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第 小题 三角函数与三角恒等变换
5
第5小题 三角函数与三角恒等变换.................................................1
一、主干知识归纳与回顾......................................................3
5.1.1.任意角.............................................................3
5.1.2.弧度制.............................................................3
5.2.1.三角函数的概念.....................................................3
5.2.2.同角三角函数的基本关系式...........................................4
5.3.诱导公式.............................................................4
5.4.正弦、余弦函数的图象与性质...........................................4
5.5.1两角和与差的正弦.余弦.正切公式.....................................7
（一）命题角度剖析..........................................................8
（二）考情分析..............................................................8
（三）高考预测..............................................................8
二、题型分类与预测..........................................................9
命题点一：三角函数的概念与弧度制.........................................9
1.1母题精析（三年高考真题）..........................................9
一．象限角、轴线角（共1小题）....................................9
二．任意角的三角函数的定义（共2小题）............................9
三．三角函数应用（共1小题）.....................................10
1.2解题模型.........................................................11
1.3对点训练（四年省市模考）.........................................11
一．扇形面积公式（共1小题）.....................................11
二．任意角的三角函数的定义（共4小题）...........................12
三．运用诱导公式化简求值（共3小题）.............................14
命题点二：三角恒等变换..................................................16
1.1母题精析（三年高考真题）.........................................16
一．同角三角函数间的基本关系（共6小题）.........................16二．两角和与差的三角函数（共4小题）.............................18
三．二倍角的三角函数（共4小题）.................................20
四．半角的三角函数（共1小题）...................................22
1.2解题模型.........................................................23
1.3对点训练（四年省市模考）.........................................25
一．同角三角函数间的基本关系（共2小题）.........................25
二．两角和与差的三角函数（共14小题）............................25
三．二倍角的三角函数（共11小题）................................31
命题点三：三角函数的图像与性质..........................................36
1.1母题精析（三年高考真题）.........................................36
一．三角函数线（共1小题）.......................................36
二．三角函数的周期性（共4小题）.................................36
三．诱导公式（共1小题）.........................................38
四．正弦函数的图象（共4小题）...................................38
五．正弦函数的单调性（共3小题）.................................41
六．余弦函数的对称性（共1小题）.................................43
七．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共5小题）..................43
八．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共5小题）........46
九．三角函数的最值（共3小题）...................................50
1.2解题模型.........................................................53
1.3对点训练（四年省市模考）.........................................54
一．三角函数的周期性（共2小题）.................................54
二．正弦函数的图象（共1小题）...................................55
三．正弦函数的单调性（共6小题）.................................56
四．正弦函数的奇偶性和对称性（共3小题）.........................61
五．余弦函数的图象（共1小题）...................................64
六．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共12小题）.................65
七．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共5小题）........73
八．三角函数的最值（共1小题）...................................78
三、类题狂刷（五年区模、校模）：...........................................80
一．任意角的三角函数的定义（共1小题）...........................80二．三角函数的周期性（共5小题）.................................80
三．正弦函数的图象（共1小题）...................................85
四．正弦函数的定义域和值域（共1小题）...........................86
五．正弦函数的单调性（共2小题）.................................86
六．正弦函数的奇偶性和对称性（共1小题）.........................88
七．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共11小题）.................88
八．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共3小题）........96
九．两角和与差的三角函数（共13小题）............................99
一十．二倍角的三角函数（共6小题）..............................106
一十一．三角函数的恒等变换及化简求值（共1小题）................109
一十二．三角函数应用（共1小题）................................109
一、主干知识归纳与回顾
5.1.1.任意角
1.正角、负角、零角、象限角的概念.
正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
零角：一条射线没有任何旋转，就称它形成了一个零角。
2.旋转与运算：
（1）角的加法：角α 的终边旋转角 后所得的终边对应的角是 .
（2）角的减法： 。
3. 与角α 终边相同的角的集合： .
5.1.2.弧度制
1. 弧度角：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.l
|α|=
r
2. 弧度公式： （ 为圆的半径，弧长为 的弧所对的圆心角为 ）。
弧长公式： .
角度与弧度换算： ； 。
扇形面积公式： .（ 为圆的半径，扇形弧长为 ，圆心角为 ）
5.2.1.三角函数的概念
P(x,y)
α
三角函数定义1：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 ，则：
把点 的纵坐标 叫做 的正弦函数，记作 .即 ；
把点 的横坐标 叫做 的余弦函数，记作 .即 ；
把点 的纵坐标 与横坐标 的比值 叫做 的正切函数，记作 .即 。
正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：
正弦函数： 余弦函数： 正切函数：
α
2. 三角函数定义2：设点 （不与原点重合）为角 终边上任意一点，点P与原点的距离为：
，则： ， ， .
3. sinα 、cosα、 tanα在四个象限的符号: 一全正，二正弦，三正切，四余弦.5.2.2.同角三角函数的基本关系式
sinα
tanα=
1. 平方关系：
sin2α+cos2α=1
. 2. 商数关系：
cosα
.
5.3.诱导公式
1. 诱导公式一： 2. 诱导公式二：
sin(α+2kπ)=sinα, sin(π+α)=−sinα,
cos(α+2kπ)=cosα, cos(π+α)=−cosα,
tan(α+2kπ)=tanα.
（其中：
k∈Z
）
tan(π+α)=tanα.
3.诱导公式三： 4.诱导公式四：
sin(−α)=−sinα, sin(π−α)=sinα,
cos(−α)=cosα, cos(π−α)=−cosα,
tan(−α)=−tanα. tan(π−α)=−tanα.
5.诱导公式五： 6.诱导公式六：
r n−r r
T C a b 0 r n,r N,n N
= ( ≤ ≤ ∈ ∈ )
r+1 n +
,
5.4.正弦、余弦函数的图象与性质
1.正弦.余弦函数图象：
2.会用五点法作图.
在 上的五个关键点为：在 上的五个关键点为：
(1+x) n
3.周期函数定义：函数 定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个 ，都有
x=1 (1+1) n =2n =C0 +C1 +C2 +⋯+Cn
nnn n
，且 ，那么函数 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
(1+x) n (1+x) n
最小正周期：如果周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那这个最小正数叫 的最小正周
期.
4.正余弦函数的周期：
正弦函数是周期函数， （ 且 ）都是它的周期，最小正周期是 ；
余弦函数是周期函数， （ 且 ）都是它的周期，最小正周期是 ；
5.正切函数的图象：
5.正弦.余弦.正切函数的图像及其性质：y=sinx y=cosx y=tanx
图象
π
定义域 R R {x|x≠ +kπ,k∈Z}
2
值域 [-1,1] [-1,1] R
最值
无
周期性 T=2π T=2π T=π
奇偶性 奇 偶 奇
单调性 在 上单调递增 在 上单调递增
在每一个区间
k∈Z
在 上单调递减 上单调递增
在 上单调递减
对称轴方程：
无对称轴
对称性
对称轴方程：
k∈Z
对称中心 ， k∈Z 对 称 中 心 ， 对称中心 ， k∈Z
k∈Z5.5.1两角和与差的正弦.余弦.正切公式
1.两角和与差的正弦：
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
: :
2.两角和与差的余弦：
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
: :
3.两角和与差的正切：
: . : .
4.倍角公式
（1）
sin2α=2sinαcosα
变形： .
（2）
cos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2α
.
变形：降幂公式：
（3） .
5.辅助角公式
y=asinx+bcosx= √a2 +b2sin(x+ϕ)
（其中 , ).
（其中 , ).（一）命题角度剖析
1.三角函数的概念与弧度制 ★☆☆☆☆ 2.三角恒等变换 ★★★★☆
3.三角函数的图象与性质 ★★★☆☆
（二）考情分析
高考频率：100% 试题难度：中等 呈现形式：以选择题或填空题
（三）高考预测
与三角函数的知识相结合，利用三角恒等变换的方法将三角函数式化简、求值，或分析
函数图象变换的规律，研究三角函数的基本性质，解决与三角函数图象与性质有关的问题。二、题型分类与预测
命题点一：三角函数的概念与弧度制
1.1母题精析（三年高考真题）
一．象限角、轴线角（共1小题）
1．（2016•上海）若 ，且 ，则角 的终边位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由 ，则角 的终边位于一二象限或 轴的非负半轴上，由 ，则角 的终边位于
二四象限，两者结合即可解决问题．
【解答】解： ，则角 的终边位于一二象限或 轴的非负半轴上，
由 ， 角 的终边位于二四象限， 角 的终边位于第二象限．故选： ．
【点评】本题考查三角函数值的符号规律，属于基础题，合理地将条件化简，从而将问题转化为已知三角
函数值的符号问题．
二．任意角的三角函数的定义（共2小题）
2．（2018•新课标Ⅰ）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点 ，
，且 ，则
A． B． C． D．1
【分析】推导出 ，从而 ，进而 ．由此能求
出结果．
【解答】解： 角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，
终边上有两点 ， ，且 ， ，解得 ，， ， ．故选： ．
【点评】本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，
考查函数与方程思想，是中档题．
3．（2020•新课标Ⅱ）若 为第四象限角，则
A． B． C． D．
【分析】先求出 是第三或第四象限角或为 轴负半轴上的角，即可判断．
【解答】解： 为第四象限角，则 ， ，
则 ， 是第三或第四象限角或为 轴负半轴上的角， ，故选： ．
【点评】本题考查了角的符号特点，考查了转化能力，属于基础题．
三．三角函数应用（共1小题）
4．（2019•北京）如图， ， 是半径为2的圆周上的定点， 为圆周上的动点， 是锐角，大小为
，图中阴影区域的面积的最大值为
A． B． C． D．
【分析】由题意可得 ，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线 ，运用扇
形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值．
【解答】解：由题意可得 ，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线 ，
即有 ， 到线段 的距离为 ， ，扇形 的面积为 ， 的面积为
，
，即有阴影区域的面积的最大值为 故选：
．
【点评】本题考查圆的扇形面积公式和三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题．
1.2解题模型
1.三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确
定这个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程(组),求出参数的
值.
2.确定 的终边所在象限的方法
(1)确定 的终边所在象限的方法：先求出 的范围，再直接转化为终边相同的角
即可.
(2)确定 的终边所在象限的两种方法①不等式法：用不等式表示出 的范围，然后对k∈Z分情况讨论：被n整除，被n除余1,被
n除余2……被n除余 ,从而得出结论.
②几何法：分别将各个象限n等分，从 轴的非负半轴起，按逆时针方向依次循环标上
I,Ⅱ,Ⅲ,IV,根据α终边所在的象限，找出相对应的标号，根据标号所在的位置，确定 的终边
所在的象限.
3.应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
1.3对点训练（四年省市模考）
一．扇形面积公式（共1小题）
1．（2023•福建模拟）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，
其大意为：圆的帐周长乘以其半径等于圆面积．南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面
积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数 使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更
为“精确”地估计圆周率 ．据此，当 足够大时，可以得到 与 的关系为
A． B．
C． D．【分析】设圆的半径为 ，由题意可得 ，化简即可得出答案．
【解答】解：设圆的半径为 ，将内接正 边形分成 个小三角形，
由内接正 边形的面积无限接近圆的面即可得： ，
解得： ．
故选： ．
【点评】本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
二．任意角的三角函数的定义（共4小题）
2．（2022•南平模拟）在单位圆中，已知角 的终边与单位圆交于点 ，现将角 的终边按逆时针
方向旋转 ，记此时角 的终边与单位圆交于点 ，则点 的坐标为
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数的定义，得到将角 的终边按逆时针方向旋转 对应的角的大小，利用两角和差的
余弦公式进行求解即可．
【解答】解： 在单位圆中，已知角 的终边与单位圆交于点 ，
， ，
将角 的终边按逆时针方向旋转 ，此时角为 ，
则点 的横坐标为 ；
点 的纵坐标 ，
则点 的坐标为 ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义结合两角和差的余弦公式是解决本题的关键．
3．（2022•德化县校级模拟）已知角 的终边经过点 ，则
A． B． C． D．
【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义可求 ，利用三角函数恒等变换化简即
可求解．
【解答】解：因为角 的终边经过点 ，
所以 ，
则 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 （舍去），或 ，
因为 ，
所以 ，可得 ，故 正确；
所以 ，故 正确；
因为 ，故 正确；
因为 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，三角函数恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查了
转化思想，属于中档题．
4．（2023•福建模拟）已知 ，角 的终边上有点 ，则
．【分析】利用三角函数定义求出 ，再由坐标的正负判断 所在象限，可得 的具体值．
【 解 答 】 解 ：
，
故 ，
又因为 ， ，
故 在第四象限，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的化简求值，属于基础题．
5．（2022•宁德模拟）在平面直角坐标系 中，圆 与 轴的正半轴交于点 ，点 ， 在圆 上，若
射线 平分 ， ， ，则点 的横坐标为 ．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义以及二倍角的余弦公式即可求解．
【解答】解：由题意，如图所示，可得 ， ，
因为 ，
所以点 的横坐标为 ．
故答案为： ．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义以及二倍角的余弦公式的应用，考查了数形结合思想，属于
基础题．
三．运用诱导公式化简求值（共3小题）
6．（2022•三元区校级模拟）已知 ，则
A． B． C． D．
【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
【解答】解：因为 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
7．（2022•漳州模拟）已知 ，则
A． B． C． D．
【分析】由已知利用诱导公式化简所求即可得解．
【解答】解：因为 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
8．（2020•泉州一模）已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，若点 在角的终边上，则
A． B． C． D．
【分析】由已知利用三角函数定义可得 的值，进而根据诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可求解．
【解答】解：由已知利用三角函数定义可得 ，
故 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了三角函数定义，诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，
考查了转化思想，属于基础题．
命题点二：三角恒等变换
1.1母题精析（三年高考真题）
一．同角三角函数间的基本关系（共6小题）
1．（2021•新高考Ⅰ）若 ，则
A． B． C． D．
【分析】由题意化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征即可求得三角函数式的值．
【解答】解：由题意可得：
．故选： ．
【点评】本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识， 是解题的关
键，属于中等题．
2．（2021•全国）已知 ，则
A．3 B． C． D．
【分析】由已知把要求值的式子化弦为切求解．
【解答】解：由 ，得 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
3．（2020•新课标Ⅰ）已知 ，且 ，则
A． B． C． D．
【分析】利用二倍角的余弦把已知等式变形，化为关于 的一元二次方程，求解后再由同角三角函数
基本关系式求得 的值．
【解答】解：由 ，得 ，
即 ，解得 （舍去），或 ．
， ， ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式与二倍角公式的应用，是基础题．
4．（2018•全国）已知 为第二象限的角，且 ，则A． B． C． D．
【分析】由 ，①， ，②，联立①②，再结合已知条件即可求出 ，
的值，则答案可求．
【解答】解： ，①， ，②，
又 为第二象限的角，
， ，
联立①②，解得 ， ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查了三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系，是基础题．
5．（2023•乙卷）若 ， ，则 ．
【分析】根据三角函数的坐标定义，利用坐标法进行求解即可．
【解答】解： ， ，
令 ， ，设 终边上一点的坐标 ，
则 ，
则 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用坐标法进行求解是解决本题的关键，是基础题．
6．（2023•全国）已知 ，若 ，则 ．
【分析】利用二倍角公式得到 ， ，则 ， ，利用“1”的代换即可求解．【解答】解： ，且 ， ， ，
， ，
，
，
解得 或 （舍 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了三角函数的求值问题，属于中档题．
二．两角和与差的三角函数（共4小题）
7．（2023•新高考Ⅰ）已知 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】由已知结合和差角公式先求出 ，再求出 ，然后结合二倍角公式可求．
【解答】解：因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式的应用，属于中档题．
8．（2022•新高考Ⅱ）若 ，则
A． B． C． D．
【分析】解法一：由已知结合辅助角公式及和差角公式对已知等式进行化简可求 ，进而可求．解法二：根据已知条件，结合三角函数的两角和公式，即可求解．
【解答】解：解法一：因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ．
解法二：由题意可得， ，
即 ，
所以 ，
故 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应
用，属于中档题．
9．（2022•北京）若函数 的一个零点为 ，则 1 ； ．
【分析】由题意，利用函数的零点，求得 的值，再利用两角差的正弦公式化简 ，可得 的值．
【解答】解： 函数 的一个零点为 ， ，，函数 ，
，
故答案为：1； ．
【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，函数的零点，求三角函数的值，属于中档题．
10．（2022•浙江）若 ， ，则 ， ．
【分析】由诱导公式求出 ，再由同角三角函数关系式推导出 ，由此能求出
的值．
【解答】解： ， ，
，
，
，
，
解得 ， ，
．
故答案为： ； ．
【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考
查运算求解能力，是基础题．
三．二倍角的三角函数（共4小题）
11．（2021•甲卷）若 ， ，则A． B． C． D．
【分析】把等式左边化切为弦，再展开倍角公式，求解 ，进一步求得 ，再由商的关系可得
的值．
【解答】解：由 ，得 ，
即 ，
， ，
则 ，解得 ，
则 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
12．（2021•乙卷）
A． B． C． D．
【分析】法一、直接利用二倍角的余弦化简求值即可．
法二、由诱导公式即二倍角的余弦化简求值．
【解答】解：法一、．
法二、
．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数的化简求值和二倍角的余弦，是基础题．
13．（2019•新课标Ⅱ）已知 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】由二倍角的三角函数公式化简已知可得 ，结合角的范围可求 ，
，可得 ，根据同角三角函数基本关系式即可解得 的值．
【解答】解： ，
可得： ，
， ， ，
，
，
解得： ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，
考查了转化思想，属于基础题．
14．（2020•江苏）已知 ，则 的值是 ．
【分析】根据二倍角公式即可求出．【解答】解：因为 ，则 ，
解得 ，
故答案为：
【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题．
四．半角的三角函数（共1小题）
15．（2023•新高考Ⅱ）已知 为锐角， ，则
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合二倍角公式，以及角 的取值范围，即可求解．
【解答】解： ，
则 ，
故 ，即 ，
为锐角，
，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查半角的三角函数，属于基础题．
1.2解题模型
1.全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤
同角三角函数的基本关系式的应用(1)利用sin²α+cos²α=1可以实现角α正弦、余弦的互化，利用 可以实现角α的弦
切互化
(2)sina,cosα的齐次式的应用
①已知tanα的值，求关于sin α与cos α的齐n次分式的值：分子、分母同时除以cosnα,转化为
关于tanα的式子求解.
②“1”的代换问题：含有sin²α,cos²α及sinαcosα的整式求值问题，可将所求式子的分母看作
“1”,利用“sin²α+cos²α=1”代换后转化为“切”,然后求解
(3)同角三角函数的基本关系式的常用变形
①sin²α=1-cos²α,cos²α=1-sin²α.
②(sinα±cosα)²=1±2sinαcosα.
2.诱导公式及其应用
(1)三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) －α π－α π＋α －α ＋α
正弦 sin α －sin α sin α －sin α cos α cos α
余弦 cos α cos α －cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α －tan α －tan α tan α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
(2)诱导公式的使用口诀：奇变偶不变，符号看象限.
“奇变偶不变”是指在 中，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函
数名不变.“符号看象限”是指在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号.
(3)诱导公式的使用步骤
(4)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
三角函数式的化简、求值
(1)三角函数式的化简
三看原则
一看角：通过看角之间的差别与联系，把角进行合理转化
二看函数名称：若函数名称不同，则可利用公式将函数名称进行转化
三看结构特征：通过看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根
式
要升幂”等
化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.
(2)三角函数式求值的基本类型
①给角求值：a.化为特殊角的三角函数
值；b.化为正、负相消的项，消去求值；c.化简分子、分母，使其出现公约数，然后约分求
值.
②给值(式)求值：解题的关键在于“变角”,如α=(α+β)-β,2a=(α+β)+(α-β)等，把待求三角函数
值的角用含已知角的式子表示出来，求解时要注意对角的范围的讨论.
③给值求角：实质上可转化为“给值求值”问题，先求所求角的某一三角函数值，再利用该
三角函数值结合所求角的范围求得角.
1.3对点训练（四年省市模考）
一．同角三角函数间的基本关系（共2小题）
1．（2016•龙岩一模）若 ，则
A． B． C．2 D．3【分析】已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简求出 的值，原式利用同角三角函数间基本
关系化简后，将 的值代入计算即可求出值．
【解答】解： ，即 ，
原式 ，
故选： ．
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
2．（2016•泉州模拟）已知 为第四象限角， ，则 ．
【分析】根据三角函数的定义和同角的三角函数的关系建立方程即可得到结论．
【解答】解：由 得 ，
平方得 ，
即 ，
即 ，
是第四象限的角，
解得 （舍 或 ，
即 ． ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查三角函数值的求解，利用三角函数的同角关系是解决本题的关键，属于基础题．
二．两角和与差的三角函数（共14小题）
3．（2023•漳州模拟）在 中，若 ， 分别是方程 的两个根，则
A． B． C． D．
【分析】由两角和与差的三角函数，结合韦达定理求解即可．【解答】解：在 中，若 ， 分别是方程 的两个根，
则 ， ，
又 ，
则 ，
即 ， ，
则 ， ，
即 ，
故选： ．
【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，属基础题．
4．（2023•厦门模拟）已知 ，则
A．0 B． C． D．
【分析】利用两角和差的正弦公式将题给条件化简，得到关于 的方程，解之即可求得 的值．
【解答】解：因为 ，
，
又 ，
则 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了和差角公式的应用，属于基础题．
5．（2023•泉州模拟）已知 ， ，且满足 ，则
A． B． C． D．【分析】根据题意结合诱导公式分析判断．
【解答】解：因为 ，可得 ，
因为 ，
所以 ，
又因为 ， ，则 ，
所以 ，整理得 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角化简中的应用，属于基础题．
6．（2023•漳州模拟）已知 ，则
A． B． C． D．
【分析】利用诱导公式和二倍角余弦公式直接化简求解即可．
【解答】解： ．
故选： ．
【点评】本题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（2022•莆田模拟）若 ，则
A． B． C． D．
【分析】利用平方的方法求得 ，由此求得 的值．
【解答】解：依题意 ，
两边平方，可得 ，化简得 ，可得 ，
所以 ．
故选： ．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了方程思想，
属于基础题．
8．（2022•南平模拟）在 中，若 ，则
A． B． C． D．
【分析】先结合三角形的内角和定理与诱导公式可得 ，再由二倍角公式，得解．
【解答】解：因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握二倍角公式，诱导公式是解题的关键，考查运算求解能
力，属于基础题．
9．（2022•厦门模拟）已知 ， ，且 ，则
A． B． C． D．
【分析】利用题中的条件分别解出 ， ， ， ，即可解出．
【解答】解：由 ， ，
， ；
， ，
，
，， ，
，
故选： ．
【点评】本题考查了三角函数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．
10．（2022•三明模拟）已知 ，则
A． B． C． D．
【分析】由题意，利用诱导公式，计算求得结果．
【解答】解： ，则
，
故选： ．
【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
11．（2020•龙岩一模）已知函数 满足 ，则
A． B．0 C． D．2
【分析】由 可知函数关于 对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可求 ，
然后代入即可求解．
【解答】解：由 可知函数关于 对称，
根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可知， ， ，
故 ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了正弦函数的对称性的简单应用，属于基础试题．
12．（2019•福州一模）已知 ，且 ，则A．0 B． C．1 D．
【分析】解法一：由题意先求出角 ，从而求得 的值．
解法二：由题意求得 ，再根据 吧，利用两角差的三角公式求得结果．
【解答】解：由 ，且 ，可得 ，
代入 ，可得 ，
故选： ．
解法二：由 ，且 ，可得 ，
所以 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题．
13．（2020•福建二模）已知 ，则
A．1 B． C． D．0
【分析】由题意利用两角和差的三角公式求得 的值，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦
公式，求得 的值．
【解答】解： ，即 ， ，
， ，
则 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式的应用，属于
基础题．
14．（2023•三明三模）在平面直角坐标系中， ， ， ， ，当时，写出 的一个值为 （答案不唯一） ．
【分析】先求出 ， 的坐标，再利用向量的数量积运算可得 ，所以
或 ， ，解出 的值即可．
【解答】解： ， ， ， ，
， ， ，
，
又 ， ，
，
当 时， ，
或 ， ，
即 或 ， ，
的一个值为 （答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了向量的数量积运算，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．
15．（2023•漳州模拟）由 ，可求得 ．
【分析】由题意得到 ，利用二倍角的正弦公式得到 ，
即可求解．【解答】解： ，
，
，
，
，
，
或 （舍 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了诱导公式和二倍角的正弦公式，属于基础题．
16．（2022•福州模拟）已知 ，则 ．
【分析】由已知利用两角差的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为 ，
所以 ，可得 ，
则 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了两角差的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属
于基础题．
三．二倍角的三角函数（共11小题）
17．（2023•龙岩模拟）已知 ，若 恒成立，则
A． B． C． D．
【分析】若 恒成立，即 ，由余弦的二倍角公式和辅助角公式化简 ，求出，此时 ，则 ，由诱导公式即可得出答案．
【解答】解： ，
其中 ， ，所以当 时， ．
若 恒成立，则 ，
此时 ，则 ，即 ，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查二倍角的三角函数，考查转化能力，属于中档题．
18．（2023•泉州模拟）已知 ，则
A． B．0 C． D．
【分析】由弦切互化可得 ，进而由余弦的二倍角公式以及齐次式的计算即可求解．
【解答】解：由 ，可得 ，
故 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查二倍角公式，考查运算求解能力，属于基础题．
19．（2022•泉州模拟）已知 ，且 ，则
A． B． C． D．
【分析】由题意，直接利用三角函数关系式的变换，求出结果．
【解答】解： ，且 ，
，即 ，
根据选项得： ， ，
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于
基础题．
20．（2022•泉州模拟）已知 ，则
A． B． C． D．
【分析】将已知等式利用两角差的余弦公式化简可得 ，两边平方，利用同角三角函
数基本关系式，二倍角的正弦公式即可求解．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
两边平方，可得 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数化
简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
21．（2022•三明模拟）若 ，则
A． B． C． D．
【分析】由三角函数的诱导公式，倍角公式即可得出答案．
【解答】解： ，
故选： ．
【点评】本题考查二倍角的三角函数，考查学生的运算能力，属于中档题．22．（2021•漳州一模）已知 ，则
A． B． C． D．
【分析】由已知利用诱导公式可求得 的值，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．
【解答】解：由 ，得 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角公式，考查运算求解能力，考
查数学运算核心素养，属于基础题．
23．（2020•漳州一模）若 ，则
A． 或 B． 或 C． D．
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和倍角公式的应用求出结果．
【解答】解： ，解得 或 ．
故： ．
当 时，原式得 ．
当 时，原式得 ．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，同角三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，
主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
24．（2023•福州模拟）若 ， 是第三象限角，则 ．
【分析】根据已知条件，结合三角函数的同角公式，先求出 ，再结合正切函数的二倍角公式，即可
求解．【解答】解： ， 是第三象限角，
则 ，
故 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查三角函数的同角公式，以及正切函数的二倍角公式，属于基础题．
25．（2022•莆田模拟）若 ，则 ．
【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，求得 的正弦值、余弦值，可得要求式
子的值．
【解答】解： ， ， ，
若 ，则 ，
．
若 ，则 ，
．
综上可得， ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式的应用，属于基础题．
26．（2022•泉州模拟）若 ，则 ．
【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，求得 的值．【解答】解： ，即 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式的应用，属于基础题．
27．（2021•福州模拟）已知 ，则 的值为 ．
【分析】由题意利用诱导公式求得 ，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，求得要求式子
的值．
【解答】解： ， ，
则 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于中档题．
命题点三：三角函数的图像与性质
1.1母题精析（三年高考真题）
一．三角函数线（共1小题）
1．（2022•甲卷）已知 ， ， ，则
A． B． C． D．【分析】构造函数 ， ，可得 ，即 ，利用三角函数线可得
，即 ，即 ，可得 ．
【解答】解：设 ， ，则 ，
设 ， ，
故 在 单调递增，即 ，
即 ，故 在 上单调递增，
所以 ，可得 ，故 ，
利用三角函数线可得 时， ，
，即 ， ，故 ．
综上： ，
故选： ．
【点评】本题考查了三角函数不等式的证明与应用，考查了运算能力，属难题．
二．三角函数的周期性（共4小题）
2．（2021•乙卷）函数 的最小正周期和最大值分别是
A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2
【分析】化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．
【解答】解： ，．
当 时，函数 取得最大值 ；
函数 的周期为 ，最大值 ．
故选： ．
【点评】本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．（2023•新高考Ⅰ）已知函数 在区间 ， 有且仅有3个零点，则 的取值范
围是 ， ．
【分析】利用余弦函数的周期，结合函数的零点个数，列出不等式求解即可．
【解答】解： ， ，函数的周期为 ， ，可得 ，
函数 在区间 ， 有且仅有3个零点，
可得 ，
所以 ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查三角函数的周期的应用，函数的零点的应用，是基础题．
4．（2022•乙卷）记函数 ， 的最小正周期为 ．若 ， 为
的零点，则 的最小值为 3 ．
【分析】由题意，结合余弦函数的周期和零点，建立相关的方程求解即可．
【解答】解：函数 ， 的最小正周期为 ，
若 ， ，则 ，所以 ．
因为 为 的零点，所以 ，
故 ， ，所以 ， ，
因为 ，则 的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，考查了方程思想，属于基础题．
5．（2022•上海）函数 的周期为 ．
【分析】由三角函数的恒等变换化简函数可得 ，从而根据周期公式即可求值．
【解答】解：
，
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用，属于基础
题．
三．诱导公式（共1小题）
6．（2021•北京）若点 关于 轴的对称点为 ， ，则 的一个取值为
（答案不唯一） ．
【分析】利用点关于 轴对称，可知横坐标相反，纵坐标相等，利用诱导公式分析求解，写出一个符合题
意的角即可．
【解答】解：因为 与 ， 关于 轴对称，
故其横坐标相反，纵坐标相等，即 且 ，
由诱导公式 ， ，
所以 ， ，解得 ， ，
则符合题意的 值可以为 ．
故答案为： （答案不唯一）．
【点评】本题考查了三角函数的化简，三角函数诱导公式的应用，点关于线的对称性问题，属于基础题．
四．正弦函数的图象（共4小题）
7．（2022•新高考Ⅰ）记函数 的最小正周期为 ．若 ，且
的图像关于点 ， 中心对称，则
A．1 B． C． D．3
【分析】由周期范围求得 的范围，由对称中心求解 与 值，可得函数解析式，则 可求．
【解答】解：函数 的最小正周期为 ，
则 ，由 ，得 ， ，
的图像关于点 ， 中心对称， ，
且 ，则 ， ．
， ，取 ，可得 ．
，则 ．
故选： ．
【点评】本题考查 型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．8．（2022•甲卷）设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】由题意，利用正弦函数的极值点和零点，求得 的取值范围．
【解答】解：当 时，不能满足在区间 极值点比零点多，所以 ；
函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，
， ，
，
求得 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查正弦函数的极值点和零点，属于中档题．
9．（2022•天津）已知 ，关于该函数有下列四个说法：
① 的最小正周期为 ；
② 在 ， 上单调递增；
③当 ， 时， 的取值范围为 ， ；
④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意，利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：对于 ，它的最小正周期为 ，故①错误；
在 ， ， ， ，函数 单调递增，故②正确；当 ， 时， ， ， 的取值范围为 ， ，故③错误；
的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到，故④错误，
故选： ．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．
10．（2022•新高考Ⅱ）已知函数 的图像关于点 ， 中心对称，则
A． 在区间 单调递减
B． 在区间 ， 有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
【分析】直接利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的判断 、 、 、 的真假．
【解答】解：因为 的图象关于点 ， 对称，
所以 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
故 ，
令 ，解得 ，
故 在 单调递减， 正确；
， ， ， ，根据函数的单调性，故函数 在区间 ， 只有一个极值点，故 错误；
令 ， ，得 ， ， 显然错误；
，
求导可得， ，
令 ，即 ，解得 或 ，
故函数 在点 处的切线斜率为 ，
故切线方程为 ，即 ，故 正确．
直线 显然与 相切，故直线 显然是曲线的切线，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的求法，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和
数学思维能力，属于基础题．
五．正弦函数的单调性（共3小题）
11．（2023•乙卷）已知函数 在区间 ， 单调递增，直线 和 为函数
的图像的两条对称轴，则
A． B． C． D．
【分析】先根据题意建立方程求出参数，再计算，即可得解．
【解答】解：根据题意可知 ，
，取 ， ，又根据“五点法“可得 ， ，
， ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数的性质，方程思想，属基础题．
12．（2023•全国）已知函数 ，则
A． 上单调递增 B． 上单调递增
C． 上单调递减 D． 上单调递增
【分析】根据已知条件，结合正弦函数的单调性，即可求解．
【解答】解： ，
令 ， ，解得 ， ，
当 时， ，
故 在 ， 上单调递增．
故选： ．
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
13．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数 单调递增的区间是
A． B． ， C． D． ，
【分析】本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解．
【解答】解：令 ， ．
则 ， ．当 时， ， ，
， ，
故选： ．
【点评】本题考查正弦函数单调性，是简单题．
六．余弦函数的对称性（共1小题）
14．（2023•天津）已知函数 的一条对称轴为直线 ，一个周期为4，则 的解析式可能为
A． B． C． D．
【分析】由已知结合正弦函数及余弦函数的对称性及周期公式分别检验各选项即可判断．
【解答】解： ：若 ，则 ，
令 ， ，则 ， ，显然 不是对称轴，不符合题意；
：若 ，则 ，
令 ， ，则 ， ，
故 是一条对称轴， 符合题意；
，则 ，不符合题意；
，则 ，不符合题意．
故选： ．
【点评】本题主要考查了正弦及余弦函数的对称性及周期性，属于基础题．
七．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共5小题）
15．（2023•甲卷）已知 为函数 向左平移 个单位所得函数，则 与的交点个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意，利用函数 的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：把函数 向
左平移 个单位可得
函数 的图象，
而直线 经过点 ，且斜率为 ，
且直线还经过点 ， 、
， ，
，
，如图，
故 与 的交点个数为3．
故选： ．【点评】本题主要考查函数 的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题．
16．（2022•浙江）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【分析】由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．
【解答】解：把 图象上所有的点向右平移 个单位可得 的
图象．
故选： ．
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象平移，属于基础题．
17．（2022•甲卷）将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线 ，若 关
于 轴对称，则 的最小值是
A． B． C． D．
【分析】由题意，利用函数 的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求得 的最小值．
【解答】解：将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线 ，
则 对应函数为 ，
的图象关于 轴对称， ， ，
即 ， ，
则令 ，可得 的最小值是 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查函数 的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．18．（2021•乙卷）把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲
线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则
A． B． C． D．
【分析】由题意利用函数 的图像变换规律，得出结论．
【解答】解： 把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，
把函数 的图像，向左平移 个单位长度，
得到 的图像；
再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，
可得 的图像．
故选： ．
【点评】本题主要考查函数 的图像变换规律，属基础题．
19．（2020•江苏）将函数 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与 轴最近
的对称轴的方程是 ．
【分析】利用三角函数的平移可得新函数 ，求 的所有对称轴 ， ，从
而可判断平移后的图象中与 轴最近的对称轴的方程，
【解答】解：因为函数 的图象向右平移 个单位长度可得
，
则 的对称轴为 ， ，即 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以平移后的图象中与 轴最近的对称轴的方程是 ，
故答案为： ，
【点评】本题考查三角函数的平移变换，对称轴方程，属于中档题．
八．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共5小题）
20．（2020•新课标Ⅰ）设函数 在 ， 的图象大致如图，则 的最小正周期为
A． B． C． D．
【分析】由图象观察可得最小正周期小于 ，大于 ，排除 ， ；再由 ，求得 ，对
照选项 ， ，代入计算，即可得到结论．
【解答】解：由图象可得最小正周期小于 ，大于 ，排除 ， ；
由图象可得 ，
即为 ， ，
若选 ，即有 ，由 ，可得 不为整数，排除 ；若选 ，即有 ，由 ，可得 ，成立．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数的周期的求法，运用排除法是迅速解题的关键，属
于中档题．
21．（2020•海南）如图是函数 的部分图象，则
A． B． C． D．
【分析】根据图象先求出函数的周期，和 ，利用五点法求出函数的 的值，结合三角函数的诱导公式进
行转化求解即可．
【解答】解：由图象知函数的周期 ，即 ，即 ，
当 时，由五点作图法，得 ，所以 ，
则
，
当 时，由五点作图法，得 ，所以 ，
所以 ．
故选： ．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合函数图象求出函数的周期和 ，利用三角函数的诱导
公式进行转化是解决本题的关键．比较基础．
22．（2023•新高考Ⅱ）已知函数 ，如图， ， 是直线 与曲线 的两个交
点，若 ，则 ．
【分析】由 ， 两点的位置入手，结合整体代换思想，先确定 ，再根据图象的位置，找出合乎条件的
一个 值，即可求解．
【解答】解：由题意：设 ， ， ， ，
由 的图象可知：
，故 ，
，则 ，
两式相减得： ，
由图可知： ，即 ，解得 ，
，
， ，
又 ， ， ，
即 ， ， ，当 时， 满足条件，
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查根据函数 的图象确定解析式的方法，属中档题．
23 ． （ 2021• 甲 卷 ） 已 知 函 数 的 部 分 图 像 如 图 所 示 ， 则 满 足 条 件
的最小正整数 为 2 ．
【分析】观察图像， ，即周期为 ，将需要求解的式子进行周期变换，变换到 附近，观察
图像可知 ，即最小正整数为2．
【解答】解：由图像可得 ，即周期为 ，
， ，
，
观察图像可知当 ，
， ，
，且 ，
时最小，且满足题意，故答案为：2．
【点评】该题考查了三角函数的周期性，以及如何通过图像判断函数值的大小，题型灵活，属于中等题．
24．（2021•甲卷）已知函数 的部分图像如图所示，则 ．
【分析】根据图象可得 的最小正周期，从而求得 ，然后利用五点作图法可求得 ，得到 的解
析式，再计算 的值．
【解答】解：由图可知， 的最小正周期 ，
所以 ，因为 ，
所以由五点作图法可得 ，解得 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查由 的部分图象确定其解析式，考查数形结合思想与运算求解能力，
属于基础题．
九．三角函数的最值（共3小题）
25．（2021•上海）已知 ，对任意的 ， ，都存在 ， ，使得
成立，则下列选项中， 可能的值是
A． B． C． D．【分析】由题意可知， ， ，即 ， ，可得 ， ，将存在任意的 ， ，
都存在 ， ，使得 成立，转化为 ， ，又由
，可得 ， ，再将选项中的值，依次代入验证，即可求
解．
【解答】解： ， ，
， ，
， ，
都存在 ， ，使得 成立，
， ，
，
， ，
在 上单调递减，
当 时， ，
，故 选项错误，
当 时， ，
，
，故 选项正确，
当 时， ，，故 选项错误，
当 时， ，
，故 选项错误．
故选： ．
【点评】本题考查了三角函数的单调性，以及恒成立问题，需要学生有较综合的知识，属于中档题．
26．（2021•北京）函数 是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【分析】先利用二倍角公式将函数 进行化简，然后由偶函数的定义进行判断，再利用换元法，令
，转化为二次函数求解最值即可．
【解答】解：因为 ，
因为 ，
故函数 为偶函数，
令 ，则 ， ，
故 是开口向下的二次函数，
所以当 时， 取得最大值 ，
故函数的最大值为 ．
综上所述，函数 是偶函数，有最大值 ．
故选： ．
【点评】本题考查了三角函数的性质，二倍角公式的运用，偶函数的定义，二次函数的性质，考查了逻辑
推理能力与转化化归能力，属于基础题．27．（2020•全国）已知函数 ，则 的最小值为
A．0 B． C． D．
【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦型函
数性质的应用求出函数的最小值．
【解答】解：函数 ；
当 ，即 时，函数的最小值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算
能力和数学思维能力，属于基础题．
1.2解题模型
1.图像变换的两种途径注意
(1)要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.
(2)上述两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位长度；而先
周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是 个单位长度，原因在于相位变换和周
期变换都是针对 而言的.
2.由函数 的图象求解析式的方法：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4）由图象上的已知点求 .
求 ,常用的方法有以下两种：①代入法：把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点
是在递增区间上还是在递减区间上)或把图象的最高点(最低点)的坐标代入.
②五点法：确定φ的值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口，
3.三角函数性质的应用策略(1)熟记三角函数的性质(主要为正弦、余弦、正切函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周
期性、对称性等性质)的有关结论.
(2)解题时善于运用整体代换的方法，即解决函数 或 的有
关问题时，要将wx+φ看作一个整体进行解题
(3)对于一些较为复杂的问题，可借助图象的直观性来解题.
1.3对点训练（四年省市模考）
一．三角函数的周期性（共2小题）
1．（2023•福建模拟）函数 ， ， 的最小正周期不可能是
A． B． C． D．
【分析】举例，分别求 ， ； ， ； ， 时函数的最小正周期，从而
判断．
【解答】解：当 ， 时，
，
故函数 的最小正周期为 ；
当 ， 时，
，
故函数 的最小正周期为 ；
当 ， 时，
，
故函数 的最小正周期为 ；
故选： ．
【点评】本题考查了三角函数的周期性的判断，属于基础题．
2．（2022•宁德模拟）函数 的周期为2，下列说法正确的是A．
B． 是奇函数
C． 在 ， 上单调递增
D． 的图像关于直线 对称
【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：函数 的周期为2，
对于 ：根据函数的周期，得到 ，故 错误；
对于 ：由于函数 ，故 ，故函数 为偶函数，故
错误；
对于 ：当 ， 时， ，故函数在该区间上单调递增，故 正确；
对于 ：当 时， ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
二．正弦函数的图象（共1小题）
3．（2023•福州模拟）已知函数 的图象关于直线 对称，若存在 ， ，
， ，满足 ，其中 ， ，则 的最
小值为
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】先由辅助角公式可得 ，分析题干可知要使 最小，则尽可能多让 取最高点，
结合图象即可得到答案．
【解答】解：由 ，由 ，
则 ，
则 ，
故 ，
则 ，
对 ， ， ，2， ， 都有 ，
要使 最小，则尽可能多让 取最高点，
又 ，
故 ，如下图取值即可，
由图象可知， 的最小值为7．
故选： ．
【点评】本题考查正 弦型函数的图象及性质，考查数形结
合思想以及运算求解能力，属于中档题．三．正弦函数的单调性（共6小题）
4．（2023•福建模拟）函数 恒有 ，且 在 ， 上单调递增，
则 的值为
A． B． C． D． 或
【分析】由题意，利用正弦函数的单调性和最值，求得 的值．
【解答】解： 函数 恒有 ，
，即 ，
， ， ， ①．
在 ， 上单调递增，
，且 ，则 ②．
综合①②可得， ，
故选： ．
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性和最值，属于中档题．
5．（2023•福建模拟）已知函数 满足： ， ，则
A．曲线 关于直线 对称
B．函数 是奇函数
C．函数 在 ， 单调递减
D．函数 的值域为 ，
【分析】用辅助角公式化简 ，再利用 ，得出 的取值集合，再结合三角函数性质
逐项判断即可．【解答】解： ，所以函数 的值域为 ， ，故 正确；
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，13，25，37， ，
因为 ，
所以曲线 关于直线 对称，故 正确；
因为 ，
即 ，
所以函数 是奇函数，故 正确；
取 ，则最小正周期 ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查了正弦函数奇偶性，单调性，值域及对称性的综合应用，属于中档题．
6．（2023•福州模拟）已知函数 ，则
A． 在区间 ， 单调递增
B． 在区间 ， 有两个零点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
【分析】由题意，利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于函数 ，
当 ， ， ， ，函数 在区间 ， 上不单调，故 错误；
当 ， ， ， ，函数 有2个零点，分别为 ， ，故 正确；
令 ，可得 ，为最大值，可得直线 是曲线 的对称轴，故 正确；
对于函数 ，它的导数为 ，
故函数 在 ， 处的切线斜率为 ，
故函数 在 ， 处的切线方程为 ，即 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
7．（2023•漳州模拟）已知函数 在 ， 上有且仅有4条对称轴；
则
A．
B． 可能是 的最小正周期
C．函数 在 上单调递增
D．函数 在 上可能有3个或4个零点
【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到 ；根据对称轴条数可确定
，进而解得 范围，知 正确； 不符合 中范围，知 错误；根据
，可知当 时，函数不单调，知 错误；根据 ，
分类讨论可得零点个数，知 正确．【解答】解： ；
对于 ，当 ， 时， ，
在 ， 上有且仅有4条对称轴， ，解得： ，
即 ， 正确；
对于 ，若 是 的最小正周期，则 ， 不能是 的最小正周期， 错误；
对于 ，当 时， ；
， ， ，
， 当 时， 不是单调函数， 错误；
对于 ，当 时， ， ， ；
当 时， 在 上有3个零点；
当 时， 在 上有4个零点； 在 上可能有3个或4个零点， 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查三角恒等变换的应用，考查运算求解能力，属于中档
题．
8．（2021•莆田二模）若函数 ，则
A． 是周期函数 B． 在 ， 上有4个零点
C． 在 上是增函数 D． 的最小值为
【分析】直接利用函数的性质，函数的周期性，单调性，函数的导数，二次函数的性质的应用判断 、 、
、 的结论．
【解答】解：函数 ，对于 ：函数 不是周期函数，故 错误；
对于 ，令 ，在 ， 上，
求得 ， ， ， ，故 正确；
对于 ：当 时， ，
所以 ，
由于 ，所以 且 ，故 ，
故函数 在 上单调递增，故 正确；
对于 ：由于 ，
当 时， ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦函数的性质的应用，函数的零点和函数的导
数和单调性的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
9．（2021•漳州一模）已知函数 在区间 ， 和 上单调递增，下
列说法中正确的是
A． 的最大值为3
B．方程 在 ， 上至多有5个根
C．存在 和 使 为偶函数
D．存在 和 使 为奇函数
【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：由函数
在区间 ，
和 上单调递增，
故 不可能为偶函数．
可得当周期 最小时， 最大，
应有 ，
求得 ，故 的最大值为3．
故 正确；
若方程 在 ， 上的根最多，则函数 的周期最小，即 ，
画出两个函数 和 在的图象，由图中可知，
此时，2个函数的图象有5个交点，故选项 正确；
因为函数 在区间 ， 上单调递增，
故不可能存在 和 使 为偶函数，
故选项 错误；
当 和 时， 为奇函数，满足题意，故选项 正确，
故选： ．
【点评】本题题以三角函数为背景，考查三角函数的周期性、奇偶性、三角函数的图象与性质、对数函数的图象与性质、函数的零点，考查推理论证能力和函数与方程思想，考查数学运算、逻辑推理核心素养，
属于中档题．
四．正弦函数的奇偶性和对称性（共3小题）
10．（2023•南平模拟）已知函数 的图象的相邻两条对称轴间的距离为 ，则
A． 的周期为
B． 在 上单调递增
C． 的图象关于点 对称
D． 的图象关于直线 对称
【分析】由已知先求出函数的周期，进而可求 ，然后结合正弦函数的性质分别检验各选项即可判断．
【解答】解：因为 的图象的相邻两条对称轴间的距离为 ，
所以 ，即 ， 错误；
所以 ， ，
令 ，可得 ，
而 ， ， ， 错误；
因为 ，此时函数取得最值，故 ， 不是函数的对称中心， 错误；
，此时函数取得最大值，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
11．（2019•泉州二模）函数 的部分图象如图中实线所示，图中圆 与 的图象交
于 ， 两点，且 在 轴上，则下列说法中正确的是A．函数 的最小正周期是
B．函数 的图象关于点 成中心对称
C．函数 在 单调递增
D．函数 的图象向右平移 后关于原点成中心对称
【分析】根据条件求出 的值，结合三角函数的周期关系求出周期，以及对应的对称轴，对称中心，利用
三角函数的性质分别进行判断即可．
【解答】解：由圆的性质知， ，
则 ，即周期 ，
则 ，得 ，故 错误，
函数关于点 ， ，对称，
函数的对称中心为 ， ，则当 时，对称中心为 ， ，故 正确，
函数的一条对称轴为 ，函数的相邻最小值的对称轴 ，前一条对称轴为
，
则函数的单调递增区间为 ， ， ，
当 时，函数的单调递增区间为 ， ， ，此时 在 单调递增错误，故 错误，
的一条对称轴为 ，
函数 的图象向右平移 ，此时函数关于 轴对称，故 错误，
故选： ．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据圆的性质求出 的坐标，结合三角函数的性质是解决
本题的关键．
12．（2023•龙岩模拟）已知函数 ，则下列说法正确的是
A． 的图象关于点 对称
B． 图象的一条对称轴是
C． ， ，则 的最小值为
D．若 时，函数 有两个零点，则实数 的取值范围是
【分析】由 可判断 ， ； ， ，即 ，画出 图
象，求得 的最小正周期可判断 ；函数 有两个零点，即 与 的图象有两个交
点，结合图象可判断 ．
【解答】解： ，
故 不正确； 正确；
的图象如所示，若 ， ，则 ，
由图可知，因为 的最小正周期为 ，
所以 ，故 正确；
，
，
若 时，函数 有两个零点，即 ，
即 与 的图象有两个交点，
由图可知， ，故 不正确．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
五．余弦函数的图象（共1小题）
13．（2023•莆田模拟）已知函数 ， 图象的一个对称中心是 ，
点 在 的图象上，则
A．
B．直线 是 图象的一条对称轴
C． 在 上单调递减D． 是奇函数
【分析】由 可得 ，对称中心 ，即可求得 ，从而得到函数 的解析式，再
根据余弦函数的图像与性质，逐一分析选项即可．
【解答】解：因为点 在 的图象上，
所以 ．又 ，
所以 ，
因为 图象的一个对称中心是 ，
所以 ，则 ， ，
又 ，所以 ，则 ， 正确；
，则直线 不是 图象的一条对称轴， 不正确；
当 时， ，单调递减， 正确；
，是奇函数， 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了余弦函数的图象和性质，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
六．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共12小题）
14．（2019•莆田一模）已知函数 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为 ，
且 ，为了得到函数 的图象，只要把 图象上所有的点
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度【分析】根据辅助角公式结合函数图象的对称性求出函数的周期以及 ，利用 求出 的结
合，结合三角函数的图象平移关系进行判断即可．
【解答】解： ，
图象中相邻两条对称轴之间的距离为 ，
，即 ，
则 ，即 ，
则 ，
，
，
即 ，
即 ，得 ，
即 ，
，
即只要把 图象上所有的点向右平移 个单位长度即可．
故选： ．
【点评】本题主要考查三角函数的图象变换以及三角函数解析式的求解，根据辅助角公式结合对称性求出
函数的解析式是解决本题的关键．
15．（2020•福州三模）已知函数 图象上相邻两条对称轴的距离为 ，把 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移 个单位长度，得到函数
的图象，则
A． B． C． D．
【分析】由题意利用函数 的图象变换规律，得出结论．
【解答】解： 函数 图象上相邻两条对称轴的距离为 ，
， ， ．
把 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
可得 的图象，
再把得到的图象向右平移 个单位长度，
得到函数 的图象，
故选： ．
【点评】本题主要考查函数 的图象变换规律，属于基础题．
16．（2023•莆田模拟）已知函数 ，将其图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象．
的顶点都是 与 图象的公共点，则 面积的最小值为
A． B． C． D．
【分析】求出平移变换的函数的解析式，画出函数的图象，然后求解解得纵坐标，即可求解三角形的面积
的最小值．
【解答】解：函数 ，将其图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象．所以
，两个函数的图象如图：
，可得 ，可得 ， ， ，
如图所示就是 面积的最小值情况之一，此时 ，
此时 到 的距离为： ，
三角形的面积的最小值为： ．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数图象的变换，三角形的面积的最小值的求法，考查转化思想以及计算能力，是
中档题．
17．（2021•福州一模）已知函数 ， 图象过 ，在区间 上为单
调函数，把 的图象向右平移 个单位长度后与原来的图象重合．设 ， 且 ，若
，则 的值为
A． B． C．1 D．
【分析】由周期求出 ，由特殊点的坐标求出 的值，可得 的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，
先求出 的值，可得 的值．
【解答】解：函数 ， 图象过 ，故有 ， ， ．
在区间 上为单调函数， ， ．
把 的图象向右平移 个单位长度后与原来的图象重合，
， ， 或 ．
当 ， ，不满足在区间 上为单调函数．
当 ， ，满足在区间 上为单调函数．
设 ， 且 ，则 ， ， ， ，
若 ，则 ， ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查由函数 的部分图象求解析式，由周期求出 ，由特殊点的坐标求出
的值，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
18．（2021•厦门一模）函数 ， ， 的部分图象如图所示，且
，现将 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 在区间
上的值域是A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，由特殊点的坐标求出 ，可得 的解析式，再利用
函数 的图象变换规律求得 的解析式，利用正弦函数的定义域和值域，求出 在区
间 上的值域．
【解答】解：根据函数 ， ， 的部分图象，
可得 ， ．
再根据五点法作图， ， ， ．
由 ， ， ．
现将 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象．
当 ， ， ， ， ， ， ， ，
故选： ．
【点评】本题主要考查由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，由特殊点的坐标求出 ，函数
的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
19．（2023•泉州模拟）已知函数 是 的一个极小值点， 是与其
相邻的一个零点．将 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，则
A． B． C． D．
【分析】根据给定信息，求出 ， 判断 ；求出函数 及 的解析式，再判断 作答．
【解答】解：因为 是函数 的一个极小值点，且 是与其相邻的一个零点，于是 的周期 ，而 ，则 ， 正确；
又 ，则 ，即 ，
而 ，因此 ， 错误；
， 于 是 得 ，
，则 ， 正确；
，则 ， 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质，考查了三角函数图象的变换，属于中档题．
20．（2023•思明区校级一模）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象
上每一点的横坐标缩短到原来的 ，得到函数 的图象，若 的图象关于直线 对称，则 的取
值可能为
A． B． C． D．
【分析】根据图象的变换规律求出 的解析式，进而求出对称轴，即可得到 的取值情况．
【解答】解： 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，
再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的 ，得到函数 ，
因为 的图象关于直线 对称，
所以 ， ，
所以 ， ，又 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ；
故选： ．
【点评】本题考查了函数 的图象变换以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于
中档题．
21．（2022•泉州模拟）将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，则
A．函数 是奇函数
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 的最小正周期为
D．函数 在 上的单调递减区间是 ，
【分析】由题意，利用函数 的图象变换规律，得到 的解析式，再利用正弦函数的图
象和性质，得出结论．
【解答】解：将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，
故函数 ，故函数 为奇函数，故 正确；
令 ，求得函数 ，为最大值，
故函数 的图象关于直线 对称，故 正确；
函数 ，故它的最小正周期为 ，故 错误；
对于函数 ，令 ， ，
求得 ， ，可得它的减区间为 ， ， ．结合 在 上，可得它的减区间为 ， ，故 正确，
故选： ．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数 的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属
于中档题．
22．（2021•南平模拟）已知函数 与函数 有相同的对称中心，则下列结
论正确的是
A．若方程 在 上有两个不同的实数根，则 取值范围是
B．将函数 的图象向右平移 个单位，会与函数 的图象重合
C．函数 的所有零点的集合为
D．若函数 在 上单调递减，则 ，
【分析】根据 与 有相同的对称中心，得到 ，然后利用三角函数的图象和性质分别进行判断
即可．
【解答】解： 与 有相同的对称中心，
，
当 时， ， ， ， ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
若方程 在 上有两个不同的实发根，则 ， ，故 错误；
因为函数 与函数 有相同的对称中心，所以 或 ，
即 ， 周期为 ，故 正确；由 ， ，得 ， ，故 错误；
若函数 在 上单调递减，又函数 在 上单调递增，所以 ，
即 ，所以 ， ，故 正确．
故选： ．
【点评】本小题以正余弦函数为载体，考查三角函数图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，考查转
化与化归思想，考查数学运算、直观想象核心素养，体现基础性和综合性．
23．（2023•厦门模拟）已知 ，将 图象向左平移 个单位后得到 的
图象，若 与 的图象关于 轴对称，则 ．
【分析】由三角函数图象的变换及三角函数的性质求解即可．
【解答】解：由题意知 ，
因为 与 的图象关于 轴对称，
所以 ，
可有 ，则
又 ，则 ，
则 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，属于基础题．
24．（2023•厦门模拟）将函数 的图象向左平移 个单位长度．得到函数
的图象，若 是奇函数，则 ．
【分析】首先根据平移规律求函数 的解析式，再根据函数是奇函数，求 的值．【解答】解：函数 向左平移 个单位长度，得到函数 ，
函数 是奇函数，所以 ，则 ， ，
则 ， ，因为 ，所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查三角函数的图象变换，正弦函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
25．（2021•漳州模拟）已知 ， ，函数 的图象向右平移 个单位得到
的图象，若函数 与函数 的极值点完全相同，则 3 ， 的最小值为 ．
【分析】由题意利用函数 的图象变换规律，得到 的解析式，再根据三角函数的最值，
求出 的最小值．
【 解 答 】 解 ： ， ， 函 数 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 得 到
的图象，
若函数 与函数 的极值点完全相同，
则 ， ， 、 ．
， ．
即 ， 最小时， ，即 ，
故答案为：3； ．
【点评】本题主要考查函数 的图象变换规律，三角函数的最值，属于中档题．
七．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共5小题）
26．（2023•泉州模拟）如图，函数 ， ， 图象与 轴交于 ，与 轴交于 ，其最高点为 ．若 ，则 的值等于
A． B． C． D．2
【分析】先求出周期 ，再根据 求 ，最后根据点 和 即可求 ．
【解答】解：由图可知： ，得 ，
所以 ，
将 代入方程得： ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
解得： 或 （舍 ．
故选： ．【点评】本题考查了由 的部分图象确定其解析式，考查了三角函数图象的应用，考查了数
形结合思想，属于中档题．
27．（2023•漳州模拟）函数 的图象如图所示，则
A．
B． 在 上单调递增
C． 的一个对称中心为
D． 是奇函数
【分析】根据函数图象求出 ， 判断 ，再由正弦型函数的单调性、对称性判断 ，求出 的
解析式，判断奇偶性即可判断 ．
【解答】解：对于 ，因为 为该函数图象的最高点，
所以 ，
将点 ， 代入 ，
则 ，即 ，
，
，
故 ，故 正确；
对于 ，当 时， ，则 在 上单调递增，故 正确，；
对于 ，令 ，解得 ，
故 的对称中心为 ， ，
不是对称中心，故 错误；
对于 ， 是非奇非偶函数，故 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于基础题．
28．（2022•三明模拟）已知函数 的部分图像如图所示，则下列说法正确
的是
A．
B． 的最小正周期为2
C．将 的图像向右平移1个单位长度，得到函数 的图像
D．若 在区间 ， 上的值域为 ， ，则 的取值范围为 ，
【分析】将 的图象与 的图象结合，根据三角函数图象性质，数形结合即可求解．
【解答】解：对 选项， 如右图根据 的图象结合 的图象可知：， ， ， 选项正确；
又 ， ，又 ， ， 选项错误；
，
对 选项，将 的图像向右平移1个单位长度，得到函数 ， 选项错误；
对 选项， ， ， ，又 ，如右图数形结合
可得：
， ， 选项正确．
故选： ．
【点评】本题考查由三角函数图象求解析式，函数图象的平移变换，三角函数图像性质，数形结合思想，
属中档题．
29．（2021•泉州一模）已知函数 ， 的部分图象如图所示，则A． B． C． D．
【分析】【解法一】利用周期求 ，利用最高点的坐标，求出 的值，再利用图象平移，可求函数
的解；
【解法二】由 ，结合正弦函数的图象特点求出 ，再求出 的值．
【解答】解：【解法一】由函数 的部分图象知，
，解得 ，
即 ，解得 ，
所以 满足题意，选项 正确，选项 错误；
又 ，且 ，
结合正弦函数的图象特点知 ，
选项 正确，选项 错误．
【解法二】由 ，且 ，
结合正弦函数的图象特点知 ，
所以选项 正确，选项 错误．
由 ，且 ，
根据正弦型函数图象特点知， ，解得 ，所以选项 正确， 错误．
故选： ．
【点评】本题考查了函数 的图象与性质的应用问题，是基础题．
30．（2023•厦门模拟）已知函数 的图象如图所示，且 在
的图象上，则 的值为 ．
【分析】根据图象可利用周期得 ，进而将 代入，结合二倍角公式可得
，即可求解．
【解答】解： ，其中 ，设周期为 ，
由图象可知： ， ，
， ，
解得 ，故 ，
由于 在 图象上，
所以 ， 且 ，
由于 ，所以 ，故 ，故可得 ，
由于 ，所以 ，进而可得 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．
八．三角函数的最值（共1小题）
31．（2023•泉州模拟）已知函数 ， ，则
A． 与 均在 单调递增
B． 的图象可由 的图象平移得到
C． 图象的对称轴均为 图象的对称轴
D．函数 的最大值为
【分析】利用二倍角公式化简可得 ，利用辅助角公式化简可得 ，再结合
正弦函数的图象与性质，逐一分析选项，即可．
【解答】解： ， ，
选项 ，由 知， ， ， ，
又函数 在 上单调递增，
所以 与 均在 单调递增，即 正确；
选项 ， 的图象需由 的图象经过平移和伸缩变换得到，即 错误；选项 ，令 ， ，则 ， ，
所以 图象的对称轴为 ， ，
令 ， ，则 ， ，
所以 图象的对称轴为 ， ，
所以 图象的对称轴均为 图象的对称轴，即 错误；
选项 ， ， ，
而当 时， 与 可同时成立，
所以 的最大值为 ，即 正确．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理
能力和运算能力，属于中档题．
三、类题狂刷（五年区模、校模）：
一．任意角的三角函数的定义（共1小题）
1．（2023•泉州模拟）如图，点 是单位圆上的一个顶点，它从初始位置 开始沿单位圆按逆时针方向运
动角 到达点 ，然后继续沿单位圆逆时针方向运动 到达点 ，若点 的横坐标为 ，则
的值等于 ．【分析】首先根据 的横坐标为 ，求出 的值，然后根据同角三角函数的性质求出 ，
最后根据 化简即可求出 ．
【解答】解：
；
故答案为 ．
【点评】本题考查单位圆与周期性，以及任意角的三角函数的定义及其应用．通过三角函数的转化来求角
的余弦值．属于基础题．
二．三角函数的周期性（共5小题）
2．（2018•泉州模拟）设函数 ， 的最小正周期为 ，且 ，则下列
说法不正确的是
A． 的一个零点为
B． 的一条对称轴为C． 在区间 ， 上单调递增
D． 是偶函数
【分析】利用周期公式可求 ．由 恒成立，结合 的范围，可求 ，求得函数解析式，比较各
个选项即可得答案．
【解答】解：由 的最小正周期为 ，
得 ，则 ．
又 ，
，即 ，
得 ， ．
故 ．
， 的一个零点为 ，故 正确；
， 的一个对称轴为 ，故 正确；
当 ， 时， ， 在区间 ， 上单调递减，故 错误；
， 是偶函数，故 正确．
则说法不正确的是 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了由 的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质的应
用，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．
3．（2023•宁德模拟）已知函数 ，则
A． 的最小正周期为 B． 的图象关于 对称C． 在 ， 上有四个零点 D． 的值域为
【分析】对于 ，由函数 与函数 的最小正周期即可判断；对于 ，由
即可判断；对于 ，分 ， ， 以及 讨论即可判断；
对于 ，易知 的最小值为 ，最大值在 时取得，根据对称性，考虑 时，
的取值情况，利用导数即可求得最大值，进而判断选项 ．
【解答】解：对于 ，函数 的最小正周期为 ，函数 的最小正周期为 ，
所以函数 的最小正周期为 ，选项 正确；
对于 ， ，
所以 的图象关于直线 对称，选项 正确；
对于 ，当 时， ，易知此时 有唯一
零点 ；
当 时， ，易知此时 有唯一零点
；
当 时， ，易知此时 无零点；
当 时， ，易知此时 有唯一零点
，
所以 在 ， 上有三个零点，选项 错误；
对于 ，当 时， 取得最小值 ，此时 恰好取得最小值0，故 的最小值为；
由选项 的分析可知，当 ， 时， ，当 ， 时， ，而 关于直线
对称，
故 可 考 虑 时 ， 的 取 值 情 况 ，
，
令 ，解得 （舍 或 ，则 ，
易知当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以此时， ，
综上，函数 的值域为 ．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数的性质以及三角函数与导数的综合运用，考查分类讨论思想以及运算求解能力，
属于中档题．
4．（2023•台江区校级模拟）已知函数 ，则下列结论正确的为
A． 的最小正周期为 B． 的图象关于 对称
C． 的最小值为 D． 在区间 上单调递增
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用判断 、 、 、 的结论．
【解答】解：对于函数 ，由于 的最小值正周期为 ，函数 的
最小正周期为 ，
所以函数 的最小正周期为 ，故 错误．
由于 ，故 的图象关于 对称，故 正
确．当 ，对于 ，故当 最小且 时，
最小，故当 时，函数取得最小值 ，故 正确．
在区间 上， ， ， ， 不单调，故 错误．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运
算能力和数学思维能力，属于中档题．
5．（2023•鼓楼区校级模拟）已知函数 ，则
A． 为 的一个周期
B． 的图像关于直线 对称
C． 在 上单调递增
D． 的值域为
【分析】利用验证法选项 ，在定义区间内化简函数解析式，判断单调性并求值域．
【解答】解：对于 ，因为 ，
所以 为 的一个周期，故 正确；
对于 ，因为 ，
所以 的图像关于直线 对称，故 正确；
对于 ，因为当 时， ，则 ，
则 ，
故 在 上单调递减，故 错误；对于 ，因为 在 上单调递减，
所以 在 上的取值范围为 ，
因为 关于直线 对称，
所以 在 ， 上的取值范围为 ，
又 的周期为 ，
所以 在整个定义域上的值域为 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于中档题．
6．（2023•鼓楼区校级模拟）已知函数 且 ，其中 的最小正周期
，且 ，则 ．函数 的图象在 处的切线与
的图象恰好有3个公共点，则 ．
【分析】根据正弦函数的对称轴以及 ， 的范围，结合 建立关于 ， 的方程组，即可
求得 ， ，从而求出 ；结合 的图象及对称性，结合导数的几何意义和经过两点的斜率
公式，即可求出．
【 解 答 】 因 为 ， 则 的 图 象 关 于 对 称 ， 或 者
，
因为 的最小正周期 ，所以 ，即 ，解得 ，即 ，
此时 ，又 ，则 ，所以 ，与 矛盾，不合题意，
所以 的一条对称轴为 ，
则 ，即 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，则 ，又 ，
所以 ，又 ，则 ①，
又因为 ②，联立①②，解得 ， ，所以 ．
如图，结合 的图象及对称性可知，
在 处的切线经过点 ，切点为 ， ，则 ，
所以 ，整理得 ，所以 ．
故答案为： ； ．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
三．正弦函数的图象（共1小题）
7．（2023•鼓楼区校级模拟）已知函数 的图像关于点 ， 对称，且 ，若
在 ， 上没有最大值，则实数 的取值范围是 ．【分析】根据这三个条得到 ，然后根据 在 ， 上没有最大值可得
，由此解出 的范围即可．
【解答】解： 函数 的图像关于点 ， 对称，且 ，
，且 ，故可取 ， ．
在 ， 上， ， ，即 ， ， 没有最大值，
为最大值．
而 ， ，
，求得 ，
故答案为： ， ．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了数形结合思想与转化思想，属中档题．
四．正弦函数的定义域和值域（共1小题）
8．（2023•仙游县校级模拟）函数 在 上的值域为
A． ， B． C． D． ，
【分析】由已知结合正弦函数的值域即可求解．
【解答】解：由 得 ，
故 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了正弦函数值域的应用，属于基础题．
五．正弦函数的单调性（共2小题）
9．（2022•泉州模拟）已知函数 ，则A．在 单调递减 B．在 单调递增
C．在 ， 单调递减 D．在 ， 单调递增
【分析】由题意，利用诱导公式、余弦函数的单调性，得出结论．
【解答】解： 函数 ，
在 上， ，函数 没有单调性，故 错误；
在 ， 上， ，函数 单调递增，故 正确而 错误，
故选： ．
【点评】本题主要考查诱导公式、余弦函数的单调性，属于基础题．
10．（2023•鼓楼区校级模拟）已知函数 ，且 在区间 上单调递增，则
的取值范围为 ．
【分析】求出角的范围，利用函数的单调性建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：当 时， ，时 ，
在区间 上单调递增，
， ，
即 ，
，
当 时， ，此时 ，
当 时， ，
当 时，不等式无解，综上 或 ，
即实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查三角函数单调性的应用，求出角的范围，根据函数的单调性建立不等式关系进行求
解是解决本题的关键，是中档题．
六．正弦函数的奇偶性和对称性（共1小题）
11．（2023•南平模拟）已知函数 的图象关于直线 对称，则 的最小值是
A． B． C． D．
【分析】根据正弦型函数的对称轴可构造方程求得 的取值，进而可确定 的最小值．
【解答】解： 关于直线 对称， ，
解得： ，
当 时， 取得最小值 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了正弦函数的对称性，属于基础题．
七．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共11小题）
12．（2023•蕉城区校级模拟）已知函数 图象的相邻的对称轴之间
的距离为2，将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2
倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则函数 的解析式为
A． B．
C． D．【分析】利用三角函数的恒等变换可得 ，根据周期求出 ，即得到 的表达式，从
而根据三角函数图象变换可得 ．
【解答】解： ，
由题意知，最小正周期 ，又 ，所以 ，所以 ；
将 的图象向右平移个 个单位后，得到 的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到 的图象，所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查函数 的图象变换，三角恒等变换的应用，考查运算求解能力，属于
中档题．
13．（2023•泉州模拟）已知函数 的图象是由 的图象向右平移 个单位得到
的，若 在 上仅有一个零点，则 的取值范围是 ．
A． B． ， C． D． ，
【分析】将问题化为函数 在 上仅有一个零点，求出零点，然后讨论由第一个正
零点在区间 上，第二个正零点大于 列不等式组求解可得．
【解答】解：由题知，函数 在 上仅有一个零点，
所以 ，
所以 ，
令 ，得 ，即 ，若第一个正零点 ，则 （矛盾），
因为函数 在 上仅有一个零点，
所以 ，解得 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
14．（2019•漳州一模）将函数 的图象向左平移 个单位长度得到 的图象，则
的图象的一条对称轴为
A． B． C． D．
【分析】由三角函数图象的平行变换得： ，
由三角函数图象的性质得： ，解得： ，即 的图象的对称轴为：
，得解．
【解答】解：函数 ，
将函数 的图象向左平移 个单位长度得到 的图象，
则 ，
令 ，解得： ，即 的图象的对称轴为： ，
当 时， ，
故选： ．
【点评】本题考查了三角函数图象的平行变换及三角函数图象的性质，属简单题．
15．（2018•思明区校级模拟）将函数 的图象向左平移 个单位长度后，再将
所得的图象向下平移一个单位长度得到函数 的图象，且 的图象与直线 相邻两个交
点的距离为 ，若 对任意 恒成立，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】由已知求得 ，再由已知得函数 的最小正周期为 ，求得 ，结合
对任意 恒成立列关于 的不等式组求解．
【解答】解：将函数 的图象向左平移 个单位长度后，
再将所得的图象向下平移一个单位长度，
得 ，
又 的图象与直线 相邻两个交点的距离为 ，得 ，即 ．
，
当 时， ，
，
，解得 ．的取值范围是 ．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数的图象变换与性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，是中档题．
16．（2022•鼓楼区校级三模）已知函数 的图象过点 ，现将
的图象向左平移 个单位长度得到的函数图象也过点 ，则
A． 的最小值为2 B． 的最小值为6 C． 的最大值为2 D． 的最大值为6
【分析】直接利用函数的图象的平移变换的应用求出结果．
【解答】解：函数 的图象过点 ，
所以 ，
故 ；
当函数 的图象向左平移 个单位，得到 ，
由于函数的图象经过点 ；
所以 ，
故 的最小值为2．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能
力和数学思维能力，属于基础题．
17．（2023•蕉城区校级一模）已知函数 ， ， 在 处取得极
小值 ，与此极小值点最近的 图象的一个对称中心为 ，则下列结论正确的是
A．
B．将 的图象向左平移 个单位长度即可得到 的图象C． 在区间 上单调递减
D． 在区间 上的值域为
【分析】根据余弦函数的图象与性质求出 ， ， 的值，判断 选项；
利用三角函数图象的平移变换法则判断 选项；
利用整体思想及余弦函数的图象与性质判断 ， 选项．
【解答】解：由题知， ，
设 的最小正周期为 ，
则 ，
，
，
，
，则 ，
得 ，
又 ，
，
，故 正确；
的图象可以由 的图象向左平移 个单位长度得到，故 错误；
由 得 ，则 在区间 上单调递减，故 正确；
， ，
，，
在区间 上的值域为 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
18．（2023•福建模拟）设函数 ，则下列结论正确的为
A． 的最小正周期为
B． 的图象关于点 ， 对称
C． 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位长度得到
D． 在 上的最大值为1
【分析】由题意，利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：对于函数 ，它的最小正周期为 ，故 错误；
令 ，求得 ，可得 的图象关于点 ， 对称，故 正确；
把函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，故 错误；
当 ， ， ，故当 时，函数 取得最大值为1，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．
19．（2023•惠安县模拟）关于函数 的图象，下列说法正确的是
A． ， 是曲线 的一个对称中心
B． 是曲线 的一个对称轴
C．曲线 向左平移 个单位，可得曲线D．曲线 向右平移 个单位，可得曲线
【分析】直接利用函数的图象的平移变换和正弦型函数的性质求出结果．
【解答】解：函数 的图象，
对于 ：当 时， ，故 正确；
对于 ：当 时， ，故 错误；
对于 ：曲线 向左平移 个单位，得到 的图象，故
错误；
对于 ：曲线 向右平移 个单位，可得曲线 的图象，
故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数图象的平移变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力
和计算能力，属于基础题和易错题．
20．（2023•思明区校级模拟）已知函数 的零点依次构成一个公差为 的等
差数列，把函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则函数
A．是奇函数 B．图象关于直线 对称
C．在 上是减函数 D．在 上的值域为
【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合函数 的图象变换规律，正弦函
数的图象和性质，逐一分析选项，即可得出答案．
【解答】解：函数 的零点依次构成一个公差为 的
等差数列，
，即 ，把函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，
显然， 为奇函数，故 正确；
令 ，则 ，故 错误；
，
， ， 是减函数，故 正确；
在区间 ， 上， ， ， ， ，即 的值域为 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数 的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，考
查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．（2023•漳州模拟）把函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得
曲线向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则
A． 在 上单调递减
B． 在 ， 上有2个零点
C． 的图象关于直线 对称
D． 在 上的值域为
【分析】由题意，利用函数 的图象变换规律，求得 的解析式，再根据正弦函数的图
象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：把函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，可得 的图
象；再把所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数 的图象．
在 上， ， ， 单调递增，故 错误；
在 ， 上， ， ，故 在 ， 上有2个零点，故 正确；
令 ，求得 ，为最大值，可得 的图象关于直线 对称，故 正确；
在 上， ， ， ， ，故 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查函数 的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
22．（2023•新罗区校级模拟）将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的
函数 的图象关于点 对称，且 在区间 上单调递增，则 ，实数 的取
值范围是 ．
【分析】由题意利用函数 的图象变换规律，得到 的表达式，根据其对称中心可求得
，再利用其单调区间，分类讨论，求出 的范围，即可确定答案．
【解答】解：将函数 的图象向右平移 个单位长度，
得到的函数 的图象关于点 对称，
，即 ，
因为 ，则 ，
若 ，则 ，
在区间 上单调递增， ，当 ， ，
，且 ，
即 ，且 ， ；
若 ，则 ，
在区间 上单调递增，
，
当 ， ，
，且 ，
即 且 ，故 ；
综上可得， ， ．
故答案为： ； ．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
八．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共3小题）
23．（2023•思明区校级模拟）已知函数 的部分图象如图所示，其中 ， ，
．在已知 的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为
A． B． C． D．【分析】令 ，找到零点的关系，观察可得．
【解答】解：令 ，
根据“五点法”可得： ， ，
， ，
则 ， ， ， ，
则 ， ， ，设 为常数），
则 ， ，再根据 确定 的取值．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数的图象，属于中档题．
24．（2023•思明区校级模拟）函数 的部分图像如图所示，
， ，则下列选项中正确的有
A． 的最小正周期为
B． 是奇函数
C． 的单调递增区间为
D． ，其中 为 的导函数
【分析】根据图象，首先确定周期，得到 的值，然后代入特殊点，求得 及 的值，再根据三角函数的
性质及复合函数的求导法则，对选项进行判断即可．【解答】解：由题意可得 ，所以 ，故 正确；
则 ，所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，即 ， ，
又 ，所以 ，
则 ，
由 ，得 ，
所以 ，
则 为偶函数，故 错误；
令 ， ，得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ，故 错误；
由 可知， ，
则 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了根据图象确定解析式，三角函数的性质等知识，属中档题．
25．（2023•鲤城区校级模拟）如图，已知函数 的图象与 轴交于
点 ， ，若 ，图象的一个最高点 ，则下列说法正确的是A．
B． 的最小正周期为4
C． 一个单调增区间为
D． 图象的一条对称轴为
【分析】由题意可求得 ， ，由周期公式可得 的值，再将点 的坐标代入解析式中，即可求得 ，结
合三角函数的性质即可求解．
【解答】解：因为图象的一个最高点 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ， ，所以 ，
所以 的最小正周期为4，故 正确；
由周期公式 ，可得 ，
将点 ， 代入 中，
可得 ，即 ，
结合 ，可得 ，故 错误；
因为 ，所以 ，则 为 的一个单调增区间，故 正确；
将 代入 中，可得 ，
所以 的一个对称中心为 ，不是对称轴， 错误．故选： ．
【点评】本题主要考查由 的部分图象确定其解析式，考查三角函数的图象与性质，属于中
档题．
九．两角和与差的三角函数（共13小题）
26．（2023•鲤城区校级模拟）已知 ，则
A． B． C． D．
【分析】根据角的变换及诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系求解．
【解答】解： ，
，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式的应用，属于基础题．
27．（2023•鲤城区校级模拟）若 ，则
A．0 B． C．3 D．7
【分析】由辅助角公式将已知等式转化为 ，再由同角三角函数的基本关系可得 ，
进而可得答案．
【解答】解：因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
28．（2023•鼓楼区校级模拟）
A． B． C． D．
【分析】利用同角三角函数的基本关系及辅助角公式化简即可得解．
【解答】解：
．
故选： ．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于基础题．
29．（2023•宁德模拟）已知 ，则 的值为
A． B． C． D．
【分析】先由同角三角函数的平方关系，求得 的值，再根据 ，并利用两角
差的余弦公式，展开运算，得解．【解答】解：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角差的余弦公式，同角三角函数的平方关系是解题的
关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
30．（2022•福建模拟）已知 为锐角，且 ，则
A． B． C． D．
【分析】由题意，利用两角和差的三角公式，计算求得 的值．
【解答】解： 为锐角，且 ，即 ，即
，
则 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于中档题．
31．（2022•上杭县校级模拟）我国唐朝天文学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷
影长 与太阳天顶距 的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知
识可知，晷影长度 等于表高 与太阳大顶距 正切值的乘积，即 ，对同一“表高”两次测量，
第一次和第二次太阳天顶距分别为 ， ，且 ，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，
则第二次的“晷影长”是“表高”的
A．1倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍【分析】由 ，由 ，又 ，可求 ，可得结论．
【解答】解：由第一次的“晷影长”是“表高”的3倍， ，
由 ，得 ， ，
，解得 ，
故第二次的“晷影长”是“表高”的1倍．
故选： ．
【点评】本题考查两角差的正切公式的应用，属基础题．
32．（2022•龙岩模拟）已知函数 在 ， 内有且仅有三
条对称轴，则 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，正弦函数的图象和性质，得出结论．
【 解 答 】 解 ： 函 数 ，
，
在 ， 内有且仅有三条对称轴， ， ，
，求得 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
33．（2022•鼓楼区校级三模）若 ，且 ，则
A． B． C．2 D．【分析】由已知可得 ，可求 ，进而可求值．
【解答】解： ，可得 ，
所以 ，解得 或 ，
又 ， ， ， ，
故 ．
故选： ．
【点评】本题考查二倍角的正弦公式，属中档题．
34．（2023•三明三模）已知函数 的图象与直线 的相邻
两个交点的距离为 ，且对于任意 ， ，不等式 恒成立，则
A．
B． 的取值范围为
C． 在区间 上单调递增
D．若实数 使得方程 在 恰有 ， ， 三个实数根，则
的最小值为
【分析】首先利用三角公式对函数进行化简，然后依据正弦型函数的图象和性质，用整体代换思想，依次
对 、 进行判断， 选项结合图象，找到三个根之间的关系，再利用 的范围可得最小值．【解答】解：由题意， ． ．
． ．
． ．
， ，
图象与直线 相邻两个交点的距离为 ，
最小正周期 ， ， 正确．
此时， ，
当 时， ，又 ，
， ， ， ，
对 ，不等式 恒成立，
，解得 ， ，故 错误．
对于 ，当 ， 时， ， ，
， ， ．
所以 ， 在此区间上单调递增，故 正确．
对于 ，令 ，则当 时， ，作出 在 上的图象，如右图所
示 设 与图象的交点横坐标从左至右依次为 ， ， ，
由图可知： ， 关于 对称， ， 关于 对称，
故 ， ， ．又 ， ， ，
所以 ，
由 可得，
，
即 的最小值为 ， 错误．
故选： ．
【点评】本题考查了三角恒等变换，正弦型函数的图象和性质等知识，属中档题．
35．（2023•南平模拟）已知 为锐角， ，则 ．
【分析】利用三角恒等变换求得 ，从而得到 ，由此结合角 的范围即可得
解．
【 解 答 】 解 ： 因 为
，
所以 ，
又因为 为锐角，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．36．（2023•泉州模拟）已知 ， ，则 0 ．
【分析】根据已知条件，结合三角函数的同角公式，以及二倍角公式，即可求解．
【解答】解： ，
则 ，
， ，
，
， ，
，两边同时平方可得， ，
故 ．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查三角函数的同角公式，以及二倍角公式，属于基础题．
37．（2023•思明区校级二模）若 ， ，则 ．
【分析】由诱导公式求出 ，再由同角三角函数关系式推导出 的值．
【解答】解： ， ，
，
，
，
，
解得 ．故答案为： ．
【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能
力，是基础题．
38．（2023•鼓楼区校级模拟）若 ， ，且 ，则 的最大值
为 ．
【分析】由题意结合商数关系及平方关系可得 ，再利用基本不等式即可得出答案．
【解答】解：由 ，
得 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 的最大值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，以及基本不等式的应用，属于基础题．
一十．二倍角的三角函数（共6小题）
39．（2023•鼓楼区校级模拟）已知 ，若 ，则 的值为
A． B． C．0 D． 或0
【分析】根据二倍角公式以及弦切互化即可求解．
【解答】解： ，
则 ，故 ，
由于 ，所以 ，故 ，
又 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查三角函数的二倍角公式，属于基础题．
40．（2023•鼓楼区校级模拟）已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边过
点 ，则
A． B． C． D．
【分析】依题意，利用任意角的三角函数的定义可求得 的值，利用二倍角的余弦公式以及诱导公式
化简所求可求得答案．
【解答】解：由题意可得 ，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式以及诱导公式在三角函数化简求值
中的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于基础题．
41．（2023•思明区校级四模）已知角 的终边落在直线 上，则 的值为
A． B．1 C． D．
【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，计算求得结果．
【解答】解： 角 的终边落在直线 上， ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．42．（2023•石狮市校级模拟）已知 的最小正周期为 ，则下列说法
正确的有
A．
B．函数 在 上为增函数
C．直线 是函数 图象的一条对称轴
D．点 是函数 图象的一个对称中心
【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解： 的最小正周期
为 ，
， ，故 错误．
在 上， ， ，故 单调递增，故 正确；
当 时， ，不是最值，故直线 不是函数 图象的一条对称轴，故 错误；
当 时， ，故点 是函数 图象的一个对称中心，故 正确，
故选： ．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的图象和性质，属于中档题．
43．（2023•晋江市校级模拟）已知 ，则 ．
【分析】利用两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 ，两边平方，利用二倍角的正弦
函数公式即可计算得解．
【解答】解： ，，解得： ，
两边平方，可得： ，
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，
属于基础题．
44．（2023•石狮市校级模拟）已知 ， ，则 ．
【分析】根据条件求出 ，进而得出 ， ，然后根据两角和的余弦公式展
开即可求出 的值．
【解答】解： ， ， ，
， ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，同角函数的基本关系，考查了计算能力，
属于基础题．
一十一．三角函数的恒等变换及化简求值（共1小题）
45．（2023•惠安县模拟）黄金三角形有两种，一种是顶角为 的等腰三角形，另一种是顶角为 的等
腰三角形．已知在顶角为 的黄金三角形中， 角对应边与 角对应边的比值为 ，这个
值被称为黄金比例．若 ，则A． B． C． D．
【分析】依题意，可得 ，代入所求值的关系式，利用二倍角公式及诱导公式化简可得答案．
【解答】解：依题意，得 ，
则 ，
故选： ．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
一十二．三角函数应用（共1小题）
46．（2022•福州模拟）已知 是半径为 的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置 开始，按逆
时针方向做圆周运动，角速度为 ．如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系 ，若
，则点 的纵坐标 关于时间 （单位： 的函数关系式为
A． B．
C． D．
【分析】设点 的纵坐标 关于时间 （单位： 的函数关系式为 ，求出 的值，
时，射线 可视角 的终边，结合三角函数的定义可得出函数解析式．
【解答】解：设点 的纵坐标 关于时间 （单位： 的函数关系式为 ，由题意可得 ， ，
时，射线 可视角 的终边，则 ．
故选： ．
【点评】本题给出实际应用问题，求点 的纵坐标 关于时间 （单位： 的函数关系式，着重考查了三
角函数的定义和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．
