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专题06 解三角形及应用
易错点一：易忽视三角形解的个数（解三角形多解情况）
1．方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC 中，已知a，b 和A 时，解的情况如下：
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
2．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，
要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有
的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有
的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有
的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到
．
技巧：正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦
定理能够解决两类问题
问题1：已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。
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问题2：已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间
内不严格格单调，
此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。
题设三角形中，已知一个角A 和两个边a,b ，判断三角形个数，遵循以下步骤
第一步：先画一个角并标上字母A
第二步：标斜边（非对角边）⇒b
第三步：画角的高，然后观察（a,bsin A ）
易错提醒：利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解
的个数.
例 ．设
的内角
所对的边分别为
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
为钝角三角形
C．若
，则符合条件的
有两个
D．若
，则
为等腰三角形或直角三角形
【详解】A：由正弦定理可知：
，因为
，所以
，因此本选项正确；
B：根据余弦定理由
，
因为
，所以有
，因此该三角形是钝角三角形，所以本选项正确；
C：由正弦定理可知：
，
所以不存在这样的三角形，因此本选项不正确；
D：
2
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，或
，
当
时，可得
，此时该三角形是等腰三角形；
当
时，可得
，此时该三角形是直角三角形，
故选：ABD
变式1．在
中，内角
所对的边分别为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，且
，则
为等边三角形
C．若
，则
是等腰三角形
D．在
中，
，则使
有两解的
的范围是
【详解】对A，
即
，即
，
因为
，故原式成立，故A 正确；
对B，
则
，即
，
故
，由
可得
.
又
可得
，
即
，故
，由
可得
.
故
，则
为等边三角形，故B 正确；
对C，当
时，满足
，则
或
，
所以
或
，故
不一定为等腰三角形，故C 错误；
对D，要使
有两解，则需
，故
，即
，故D 正确.
3
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故选：ABD
变式2．在
中，内角
的对边分别为
．则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则角
为钝角
C．若
均不为直角，则
D．若
，则
唯一确定
【详解】A 选项，
，
，
，
，所以A 选项错误.
B 选项，
，
即
，即
，
由正弦定理得
，
则
，由于
，所以
，所以
，
所以
为钝角，所以B 选项正确.
C 选项，
，
4
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，
所以
，C 选项正确.
D 选项，
，所以
，
所以
有两解，所以D 选项错误.故选：BC
变式3．在
中，角
，
，
所对的边分别是
，
，，下列叙述正确的是（ ）
A．若
，
，
，则满足条件的三角形有且只有一个
B．若
，则
为钝角三角形
C．若
，则
为等腰三角形
D．若
不是直角三角形，则
【详解】对于A，由
，则
，又
，知满足条件的三角形只有一个，故A 正确；
对于B，
，即
，
为钝角，故B 正确；
对于C，
，
即
，由正弦定理可得
，
则
，所以
或
，故C 错误．
对于D，因为
不是直角三角形，所以
，
，
均有意义，
又
，所以
，
所以
，故D 正确；故选：ABD．
1．在
中，已知
，
，若
有唯一值，则实数
的取值范围为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
可求
，对
的取值进行讨论，求出使得B 唯一时
的取值范围，此时
有
唯一值.
【详解】由
可得：
，且
，
若
，则
，由正弦定理可得
,
则
，所以B 为锐角，
此时B 唯一，则C 也唯一，所以
有唯一值.
当
时，
，则此时B 唯一，则C 也唯一，所以
有唯一值.
当
时，因为
，根据正弦函数图像易知，
在
上存在两个根，所以
存在两个值
满足
，所以不成立.
故选：C
2．在
中，角
所对的边为
，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若
，则
为等腰直角三角形
B．若
，则
C．若
，则符合条件的
有两个
D．在锐角三角形
中，不等式
恒成立
【答案】BD
【分析】A 选项，由
得到
或
，得到答案；B 选项，由正弦定理得到
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，从而得到
；C 选项，
，故无解；D 选项，
为锐角，由余弦定理得到
恒成立.
【详解】A 选项，
，
，
故
或
，解得
或
，
所以
为等腰三角形或直角三角形，A 错误；
B 选项，
，由正弦定理得
，
因为
，
所以
，
故
，
因为
，所以
，故
，
，
因为
，故
，B 正确；
C 选项，若
，则
，
则符合条件的
有0 个，C 错误；
D 选项，
为锐角三角形，故
为锐角，
由余弦定理得，
，故不等式
恒成立，D 正确.
故选：BD
3．在
中，角
所对的边分别为
，以下说法中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则符合条件的三角形有一个
C．若
，则
为钝角三角形
D．若
，则
直角三角形
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【答案】AD
【分析】利用正弦定理以及余弦定理逐一判断各选项即可.
【详解】对于A，若
，则
，所以由正弦定理
，可得
，故A 正确；
对于B，若
，
根据正弦定理可得
，
，又
，
所以
有两解，可以是锐角，也可以是钝角，所以符合条件的三角形有两个，故B 错误
对于C，若
，
，
，由
得
为
的最大角，
因为
，由余弦定理
，
所以角
为锐角，即
为锐角三角形，故C 错误；
对于D，由
得
，即
，
又
，所以
,
因为
，
，所以
，
所以
，所
，故D 正确.
故选：AD
4．
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，
，则
有两解
C．若
为钝角三角形，则
D．若
，则此三角形为等腰三角形
【答案】AB
【分析】利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理及三角方程即可求解.
【详解】对于A，因为
，所以
，由正弦定理得
，故A 正确；
对于B，因为
，
，
，所以
,即
,
所以
有两解，所以
有两解，故B 正确；
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对于C，因为
为钝角三角形，但
不一定是钝角，所以
不一定成立，故C 错误；
对于D，因为
，所以
，
由
，得
或
，解得
或
，
所以此三角形为等腰三角形或此三角形为直角三角形，故D 错误.
故选：AB.
5．对于△ABC，有以下判断，其中正确的是（ ）
A．若
，则△ABC 为等腰三角形
B．若
，则
C．若
，
，
，则符合条件的三角形有两个
D．若
，则△ABC 是锐角三角形
【答案】BC
【分析】根据正弦值相等，即可判断角的关系，即可判断A；根据正弦定理，即可判断B；根据判断三角
形个数的公式，即可判断C；根据正弦定理，化为边的关系，再结合余弦定理，即可判断D.
【详解】对于A：若
，则
或
,
所以
或
，即
是等腰三角形或直角三角形，故A 错误；
对于B：
，则
，根据正弦定理
可知，
，故B 正确；
对于C：若
，
，
，则
，则符合条件的三角形有两个，故C 正确；
对于D：根据正弦定理可知，若
，即
，
，则
为锐角，但不能说明角
的情况，故D 错误.
故选：BC
6．对于
，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若
，则
为等腰三角形
B．若
，则
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C．若
，则符合条件的
有两个
D．若
，则
是钝角三角形
【答案】BD
【分析】A 项，
可能为直角三角形；B 项，由大角对大边及正弦定理可得；C 项，由
，可知
为锐角，满足条件的三角形只有一个；D 项，由正弦定理得
，得
为钝角.
【详解】选项A，当
时，则
，
满足
，即
不一定是等腰三角形，可能为直角三角形，故A 项错误；
选项B，由大角对大边可得，
，
由正弦定理
，得
，
则
，即
，故B 项正确；
选项C，由正弦定理得
，即
，
又
，则
，故
为锐角，
由此
唯一确定，边也唯一确定，故
有唯一解，故C 项错误；
选项D，已知
，
由正弦定理得
，则
，
所以
，则
角为钝角，
故
是钝角三角形，D 项正确.
故选：BD.
7．已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
为等腰三角形
D．若
，
，
，则
只有一解
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【答案】AB
【分析】对于A，先求出
，然后利用正弦定理可求出三边的比，对于B，利用正弦定理分析判断，
对于C，利用余弦定理统一成边的形式，然后化简可判断三角形的形状，对于D，先求出
边上的高，
然后结合已知条件分析判断
【详解】对于A，因为
，所以
，
所以由正弦定理得
，所以A 正确，
对于B，因为
，所以由正弦定理得
（
为三角形外接圆半径），
所以
，所以A 正确，
对于C，因为
，所以由余弦定理得
，
所以
，化简得
，
所以
或
，所以
为等腰三角形或直角三角形，所以C 错误，
对于D，设
边上的高为，则
，
因为
，
，所以
，所以
有两解，所以D 错误，
故选：AB
8．已知
的内角
的对边分别为
则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
有一个解
B．若
，则
有两个解
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C．若
，则
为等腰三角形
D．若
，则
为钝角三角形
【答案】ABD
【分析】运用正弦定理、结合正弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】对于A，由正弦定理，
，因为
，
因此
，有唯一解，故A 正确；
对于B，由正弦定理，
，因为
，
所以
或
，有两解，故B 正确；
对于C，因为
，
，
所以
或
，即
或
，因此为等腰或直角三角形，
故C 错误；
对于D，当
为钝角时，
为钝角三角形，
当
为直角时，不满足条件，
当
为锐角时，
，因此
，
，
因此
为钝角三角形，故D 正确.
故选：ABD.
9．
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，
，则
有两解
C．若
为钝角三角形，则
D．若
，
，则
的面积是3
【答案】AB
【分析】利用正弦定理可以判断A 正确；由正弦定理与三角形大角对大边的性质，可判断B 正确；由余弦
定理，可得C 错误；由余弦定理和三角形面积公式可得D 错误.
【详解】A.因为
，由大角对大边得
，
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所以由正弦定理可得
，故A 正确.
B.由正弦定理得
，
，
又
，
是锐角，
，
所以
角可以是锐角或者钝角，所以
有两解，故B 正确.
C.若
为钝角三角形，若
为钝角，
为锐角，
则由余弦定理
，此时
，故C 错误.
D.由余弦定理
且
，得
；
又
，所以
；
又
；故D 错误.
故选：AB.
10．
的内角
的对边分别为
、，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
有两解
C．若
为钝角三角形，则
D．若三角形
为斜三角形，则
【答案】ABD
【分析】由三角形的性质和正弦定理，可判定A 正确；利用正弦定理求得
，进而得到
有两解，
可判定B 正确；当
为钝角时，得到
，可判定C 错误；结合两角和的正切公式，可判定D 正确.
【详解】对于A 中，由
，可得
,由正弦定理得
，所以A 正确；
对于B 中，因为
，由正弦定理
，
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可得
，因为
且
，所以
，
所以
有两解，即
有两解，所以B 正确；
对于C 中，若
为钝角三角形，当
为钝角时，由余弦定理可得
，所以C 错误；
对于D 中，因为
，可得
，
又因为
，
可得
，
所以
，
所以D 正确；
故选：ABD.
11．对于
中，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若
，
，
，则符合条件的
有两个
B．若
，则
为等腰三角形或直角三角形
C．若
，则
的最小值为
D．若点
在
所在平面且
，
，则点
的轨迹
经过
的外心
【答案】BCD
【分析】利用正弦定理可判断A 选项；利用余弦定理可判断B 选项；利用三角形的面积公式可得出
，利用余弦定理结合基本不等式可判断C 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，由正弦定理可得
，则
，
故
不存在，A 错；
对于B 选项，因为
，由余弦定理可得
，
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整理可得
，所以，
或
，
故
为等腰三角形或直角三角形，B 对；
对于C 选项，因为
，因为
，则
，则
，
由余弦定理可得
，
当且仅当
时取等号，故
的最小值为
，C 对；
对于D 选项，设线段
的中点为
，连接
，
由
，可得
，所以，
，
由
，
可得
，
所以，
，即
，
所以，点
的轨迹经过
的外心，D 对.
故选：BCD.
易错点二：解三角形时，出现类似于sin2A=sin2B 易漏解（解三角形问
题）
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《正弦定理》
①正弦定理：
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC =2R
②变形：
sin A
sin B =a
b ,sin B
sinC =b
c ,sinC
sin A =c
a
③变形：a:b:c=sin A :sin B:sinC
④变形：
a+b+c
sin A+sin B+sinC =
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC
⑤变形：asinB=bsin A ,asinC=csin A ,bsinC=csinB
《余弦定理》
①余弦定理：b2+c2−a2=2bc cos A ,a2+c2−b2=2ac cosB,a2+b2−c2=2ab cosC
②变形：cos A=b2+c2−a2
2bc
,cosB=a2+c2−b2
2ac
,cosC=a2+b2−c2
2ab
核心问题：什么情况下角化边?什么情况下边化角?
⑴当每一项都有边且次数一样时，采用边化角
⑵当每一项都有角《sin》且次数一样时，采用角化边
⑶当每一项都是边时，直接采用边处理问题
⑷当每一项都有角《sin》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可
三角形面积公式
①SΔABC =1
2 ab sinC ,SΔABC =1
2 ac sin B,SΔABC =1
2 bc sin A
②SΔ ABC =1
2 r (a+b+c)=1
2 rl
其中r ,l 分别为Δ ABC 内切圆半径及Δ ABC 的周长
推导：将Δ ABC 分为三个分别以Δ ABC 的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积
法即可得到上述公式
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③SΔABC =2R2sin Asin BsinC=abc
4 R （R 为Δ ABC 外接圆的半径）
推导：将a=2 Rsin A 代入SΔABC =1
2 a2sin BsinC
sin A
可得SΔABC =2 R2sin A sin BsinC
将a=2Rsin A ,b=2RsinB，c=2RsinC 代入SΔABC =2 R2sin A sin BsinC
可得SΔABC =abc
4 R
④SΔABC =1
2 a2sin BsinC
sin A
,SΔABC =1
2 b2sin AsinC
sin B
,SΔABC =1
2 c2sin Asin B
sinC
⑤海伦公式SΔ ABC =√p( p−a)( p−b)( p−c)（其中p=1
2
(a+b+c)
）
推导：根据余弦定理的推论cosC=a2+b2−c2
2ab
∴SΔABC =1
2 ab sinC=1
2 ab √1−cos2C=1
2 ab√
1−(
a2+b2−c2
2ab )
2
⇒1
4 √(2ab )2−(a2+b2−c2)
2= 1
4 √(a+b+c)(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)
令p=1
2
(a+b+c)
，整理得SΔ ABC =√p( p−a)( p−b)( p−c)
正规方法：面积公式+基本不等式
①{
S=1
2 ab sinC
a2+b2−c2=2ab cosC
⇒a2+b2=2ab cosC+c2≥2ab ⇒ab ≤
c2
2(1−cosC )
②{
S=1
2 ac sin B
a2+c2−b2=2ac cos B
⇒a2+c2=2ac cos B+b2≥2ac ⇒ac≤
b2
2(1−cos B)
③{
S=1
2 bc sin A
b2+c2−a2=2bc cos A
⇒b2+c2=2bc cos A+a2≥2bc ⇒bc≤
a2
2(1−cos A)
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易错提醒：当解题过程中出现类似于sin2A=sin2B 这样的情况要注意结合三角形内角范围进行讨论，另
外当题设中出现锐角三角形时一定要注意条件之间的相互“限制”
例 ．对于
，有如下命题：①若
，则
为等腰三角形；②若
，则
为直角三角形；③若
，则
为钝角三角形．其中正确命题的序号是
（ ）
A．①②
B．①③
C．③
D．②③
【详解】解:对于①，由
可得
或
，所以
或
，所以
为
等腰三角形或直角三角形，故错误；
对于②，取
，满足
，但
不是直角三角形，故错误；
对于③，由
可得，
，所以
，
即
，所以
，所以
，所以
为钝角三角形，故正确.故选：
C.
变式1．在ΔABC 中，已知
，那么ΔABC 一定是（ ）
A．等腰或直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
【详解】
，由正弦定理可得：
，
，
所以
，所以
或
，
即
或
.所以ΔABC 是等腰或直角三角形.
变式2．在
中，三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，则
是
（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
【详解】
，由正弦定理化简得
，
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即
，故
，
，
则
或
，即
或
，
故选：C
变式3．在
中，角
所对的边分别为
，则下列结论正确的个数（ ）
（1）若
，则
（2）若
，则
一定为等腰三角形
（3）若
，则
一定为直角三角形
（4）若
，且该三角形有两解，则边
的范围是
A．1
B．2
C．3
D．4
【详解】对于（1）：因为
，可得
，由正弦定理可得
，
所以
，所以（1）正确；
对于（2）：由
，可得
或
，
即
或
，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，所以（2）不正确；
对于（3）：若
，由正弦定理可得
，
即
，所以
，即
，
又因为
，所以
，所以
一定为直角三角形，所以（3）正确；
对于（4）：若
，可得
，
要使得该三角形有两解，可得
，即边
的范围是
，所以（4）不正确.故选：B.
1．在
中，
，则（ ）
A．
为直角
B．
为钝角
C．
为直角
D．
为钝角
【答案】C
【分析】由正弦定理边化角得
，结合余弦定理和
化解，可求出
.
19
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【详解】由
，即
，
，
又
，所以
，化简得
，
则
，故在
中，
，
故选：C
2．在
中，若
，则该三角形的形状一定是（ ）
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等边三角形
【答案】C
【分析】
由正弦定理化简为
，然后在
分析，即
，或
，从而
得到结论.
【详解】
，
，
根据正弦定理可知：
，
，
在
中，
，或
，即
，即
.
为等腰三角形或直角三角形.
故选：C
3．在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，若
，则
的形状为（ ）
A．正三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】利用二倍角公式和余弦定理可得出
、
、所满足的等式，进而可判断出
的形状.
【详解】
，
，
由正弦定理和余弦定理得
，
变形整理得
，即
，
即
，即
，
20
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或
，因此，
是等腰三角形或直角三角形.
故选：B.
4．在
中，三个内角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，则
的形状为
（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】由正弦定理与二倍角公式化简后判断即可.
【详解】
，由正弦定理化简得
，
即
，故
，
，
则
或
，即
或
，则
的形状为等腰或直角三角形.
故选：D.
5．在
中，内角
、
、
的对边分别为
、
、，
，则
是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】利用正弦定理结合二倍角的正弦公式可得出
，求出
、
，利用正弦型
函数的基本性质可得出
、
的关系，即可得出结论.
【详解】因为
，则
，
因为
中至少有两个锐角，则
、
中至少一个为锐角，
不妨设
为锐角，则
，从而可知
为锐角，
由正弦定理可得
，即
，
因为
、
，则
、
，
所以，
或
，即
或
，
21
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因此，
为等腰三角形或直角三角形.
故选：D.
6．已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，且
，则
一定
是（ ）
A．等腰三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．锐角三角形
【答案】C
【分析】由正弦定理边角互化，化简可得角的关系，进而判断三角形形状即可.
【详解】由正弦定理得
，
因为
，所以
，
因为
，所以
或
，又
，
所以
，所以
为直角三角形．
故选：C.
7．在
中，已知
，则
的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】利二倍角公式展开，再由正余弦定理角化边，然后因式分解可得.
【详解】因为
，
所以
，
由正余弦定理可得
，
整理得
，
所以
或
，
所以
为等腰三角形或直角三角形.
故选：D
8．在△ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为a、b 、c， 若
则该三角形一定是（ ）
A．等腰三角形但不是直角三角形
B．直角三角形但不是等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】利用正弦边角关系及倍角正弦公式可得
，结合三角形内角性质有
或
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，即可判断形状.
【详解】由正弦边角关系知：
，则
，即
，
又
，所以
或
，即
或
，
所以三角形一定是等腰三角形或直角三角形.
故选：D
9．在
中，角
的对边分别为
，且满足
，则
的形状是
（ ）.
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】先用正弦定理将边化为角，再把倍角公式及商数关系代入化简即可得出结果.
【详解】解：因为
，
在
中由正弦定理
代入可得：
，
将
代入可得：
，
化简可知
，即
，
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因为
，所以有
或
，解得
或
，
所以
为等腰三角形或直角三角形.
故选：D
10．在
中，若
，则这个三角形是（ ）
A．底角不等于
的等腰三角形
B．锐角不等于
的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理后根据
，得到
，确定出
与
的关系，
即可判断.
【详解】由正弦定理及题意，得
，
．
∵
，∴
，
∴
或
，
即
或
．
∴这个三角形为直角三角形或等腰三角形．
故选：D
11．
的三内角
的对边分别为
且满足
，且
，则
的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】B
【分析】对已知条件结合正弦定理进行边换角，另一个条件说明三角形是等腰三角形，两者结合起来判断.
【详解】根据条件：
，利用正弦定理可得：
，
整理得：
，
，则
，
化简得：
，故
，
在
中，由于
，所以
（不可能
），
故
.所以
为等边三角形.
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故选：B.
易错点三：实际问题中题意不明致误（利用解三角形知识解决实际问题）
解三角形的实际应用问题的类型及解题策略
1、求距离、高度问题
（1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，
则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得
出所要求的量．
（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
2、求角度问题
（1）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，
要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角．
（2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用．
易错提醒：实际问题应用中有关名词、术语也是容易忽视和混淆的。要注意理解仰角、俯角、方向角、方
位角、坡度的具体含义
例 ．如图所示，
，
两处各有一个垃圾中转站，
在
的正东方向18km 处，
的南面为居民生活区.
为了妥善处理生活垃圾，政府决定在
的北面
处建一个发电厂，利用垃圾发电.要求发电厂到两个垃圾
中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得
，
两处中转
站每天集中的生活垃圾量分别约为40 吨和50 吨.
(1)当
时，求
的值；
(2)发电厂尽量远离居民区，也即要求
的面积最大，问此时发电厂与垃圾中转站
的距离为多少?
【详解】（1）由题意
，
，可得
，
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可得
，
所以
．
（2）
，设
，则
，
可得
，可得
，
到
距离
，
当
，即
，取得最大值为
，
因此选址方案满足
，
．
变式1．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种
仪器可以弹射到空中进行气候观测，B，C，D 三地位于同一水平面上，这种仪器在B 地进行弹射实验，
两地相距
，
，在C 地听到弹射声音的时间比D 地晚
秒，在C 地测得该仪器至最
高点A 处的仰角为
．（已知声音的传播速度为
），求：
(1)B，C 两地间的距离；
(2)这种仪器的垂直弹射高度AB．
【详解】（1）设
，
∵在C 地听到弹射声音的时间比D 地晚
秒，
∴
，
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在
中，由余弦定理
，
∴
，解得
，
故B，C 两地间的距离为420 米；
（2）在
中，
，
∴
米，
故该仪器的垂直弹射高度
为
米．
变式2．南京市人民中学创建于1887 年，是南京市办学历史最长的中学之一，位于南京市的珠江路南侧，
中山路东侧，长江路北侧如图所示的位置.南京人民中学到长江路和中山路十字路口约330 米，长江路和中
山路夹角约为70.5°，现小王和小张正位于如图所示的位置分别距长江路和中山路十字路口200 米，300 米，
并分别按如图所示的方向散步，速度均为60 米/分钟
(1)起初两人直线距离多少米？（参考数据：
）；
(2)t 分钟后两人间直线的距离是多少？（从现位置开始计时到小张到南京市人民中学大门结束）；
(3)什么时候两人间的直线距离最短，最短距离时多少？（忽略路宽､等侯红绿灯时间）
【详解】（1）设起初两人直线距离为
，由题意可得
，
即起初两人直线距离为300 米；
（2）设t 分钟后两人间直线的距离是
，则当
时，易知小王此时仍在中山路东侧，此时由余弦
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定理可知
，
当
时，易知小王此时在中山路与长江路十字路口，显然两人相距
米，
当
时，此时小王在中山路西侧，小张仍在长江路南侧，
则由余弦定理可得
，
当
时，此时小张在中山路与长江路十字路口，两人相距
米，
当
时，此时小张在长江路北侧，小王在中山路西侧，
则由余弦定理可知
，
又当
和
时，两人的直线距离也符合关系式
，
故综上所示t 分钟后两人间直线的距离是
；
（3）由二次函数的单调性可知当
分钟时，此时
.
变式3．如图，某城市有一条从正西方
通过市中心
后转向东偏北
方向
的公路，为了缓解
城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路
，并在
上分别设置两个出口
在
的东偏北
的方向（
两点之间的高速公路可近似看成直线段），由于
之间相距较远，计划在
之间设置
一个服务区
．
28
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(1)若
在
的正北方向且
，求
到市中心
的距离和最小时
的值；
(2)若
在市中心
的距离为
，此时
在
的平分线与
的交点位置，且满足
，求
到市中心
的最大距离．
【详解】（1）设
，在
中，
在
中，由正弦定理得
当且仅当
，即
时取到等号
到市中心
的距离和最小时，
．
（2）
，
，即
，
又
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即
当
时，
1．某景区有一人工湖，湖面有
两点，湖边架有直线型栈道
，长为
，如图所示．现要测是
两点之间的距离，工作人员分别在
两点进行测量，在
点测得
，
；在
点测
得
．（
在同一平面内）
(1)求
两点之间的距离；
(2)判断直线
与直线
是否垂直，并说明理由．
【答案】(1)
(2)直线
与直线
不垂直，理由详见解析.
【分析】（1）先求得
，利用余弦定理求得
.
（2）先求得
，然后根据向量法进行判断.
【详解】（1）依题意，
，
，
，
所以
，
，所以
，
在三角形
中，由正弦定理得
，
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在三角形
中，由余弦定理得
.
（2）在三角形
中，由余弦定理得
，
，
在三角形
中，由正弦定理得
，
，
直线
与直线
不垂直，理由如下：
,
所以直线
与直线
不垂直.
2．如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D 四个点，使得
，
测得
，
，
．
(1)若B，D 选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且
，
，求A，C 两点间
距离；
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(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理证得
为等腰直角三角形，再由余弦定理求
即可；
（2）设
，利用正弦定理可得
，展开化简即可得其正切值.
【详解】（1）在
中，由正弦定理得
，
即
，
解得
，所以
，
则
为等腰直角三角形，所以
，
则
．
在
中，由余弦定理得
，
故
．
故A，C 两点间距离为
．
（2）设
，则由题意可知，
，
．
在
中，由正弦定理得
，即
，
在
中，由正弦定理得
，即
，
32
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又
，所以
，
解得
，所以
．
3．某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如
图所示的几何模型，该模型中
，
均与水平面
垂直.在已测得可直接到达的两点间距离
，
的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，①
，
，
，②
，
，
，③
，
，
，④
，
，
.
(1)请同学们指出其中一定能唯一确定
，
之间的距离的组号；（指出所有满足条件的组号）
(2)若已知
，
，
，
，
，
，
，请你结合
自己在（1）中的选择，从中选出一组利用所给数据，求
的值.（若多做，按第一种方案给分）
【答案】(1)③④
(2)按方案③
；按方案④
.
【分析】（1）综合应用正弦定理和余弦定理解三角形，结合提供的角逐个分析；
（2）综合应用正弦定理和余弦定理解三角形.
【详解】（1）不妨记
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
①中，已知
，在
中，由
，可确定，同理在
中，可确定
，
在
中，已知
，利用余弦定理解三角形可能有两解，
例如若
，
，
，则
，解得
或
，
33
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由
可得
有两个值，故①错误；
②中，已知
，在
中，由
，
可确定，
，
在
中，利用余弦定理可得，在
中，由勾股定理可得
，
在
中，由余弦定理得
，
又
，解此关于
的二元二次方程组，可得
，但此二元二次方程组可能有两解，
故②错误；
③中，已知
，在
中，由
，可确定
，
同理在
中，可确定
，在
中，由余弦定理可唯一确定
，故③正确；
④中，已知
，由
及余弦定理，可确定，在
中，由
，可确定，
同理在
中，可确定
，再由
可唯一确定
，故④正
确.
（2）若按方案③，在
中，
，
，可得
，
在
中，
，
，可得
；
又因为
，在
中，
由余弦定理可得
，所以
.
若按方案④，在
中，
，
，可得
，
在
中，
，
，可得
，
，
在
中，
，
，
，可得
；
过点
向
作垂线，垂足为
，
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在
中，
，
，
所以
，
所以
.
4．如图，某观察站B 在城A 的南偏西20°的方向，由城A 出发的一条公路走向是南偏东40°，在B 处测得
公路上距B 处32km 的C 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20km 之后到达D 处，此时B，D 间的距离为
21km．这个人还要走多少路才能到达A 城？
【答案】16.41km
【分析】由余弦定理得到
，进而求出
，由正弦定理求出
，在
中，由余弦定理得到
，
进而求出
，得到答案.
【详解】由题意得
，
km，
km，
km，
在
中，由余弦定理得
，
故
，
在
中，由正弦定理得
，
故
km，
35
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在
中，由余弦定理得
，
即
，解得
km，负值舍去，
故
km.
故这个人还要走
km 的路才能到达A 城.
5．如图，某日中午12：00 甲船以24km/h 的速度沿北偏东40°的方向驶离码头
，下午3：00 到达
地．
下午1：00 乙船沿北偏东125°的方向匀速驶离码头
，下午3：00 到达
地．若
在
的正南方向，则乙
船的航行速度是多少？（精确到1km/h）
【答案】
【分析】画出平面图形，求出角度，再利用正弦定理即可解决．
【详解】由题可知，
，
，
，
设乙船速度为，则
.
于是在
中，由正弦定理可得：
，
即
，解得
，
所以，乙船的航行速度大约是
.
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6．如图，某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口
北偏西
方向且与该港口相距
的
处，并以
的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设
该小艇沿直线方向以
的航行速度匀速行驶，经过
与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到
，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），
使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
【答案】(1)航行速度为
(2)航行方向为北偏东30°，航行速度为30
,理由见解析
【分析】（1）利用余弦定理和二次函数的最值求解；
（2）要用时最小，则首先速度最高，然后是距离最短，则由(1)利用余弦定理得到方程解得对应的时间，
再解得相应角，即可求解.
【详解】（1）
如图设小艇的速度为，时间为相遇，
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则由余弦定理得:
,
叩:
,
当
时，
取得最小值，此时速度
，
此时小艇的航行方向为正北方向，航行速度为
.
（2）要用时最小，则首先速度最高，即为:30
，
则由(1)可得:
,
即:
,解得:
，
此时
,
此时，在
中，
，
故可设计航行方案如下:
航行方向为北偏东30°，航行速度为30
，小艇能以最短时间与轮船相遇.
7．一颗人造地球卫星在地球上空1600km 处沿着圆形的轨道运行，每2h 沿轨道绕地球旋转一圈．假设卫
星于中午12 点正通过卫星跟踪站A 点的正上空，地球半径约为6400km．
(1)求人造卫星与卫星跟踪站在12：03 时相隔的距离是多少．
(2)如果此时跟踪站天线指向人造卫星，那么天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值是多少？（参考数据：
，
）
【答案】(1)1950km
(2)0.64．
【分析】（1）设人造卫星在
时位于C 点，得到
，在
中，由余弦定理求得
的长，即
可求解；
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（2）设此时天线的瞄准方向与水平线的夹角为
，则
，利用正弦定理求得
，从而得到
，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，设人造卫星在
时位于C 点，其中
，则
，
在
中，
，
，
，
由余弦定理得
，
解得
，
因此，在
时，人造卫星与跟踪站相距约
．
（2）解：如图所示，设此时天线的瞄准方向与水平线的夹角为
，则
，
由正弦定理得
，
故
，即
，
因此，天线瞄准方向与水平线的夹角的余弦值约为
．
8．如图，某海产养殖户承包一片靠岸水域，AB，AC 为直线海岸线，
，
，
.
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(1)求B 与C 之间的直线距离.
(2)在海面上有一点D（A，B，C，D 在同一平面上），沿线段DB 和DC 修建养殖网箱，若DB 和DC 上的
网箱每米可获得30 元的经济收益，且
，求这两段网箱获得的最高经济总收益.
【答案】(1)100m
(2)6000 元
【分析】（1）根据题意，先求
，再利用正弦定理即可计算.
（2）需要获得的最高经济总收益，求这两段网箱和的最大长度，即求
的最大值，所以利用余弦
定理，基本不等式即可计算最大值.
【详解】（1）在
中，
.
由正弦定理
，
得
.
故B 与C 之间的直线距离为100m.
（2）在
中，由余弦定理
，
即
，
得
，
，即
，
当且仅当
时，等号成立，
故这两段网箱获得的最高经济总收益为
元.
9．山东省滨州市的黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上，渤海五路以西，南环路以北.整个黄河楼
颜色质感为灰红，意味黄河楼气势恢宏，更在气势上体现黄河的宏壮.如图，小张为了测量黄河楼的实际高
度
，选取了与楼底
在同一水平面内的两个测量基点
，现测得
，在点
处测得黄河楼顶
的仰角为
，求黄河楼的实际高度（结
40
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果精确到
，取
）.
【答案】
【分析】利用正弦定理即可求解.
【详解】由题知，
，
在
中，由正弦定理得
，
则
.
在
中，
，
所以
，
故黄河楼的实际高度约为
.
10．在长江某渡口处，江水以5km/h 的速度向东流．一渡船从长江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到
达北岸的B 码头（如图）．设
为正北方向，已知B 码头在A 码头北偏东
的方向上，并与A 码头相距
1.2km．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到
，速度确到0.1km/h）？
【答案】渡船应按北偏西
的方向，并以11.7km/h 的速度航行．
【分析】根据题意，以AC 为边，AB 为对角线作
，结合余弦定理可得
，然后再由余弦定理即
可得到
，即可得到结果.
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【详解】如图所示，船按
方向开出，
方向为水流方向，
以AC 为边，AB 为对角线作
，其中
，
．
在
中，由余弦定理，得
，
所以
．
因此，船的航行速度为
．
在
中，由余弦定理，得
，
所以
．
因此
．
即渡船应按北偏西
的方向，并以11.7km/h 的速度航行．
11．如图，为了测量河对岸
两点之间的距离，在河岸这边取点
，测得
，
，
，
，
．设
在同一平面内，试求
两点之间的距离（精确到
1m）．
【答案】57m
【分析】利用正弦定理，在
中，求
，在
中，求
，用余弦定理，在
中求
即可.
【详解】解在
中，
，
，则
．
又
，由正弦定理，得：
．
在
中，
，
，则
．又
，
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由正弦定理，得：
．
在
中，由余弦定理，得：
，
所以
．
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