２ ０４ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
8.4 抛物线
学生用书P288
'3+UL%' ,3M M3D%' +C.
'3+
,0+%+DE
/
P55 &% YDUZ2 d2QY Q 0
'3+ /
&% ZDUY2 d2QZ Q 0
/ Z2 2QY Q 0 Z2 2QY Q 0 Y2 2QZ Q 0 Y2 2QZ Q 0
Z Z M Z Z
M 0 1 ' 2 Y 2 ' 1 0 Y 2 0 ' 1 Y 2 ' 0 1 Y M
M
8 Y0,Z3 Y0,Z3 Y3,Z0 Y3,Z0
'3+ 3 Y 2 Q Y 2 Q Z 2 Q Z 2 Q
B
P55 &% Q 0 Q 0 Q Q
/ YD/ ZD/
'3
Q Q Q Q
&J Y 0 2 Y 0 2 Z 0 2 Z 0 2
&%J Y Y Q Y Y Q Z Z Q Z Z Q
0 1 0 1 0 1 0 1
1 Y Z ,2 Y Z '3%,12D&%',3 1'/
0 0 1 1
'3+&,3 12/'3+&%.
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'3Z2 2QY Q ,@"#'3+D&%+ &% ,''3+&%,
" Y,Z ,# Y,Z ,"# 3+"#, 3@:
1 1 2 2 1 1
Q2
(1)YY ,ZZ Q2.
1 2 4 1 2
Q Q
(2) 8,3"#+>,"YD,#YD,]"'] ]#'] ;
1DPT 1 DPT
2Q
(3)]"#] Y Y Q ,3"#+> ,'3+EJ2Q,E -+
1 2 sin2
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Q2
(4) 4 ,3"#+>
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1 1 2
(5)
]"'] ]#'] Q
(6) "#,+ '3+3,.
(7)"' #' ,+ ZD,.
(8) "#,+ ,3"#,,%',"'# 90°.
1 1 1 1
(9) " 0 #%3 # 0 "%3.
1 1
学生用书P289
题型 一 抛物线定义的应用 交于点Ｐ Ｑ 其中点Ａ Ｐ在第一象限 则 ＡＰ ＱＢ 的最小值
， ， ， ， ２｜ ｜＋｜ ｜
为 Ｄ
利用抛物线的定义可解决的常见问题 轨迹问题 利用 （ ）
：（１） ，
抛物线的定义可以确定与定点 定直线距离有关的动点轨迹是 Ａ．２ ２＋３ Ｂ．２ ２＋５ Ｃ．４ ２＋５ Ｄ．４ ２＋３
、 解析 如图所示，
不是抛物线 距离问题 利用抛物线的定义可以灵活地进行
；（２） ，
抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离的等价转化 即看到准
，
线就要联想焦点 看到焦点就要联想准线 这是解决抛物线中与
， ，
距离有关问题的有效途径 其中最值问题是一类常见的问题 在
， ，
利用抛物线的定义进行等价转化后 利用平面几何的相关知识确
，
定最值点 即可得最值．
，
例1 （ 广东广州南武中学月考）设抛物线ｙ２ ｘ的焦点
２０２４ ＝８
为Ｆ 过Ｆ的直线ｌ与抛物线交于点Ａ Ｂ 与圆ｘ２ ｙ２ ｘ
， ， ， ＋ －４ ＋３＝０
专题八 平面解析几何 ２ ０５
由题意知圆的标准方程为（ｘ ）２ ｙ２ ， 2.熟练掌握与焦点弦有关的结论是快速解决与焦点弦有关的选
－２ ＋ ＝１
所以半径Ｒ ，圆心为（ ， ），即为抛物线ｙ２ ｘ的焦点， 择题和填空题的关键． 抛物线焦点弦的常见结论见本节体系
＝１ ２ ０ ＝８ （
因为 ＡＰ ＱＢ （ ＡＦ Ｒ） （ ＢＦ Ｒ） 透视
２｜ ｜＋｜ ｜＝２ ｜ ｜－ ＋ ｜ ｜－ ）
＝２｜
ＡＦ
｜＋｜
ＢＦ
｜－３
， 例3 已知点Ｆ是抛物线ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０）
的焦点
，
ＡＢ
，
ＣＤ是过点
ｐ Ｆ的弦 且ＡＢ ＣＤ ＡＢ的斜率为ｋ 且ｋ Ｃ Ａ两点在ｘ轴上
又因为 ｜ ＡＦ ｜＝ ｘ Ａ＋ ＝ ｘ Ａ＋２ ， ， ⊥ ， ， ＞０， ，
２ 方 则下列结论中不成立的是 Ｂ
， （ ）
ｐ
ＢＦ ｘ ｘ ，
｜ ｜＝ Ｂ＋ ＝ Ｂ＋２ Ｏ→Ｃ Ｏ→Ｄ ３ ｐ２
２ Ａ． · ＝－
４
所以 ＡＰ ＱＢ ｘ ｘ ．
２｜ ｜＋｜ ｜＝２ Ａ＋ Ｂ＋３ 四边形ＡＣＢＤ面积的最小值为 ｐ２
Ｂ． １６
设ｌ：ｘ ｍｙ （ｍ ）（巧设方程是关键），
＝ ＋２ ≠０ 若 ＡＦ ＢＦ ｐ２ 则直线ＣＤ的斜率为
{ｘ ｍｙ ， Ｃ． ｜ ｜·｜ ｜＝４ ， － ３
联立 ＝ ＋２
ｙ２
＝８
ｘ，
Ｄ． Ａ
１
Ｂ ＋ Ｃ
１
Ｄ ＝
１
ｐ
｜ ｜ ｜ ｜ ２
消去ｙ，整理得ｘ２ － （ ４＋８ ｍ２）ｘ ＋４＝０ ， 解析 设直线ＡＢ的倾斜角为θ， ° θ °．
０ ＜ ＜９０
所以ｘ ｘ ，
Ａ Ｂ＝４
所以 ＡＰ ＱＢ ｘ ｘ ｘ ｘ ，当且仅当
２｜ ｜＋｜ ｜＝２ Ａ＋ Ｂ＋３≥２ ２ Ａ Ｂ＋３＝４ ２＋３
ｘ ，ｘ 时等号成立．
Ａ＝ ２ Ｂ＝２ ２
故（ ＡＰ ＱＢ ） ．故选
２｜ ｜＋｜ ｜ ｍｉｎ＝４ ２＋３ Ｄ．
例2 （ 广东深圳中学开学考试， ）设抛物线 Ｃ ｙ２ ｐｘ
２０２４ １３ ： ＝２ ｐ ｐ ｐ
（ ｐ ＞０） 的焦点为Ｆ ， 点Ｅ是Ｃ的准线与Ｃ的对称轴的交点 ， 点Ｐ 则有 ｜ ＡＢ ｜＝ ２ ２θ ， ｜ ＣＤ ｜＝ ( ２ ) ＝ ２ ２θ ，（焦点弦性质的运
ｓｉｎ ２ θ π ｃｏｓ
ｓｉｎ ＋
在Ｃ上．若 ＰＥＦ ° 则 ＰＦＥ ３ ． ２
∠ ＝３０ ， ｓｉｎ∠ ＝ 用）
３
( ｐ ) ( ｐ )
解析 由题意知Ｆ ， ，Ｅ ， ． 所以 １ １ １ ， 中结论成立；
０ － ０ ＡＢ ＋ ＣＤ ＝ ｐ Ｄ
２ ２ ｜ ｜ ｜ ｜ ２
由对称性设Ｐ在第一象限，Ｐ（ｘ ，ｙ ），ｘ ，ｙ ， ｐ ｐ
０ ０ ０＞０ ０＞０ ＡＦ ， ＢＦ ，
ｙ ｜ ｜＝ θ ｜ ｜＝ θ
由 ＰＥＦ °得 ＰＥＦ ０ ３， １－ｃｏｓ １＋ｃｏｓ
∠ ＝３０ ｔａｎ∠ ＝ ｐ ＝ 若 ＡＦ · ＢＦ ｐ２，
ｘ ３ ｜ ｜ ｜ ｜＝４
０＋
２ 则
ｐ２
ｐ２， ２θ ３ ，
ｐ ｙ ２θ＝４ ｃｏｓ ＝
又 ＰＦ ｘ ， ０ ３， １－ｃｏｓ ４
｜ ｜＝ ０＋ ∴ ＰＦ ＝
２ ｜ ｜ ３ 则 θ ３（舍负），
ｙ ｃｏｓ ＝
即 ＰＦＥ ＰＦｘ ０ ３． ２
ｓｉｎ∠ ＝ｓｉｎ∠ ＝ ＰＦ ＝
｜ ｜ ３ 故θ °， θ ３，
＝３０ ｔａｎ ＝
３
所以直线ＡＢ的斜率为 ３，因为ＡＢ ＣＤ，
⊥
３
所以直线ＣＤ的斜率为 ， 中结论成立；
－ ３ Ｃ
ｐ２ ｐ２
Ｓ
四边形ＡＣＢＤ＝
１
｜
ＡＢ
｜｜
ＣＤ
｜＝ ２
２
θ ２θ＝
８
２ θ≥８
ｐ２，当且仅当θ
＝
题型 二 抛物线焦点弦问题的相关解法 ２ ｓｉｎ ｃｏｓ ｓｉｎ ２
°时等号成立，所以 中结论不成立；
４５ Ｂ
1.当直线与抛物线相交且直线过焦点时 要充分考虑抛物线的 ｐ２
， 设Ｃ（ｘ ，ｙ ），Ｄ（ｘ ，ｙ ），由抛物线焦点弦的性质可知，ｘ ｘ ，
定义 将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离进 １ １ ２ ２ １ ２＝
， ４
行转化 利用数形结合的方法或将交点坐标 ｘ ｙ ｘ ｙ ｙ ｙ ｐ２，
， （ １， １），（ ２， ２） １ ２＝－
进行整体运算 如用根与系数的关系对ｘ ｘ ｘ ｘ ｙ ｙ ｙ ｙ
进行整体运算 （ 求解． １＋ ２， １ ２， １＋ ２， １ ２ 则Ｏ→Ｃ·Ｏ→Ｄ ＝ ｘ １ ｘ ２＋ ｙ １ ｙ ２＝－ ４ ３ ｐ２， Ａ 中结论成立．故选 Ｂ．
）
学生用书P125 当Ｐ Ａ Ｂ三点共线时 ＰＱ
Ｂ． ， ， ，｜ ｜＝ １５
当 ＰＢ 时 ＰＡ ＡＢ
（多选）（ 新课标 ， ， 分，中）抛物线 Ｃ ｙ２ ｘ 的准线 Ｃ． ｜ ｜＝２ ， ⊥
２０２４ Ⅱ １０ ６ ： ＝４ 满足 ＰＡ ＰＢ 的点Ｐ有且仅有 个
为ｌ Ｐ为Ｃ上动点．过Ｐ作 Ａ ｘ２ ｙ ２ 的一条切线 Ｑ为 Ｄ． ｜ ｜＝｜ ｜ ２
， ☉ ： ＋（ －４） ＝１ ，
切点．过Ｐ作ｌ的垂线 垂足为Ｂ．则 ＡＢＤ
， （ ）
ｌ与 Ａ相切
Ａ． ☉
２ ０６ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
考点 1 抛物线的定义和标准方程 学生用书P125
１．（ 北京， ， 分，易）已知抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的焦点为Ｆ 点
２０２３ ６ ４ ： ＝８ ，
Ｍ在Ｃ上．若Ｍ到直线ｘ 的距离为 则 ＭＦ Ｄ
＝－３ ５， ｜ ｜＝ （ ）
Ａ．７ Ｂ．６ Ｃ．５ Ｄ．４
２．（ 新高考 ， ， 分，易）若抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点到直
２０２１ Ⅱ３ ５ ＝２ （ ＞０） 考点 2 抛物线的几何性质 学生用书P125
线ｙ ｘ 的距离为 则ｐ Ｂ
＝ ＋１ ２， ＝ （ ）
１．（ 课标 文， ， 分，中）设Ｏ为坐标原点 直线ｘ 与抛
２０２０ Ⅲ ７ ５ ， ＝２
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．２ ２ Ｄ．４
３．（ 课标 理， ， 分，易）已知Ａ为抛物线Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ
物线Ｃ
：
ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０）
交于Ｄ
，
Ｅ两点
，
若ＯＤ
⊥
ＯＥ
，
则Ｃ的焦
２０２０ Ⅰ ４ ５ ： ＝２ （ ＞
点坐标为 Ｂ
上一点 点Ａ到Ｃ的焦点的距离为 到ｙ轴的距离为 （ ）
０） ， １２， ９， ( ) ( )
则ｐ Ｃ １ １
＝ （ ） Ａ． ，０ Ｂ． ，０ Ｃ．（１，０） Ｄ．（２，０）
４ ２
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．６ Ｄ．９ ２．（ 北京， ， 分，中）设抛物线的顶点为Ｏ 焦点为Ｆ 准线
４．（ 全国乙，文 ，理 ， 分，中）设Ｆ为抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的 ２０２０ ７ ４ ， ，
２０２２ ６ ５ ５ ： ＝４ 为ｌ Ｐ是抛物线上异于Ｏ的一点 过Ｐ作ＰＱ ｌ于Ｑ 则线段
焦点 点Ａ在Ｃ上 点Ｂ 若 ＡＦ ＢＦ 则 ＡＢ ， ， ⊥ ，
， ， （３，０）， ｜ ｜＝｜ ｜， ｜ ｜＝ ＦＱ的垂直平分线 Ｂ
Ｂ （ ）
（ ） 经过点Ｏ 经过点Ｐ
Ａ． Ｂ．
Ａ．２ Ｂ．２ ２ 平行于直线ＯＰ 垂直于直线ＯＰ
Ｃ． Ｄ．
Ｃ．３ Ｄ．３ ２ ３．（多选）（ 新课标 ， ， 分，中）设Ｏ为坐标原点 直线ｙ
２０２３ Ⅱ １０ ５ ，
５．（
２０２３
全国乙，文
１３
，理
１３
，
５
分，易）已知点Ａ
（１， ５）
在抛物
＝－ ３（ ｘ －１） 过抛物线Ｃ ： ｙ２ ＝２ ｐｘ （ ｐ ＞０） 的焦点 ， 且与Ｃ交于
线Ｃ
：
ｙ２
＝２
ｐｘ上
，
则Ａ到Ｃ的准线的距离为 ９ ． Ｍ
，
Ｎ两点
，
ｌ为Ｃ的准线
，
则
（
ＡＣ
）
４ ｐ
６．（ 全国乙文， ， 分，中）已知抛物线Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ Ａ． ＝２
２０２１ ２０ １２ ： ＝２ （ ＞０）
的焦点Ｆ到准线的距离为 ２ ． Ｂ．｜ ＭＮ ｜＝ ８
３
（１）
求Ｃ的方程
；
以ＭＮ为直径的圆与ｌ相切
Ｃ．
已知Ｏ为坐标原点 点Ｐ在Ｃ上 点Ｑ满足Ｐ→Ｑ Ｑ→Ｆ 求 ＯＭＮ为等腰三角形
（２） ， ， ＝９ ， Ｄ．△
直线ＯＱ斜率的最大值． ４．（多选）（ 新高考 ， ， 分，中）已知Ｏ为坐标原点 点Ａ
２０２２ Ⅰ １１ ５ ，
解析 抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点Ｆ到准线的距离 在抛物线Ｃ ｘ２ ｐｙ ｐ 上 过点Ｂ 的直线交
（１）∵ ＝２ （ ＞０） （１，１） ： ＝２ （ ＞０） ， （０，－１）
为 ｐ ． Ｃ于Ｐ Ｑ两点 则 ＢＣＤ
２，∴ ＝２ ， ， （ ）
抛物线Ｃ的方程为ｙ２ ｘ． Ｃ的准线为ｙ
∴ ＝４ Ａ． ＝－１
第一步：设点写向量坐标，利用向量相等坐标相同得点Ｑ 直线ＡＢ与Ｃ相切
（２） Ｂ．
的坐标． ＯＰ ＯＱ ＯＡ ２
Ｃ．｜ ｜·｜ ｜＞｜ ｜
设点Ｐ ｘ２ ｘ Ｑ ｘ ｙ ＢＰ ＢＱ ＢＡ ２
（４ ０，４ ０）， （ １， １）， Ｄ．｜ ｜·｜ ｜＞｜ ｜
则Ｐ→Ｑ ＝（ ｘ １－４ ｘ２ ０， ｙ １－４ ｘ ０）， ５．（多选）（ ２０２２ 新高考 Ⅱ ， １０ ， ５ 分，中）已知Ｏ为坐标原点 ， 过
抛物线Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ 焦点Ｆ的直线与Ｃ交于Ａ Ｂ两点 其
Ｆ Ｑ→Ｆ ｘ ｙ ： ＝２ （ ＞０） ， ，
∵ （１，０），∴ ＝（１－ １，－ １）， 中Ａ在第一象限 点Ｍ ｐ ．若 ＡＦ ＡＭ 则 ＡＣＤ
， （ ，０） ｜ ｜＝｜ ｜， （ ）
Ｐ→Ｑ Ｑ→Ｆ
∵ ＝９ ， 直线ＡＢ的斜率为
ì Ａ． ２ ６
{ｘ ｘ２ ｘ ï ï ｘ １＝ １ （９＋４ ｘ２ ０）， Ｂ．｜ ＯＢ ｜＝｜ ＯＦ ｜
１－４ ０＝９（１－ １），整理得í １０
ＡＢ ＯＦ
∴ ｙ ｘ ｙ ï Ｃ．｜ ｜＞４｜ ｜
１－４ ０＝９（－ １）， î ïｙ １＝ １ ４ ０ ｘ ０ ． Ｄ．∠ ＯＡＭ ＋∠ ＯＢＭ ＜１８０ °
第二步：用参数ｘ 表示ｋ ，利用基本不等式求其最值． ６．（ 新高考 ， ， 分，易）斜率为 的直线过抛物线Ｃ ｙ２
０ ＯＱ ２０２０ Ⅰ １３ ５ ３ ：
ｙ ｘ
ｋ １ ４ ０ ｘ的焦点 且与Ｃ交于Ａ Ｂ两点 则 ＡＢ １６ ．
∴ ＯＱ＝ｘ
１
＝
９＋４
ｘ２
０
， ＝４ ， ， ， ｜ ｜＝
３
７．（ 新高考 ， ， 分，中）已知Ｏ为坐标原点 抛物线Ｃ
当ｋ 最大时 ｘ ｋ ４ ４ １ ２０２１ Ⅰ １４ ５ ， ：
ＯＱ ， ０＞０，∴ ＯＱ＝ ≤ ＝ ， ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点为Ｆ Ｐ为Ｃ上一点 ＰＦ与ｘ轴垂直 Ｑ
９ ｘ ２ ３６ ３ ＝２ （ ＞０） ， ， ，
ｘ ＋４ ０ 为ｘ 轴上一点 且 ＰＱ ＯＰ．若 ＦＱ 则 Ｃ 的准线方程
０ ， ⊥ ｜ ｜ ＝６，
当且仅当 ｘ ９ 时取 此时ｘ ３ 点Ｐ的坐标为 为 ｘ ３ ．
４ ０＝ ｘ “＝”， ０＝ ， （９， ＝－
０ ２ ２
因此ｋ 的最大值为 １ ．
６）， ＯＱ
３
专题八 平面解析几何 ２ ０７
学生用书P126 学生用书P127
１．（ ２０２４ 山东潍坊一模， ２ ）已知抛物线Ｃ ： ｘ２ ＝ ｙ上点Ｍ的纵坐标 １．（ ２０２４ 安徽蚌埠第三次教学质量检查， ８ ）已知抛物线Ｃ ： ｙ２ ＝
为 则Ｍ到Ｃ的焦点的距离为 Ｂ ｘ 过其焦点Ｆ的直线交Ｃ于Ａ Ｂ两点 Ｍ为ＡＢ中点 过Ｍ
１， （ ）
４ ， ， ， ，
作准线的垂线 垂足为Ｎ 若 ＡＦ 则 ＮＦ Ｂ
５ ３ ， ， ｜ ｜＝４， ｜ ｜＝ （ ）
Ａ．１ Ｂ． Ｃ． Ｄ．２
４ ２
２．（ 安徽黄山一模， ）已知抛物线 Ｃ ｙ２ ｐｘ 的焦点为 Ｆ ４ ４ ３ ８ ８ ３
２０２４ ２ ： ＝２ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
( ) ３ ３ ３ ３
１ 则ｐ的值为 Ｃ ２．（ 山东枣庄一模， ）已知 Ｆ 为抛物线 Ｅ ｙ２ ｘ 的焦点
，０ ， （ ） ２０２４ ８ ： ＝４ ，
２
ＡＢＣ的三个顶点都在Ｅ上 Ｐ为ＡＢ的中点 且Ｃ→Ｆ Ｆ→Ｐ 则
△ ， ， ＝２ ，
１ １
Ａ． Ｂ． Ｃ．１ Ｄ．２ ＦＡ ＦＢ 的最大值为 Ｂ
４ ２ ｜ ｜＋｜ ｜ （ ）
３．（ 浙江杭州二中、湖南长沙长郡中学、江苏南京师大附中
２０２４ Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．３ ３ Ｄ．４ ２
联考，
４
）抛物线ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０）
上的点Ｐ
（２，２）
到焦点的距离为 ３．（多选）（
２０２４
山东临沂一模，
１１
）已知圆Ｃ
：
ｘ２
＋
ｙ２
－１０
ｘ
＋１３＝
Ａ 抛物线Ｗ ｙ２ ｘ的焦点为Ｆ Ｐ为Ｗ上一点． ＡＣ
（ ） ０， ： ＝４ ， （ ）
存在点Ｐ 使 ＰＦＣ为等边三角形
５ ３ Ａ． ， △
Ａ． ２ Ｂ．２ Ｃ． ２ Ｄ．１ 若Ｑ为Ｃ上一点 则 ＰＱ 的最小值为
Ｂ． ， ｜ ｜ １
４．（ ２０２４ Ｔ８ 联盟联考一， ３ ）若圆Ｃ ： ｘ２ ＋ ｙ２ －４ ｘ ＋３＝０ 与抛物线ｘ２ Ｃ． 若 ｜ ＰＣ ｜＝４， 则直线ＰＦ与圆Ｃ相切
ｐｙ ｐ 的准线相切 则抛物线的焦点坐标为 Ｃ
＝２ （ ＞０） ， （ ） 若以ＰＦ为直径的圆与圆Ｃ相外切 则 ＰＦ
Ｄ． ， ｜ ｜＝２２－１２ ３
Ａ．（２，０） Ｂ．（０，２） Ｃ．（０，１） Ｄ．（１，０） ４．（多选）（ 湖南长沙雅礼中学月考七， ）抛物线的弦与弦
５．（ 湖北武汉二调， ）设抛物线ｙ２ ｘ的焦点为Ｆ 过抛物 ２０２４ １０
２０２４ ５ ＝２ ， 的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形 该
线上点Ｐ作其准线的垂线 设垂足为 Ｑ 若 ＰＱＦ ° 则 ，
， ， ∠ ＝３０ ， 三角形以其深刻的背景 丰富的性质产生了无穷的魅力．设Ａ
ＰＱ Ａ 、 ，
｜ ｜＝ （ ） Ｂ是抛物线Ｃ ｘ２ ｙ上两个不同的点 以Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ
： ＝４ ， （ １， １）， （ ２， ２）
为切点的切线交于Ｐ点．若弦ＡＢ过点Ｆ 则下列说法正
２ ３ ３ ３
（０，１），
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ３ ４ ２ 确的有 ＡＢＤ
６．（ 江西南昌一模， ）已知抛物线Ｃ ｘ２ ｙ的焦点为Ｆ Ａ （ ）
２０２４ ５ ： ＝４ ， ｘ ｘ
是抛物线Ｃ在第一象限部分上一点 若 ＡＦ 则抛物线Ｃ Ａ． １ ２＝－４
， ｜ ｜＝４， 若ｘ 则Ａ点处的切线方程为ｘ ｙ
在点Ａ处的切线方程为 Ａ Ｂ． １＝２， － －１＝０
（ ） 存在点Ｐ 使得→ＰＡ Ｐ→Ｂ
ｘ ｙ ｘ ｙ Ｃ． ， · ＞０
Ａ． ３ － －３＝０ Ｂ．２ － －１＝０ ＰＡＢ面积的最小值为
Ｄ．△ ４
ｘ ｙ ｘ ｙ
Ｃ． － －１＝０ Ｄ． ２ － －２＝０ ５．（多选）（ 浙江杭州二模， ）过点Ｐ 的直线与抛物
２０２４ １１ （２，０）
７．（
２０２４
广东五粤名校第一次联考，
３
）抛物线ｙ２
＝４
ｘ的焦点为
线Ｃ ｙ２ ｘ交于Ａ Ｂ两点．抛物线Ｃ在点Ａ处的切线与直线
： ＝４ ，
Ｆ 过Ｆ的直线交抛物线于Ａ Ｂ两点 则 ＡＦ ＢＦ 的最小
， ， ， ｜ ｜＋４｜ ｜ ｘ 交于点Ｎ 作ＮＭ ＡＰ交ＡＢ于点Ｍ 则 ＢＣ
＝－２ ， ⊥ ， （ ）
值为 Ｄ
（ ） 直线ＮＢ与抛物线Ｃ有 个公共点
Ａ． ２
Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．９ 直线ＭＮ恒过定点
Ｂ．
８．（
２０２４
河北唐山一模，
６
）已知抛物线Ｅ
：
ｙ２
＝４
ｘ的焦点为Ｆ
，
以
点Ｍ的轨迹方程是 ｘ ２ ｙ２ ｘ
Ｃ． （ －１） ＋ ＝１（ ≠０）
Ｆ为圆心的圆与Ｅ交于Ａ Ｂ两点 与 Ｅ 的准线交于 Ｃ Ｄ 两
， ， 、 ＭＮ ３
｜ ｜ 的最小值为
点 若 ＣＤ 则 ＡＢ Ｄ Ｄ． ＡＢ ８ ２
， ｜ ｜＝２ ２１， ｜ ｜＝ （ ） ｜ ｜
６．（多选）（ 东北三省三校一模， ）在平面直角坐标系ｘＯｙ
Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８ ２０２４ １０
９．（
２０２４
浙江金丽衢十二校联考，
６
）已知抛物线Ｃ
１：
ｘ２
＝２
ｙ的焦 中
，
抛物线Ｃ
：
ｙ２
＝４
ｘ的焦点为Ｆ
，
点Ｐ在抛物线Ｃ上
，
点Ｑ在
点为Ｆ 以Ｆ为圆心的圆Ｃ 交Ｃ 于Ａ Ｂ两点 交Ｃ 的准线于Ｃ 抛物线Ｃ的准线上 则以下命题正确的是 ＡＢＤ
， ２ １ ， ， １ ， ， （ ）
Ｄ两点 若四边形ＡＢＣＤ是矩形 则圆Ｃ 的方程为 Ｄ ＰＱ ＰＦ 的最小值是
， ， ２ （ ） Ａ．｜ ｜＋｜ ｜ ２
Ａ． ｘ２ ＋（ ｙ －１） ２ ＝１２ Ｂ． ｘ２ ＋（ ｙ －１） ２ ＝１６ Ｂ．｜ ＰＱ ｜≥｜ ＰＦ ｜
( ) ( )
２ ２ 当点Ｐ的纵坐标为 时 存在点Ｑ 使得Ｑ→Ｆ Ｆ→Ｐ
ｘ２ ｙ １ ｘ２ ｙ １ Ｃ． ４ ， ， ＝３
Ｃ． ＋ － ＝３ Ｄ． ＋ － ＝４
２ ２ 若 ＰＱＦ是等边三角形 则点Ｐ的横坐标是
Ｄ． △ ， ３
１０．（
２０２４
安徽阜阳
(
一模，
１
)
３
）抛物线Ｃ
１：
ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０）
绕其顶点
７．（多选）（
２０２４
福建毕业班适应性练习，
１０
）已知抛物线Ｃ
：
ｙ２
＝
逆时针旋转θ θ π 之后 得到抛物线Ｃ 其准线方程为 ｘ的焦点为Ｆ 准线交ｘ轴于点Ｄ 过Ｆ的直线交Ｃ于Ａ Ｂ两
０＜ ＜ ， ２， ４ ， ， ，
２ 点 ＡＦ的中点Ｍ在ｙ轴上的射影为点Ｎ ＭＮ ＮＦ 则
， ，｜ ｜＝｜ ｜，
ｘ ｙ 则抛物线Ｃ 的焦点坐标为 （ ， ） ．
３ ＋ ＋４＝０， １ ２ ０ （ ＡＢＤ ）
ＡＦ ＢＦ
Ａ．｜ ｜＝３｜ ｜
ＡＤＢ是锐角
Ｂ．∠
２ ０８ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
Ｃ．△
ＢＤＮ是锐角三角形 由Ｓ
１＝２
Ｓ
２
得ｔ２
－１＝２，
解得ｔ
＝± ３，
四边形ＤＦＭＮ是菱形
Ｄ． 所以直线ｌ的方程为ｘ ｙ ． 分
± ３ ＋１＝０ （１７ ）
８．（ 辽宁大连三校联考， ）已知抛物线Ｃ ｙ２ ｘ Ｃ ｙ２
２０２４ １３ １： ＝２ ， ２： ＝
１ ＡＭ ＡＮ ＭＡＮ
ｘ的焦点分别为Ｆ Ｆ 点Ｐ Ｑ分别在Ｃ Ｃ 上 且线段ＰＱ Ｓ ｜ ｜·｜ ｜·ｓｉｎ∠ ＡＭ ＡＮ
４ １， ２， ， １， ２ ， 解法二： １ ２ ｜ ｜·｜ ｜
Ｓ ＝ ＝ ＡＰ ＡＱ ＝
平行于ｘ轴．若 Ｆ ＰＱ是等腰三角形 则 ＰＱ ２ ． ２ １ ＡＰ ＡＱ ＰＡＱ ｜ ｜·｜ ｜
△ ２ ， ｜ ｜＝ ｜ ｜·｜ ｜·ｓｉｎ∠
３ ２
９．（
２０２４
湖南衡阳第二次联考，
１３
）已知抛物线ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０）
的
｜（
ｘ
１－１）（
ｘ
２－１）｜ 分
焦点为Ｆ 过点Ｆ的直线与抛物线交于Ａ Ｂ两点 点Ａ在第一 ， （１４ ）
， ， （ ４
象限 ），∠ ＡＦＯ ＝１２０ ° （ Ｏ 为坐标原点 ），｜ ＡＦ ｜ ＝４， 则 ｜ ＢＦ ｜ ＝ 所以 Ｓ １ ｜（ ｔｙ １－２）（ ｔｙ ２－２）｜ ｜ ｔ２ｙ １ ｙ ２－２ ｔ （ ｙ １＋ ｙ ２）＋４｜ ｔ２ ．
Ｓ ＝ ＝ ＝ －１
４ ． ２ ４ ４
分
３ （１５ ）
１０．（
２０２４
浙江金华十校模拟，
１８
）设抛物线Ｃ
：
ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０），
直 由Ｓ
１＝２
Ｓ
２
得ｔ２
－１＝２，
解得ｔ
＝± ３，
线ｘ
＝－１
是抛物线Ｃ的准线
，
且与ｘ轴交于点Ｂ
，
过点Ｂ的直
所以直线ｌ的方程为ｘ ± ３ ｙ ＋１＝０ ． （１７ 分 ）
线ｌ与抛物线Ｃ交于不同的两点Ｍ
，
Ｎ
，
Ａ
（１，
ｎ
）
是不在直线ｌ １１．（
２０２４
湖北武汉四调，
１８
）已知抛物线Ｅ
：
ｙ
＝
ｘ２
，
过点Ｔ
（１，２）
上的一点 直线ＡＭ ＡＮ分别与准线交于Ｐ Ｑ两点．
的直线与抛物线Ｅ交于Ａ Ｂ两点 设抛物线Ｅ在点Ａ Ｂ处
， ， ，
， ， ，
求抛物线Ｃ的方程 的切线分别为ｌ 和ｌ 已知ｌ 与ｘ轴交于点Ｍ ｌ 与ｘ轴交
（１） ； １ ２， １ ， ２
证明 ＢＰ ＢＱ 于点Ｎ 设ｌ 与ｌ 的交点为Ｐ．
（２） ：｜ ｜＝｜ ｜； ， １ ２
记 ＡＭＮ ＡＰＱ的面积分别为Ｓ Ｓ 若Ｓ Ｓ 求直 证明 点Ｐ在定直线上
（３） △ ，△ １， ２， １＝２ ２， （１） ： ；
线ｌ的方程．
若 ＰＭＮ面积为 求点Ｐ的坐标
（２） △ ２， ；
ｐ
解析 由题意知 则ｐ 若Ｐ Ｍ Ｎ Ｔ四点共圆 求点Ｐ的坐标．
（１） － ＝－１， ＝２， （３） ， ， ， ，
２ 解析 证明 设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ Ｐ ｘ ｙ ．
故抛物线Ｃ的方程为ｙ２ ｘ． 分 （１） ： （ １， １）， （ ２， ２）， （ Ｐ， Ｐ）
＝４ （３ ） 由ｙ ｘ２ 得ｙ′ ｘ 所以ｌ 的方程为ｙ ｘ ｘ ｘ ｙ 整理
证明 设ｌ ｘ ｔｙ Ｍ ｘ ｙ Ｎ ｘ ｙ ＝ ， ＝２ ， １ ＝２ １（ － １）＋ １，
（２） ： ： ＝ －１， （ １， １）， （ ２， ２）， 得ｙ ｘ ｘ ｘ２．同理 ｌ 的方程为ｙ ｘ ｘ ｘ２．
{ｙ２ ｘ ＝２ １ － １ ，２ ＝２ ２ － ２
联立 ＝４ ， 消去ｘ得ｙ２ ｔｙ {ｙ ｘ ｘ ｘ２ ｘ ｘ
ｘ ｔｙ －４ ＋４＝０， 联立得 ＝２ １ － １，解得ｘ １＋ ２ ｙ ｘ ｘ ．
则Δ ＝ ｔ － ２ １， 且 {ｙ １＋ ｙ ２＝４ ｔ ， 分 ｙ ＝２ ｘ ２ ｘ － ｘ２ ２， Ｐ＝ ２ ， Ｐ＝ １ { ２ ｙ ｋ ｘ
＝１６（ －１）＞０， ｙ ｙ ． （５ ） 设直线ＡＢ的方程为ｙ ｋ ｘ 联立得 ＝ （ －１）＋２，
１ ２＝４ ＝ （ －１）＋２， ｙ ｘ２
ｙ ｎ æ ｙ ｎ ö ＝ ，
ＡＭ
：
ｙ
－
ｎ
＝ｘ
１－
（
ｘ
－１），
令ｘ
＝－１，
得Ｐ
è
ç
－１，
ｎ
－
２（
ｘ
１－ ）
ø
÷
，
消ｙ得ｘ２
－
ｋｘ
＋
ｋ
－２＝０，
１－１ １－１
ｋ
æ ｙ ｎ ö 故ｘ ｘ ｋ ｘ ｘ ｋ 所以ｘ ｙ ｋ 有ｙ ｘ ．
同理可得Ｑç ｎ ２（ ２－ ）÷ 分 １＋ ２＝ ， １ ２＝ －２， Ｐ＝ ， Ｐ＝ －２， Ｐ＝２ Ｐ－２
è－１， － ｘ ø， （７ ） ２
２－１ 所以点Ｐ在定直线ｙ ｘ 上． 分
ｙ ｎ ＝２ －２ （６ ）
则 ＢＰ ｙ ＢＱ ｙ 因为 ｙ ｙ ｎ ２（ １－ ） ｎ æｘ ö æｘ ö
｜ ｜＝｜ Ｐ｜，｜ ｜ ＝｜ Ｑ｜， Ｐ＋ Ｑ＝ － ｘ ＋ － 在ｌ ｌ 的方程中 令ｙ 得Ｍç １ ÷ Ｎç ２ ÷
１－１ （２） １，２ ， ＝０， è ，０ø， è ，０ø，
ｙ ｎ é ｙ ｎ ｙ ｎ ù ２ ２
２（ ２－ ） ｎ êê２（ １－ ） ２（ ２－ ）úú
ｘ ＝２ －ë ｔｙ ＋ ｔｙ û 所以 ＰＭＮ的面积Ｓ １ ＭＮ ｙ １ ｘ ｘ ｘ ｘ
２－１ １－２ ２－２ △ ＝ ｜ ｜·｜ Ｐ｜ ＝ ｜（ １－ ２） １ ２｜
２ ４
ｙ ｎ ｔｙ ｙ ｎ ｔｙ
ｎ ２（ １－ ）（ ２－２）＋２（ ２－ ）（ １－２） ．
＝２ － ｔｙ ｔｙ ＝ ２
（ １－２）·（ ２－２） 故 ｘ ｘ ２ ｘ ｘ ２ 即 ｘ ｘ ２ ｘ ｘ ｘ ｘ ２
＝２ ｎ － ４
ｔｙ
１
ｙ
ｔ２ ２ ｙ －（ ｙ ２
ｎｔ
＋ ｔ ４） ｙ （
ｙ
ｙ １＋
ｙ
２）＋８
ｎ
＝２ ｎ － ８
ｎ
－８ ｔ
ｎ
２
ｔ２
＝０， 则
（
（ ｋ
１
２ －
－
４ ｋ
２）
＋８
（
）（
１
ｋ２
２
－
）
４ ｋ
＝
＋
３
４
２
）
，
＝３
［
２
（
．
１＋ ２） －４ １ ２］（ １ ２） ＝３２，
１ ２－２（ １＋ ２）＋４ ４－４ 即 ｋ ２ ｋ ２ 解得ｋ 或ｋ ．
所以 ｙ ｙ 故 ＢＰ ＢＱ ． 分 ［（ －２） ＋８］［（ －２） －４］＝０， ＝０ ＝４
｜ Ｐ｜＝｜ Ｑ｜， ｜ ｜＝ ｜ （１０ ） 所以点Ｐ的坐标为 或 ． 分
解法一：设点Ａ到直线ＰＱ ＭＮ的距离分别为ｄ ｄ 易 （０，－２） （２，２） （１１ ）
（３） ， １， ２， ( ) æｘ ö
知ｄ ． 抛物线的焦点坐标为Ｆ １ 由Ｍç １ ÷得直线ＭＦ
１＝２ （３） ０， ， è ，０ø
ｎｔ ４ ２
由 可得 ｄ ｜２－ ｜ ＭＮ ｔ２ ｙ ｙ ２ ｙ ｙ
（２） ， ２＝ ｔ２ ＋１ ，｜ ｜＝ （ ＋１）［（ １＋ ２） －４ １ ２］ 的斜率ｋ ＭＦ＝－
２
１ ｘ
１
＝－ｋ １
ＭＰ
， 所以ＭＦ ⊥ ＭＰ ，
＝ ４ （
ｔ２
＋１）（
ｔ２
－１），
则 Ｓ
２ ＝
１
｜
ＰＱ
｜
ｄ
１ ＝ ｜
ＰＱ
｜ ＝
同理ＮＦ
⊥
ＮＰ
，
所以ＰＦ是
△
ＰＭＮ外接圆的直径．
２ 若点Ｔ也在该圆上 则ＴＦ ＴＰ．
ｙ ｎ ｙ ｎ ｎｔ ， ⊥
２（ １－ ） ２（ ２－ ） ２｜ －２｜ 分
ｔｙ １－２ － ｔｙ ２－２ ＝ ｔ２ －１ ， （１３ ） 由ｋ ＴＦ＝ ７ ， 得直线ＴＰ的方程为ｙ ＝－ ４ （ ｘ －１）＋２ ．
４ ７
Ｓ １＝
２
１ ｜ ＭＮ ｜ ｄ ２＝
２
１ ×４ （ ｔ２ ＋１）（ ｔ２ －１）· ｜２
ｔ
－
２
ｎ
＋
ｔ
１
｜ ＝２ ｔ２ －１ 又
联
点
立两
Ｐ
直
在
线
定
方
直
程
线ｙ
解
＝
得
２ ｘ
点
－２
Ｐ
上
的
．
坐标为 ( １６ １４ ) ． 分
ｎｔ 分 ， ， （１７ ）
·｜ －２｜， （１５ ） ９ ９
专题八 平面解析几何 ２ ０９
抛物线
学生用书P128
２． 创新考法 （ 浙江 联盟 月联考， ）应用抛物线和
１． 创新知识交汇 （多选）（ 河北联考， ）双曲抛物线又 ２０２４ ９＋１ ３ １３
２０２４ １０ 双曲线的光学性质 可以设计制造反射式天文望远镜 这种望远
称马鞍面 因其形似马具中的马鞍表面而得名．其在力学 建 ， ，
， 、 镜的特点是 镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚．某天文仪
筑学 美学中有着广泛的应用．在空间直角坐标系中 将一条 ，
、 ， 器厂设计制造的一种反射式望远镜 其光学系统的原理如图 中
ｘＯｚ平面内开口向上的抛物线沿着另一条ｙＯｚ平面内开口向 ， （
心截口示意图 所示．其中 一个反射镜ＰＯ Ｑ弧所在的曲线为抛
下的抛物线滑动 两条抛物线的顶点重合 所形成的就是马鞍 ） ， １
（ ） 物线 另一个反射镜ＭＯ Ｎ弧所在的曲线为双曲线一个分支．已知
ｘ２ ｙ２ ， ２
面 其坐标原点被称为马鞍面的鞍点 其标准方程为 Ｆ Ｆ 是双曲线的两个焦点 其中Ｆ 同时又是抛物线的焦点 且
， ， ａ２ －ｂ２ ＝ １， ２ ， ２ ，
ｚ ａ ｂ 则下列说法正确的是 ＡＢ ＮＦ Ｆ ° ＮＦ Ｆ １ ＮＦ Ｆ 的面积为 Ｏ Ｆ
２ （ ＞０， ＞０）， （ ） ∠ ２ １＝４５ ，ｔａｎ∠ １ ２＝ ，△ １ ２ １０，｜ １ ２｜＝
[ ４
则抛物线方程为ｙ２ （ｘ ） ．
Z ８， ＝３２ ＋３
Z
0
Y 2
/
0 0
用平行于ｘＯｙ平面的面截马鞍面 所得轨迹为双曲线 ' 0 ' Y
Ａ． ， .
用法向量为 的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
Ｂ． （１，０，０）
用垂直于ｙ轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线 1
Ｃ．
用过原点且法向量为 的平面截马鞍面所得轨迹为
Ｄ． （１，１，０）
