🌈
⾼三冲刺笔记-椭圆（⼀）
考点归纳：⽅程与性质
⼀、椭圆的第⼀定义
: 平⾯内⼀个动点P 到两个定点F.
, 后的距离之和等于常数
( 1 PF.lt/PFzl=2a7lF.F2l ) , 这个动点P 的轨迹叫椭圆
。
注:
"着1PF.lt/PFzl=lF.F2l,)P 的轨迹为线段⽄后
,
"
"着IPF.lt/PF2KlFFd.)P的轨迹⽆图形
。
"
及全
. P
1 ⽄后1
焦距= 2CIA.AZ 1
⻓轴= 2a
B, 132
短轴= 2b
A!
六
吉
红
( 住ii)
了
"重要
'
o
B ,
⼆、椭圆标准⽅程与性质
1. 焦点在⼒轴
:
2 . 焦点在9 轴
:
x2yzxz.az
+9
2
B
=
1
( a > b 7 0 )
a
z t B
=
1
( a > b > 0 )
a
> 注:
"
在⽅程中, 不9 对应的
占
13
0
A2
0
分⺟,谁⼤焦点就在谁
①
0
0
0
0 F2
A ,
F.F.AZ
•
•
的轴上, 谁就是á
"
。
13 1
6 F,
132
13 1
25
.,
˙ A
13% B A
)
"
A13 = a
三、⼏何性质
①
0
0
0
1
、通经过焦点且垂直于⻓轴的弦, ⻓度为悲
。
A.FI
后
A2
0
2 . 准线
: 加± E
。
为=
_ d
"
B
、
B
" x = ±
"
C
3 , 离⼼率
: 动点到焦点的距离和动点到准线的距离之⽐
。
eǚ 湌
=
1 ⼀点
(04<1)
4. 焦半径椭圆上的点吪, %) 到焦点的距离
。
⼩左焦半径
:
1 所katex 。
( 2 ) 右焦半径:
1
PFzka-ex.in
BIBPcxo.io)
证明
: 由第⼆定义得左焦半径
:
0
0
0
0
0
0
1 所
A.
F.F.AZ
pm
⼆e-7PF.im e
= (⼒。+ E )
。e
= E. ǎtexo
0
= atex 。
加冷
加(
同理得右焦半径
:
a - ex 。
🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：椭圆⽅程与性质
🌶
🌶
🌶
8 .
🌶
🌶
🌶
🌶
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⾼三冲刺笔记-圆锥（⼆）
考点归纳：双曲线⽅程与性质
⼀
、双曲线的第⼀定义
: 把平⾯内到两定点下, 后的距离之差的绝对值等于常数
(⼤于零且⼩于
下后的点的集合)叫双曲线
。
⼈
集合RMMF.HMFzl-za.FI 后
⼆2C }
, 其中, a , C 为常数且ano.co
. 13 、
注:
( 1 ) 当a< c 时, 13点轨迹是双曲线
;
1AAzl
实轴
= 29
※,
(2) 当⼼时, 13点轨迹是两条射线;
F.FI
焦距
: 2C
'
132
(3) 当a> ( 时, P点不存在。
1 13 , 1321
虚轴
: 2b
( B = (
2
- a
2 )
⼆
、双曲线标准⽅程与性质
1、焦点在⼒轴
:
2 . 焦点在4 轴
:
x2yz.az
-
B
=
1
(a > 0 . b > 0 )
是
⼀驾
=
1
(a > o , b > o )
yix
tāx
yi
。⽯
⽕邮
伟
A?
(
2
= a4 分
六"沁
⼒
亦
⼒
。A I
' 132
0 万
三
、⼏何性质
1. 通径: 过焦点且垂直于⻓轴的弦, ⻓度为望
。
2.准线: 加± E 和
y = ± E
3. 离⼼率:
e = t i
=
1⼗点
( e >
1 )
4
. 焦半径: 双曲线上的点Plxo.io) 到焦点的距离。
总说,
听
⼆exotaMFz-exo.cn
(对任意⼒⽽⾔)
绝对值内看焦
, 左加右减
去绝对值看⽀, 左鮖正
具体
:
点Plxo , ⽕) 在右⽀上
, IPF.kexotaiPH-exo.cn ;
点Plxo.ly 。) 在左⽀上
, IPF.k-lex.to) ; 1时:-(ex 。
- a) 。
5
、焦渐距
: 焦点到渐近线的距离
=
b
以āx
yǜx
简
证
: 渐近线
: bxtay-OF.lt
, 0 )
i. "※
,
i d =
1 - b c
1
a2 + b2
=
1 H
' 132
🌶
🌶
📍
题型训练：双曲线⽅程与性质
🌶
🌶🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
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⾼三冲刺笔记-圆锥（三）
考点归纳：抛物线⽅程与性质
-抛物线定义
: 平⾯内与
⼀定点F 和⼀条直线L 的距离相等的点的轨迹叫抛物线
,
定点下叫抛物线的焦点
, 定直线( 叫抛物线准线
。
⼆、抛物线⽅程
:
1
2
= 2阞
( P > 0)
y
2
=
- 2阞( P > 0)
xEzpy (P > o )
x2-zpyc.RO )
y
l
N
n
l
^
^
F
˙
年
" X
˙
> ⼒
>
7
④
x-IFE.co )
F ( - E
, 0)
x = )
F 1 0 , E)
y:-P
Flo ,
⼀是) y
三、抛物线⼏何性质
A
'
⼈
A.AM
ㄐ. )
13 ( X 2 , ⽣)
焦点下(E , 0 )
K
.
。
nx
○
F
B
'
B
x-
1 . 焦点弦
:
> 1A131
⼆⼒, ⼗加+ P
2
、通径
: (过焦点垂直于所在的轴的焦点弦叫通径)
叩
P
3. 焦半径: (抛物线上⼀点到焦点下的距离)
> AF-X.tl?BF=xztzP
4. 与焦点弦AB 相关的⼏个性质
:
AF-i-cosoBF.PHCoso
p
2
1
万, 加=
4
y , ⽣:-P
2
A
'
」
^-
2
AB
=
2 P
Sirix
(✗≠0 )
1
1
AFTBF
AB
N.io
3 AFtBF-AFBF-AF.BE
⼆⽉
[
B
'
⼀
、0
450A013 ⼆中( 煚
⼗集)
加
⼀:
5 LAKFELBKF
6 以仍为直径的圆与抛物线准线相切
5. 弦⻓公式
:
1 ⽉13 1 =
(⼒,
⼀加)
2+ (以42)
2
=
1
1
- 1《
加加
⼆ltk2-lx.tn)
2
- 4万,加
⼆ltiyiyz-ltk.ly , ⼗9212-4发⽣
🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：抛物线⽅程与性质
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌈
⾼三冲刺笔记-圆锥（四）
考点归纳：焦点三⻆形（⼀）
题型训练：焦点三⻆形与余弦定理
⼀
、焦点三⻆形
:
1 、定义,
椭圆(双曲线) 上
⼀点和两焦点组成的三⻆形叫焦点三⻆形
。
⼈Yp
,. y
p
d
0
卡,
应
" X
F .
0
0ix
⼆、椭圆的焦点三⻆形结论:
ti.tn
I.
周⻓: GPF.FI?FitPF2tlFiF2=2Qt2C
> ㄐp
=
c
⼈卾以"
b2.ci?nF.n3x2.
⾯积: 亿队后
⼆ÌPF.PF2knicsib-tani.cn
"
等⾯积法
"
3.余弦定理应⽤
:
阶
, 阪
:
25
2
t 的
三
、
双曲线的焦点三⻆形结论i
f
l
N
p
1
. 周⻓: GPF.FI 阫
⼗阽坏后
, ypic.tn
a
# 13
b
2
0
'
n
' X
2
、⾯积: 5△际下2 : 主队阽15啊
⼆
⼗岥
⼆
C -
Yp
F.
2h2
3. 余弦定理应⽤
:
PF.HPFti.sn
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：焦点三⻆形与⾯积
🌶
🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：焦点三⻆形与周⻓
🌶
🌈
⾼三冲刺笔记-圆锥（五）
考点归纳：焦点三⻆形（⼆）
题型训练：焦点三⻆形的⻆平分线
🌶
⼀
、焦点三⻆形的⻆平氕线
:
结论:
1
.
在△ABC 中
,
仍为⼈131北的⻆平⾏线
, 则𤏩
=
咖1
1 C D 1
2
.
P 是椭圆数学
= 1
上的动点
F. 后
为椭圆两焦点
,
队友的内切圆半径为
⼩
, 则S.PFiir.cat c)
A
!
^
< G
.
⼯
F.hn
。
>
>
F.
差
13
D E
C
(I)
(2)
证1
: 过A 作AE -
1
13 C
, 过
1) 作DFIAB ,
这2 : S-PTES-PIF.tS-PIEtSLF.IE
DG-lAC.AB.AE 上⾼为h h
,
过啊
, rti.IPF.l.rtilF.ir
" 们为解分线
,
这rlPF.tl 阪
⼗
版)
i h
= h
= t.cat c)
,
.IS△
ABD_ilBDHAEli.hilABE.SN/tcDi.lcDl'lAElj.hiAC.ilABlBD1=lAClC
171
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
🌶
📍
题型训练：焦点三⻆形的中位线
🌶
⻆
🌈
⾼三冲刺笔记-圆锥（六）
考点归纳：椭圆离⼼率求值
-
⼀、
公式
1
: eǎ
⼆、公式2 :
e
t 是
三、公式3
i
天知椭圆⽅程为Ǖt 学
:
1
(a> b
7 0 )
, 两焦点分别为F. , F 2
.
, 这焦点三⻆形
中⼈ㄗ版
: a
,
卬所=
13
, 则椭圆离⼼率e
Sincat B)
nysinatsinpePQ.in
这明
之所反= a
, ⼈中所:P
,
i
'
吉
⽂
下,到
阪
阶
由正弦定理得
:
sinln.am
⼆
sina-s.in/了
,
由等处定理得
下没
PF.lt
阪
Sincat 131
⼆
sinats.in 13
2 (
Sincat 13)
即
"
sina.im
=
3 9
sinats.in/3
> et-sinats.in/3
四、公式4
:
以椭圆芯+ 岁
= 1
( a > b
>o )
两焦点下
,
反及椭圆上任⼀点P ( 除⻓轴
两端点外) 为顶点△下,阪
, t.PF.iq
,
⼈阪下,
= 13
, 则e =
" -
s -
3
^ "
证明:
由正弦定理有
队
1 阪1
1下列
。'
s训
了
⼆Ta
⼆
sincat 13)
i 逋
,
1 侧
X.im 侧
=
狐(邸)
zsint.cosatBSinats.in
13
=
2
2 s.in
T.cosa-B.es
凹
了
2
c, ⼀
五
⼀公式5
:
点下是椭圆的焦点
, 过
下的弦仍与椭圆焦点所在轴的夹⻆为Q.DE (-
1 1
1⼈为直线AB 的斜率
, 且肰
=
⼊下13
' ⼼》
, 注: ⼊漆
或者不菲⽽不是管或朤!
^
则eltkz.MN,
或
e. 的
:
'"
(焦点在✗轴)
m
A
'
⼊-
m
T
,㬎
7
E Him
或
e.的⼆点
( 焦点在了轴)
B
'
^
'
这,
由椭圆第⼆定义
:
州
C
B
删个aiAFITAA.li ǎ (
1 所
1 下州)
xi
5
肧
= ǎ
cc.tl/tFl.coSQ)b2AFl=b2a-ccosa
, 同理
:
13下
⼆
atc.com
, 由题
成1 = ⼊䏖
b
2
即㕾.com
动
'
atc.com?D(accosQ)=atc-cosoMzacirl)=cCM1coSQ)G=dg.(-)-,eC0SQ=MtaM
= K
> j
=
,求
.ie t.tk"
⼊"
⼊+1
六、公式
6
:
若A
. B 为直线
1 椭圆悲㤷⽃的交点
, M为AB 的中点
, 0 为坐标原点
,
⼼
则有
: KAB.KMT-e2.tl 焦点,在ㄨ轴)
;
KAB.KMon.io
( 焦点树轴)
i i
i
*
证明
这⽉以以)
B (X 2 92)
M 的
, 别
椭圆
icitbixiyiB.si
"
{
a t
y a
=
1
1
1
-
2
:
以狄州双)
+ (以以⽕⽕⽕)
加
2
2
9
2
b2
⼆0
a
t f
= 1
2
>
:
2为(不⽕)
+
2% (以以1
9
2
3
2
: 0
>
;
以⽕
、Yo
X_X2
x 。
⼆⼀点
> KAB.brM =
-
3
2
a
=
e
2
- 1
七、公式7 :
A
, 以为椭圆
: Yi ⼗号⼆
1
⼼的) 上的左右顶点
, 点M是从异于A , 以的任
⼀点
, 则
: KMA.eKMA.ie -1
( 焦点在怞) ;
KMA.okMA.ie⽃
( 焦点在9轴) 。
"
证明这A.ca , 0 )
以( a
. 0 1
M 的
, 以1
椭圆
: ǖ
tji.MY
,
yo
。必
KMAFxotaKMA-xo-a.IN
x
yf
> KMAiKMAii.ci
i
Mlx , 4》在椭圆上
. i
yi =
b
2
. (
1
- 悲
1
2
5 ( 1
- 悲,
u.int 筣
ci-x.it 兜
⼼
KMA.lk岅
⼆
⼆
xi.az
⼆
cixi-dtxi.ci?kMA,-kMA.=a2-XR-c2ti.x,2XRtitxi-a2=e2-l
⼋、公式8 : 你
, 及为椭圆是⼗景引
(a> b>》上关于原点对称的两点
, 点⼋⼋是从
你点
, 则以MA.okMAi.eu ( 焦点在怞了, KMA.tn/lAa=ei(焦点在9 轴)
。
n y
A
. M
证明这MCXDAilxo.yoJA.c-xoi-y.ly
_ y,
以
⼈
。
KMAF
x_x。
KMAi " "
了
xt Xo
A.
y2-yiKMA.KMA_Y-yoytyox-xo.MX
。
⼆
x
2
- x,
2
i M在椭圆上:
i y
2
: 5 ( 1
- Ǜ )
=
是(ix)
同理炽是
I-xilb2-KMAikMAi.ci
IX) ⼀点姒们
,
2
×
2
-
x。
2
=
ciIW-x21-ca2.in
X_x。
2
⼆点⼋分扪
内
✗2.x,
2
=
- a
2 = e
2
- 1
九
, 公式9 :
A
. B 是椭圆
: 恶景1
(a > b > 0 ) 上的两动点
, ^^是平⾯上
⼀动点且满⾜
了从
⼆⼊⽔tu013
'
, 若⼊个⼼: 1
, 且M在椭圆上
: 则KOAKOB il
M ⼈
来
⽕
中
证明: 这MCX.DACX.li)
13 (加, 以1
>
ONICX.no/P=(Xi,y,)OB=(Xz,yjOM'=DrA'tuoB',fx=Dxtux2y=ny.tuY2
讲在椭圆上iǜtjy
, lixtuxainyituy.iq
2
t
y
2
= 1
展开得biixituixitzmuxxitciciyituiyitnuy.y.mil
i A . B 在椭圆上
i
y ,是5( 1 - 注)⼆点ii)
炷呇(ix)
2
联⽴
1
2
72⼊ubixataticihlijtznuciyy.in
nD4whi.MU (5 㹢tciy
, 以⼼
即
tiktciyig.io
,
以"以
32
5 X, 从
:-|
>
y , 以
⼩⽕
⼆
- a
2
=
e
2 - 1
7 KOA.brM
-1
⼗、公式
10
:
正知ACXo.Yolcx.to) 是椭圆Ǖt 岁
= 1
(a >
b > o ) 上⼀定点
, E
, F 是椭圆
C 上两个动点
, 若KAI.tk/tF:o
, 则
koA.KEF-l-e21.ge
A
这明: 没AEiy-yoiklx-XDEMYDFN.la)
· F x
"
KAI.tk/tF=O.iAFiY-Yo=-k(X-Xo)E0fY-Yo=klX-Xo),i+(kxtYo-kXoib2
⽃
品学到
了
2
x +
(4 0
- K们
2
> (Ǜtijp +2 ( 为⽕们k
Urkxo)
2
b
2
⼗
⼆0
5
"
cicyo-kxi.ci5
"
⽕为
⼆
, ⼩
cdi
+们,
同理:
mihy.tk
XoRà5
iticcitb4xokoA-KEF-oktiittixi.jp
láit 5111,
⼀州
yzciyitikxi-za25-zciizhi-tikx.br
⼆
为
'
-4 āxoy,
lcitb )为
7
=
y,
zdy。
2
- 2分为
2
- 2 9
25
y
-45 X,
2
9
2
=
1 - e
2
.
x。
'
tiyy 。
⼆
xo-zix.vn。
⼆
的
⼗⼀
: 公式
1 1
:
放椭圆装⼗字"
, A (⼩刘为椭圆上你点
, 下, 反为椭圆两焦点
,
肧交椭圆于点13 (⼩
, ⽣)
, 服交椭圆于
C (11 3
.
9 3 )
,若肰= ⼊下, 13
'
, 胈⼆⼭成
则⼊+ u = 2 ( 1+ e2 )
1 - e 2
A
A
•
Fò
。下2
,
证明: AMYDBCXa.DCCX3.YDF.cc , 0)
⽯
( C . 》
⽚
。
c
✗
肰: (- c
- x
,
- y )
下1弪(Xztc
,
以)
服
'
= ( c - x
, 以1
F.in/zisY3)Ai=nFBsf-C-X=DCX2tC1AFi=uFzc',fcxi=tlCX3-c)-y=xy.
yiwn.im
景
u
= 是
这ABiy-oiyioxtc.CHC)
> ⽔
⼩苦
。
y-C.Acix-XY.ytc.li
炏
y
o y
- c
y
2
a t
j y
>
( 你y.ci
p
y
'
i
t j
= 1
c2lxtcilciyitjjy2_2CCX.tn
ay
,
˙ y t
a
- 1
- 瓫
= 0
⼀点
.li
灲"
(xtci
,
792
⼆
以
[
以⽕)
⼈
āyi +5
azy.at j ] 以
同𤨒
,
=
- 32
G2
[ M
-c)2
aytjy.im
u :
以y.tl 艿
)
=
-
ycjtjjlxtcllxti-yllayztjitlazy.at i)9,1
瓷
⼀点
⼆
州出笳tjtlxiciciyp.fi 1
5
a
2
=
Xitctzcxtx ,
2 + c
2
-
2 CY
24 .
2
a
2
+
5
是
a
+
25 (
1
- ii
=
2X,
2
-1 2(
2
分
是
:
2 ( 台州
=
2 ( ⼼)
b2
1 - e
2
a
y
2
F
: 公式
12
:
这椭圆㤎
+
5
= 1
;
A ( X .
,
⼩1131X2921 为椭圆上任意两点
, AB 効
⼼
轴于点PEC
, 0 )
, 交了⻋由于Q
(o , 为1
0
13
2
P
.
0 Q
, 则
1
若戏⼆⼊内户
, QB
'
⼆⼊旷
> ⼊⼗⼋
⼆
。
2
- 1
0
X
2
若成
⼆⼊阴
, 陇
⼆⼊阴
, ⼊咖=
202
A
e
2 - 1
证明:
A (刈
, 1
13 (⽕⽕)
PC-c.oio.co , 为)
ABiy-ya-YQotclx-D-yif.xtyasx-jcy-YQrj.y-c.li
叔
。"
(
2
9
2 为" ⼗
点
, Gj t j ) y
2
.
2《
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题型训练：定义法求离⼼率
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题型训练：a,b,c⻬次⽅程求离⼼率
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