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5.1 等差数列
1
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2
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3
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4
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考点一 等差数列基本量的计算
【例1-1】（2024·云南·模拟预测）已知等差数列
满足：
为数列
的前
项和，则
（ ）
A．18
B．45
C．90
D．180
【答案】B
【解析】由
，得
，即
，于是
.故选：B.
【例1-2】（2024·安徽·模拟预测）已知在单调递增的等差数列
中，
与
的等差中项为8，且
，
则
的公差
（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【解析】由等差数列
为单调递增数列，可得公差
，
因为
与
的等差中项为8，可得
，可得
，即
，
又因为
，可得
，
即
，解得
或
（舍去）.
故选：C.
【例1-3】（2024·广东汕头·三模）已知等差数列
的前
项和为
，
，
，若
，
则
（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】B
【解析】由
，
，得
，解得
，则等差数列
的公差
，
于是
，由
，得
，所以
.故选：B
【一隅三反】
5
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1．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知等差数列
的前n 项和为
，若
，则
（ ）
A．3
B．7
C．11
D．23
【答案】C
【解析】
，解得
，
.故选：C
2．（2024·全国·高考真题）记
为等差数列
的前
项和，已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，则
，
则等差数列
的公差
，故
.
故选：B.
3．（2023·全国·高考真题）记
为等差数列
的前
项和．若
，则
（ ）
A．25
B．22
C．20
D．15
【答案】C
【解析】方法一：设等差数列
的公差为
，首项为
，依题意可得，
，即
,
又
，解得：
，
所以
．
故选：C.
方法二：
，
，所以
，
，
从而
，于是
，
所以
．
4．（2024·重庆·模拟预测）记
为等差数列
的前
项和，若
，
，则
（ ）
6
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A．40
B．60
C．76
D．88
【答案】D
【解析】设首项为
，公差为
，
由
，
，可得
， 解得
，
所以
.故选：D
5．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
【答案】C
【解析】设等差数列
的公差为
，由题意得
解得
所以
，所以
．故选：C
考点二 等差中项的性质
【例2-1】（23-24 浙江杭州·期中）在
中，三个内角
成等差数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】因为
成等差数列，所以
；
又
，所以
，即
，所以
，
所以
.
故选：C.
【例2-2】（23-24 高二下·北京·期中）等差数列
中，设前
项和为
，
，则
等于（ ）
A．80
B．85
C．90
D．95
【答案】B
7
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【解析】由题意可得
，
故选：B.
【例2-3】（2024·全国·模拟预测）设
，
，若
是
与
的等差中项，则
的最小值为
（ ）
A．6
B．8
C．9
D．12
【答案】B
【解析】因为
是
与
的等差中项，
所以
，即
，
∴
，又
，
，
∴
，
当且仅当
，即
，
时等号成立.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2024·辽宁·二模）记等差数列
的前n 项和为
，
，则
（ ）．
A．13
B．26
C．39
D．78
【答案】D
【解析】因为
为等差数列，所以
.故选：D.
2．（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知数列
是等差数列，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，故
，则
，所以
．故选：B
3．（2024·全国·模拟预测）在等差数列
中，已知
与
是方程
的两根，则
8
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
与
是方程
的两根，由韦达定理得
，
因为数列
为等差数列，所以
，
，
所以
，
故选：B.
4．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列
满足
，则
（ ）
A．
B．5
C．5 或－5
D．
或
【答案】C
【解析】由题
，解得
，故选：C.
考点三 等差数列片段和的性质
【例3-1】（2023·广东深圳·二模）设等差数列
的前n 项和为
，若
，
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由等差数列
的前
项和的性质可得：
，
，
也成等差数列，
，
，解得
．故选：C.
【例3-2】（2023·四川乐山·一模）设等差数列
的前
项和
，若
，
，则
（ ）
A．18
B．27
C．45
D．63
【答案】C
9
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【解析】由题意得
成等差数列，即
成等差数列，
即
，解得
.故选：C
【例3-3】（23-24·广东揭阳·期末）设
是等差数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由等差数列的性质可知
、
、
、
成等差数列，
∵
，即
，
，
∴
，
，∴
，
，
∴
.
故选：A.
【一隅三反】
1．（2024·陕西咸阳·二模）已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．30
B．58
C．60
D．90
【答案】D
【解析】由数列
为等差数列，故
、
、
、
、
亦为等差数列，
由
，
，则
，故
，
，
，
即有
，
，
.故选：D.
2．（23-24 广东深圳·期末）已知等差数列
的前
项和为
，
，
，则
（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【解析】在等差数列
中，
10
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，
，所以
，
故
构成公差为
的等差数列，
所以
，
即
.
故选：C
3（23-24 高三上·河北·期末）设
是等差数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由等差数列片段和性质知：
是等差数列.
由
，可设
，则
，于是
依次为
，
所以
，所以
.
故选：B
4．（2024·青海海东 ）已知等差数列
的前n 项和为
，若
，
，则
（ ）
A．－10
B．－20
C．－120
D．－110
【答案】C
【解析】
，
，则
.故选：C
考点四 等差数列前n 项和与n 的比
【例4-1】（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知等差数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
11
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【解析】设等差数列
的公差为
，
则
，
数列
是公差为
的等差数列，
，解得：
，
.
故选：D.
【例4-2】（2024 贵州毕节 ）等差数列
的前
项和为
，若
且
，则( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
的公差为d，∵
∴
，
即{
}为等差数列，公差为
，由
知
，故
﹒
故选：A
【一隅三反】
1．（22-23 高三上·重庆渝中·阶段练习）在等差数列
中，
为其前
项和．若
，且
，则
等于（ ）
A．-2021
B．-2020
C．-2019
D．-2018
【答案】A
【解析】因为
为等差数列
的前
项和，令
，则
也为等差数列，设其公差为
，
由
得
，
又
得
.
12
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故选：A．
2．（2024·新疆·模拟预测）在等差数列
中，
，其前n 项和为
，若
，则
（ ）
A．-4040
B．-2020
C．2020
D．4040
【答案】C
【解析】设等差数列
的前
项和为
，则
，
所以
是等差数列．因为
，
所以
的公差为，又
，
所以
是以
为首项，为公差的等差数列，
所以
，所以
故选：C
3．（2023·河南·模拟预测）已知等差数列
的前n 项和为
，若
，
，则
．
【答案】
【解析】设等差数列
的公差为
，由等差数列前n 项和公式可知
；
可得
为定值，所以
即为等差数列，又
，
即
是以
为首项，公差为1 的等差数列，所以
，从而
．
故答案为：
考点五 两个等差数列的前n 项和之比
【例5-1】（2024·河南新乡·一模）设等差数列
，
的前
项和分别为
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
13
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【答案】D
【解析】因为
，
为等差数列，
所以
，
，所以
，故选：D
【例5-2】（22-23 高二上·江苏宿迁·期中）已知两个等差数列
和
的前n 项和分别为Sn 和Tn，且
=
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
=
，所以可设
，
，
，
所以
，
，
所以
，
故选：A.
【例5-3】（2024·湖北武汉·三模）设公差不为零的等差数列
的前n 项和为
，
，则
（ ）
A．
B．-1
C．1
D．
【答案】C
【解析】在等差数列
中，
，
，故
，
又
，故
，
则
，故
.
故选：C.
【例5-4】（23-24 陕西榆林·阶段练习）已知等差数列
与等差数列
的前
项和分别为
与
,
14
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且
, 则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为数列
、
都是等差数列, 所以
,
又
，
，
故
，
，即有
,
在
中，令
，得
，
故
.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2023·全国·模拟预测）设等差数列
与等差数列
的前n 项和分别为
，
.若对于任意的正整数n 都
有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，
，
.则
，
，所以
.
故选：B.
2．（23-24 黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列
，
的前
项和分别为
，
，若
，则
15
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，数列
、
都是等差数列，显然两个数列都不是常数列，
，
因为等差数列前
项和公式为
，
所以不妨令
为常数，且
，
所以
时，
，
．
，
，
，
.
故选：A
3．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列
，
的前
项和分别为
，
，若对任意正整数
都有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
E．均不是
【答案】C
【解析】由等差数列的等和性可得，
.
故选：C.
4．（2024·河北衡水·三模）已知数列
均为等差数列，其前
项和分别为
，满足
，则
（ ）
16
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A．2
B．3
C．5
D．6
【答案】A
【解析】因为数列
均为等差数列，可得
，
且
，又由
，可得
．
因此
.故选：A．
考点六 等差数列前n 项和的最值
【例6-1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列
中，
，
，则使得前n 项的和最大的n 值为
（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【解析】在等差数列
中，
，由
，可得
，
，
，且数列
为递减数列，
所以使得前n 项的和最大的n 值为8.
故选：B.
【例6-2】（2024·四川南充·三模）设为
等差数列
的前n 项和，已知
、
、
成等比数列，
，当
取得最大值时，
（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】A
【解析】设等差数列
的公差为
，由
，得
，解得
，
由
、
、
成等比数列，得
，解得
，
因此
，
则
，当且仅当
时取等号，
所以
.
故选：A
17
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【例6-3】（2024·山东泰安·三模）已知
为等差数列
的前
项和，
，
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
的公差为
，因为
，
，
可得
，解得
，所以
，
可得
，
所以当
时，
取得最小值
.
故选：D.
【例6-4】（23-24 天津和平·期末）若
是等差数列，
表示
的前n 项和，
，则
中
最小的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以
，
因为
，所以
，
所以公差
，
故当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
取得最小值，
即
中最小的项是
.
故选：B.
【一隅三反】
18
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1．（2024·全国·模拟预测）已知
为等差数列
的前
项和，若
，
，则当
取最小
值时，
（ ）
A．9
B．10
C．10 或11
D．11
【答案】B
【解析】由等差数列的性质知
， 即
．
又
，故
，则
，
，则
，
则当
取最小值时，
.
故选：B．
2．（2024·湖北·二模）已知公差为负数的等差数列
的前
项和为
，若
是等比数列，则当
取最
大值时，
（ ）
A．2 或3
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】设等差数列
的公差为
，由
是等比数列，
得
，解得
，则
，
显然等差数列
单调递减，当
时，
，当
时，
，
所以当
取最大值时，
.
故选：B
3．（2024 全国·期末）设等差数列
的前n 项和为
，若
，则当
取得最小值时，n 的值为
（ ）
A．11
B．10
C．9
D．8
【答案】D
【解析】∵
，∴
，即
．
∵
，∴
，∴
，
∴当
时取得最小值时，n 的值为8．
故选:D．
19
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4．（2024·辽宁·二模）（多选）设
是等差数列，
是其前n 项的和.且
，
，则下面结论
正确的是（ ）
A．
B．
C．
与
均为
的最大值
D．满足
的n 的最小值为14
【答案】BCD
【解析】A：因为
，所以
，
所以
，故A 错误；
B：由A 的解析可得B 正确；
C：因为
，
，所以
与
均为
的最大值，故C 正确；
D：因为
，由
，
，
故D 正确；故选：BCD
考点七 等差数列奇数项或偶数项的和
【例7-1】（23-24 高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列
的项数为
其中奇数项之和为
偶数项之和为
则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】项数为
的
中奇数项共有
项,
其和为
项数为
的
中偶数项共有
项, 其和为
所以
解得
故选: A.
20
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【例7-2】（2023·重庆·二模）已知等差数列
的前30 项中奇数项的和为
，偶数项的和为
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为
，首项为
，
则
，所以
，
因为
，即
，则
，
等差数列的奇数项是以
为首项，
为公差的等差数列，等差数列
的前30 项中奇数项有15 项，所以
，得
，
所以
.
故选：B
【例7-3】（2024 上海徐汇·期末）设等差数列的项数
为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题知，奇数项有
项，偶数项有
项，
奇数项之和为
，
偶数项之和为
，
所以奇数项之和与偶数项之和的比为
，
故选：D
【一隅三反】
1．（22-23 四川雅安·阶段练习）一个等差数列共有2n 项，奇数项的和与偶数项的和分别为24 和30，且末项
比首项大10.5，则该数列的项数是（ ）
A．4
B．8
C．12
D．20
【答案】B
21
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【解析】根据等差数列的性质得：
，
，
解得：
，故该数列的项数为
.
故选：B
2．（2024 广东）在项数为2n＋1 的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】B
【解析】分别设该数列奇数项和与偶数项和分别为
∴
，∴
，∴n＝10，
故选:B.
3．（2024 广东深圳 ）等差数列
共有
项，其中奇数项之和为
，偶数项之和为，则
的值是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】等差数列
共有
项，偶数项之和
，
奇数项之和
，因此
，
所以
.
故选：A
4．（2024 浙江宁波·期中）一个等差数列的前12 项和为354，前12 项中偶数项和与奇数项和之比为
，
则公差d 为 .
【答案】5
【解析】设偶数项和为
，则奇数项和为
，由
可得
，
故公差
，故答案为：5．
考点八 等差数列定义及含绝对值的求和
【例8-1】（2023·吉林·一模）已知数列
,点
在直线
上.
（1）求证：数列
是等差数列；
22
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（2）设
，求数列
的前20 项和
.
【答案】(1)见解析(2)330
【解析】（1）由已知：
因为
（
）
所以数列
是公差为3 的等差数列
（2）由（1）知：
公差
，
当
时，
；当
时，
所以
=
【例8-2】（2024 吉林长春·一模）已知数列
的通项公式为
.
(1)求证：数列
是等差数列；
(2) 令
，求数列
的前
项和
.
【答案】（1）见解析；（2）50.
【解析】
（1）∵
，∴
（
），∴数列
为等差数列．
（2）解：由（1）知：数列{an}的前n 项和Tn＝
＝n2﹣10n．
令an＝2n﹣11≤0．解得n≤
＝5+
．
∴S10＝﹣（a1+……+a5）+a6+……+a10＝﹣2T5+T10＝﹣2×（52﹣10×5）+102﹣10×10＝50．
【一隅三反】
23
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1．（23-24 高三下·四川绵阳·阶段练习）设
为数列
的前
项和，已知
，且
为等差数列．
(1)求证：数列
为等差数列；
(2)若数列
满足
，且
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）设等差数列
的公差为
，则
，即
，①
因为
，所以由
，得
．②
由①、②解得
，所以
，即
，
当
时，
，
当
时，
，上式也成立，
所以
，所以数列
是等差数列；
（2）由（1）可知
，
当
时，
，
因为
满足上式，所以
．
．
2．（2024·山西·二模）已知数列
的前n 项和为
，若
，
．
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)从下面两个条件中选一个，求数列
的前n 项的和
．
24
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①
；
②
．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案不唯一，具体见解析
【解析】（1）证明：因为
，所以
，则
，
两式相减得
，所以
，以上两式相减得
，
所以数列
是等差数列．
（2）
中令
得
，又
，所以等差数列
的公差
，
所以
，
，
若选①：
若
，
，则
；
若
，
，
所以
；
若选②：
．
一．单选题
1．（2024 高三下·全国·专题练习）已知等差数列
的前n 项和为
，且
，
，则
=
（ ）
25
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A．50
B．40
C．30
D．25
【答案】D
【解析】解法一：
∵
，∴
，又
，
∴
，∴
．
解法二：
设
的公差为d，∵
，
∴
，又
，∴
，
则
，
∴
．
故选：D．
2．（2024·山东日照·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，
，
，则
（ ）
A．18
B．21
C．24
D．27
【答案】A
【解析】由题结合等差数列性质有
，
，
，
设等差数列
的公差为
，则
，
，
故
.
故选：A.
3．（2024·宁夏银川·三模）已知等差数列
的前n 项和为
，若
，则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为数列
是等差数列，
26
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所以
解得
，
所以
，
故选：C
4．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列
的前
项和分别为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
为等差数列
的前
项和，所以可设
，（等差数列前
项和的二级结论）
同理因为
为等差数列
的前
项和，所以可设
．
又
，所以
，即
，
整理得
，解得
．
不妨设
，则
，则
，故
，
故选：D．
5．（2024·全国·模拟预测）在数列
中，
，对任意正整数
，则数列
的前
项和
的
最大值为（ ）
A．77
B．76
C．75
D．74
【答案】A
【解析】因为
，即
，所以
为等差数列，且公差为-3．又
20，
所以
，所以数列
单调递减数列，
所以
，
所以
最大，且
．
27
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故选：A．
6．（2024·山东济南·二模）已知等差数列
的项数为奇数，其中所有奇数项之和为
，所有偶数项之和为
，则该数列的中间项为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设等差数列
共有
项，
则
，
，中间项为
，
故
，
，
故选：B.
7．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
是等差数列，
是其前
项的和，则下列结论错误的是（ ）
A．若
，则
取最小值时
的值为12
B．若
，则
的最大值为108
C．若
，则必有
D．若首项
，
，则
取最小值时
的值为9
【答案】D
【解析】对于A，因为
，所以
，
所以
，
所以当
时，
取得最小值，正确；
对于B，因为
，所以
，
所以
，
28
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所以当
或
时，
取得最大值为
，正确；
对于C，若
，则
，又
，
所以
，所以
，正确；
对于D，若
，则
，
又
，所以
，所以
，
所以等差数列
为递减数列，所以
，
所以
取最大值时
的值为9，错误.
故选：D
8．（2024·全国·模拟预测）记
为等差数列
的前
项和，已知
，则使得
的
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】方法一：因为
，所以
，得到
，
设等差数列
的公差为
，由
，得到
，又
，所以
，
所以
，
，
又
，
令
，其图象如图所示
结合等差数列的前n 项和及通项的函数特征，
29
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由图知，n 的取值范围是
．
方法二：由条件
得
，即
．
因为
，所以
，并且有
，
所以
．
由
，得
，
整理得
．
因为
，所以
，
即
，解得
，
所以n 的取值范围是
，
故选：C.
二．多选题
9．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）等差数列
与
的前
项和分别为
与
，且
，则（ ）
A．当
时，
B．当
时，
C．
D．
【答案】AC
【解析】对于A：因为
所以
，
代入
得
，所以
，故A 正确.
30
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对于B：由A 知
，由
得
，故B 不正确.
对于C：由
，
所以
，所以
，故C 正确.
对于D：由C 知
，
所以
，故D 不正确.
故选：AC
10．（2024 江苏·阶段练习）下列结论中正确的有（ ）
A．若
为等差数列，它的前
项和为
，则数列
也是等差数列
B．若
为等差数列，它的前
项和为
，则数列
，
，
，
也是等差数列
C．若等差数列
的项数为
，它的偶数项和为
，奇数项和为
，则
D．若等差数列
的项数为
，它的偶数项和为
，奇数项和为
，则
【答案】AD
【解析】对于A，
，数列
是等差数列，故正确；
对于B，
，
，
是等差数列，故错误；
对于C，
，
，
所以
，故错误；
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对于D，
，
，
所以
，故正确；
故选：AD.
11．（2024·山东泰安·二模）已知等差数列
的前
项和为
，
，
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
C．
为递减数列
D．
的前5 项和为
【答案】BC
【解析】等差数列
中，
，解得
，而
，
因此公差
，通项
，
对于A，
，A 错误；
对于B，
，B 正确；
对于C，
，
为递减数列，C 正确；
对于D，
，所以
的前5 项和为
，D 错误.
故选：BC
三．填空题
11．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列
和
的前n 项和分别为
和
，且
，则
．
【答案】
32
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【解析】因为等差数列
和
的前n 项和分别为
和
，
故可设
，
所以
，
所以
.
故答案为：
.
12．（2024·广东深圳·模拟预测）设
是等差数列
的前n 项和，若
，则
．
【答案】
【解析】设数列
的公差为
，
，
，
则
，
故答案为：
.
13．（2024 高三·全国·专题练习）已知等差数列
的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数项的和为32，则
.
【答案】8
【解析】设等差数列
有奇数项
项，
，偶数项为
项，公差为
．
奇数项和为40，偶数项和为32，
，
，
，
即
，解得：
即等差数列
共项，且
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故答案为：8
四．解答题
14．（2024·江西南昌·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，
，
.
（1）求数列
的通项公式
；
（2）求数列
的前
项和
.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】（1）设等差数列
的公差为
，
∴
，解得
，
∴
.
（2）由（1）知：
，则
，得
，又
，
∴
时，
，而
，
，
∴数列
的前
项和
，而
，
，
∴
，故
.
16．（22-23 高三下·河南·阶段练习）已知数列
满足
．
(1)证明：
是等差数列；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)证明见解析
(2)当
时，
；当
时，
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【解析】（1）由
，①
当
时，
．②
①-②，得
，
又
，则
．
即
，
故数列
是等差数列．
（2）由
，令
得
，
由
，可知等差数列
的公差
，所以
．
设
，则数列
为递增数列，其前4 项为负，从5 项开始为正，
设
的前n 项和为
，
若
，
．
若
，
．
综上，当
时，
；当
时，
．
17．（23-24 江苏泰州 ）记数列
的前
项和为
，
，
，
.
(1)证明数列
为等差数列，并求通项公式
；
(2)记
，求
.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】（1）证明：
，
，
，则
，即
，解得
，
35
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所以，
，即
，
所以，数列
是以
为首项，以为公差的等差数列，故
.
（2）解：
，
所以，
.
18．（2024·黑龙江·模拟预测）已知数列
满足
，
.
（1）求证：数列
为等比数列，并求数列
的通项公式；
（2） 令
，求数列
的前
项和
.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）证明：由
知
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列.
则
，
.
（2）
，
设数列
前
项和为
，则
，
当
时，
；
当
时，
；
所以
.
19．（2024·福建泉州）已知数列
的通项公式为
，数列
的首项为
.
(1)若
是公差为3 的等差数列，求证：
也是等差数列；
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(2)若
是公比为2 的等比数列，求数列
的前
项和.
【答案】(1)证明见解析.(2)
.
【解析】(1)因为数列
的首项为
，
是公差为3 的等差数列，所以
，
所以
，
所以
，所以数列
是以6 为公差的等差数列；
(2)因为
是公比为2 的等比数列，又数列
的首项为
，
，所以
，
所以
，
又因为
，所以
，所以
，解得
，
所以
，所以数列
的前
项和为
.
37
