文档文本内容
第 03 讲 等比数列及其前 n 项和
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
等比数列前n项和的基本量计算
2023年新Ⅱ卷，第8题,5分 无
等比数列前n和的性质及应用
等差数列通项公式的基本量计算
2022年新Ⅱ卷，第17题,10分 等比数列通项公式的基本量计算
数列不等式能成立(有解) 问题
2021年新Ⅱ卷，第12题,5分 求等比数列前n项和 数列新定义
等比数列通项公式的基本量计算
2020年新I卷，第18题,12分 无
求等比数列前n项和
等比数列通项公式的基本量计算
2020年新Ⅱ卷，第18题,12分 无
求等比数列前n项和
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等，分值为5-12分
【备考策略】1.理解等比数列的概念
2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题
4.熟练掌握等比数列通项公式与前n项和的性质
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等比数列，或通过构造为等比数列，求通
项公式及前n项和。需综合复习知识讲解
1. 等比数列的定义
从第二项开始，后一项与前一项的比为同一个常数，这个数列是等比数列，这个常数是等比数列的公比，
用q表示
2. 数学表达式
a
n+1 =q
a
n
3. 通项公式
a =a⋅qn−1 ，(n∈N )，a =a ⋅qn−m ，(n∈N )
n 1 + n m +
4.
等比数列通项公式与函数关系
a
a n =a 1
⋅qn−1⇒a
n
=
q
1 ⋅qn
⇒
等比数列
{a n }
为指数型函数
5. 等比中项
若A，B，C三个数成等比数列，则B2 =AC⇒B=±√AC,其中B叫做A，C的等比中项
6. 等比数列通项公式的性质（1）若m+n=p+q
⇔a
m
⋅a
n
=a
p
⋅a
q
或m+n=2p
⇔a
m
⋅a
n
=a
p
2
{a }
n
（2）若 ， 为等比数列，则 ， 仍为等比数列
{a } {b } {a ⋅b } b
n n n n n
7. 等比数列前n项和
{
na
1
,(q=1)
S =
n a (1−qn) a −a q
1 1 n
=
1−q 1−q
8. 等比数列前n项和与函数关系
a (1−qn) a a
S = 1 ⇒S = 1 − 1 ⋅qn
n 1−q n 1−q 1−q ⇒等比数列 {a n } 前n项和公式是指数型函数
9. 等比数列前n项和的性质
S S −S S −S
k 2k k 3k 2k
（1） ， ， ……仍成等比数列
S =S +qm ⋅S
m+n m n
（2）
10. 证明数列为等比数列的方法
a
（1） n+1 =c（ 为常数） 为等比数列
a ⇒{a }
n c n
（2）若B2 =AC⇒B=±√AC,则A，B，C三个数成等比数列
考点一、等比数列项、公比及通项公式的求解
1．（2020·山东·统考高考真题）在等比数列 中， ， ，则 等于（ ）
A．256 B．-256 C．512 D．-512
2．（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
3．（2020·海南·高考真题）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 .1．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）设 是等比数列，且 ， ，则
（ ）
A．8 B．-8 C．4 D．-4
2．（2022·云南·统考模拟预测）在等比数列 中， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)记 为 的前 项和，若 ，求 .
考点二、等比中项的应用之等差等比混考类型
1．（2023·河北·校联考三模）若数列 为等比数列，则 ．
2．（2023·江西·统考模拟预测）已知数列 满足 ，若 ，则 ．
3．（2023·重庆·校联考三模）已知 是等差数列， 是等比数列，若 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东济南·校考模拟预测）已知公差不为零的等差数列 满足： ，且 成等
比数列，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知正项等比数列 }满足 为 与 的等比中项，则
（ ）
A． B． C． D．21．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知数列 满足 ， ，若 ，
，则 的值为 .
2．（2023·湖北·统考二模）已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知等差数列 的公差不为0， 且 ， ， 成等
比数列，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测） 是公差不为零的等差数列，前 项和为 ，若 ，
， ， 成等比数列，则 .
5．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
考点三、等比数列的性质
1．（全国·高考真题）已知等比数列 的各项均为正数，且 ，则
（ ）
A．12 B．10 C．8 D．
2．（全国·高考真题）已知各项均为正数的等比数列{ }， =5， =10，则 =
A． B．7 C．6 D．
3．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知 为递增的等比数列，且满足 ， ，
则 （ ）
A． B．1 C．16 D．324．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）已知等比数列 满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．3
5．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）在等比数列 中， ， ，则
．
1．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）在等比数列 中， ，则 （ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
2．（2023·贵州·校联考模拟预测）在等比数列 中， ， ，则 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
3．（2023·河南郑州·统考一模）在等比数列 中，公比 ，且 ，则
（ ）
A．3 B．12 C．18 D．24
4．（2014·广东·高考真题）若等比数列 的各项均为正数，且 ，则
.
考点四、等比数列前项和的求解
1．（2023·全国·统考高考真题）设等比数列 的各项均为正数，前n项和 ，若 ， ，
则 （ ）
A． B． C．15 D．40
2．（2023·全国·统考高考真题）记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公比为 ．
3．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知 是等比数列 的前 项和，且 ，则
（ ）A． B． C． D．
1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）设等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则
（ ）
A．80 B．160 C．121 D．242
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知公比不为1的等比数列 满足 ，则
（ ）
A．40 B．81 C．121 D．156
3．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）设等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·河北·统考模拟预测）已知等比数列 的首项 ，公比 ， ，且 ，
则 的前2023项和为 .
考点五、等比数列前项和的性质
1．（2021·全国·高考真题）记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（2020·全国·统考高考真题）设 是等比数列，且 ， ，则
（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
3．（2023·全国·统考高考真题）记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则 （ ）．
A．120 B．85 C． D．
4．（2023·广西玉林·统考三模）已知等比数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A．12 B．36 C．31 D．33
5．（2023·湖北武汉·统考三模）（多选）已知实数数列 的前n项和为 ，下列说法正确的是（ ）．A．若数列 为等差数列，则 恒成立
B．若数列 为等差数列，则 ， ， ，…为等差数列
C．若数列 为等比数列，且 ， ，则
D．若数列 为等比数列，则 ， ， ，…为等比数列
1．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）设等比数列 中，前n项和为 ，已知 ， ，则
等于（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·辽宁大连·校考模拟预测）等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，则
（ ）
A．60 B．70 C．80 D．150
3．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．41 B．45 C．36 D．43
4．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）（多选）已知数列 的前n项和是 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 ，则 是等差数列
B．若 ， ，则 是等比数列
C．若 是等差数列，则 ， ， 成等差数列
D．若 是等比数列，则 ， ， 成等比数列
5．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
.
考点六、等比数列通项公式与前项和的关系1．（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考模拟预测）设 为数列 的前 项和，若 ，
，则下列各选项在正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围.
3．（2023·广东韶关·统考模拟预测）设等比数列 的前 项和为 ，已知 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
1．（全国·高考真题）若数列{a }的前n项和为S＝ a＋ ，则数列{a }的通项公式是a= .
n n n n n
2．（浙江·高考真题）设数列{ }的前 项和为 .已知 =4， =2 +1， .
（Ⅰ）求通项公式 ；
（Ⅱ）求数列{| |}的前 项和.
3．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）已知数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
考点七、等比数列的证明
1．（2023·重庆巴南·统考一模）已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)求证： 是等比数列；(2)求数列 的前项和 .
2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列 的首项 ， ，
.
(1)设 ，求数列 的通项公式；
(2)在 与 （其中 ）之间插入 个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列 .记 为数列
的前n项和，求 .
3．（2023·江西赣州·统考模拟预测）设数列 的前 项和为 ，且 ， ， ，
.
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
4．（2023·全国·模拟预测）记 为数列 的前n项和， ， ．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)若 ，求数列 的前n项和．
1．（2023·广东·校联考模拟预测）记 为数列 的前 项和，已知 的等差中项为 .
(1)求证 为等比数列；
(2)数列 的前 项和为 ，是否存在整数 满足 ？若存在求 ，否则说明理由.
2．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知数列 中 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 中 ， ，证明： ，（ ）．
3．（2023·广东梅州·统考三模）已知数列 满足 ， ， .
(1)证明：数列 为等比数列.
(2)数列 满足 ，求数列 的前 项和 .4．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 ，并求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·北京房山·统考二模）已知等比数列 的各项均为正数， 的前 项和为 ，若 ，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）在递增等比数列 中，其前 项和为 ，且
是 和 的等差中项，则 （ ）
A．28 B．20 C．18 D．12
4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）设等比数列 ， ， 是方程
的两根，则 的值是（ ）
A． 或 B．2或 C． D．
5．（2023·河南新乡·统考三模）已知公差不为零的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，
是数列 的前 项和，则 （ ）
A．45 B．42 C．84 D．135
二、填空题
6．（2023·海南·校联考模拟预测）设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的公比为
.
7．（2023·浙江·二模）已知等比数列 满足 ，则公比 .
8．（2023·河北·统考模拟预测）若数列 为等比数列， ， ，则 ．三、解答题
9．（2023·湖北·统考二模）设数列 前n项和 满足 ， ．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)记 ，求数列 的前n项和 ．
10．（2023·四川·校联考一模）已知数列 的前n项和为 ，且满足 .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)记 ，数列 的前n项和为 ，求证： .
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知数列 为等比数列，且 ， ，则
（ ）
A．30 B． C．40 D．
2．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知数列 的前 项和为 ，若满足 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知数列 满足： ， ，
，则 （ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·山东青岛·统考二模）设 表示不超过 的最大整数（例如： ， ），则
（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·山东潍坊·校考一模）已知 是数列 的前 项和，且 ， （ ），则下列结论正确的是（ ）
A．数列 为等比数列 B．数列 为等比数列
C． D．
二、解答题
6．（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 .
(1)若 ， ，证明： ；
(2)在（1）的条件下，若 ，数列 的前n项和为 ，求证
7．（2023·广东东莞·校考三模）已知数列 和 ， ， ， .
(1)求证数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
8．（2023·河南·襄城高中校联考三模）在等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求满足 的k的值．
9．（2023·广西桂林·校考模拟预测）设数列 的前 项和为 ，且 与 的等差中项为 .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设 ，证明： .
10．（2023·全国·模拟预测）已知数列 中， 是其前 项的和， ， .
(1)求 ， 的值，并证明 是等比数列；
(2)证明： .
【真题感知】
一、单选题1．（2023·天津·统考高考真题）已知 为等比数列， 为数列 的前 项和， ，则 的
值为（ ）
A．3 B．18 C．54 D．152
2．（2020·全国·统考高考真题）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a–a=12，a–a=24，则 =（ ）
5 3 6 4
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
3．（2020·全国·统考高考真题）数列 中， ，对任意 ，若
，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
4．（2021·全国·统考高考真题）设正整数 ，其中 ，记
．则（ ）
A． B．
C． D．
三、双空题
5．（2023·北京·统考高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、
用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 ，该
数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 ，则 ；数列
所有项的和为 ．
四、解答题
6．（2022·全国·统考高考真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
7．（2020·全国·统考高考真题）设等比数列{an}满足 ， ．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记 为数列{log an}的前n项和．若 ，求m．
3
8．（2020·天津·统考高考真题）已知 为等差数列， 为等比数列，
．（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
9．（2021·天津·统考高考真题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的
等比数列， ．
（I）求 和 的通项公式；
（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
10．（2022·天津·统考高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
