使AB 最大只需P 到AB 中点C 距离最大，
又|
| |
| |
|
PC
AC
BC
且
2
2
2
2
|
|
|
|
|
|
|
|
9
OC
AC
OC
PC
，
令
( , )
C x y ，则
2
2
2
2
(
1)
(
1)
9
x
y
x
y
，整理得
2
2
1
1
(
)
(
)
4
2
2
x
y
，
所以C 轨迹是以1 1
( , )
2 2 为圆心，2 为半径的圆，又
2
2
1
1
(1
)
(1
)
4
2
2
，即P 在圆内，
故
max
2
|
|
2
2
PC
，而
|
|
|
| 2 |
|
AB
AC
BC
PC
，故
max
|
|
4
2
AB
.
故选：D
2.AB 为⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25 的一条弦，
6
AB
，若点P 为⊙C 上一动点，则PA PB
的取值范围是（
）
A．[0，100]
B．[－12，48]
C．[－9，64]
D．[－8，72]
【答案】D
【分析】取AB 中点为Q,利用数量积的运算性质可得
2
|
|
9
PA PB
PQ
，再利用圆的性质可得|
|
PQ 取值范
围，即求.
【详解】取AB 中点为Q，连接PQ
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
2
PA
PB
PQ
，PA
PB
BA
2
2
1 (
)
(
)
4
PA PB
PA
PB
PA
PB
2
2
1 4 |
|
|
|
4
PQ
BA
，
又|
| 6
BA
，
2
6
25
( )
4
2
CQ
2
|
|
9
PA PB
PQ
，
∵点P 为⊙C 上一动点，
∴
max
min
|
|
9,
|
5
|
1
5
PQ
Q
P
C
Q
Q
C
PA PB
的取值范围[－8，72].
故选：D.
3.已知中心在原点的椭圆C 的左焦点恰好为圆F：
2
2
2
3
0
x
y
x
的圆心，有两顶点恰好是圆F 与y 轴的
交点．若椭圆C 上恰好存在两点关于直线y=x+t 对称，则实数t 的取值范围为（
）
A．
7, 7
B．
7
7
,
7
7
C．
4 3
,
7 7
D．
7
0, 7
【答案】B
【分析】求得圆F 的圆心，可得椭圆的c ，求得圆F 与y 轴的交点，可得b ，进而得到a ，可得椭圆方程，
设出椭圆上关于直线y
x
t
对称的两点连线AB 的方程为y
x
p
，设两点的坐标为
1
(
A x ，
1)
y ，
2
(
B x ，
2)
y ，联立椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，可得中点坐标代入已知直线，可
得p ，t 的关系，进而得到所求范围．
【详解】
2
2
2
3
0
x
y
x
的圆心为( 1,0)
，可得椭圆的
1
c ，
圆F 与y 轴的交点为(0,
3)
，可得椭圆的
3
b
，
可得
2
2
2
a
b
c
，
即有椭圆方程为
2
2
1
4
3
x
y
，
设椭圆上关于直线y
x
t
对称的两点连线AB 的方程为y
x
p
，
设两点的坐标为
1
(
A x ，
1)
y ，
2
(
B x ，
2)
y
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
由
2
2
3
4
12
x
y
y
x
p
，得
2
2
7
8
4
12
0
x
px
p
，
△
2
2
64
28(4
12)
0
p
p
，
7
7
p
，
1
2
8
7
p
x
x
，
设A ．B 的中点
0
(x ，
0)
y
，
则
0
4
7
p
x
，
0
5
7
y
p
，
中点在y
x
t
上，
7
p
t
，即
7
7
7
t
，得
7
7
7
7
t
．
故选B ．
4.已知圆C ：
2
2
1
2
25
x
y
，直线l ：
2
1
1
7
4
0
m
x
m
y
m
，直线l 与圆C 交于A 、B ，则
sin
ACB
的最大值为（
）
A．1
B．4
5
C．2 5
5
D．3
5
【答案】B
【分析】根据直线过定点，结合垂直关系求解弦长的范围，即可由二倍角公式结合二次函数的性质求解.
【详解】直线l ：
2
1
1
7
4
0
m
x
m
y
m
变形为
2
7
4
0
x
y
m
x
y
，
令2
7
0
x
y
和
4
0
x
y
，解得
3,
1
x
y
，
所以直线l 恒过定点
3,1
D
，D 点在圆C 内部，当AB 垂直于CD 时，AB 最短，此时
2
2
5,
2
4 5,
CD
AB
r
CD
所以4 5
10
AB
,
2
2
2
2
2
2
1
1
100
50
2500
2
2
sin
2sin
cos
2
2
2
50
50
r
AB
AB
AB
AB
AB
ACB
ACB
ACB
r
r
由于4 5
10
AB
，故
2
80
AB
时，此时sin
ACB
最大，且最大值为4
5
故选：B
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
5.已知直线l：
2
0
x
y
与x 轴、y 轴分别交于M，N 两点，动直线1l ：
y
mx m
R 和2l ：
4
2
0
my
x
m
交于点P，则
MNP
△
的面积的最小值为（
）
A．10
B．5
10
C．2 2
D．2 10
3
【答案】B
【分析】根据1
2
,l l 所过定点和位置关系可得点P 轨迹方程，然后利用点到直线的距离公式和两点间的距离公
式可得面积最小值.
【详解】根据题意可知，动直线1 :
0
l
mx
y
过定点
0,0
O
，动直线2l ：
4
2
0
my
x
m
，即
4
2
0
m y
x
过定点
2,4
B
，
因为
( 1) 1
0
m
m
，所以无论m 取何值，都有1
2
l
l
，
所以点P 在以OB 为直径的圆上，且圆心坐标为
1,2 ，半径为1
5
2 OB
，
设
,
P x y ，则点P 的轨迹方程为
2
2
1
2
5
x
y
，
圆心到直线l 的距离为1
2
2
5 2
2
2
，则P 到直线l 的距离的最小值为5 2
5
2
．
由题可知
2,0
M
，
0, 2
N
，则
2 2
MN
，
所以
MNP
△
的面积的最小值为1
5 2
2 2
5
5
10
2
2
．
故选：B
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
6.已知
2,0
A
，点P 为直线
5
0
x
y
上的一点，点Q 为圆
2
2
1
x
y
上的一点，则
1
2
PQ
AQ
的最小值
为（
）
A．5 2
2
2
B．5 2
2
2
C．11 2
2
D．11 2
4
【答案】D
【分析】令1
2 AQ
MQ
，可得M 点的坐标为1 ,0
2
，则
1
2
PQ
AQ
PQ
MQ
，即可得答案.
【详解】设
1
1
0
,
,
,
M
x
Q x
y
，令1
2 AQ
MQ
，
则
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
4
8
1
4
4
2
2
3
3
x
x
x
y
x
x
y
x
x
y
2
2
1
1
1
1
2
x
y
x
，则M 1 ,0
2
1
2
PQ
AQ
PQ
MQ
.
如图，当
,
,
P Q M 三点共线时，且PM 垂直于直线
5
0
x
y
时，PQ
MQ
有最小值，为PM ，即直线
5
0
x
y
到点M 距离，为
1
5
11 2
2
4
2
.
故选：D
7.已知O 为坐标原点，
(2,0)
A
，设动点C 满足
2
OC
，动点P 满足
0
PA PC
，则OP 的最大值为（
）
A．
2
B．
3
1
C．2
D．2
2
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【答案】D
【分析】根据条件得到点C 在圆
2
2
:
4
O x
y
的内部或圆周上，点P 的轨迹是以AC 为直径的圆，再结合平
面图形的性质和基本不等式即可得出答案.
【详解】因为
2
OC
，所以点C 在圆
2
2
:
4
O x
y
的内部或圆周上，
又动点P 满足
0
PA PC
，
所以当
, ,
A C P 三点不重合时，点P 的轨迹是以AC 为直径的圆，如图：
当点C 在圆O内时，延长AC 交圆O于点D ，设AC 的中点为M ，AD 的中点为N ，
则
,
,
MA
MP ON
AD AM
AN
，
当点C 在圆O上时，
,
M N 两点重合，
,
C D 两点重合，
所以AM
AN
，当且仅当点C 在圆O上时取等号，
则OP
OM
MP
OM
AM
，当且仅当
,
,
O M P 三点共线时取等号，
因为OM
AM
ON
MN
AM
ON
AN
，当且仅当
,
M N 重合时取等号，因为ON
AD
，所以
2
2
2
|
|
|
|
|
|
4
ON
AN
OA
，
所以
2
2
2
|
|
2 2
ON
AN
ON
AN
，当且仅当
2
ON
AN
时取等号，此时OD
OA
，
所以
2 2
OP
，当且仅当
,
,
O M P 三点共线且点C 在圆
2
2
4
x
y
与y 轴的交点处时取等号，
所以OP 的最大值为2 2 ，
故选：D.
8.已知实数a，b 满足
2
2
1
2
2
a
b
a
b
，则
2
3
4
1
a
b
的最小值是（
）
A．1
B．2
C．4
D．16
【答案】A
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【分析】将已知
2
2
1
2
2
a
b
a
b
表示成一个以
1,1 为圆心，1 为半径的圆，将问题转化为圆上一点到直
线3
4
1
0
x
y
距离最小值问题，从而找到解题关键.
【详解】
依题意可知曲线
,
0
f a b
表示一个以
1,1 为圆心，1 为半径的圆，
求
2
3
4
1
a
b
的最小值相当于先求
2
2
3
4
1
3
4
1
5
3
4
a
b
a
b
d
的最小值，
即求圆
2
2
1
1
1
a
b
上一点到直线3
4
1
0
x
y
的距离d 的最小值，
所以
min
3 1
4 1 1
1
1
5
5
d
，
即
2
3
4
1
a
b
的最小值为1．
故选：A．
9.已知C，D 是圆O：
2
2
9
x
y
上两个不同动点，直线
1
2
0
m
x
y
m
恒过定点P，若以CD 为直
径的圆过点P，则CD 最小值为（
）
A．4
2
B．4
2
C．8
2 2
D．8
2 2
【答案】A
【分析】根据题意，设以CD 为直径的圆的圆心为Q ，当
, ,
O P Q 三点共线时，半径有最小值，此时CD 有最
小值，即可求出答案.
【详解】依题意，设以CD 为直径的圆的圆心为Q ，半径为r ，
将直线
1
2
0
m
x
y
m
化简得
1
2
0
m x
x
y
，
即
1
0
2
0
x
x
y
，得
1
1
x
y
，所以直线恒过定点
1,1
P
，
在Rt OCQ
中，
2
2
2
9
OQ
OC
CQ
r
，
因为OP
PQ
OQ
，所以
2
2
9
r
r
，
即
2
2
2 2
7
0
r
r
，解得
4
2
2
r
（舍），
4
2
2
r
，
所以
min
2
4
2
CD
r
，
故选：A.
10.在直角坐标系xOy 中，已知点P 是圆O：
2
2
1
x
y
上一动点，若直线l：
2
3
0
kx
y
k
上存在点Q，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
满足线段PQ 的中点也始终在圆O 上，则k 的取值范围是（
）
A．
12 ,0
5
B．
12
,
0,
5
C．
12 ,0
5
D．
12
,
0,
5
【答案】D
【分析】由题意分析可知，只要O 的圆心到直线l 的距离不超过3，再结合点到直线的距离公式即可求得k
的取值范围.
【详解】由题意分析可知，直线l：
2
3
0
kx
y
k
过定点
2,3
M
，设PQ的中点为A ，
因为圆O：
2
2
1
x
y
的圆心
0,0
O
，半径为
1
r ，
若满足线段PQ 的中点A 点在圆上，则
2
2 2
4
PQ
PA
r
，
又
2
PQ
AQ
，则2
4
AQ
，即
2
AQ
，
所以
3
OQ
OA
AQ
，
设圆心O 到直线l 的距离为d ，则
3
d
OQ
，
所以
2
2
3
3
1
k
k
，解得
0
k
或
12
5
k
，
故
12
,
0,
5
k
．
故选：D.
.
11.数学中有很多形状优美，寓意美好的曲线，曲线
2
2
:
2
2
0
C x
y
x
y
就是其中之一，则曲线C 所围
成的封闭图形的面积是
.
【答案】8
4
【分析】方程
2
2
2
2
0
x
y
x
y
，对x ，y 分类讨论，画出图象即可得出面积.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【详解】方程
2
2
2
2
0
x
y
x
y
，对x ，y 分类讨论，
①
0
x
，
0
y
时，化为：
2
2
1
1
2
x
y
；
②
0
x
，
0
y
时，化为：
2
2
1
1
2
x
y
；
③
0
x
，
0
y
时，化为：
2
2
1
1
2
x
y
；
④
0
x
，
0
y
时，化为：
2
2
1
1
2
x
y
；
所表示的曲线所围成的图形面积
2
2
2 2
2
2
8
4
S
.
故答案为：8
4
.
12.已知圆C 经过
0,1
A
，
4,
0
B
a
a
两点．
(1)如果AB 是圆C 的直径，证明：无论a 取何正实数，圆C 恒经过除A 外的另一个定点，求出这个定点坐
标．
(2)已知点A 关于直线
3
y
x
的对称点A也在圆C 上，且过点B 的直线l 与两坐标轴分别交于不同两点M
和N，当圆C 的面积最小时，试求BM
BN
的最小值.
【答案】(1)证明见解析，定点为
4,1
(2)
min
8
BM
BN
【分析】（1）设点
,
P x y 是圆C 上任意一点，由AB 是圆C 的直径，得
0
AP BP
，从而可求出圆C 的方
程，即可得出结论；
（2）根据题意可得点C 在直线
3
y
x
上，要使圆C 的面积最小，则圆C 是以AA为直径的圆，从而可求
出圆C 的方程，进而可求得B 点的坐标，设出直线l 的方程，分别求出
,
M N 的坐标，再根据两点间距离公
式结合基本不等式即可得解．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【详解】（1）设点
,
P x y 是圆C 上任意一点，
因为AB 是圆C 的直径，所以
0
AP BP
，
即
,
1
4,
4
1
0
x y
x
y
a
x x
y
y
a
，
所以圆C 的方程为：
4
1
0
x x
y
y
a
，
则
4
x
，
1
y 时等式恒成立，故定点为
4,1 ，
所以无论a 取何正实数，圆C 恒经过除A 外的另一个定点，定点坐标为
4,1 ；
（2）因点A 关于直线
3
y
x
的对称点A也在圆C 上，
所以点C 在直线
3
y
x
上，
又圆C 的面积最小，所以圆C 是以AA直径的圆，
设过点A 与直线
3
y
x
垂直的直线方程为
1
y
x
，
由方程组
3
1
y
x
y
x
得
2, 1
C
，则
2
2
2
0
1 1
2 2
AC
所以圆C 的方程为
2
2
2
1
8
x
y
，
当
4
x
时，
1
a 或
3
a ，又
0
a
，所以
1
a ，即
4,1
B
，
由题意知直线l 斜率存在且不为零，设直线l 的方程为
1
4
y
k x
，
当
0
x
时
1 4
y
k
，当
0
y
，时
1
4
x
k
，
所以
2
2
2
2
2
2
1
1
1
|
| |
|
16 16
1
4
2
4 2
2
8
BM
BN
k
k
k
k
k
k
，
（当且仅当
2
2
1
k
k
，即
1
k 时取等号）
则当
1
k 时，
min
8
BM
BN
13.已知以点
2
,
,
0
C t
t
R t
t
为圆心的圆与x 轴交于点O，A，与y 轴交于点O､B，其中O 为坐标原点.
(1)试写出圆C 的标准方程（含t 表示）；
(2)求证：OAB
的面积为定值；
(3)设直线
2
4
y
x
与圆C 交于M，N 两点，若
OM
ON ，求圆C 的标准方程.
【答案】(1)
2
2
2
2
2
4
(
)
(
)
x
t
y
t
t
t
,
0
t
R t
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
(2)证明见解析
(3)
2
2
(
2)
(
1)
5
x
y
【分析】（1）已知圆心，求出半径，就可圆的标准方程；
（2）求出两截距的长度，即可求出面积；
（3）由
OM
ON 及弦的垂直平分线必过圆心可知直线OC 斜率，则可求得t 值，也就得到圆的方程.
【详解】（1）圆心
2
,
,
0
C t
t
R t
t
，圆过原点，所以
2
2
2
4
r
t
t
，则圆的标准方程为
2
2
2
2
2
4
(
)
(
)
x
t
y
t
t
t
,
0
t
R t
；
（2）证明：由（1）知，圆的标准方程为
2
2
2
2
2
4
(
)
(
)
x
t
y
t
t
t
，令
0
x
，得
4
B
y
t
，令
0
y
，得
2
A
x
t
，
则
1
4
2
4
2
OAB
S
t t
，所以OAB
的面积为定值；
（3）由
OM
ON 可知MN 垂直平分线过原点，又弦的垂直平分线必过圆心，可得直线OC 与直线
2
4
y
x
垂直，则有
( 2)
1
OC
k
，即
2
( 2)
1
t
t
，解得
2
t ，所以圆心
(2,1)
C
或
( 2, 1)
C
，圆C 的方
程为
2
2
(
2)
(
1)
5
x
y
或
2
2
(
2)
(
1)
5
x
y
，由于当圆的方程为
2
2
(
2)
(
1)
5
x
y
时，圆心到直线
2
4
0
x
y
的距离
4 1 4
9
5
5
5
d
，直线与圆不相交，故舍去，所以圆C 的标准方程为
2
2
(
2)
(
1)
5
x
y
.
65．已知点
(4,0)
A
和
(4,4)
B
，圆C 与圆
2
2
(
1)
(
2)
4
x
y
关于直线2
4
5
0
x
y
对称．
(1)求圆C 的方程；
(2)点P 是圆C 上任意一点，在x 轴上求出一点M （异于点
)
A 使得点P 到点A 与M 的距离之比
PA
PM 为定值，
并求
1
2
PB
PA
的最小值．
【答案】(1)
2
2
4
x
y
(2)M 为（1,0），最小值为5
【分析】(1)设圆C 的圆心为
( , )
C a b ，由题意可得关于a ，b 的方程组，解得a ，b 的值，则圆C 的方程可求；
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
(2)设点
(
M m ，0)(
4)
m
，
0
(
P x ，
0)
y
，则
2
2
0
0
4
x
y
，由
0
2
0
8
20
|
|
|
|
2
4
x
PA
PM
mx
m
为定值，可得
2
8
20
2
4
m
m
，
解出m ，得到M 坐标，再由
1
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
2
PB
PA
PB
PM
MB
，可得
1
|
|
|
|
2
PB
PA
的最小值．
(1)
设圆C 的圆心为
( , )
C a b ，
由题意可得，
2
1
1
1
2
1
2
2
4
5
0
2
2
b
a
a
b
，解得
0
a
b
=
=
．
圆C 的方程为
2
2
4
x
y
；
(2)
设点
(
M m ，0)(
4)
m
，
0
(
P x ，
0)
y
，则
2
2
0
0
4
x
y
．
2
2
0
0
0
2
2
2
0
0
0
(
4)
8
20
|
|
|
|
(
)
2
4
x
y
x
PA
PM
x
m
y
mx
m
，
|
|
|
|
PA
PM 为定值，
0
8
20
x
是
2
0
2
4
mx
m
的倍数关系，且对任意的
0
[ 2
x ，2]成立，
2
8
20
2
4
m
m
，解得
1
m 或
4
m
(舍去)，
(1,0)
M
，
此时
|
|
2
|
|
PA
PM
为定值，
∴
1
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
2
PB
PA
PB
PM
MB
，
当且仅当B 、M 、P 三点共线时，
1
|
|
|
|
2
PB
PA
的最小值为
2
2
|
|
(4
1)
(4
0)
5
MB
．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
