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让更多的孩子得到更好的教育
【巩固练习】
一.选择题
1. （2016 春•保定期末）如图，已知∠AOB=60°，点P 在边OA 上，OP=10，点M、N 在边OB 上，
PM=PN，若MN=2，则OM 的长为（ ）
A．2
B．3 C．4
D．5
2．如图，B、C、D 在一直线上，△ABC、△ADE 是等边三角形，若CE＝15cm ，CD＝6cm ，则 AC＝
（ ）cm
A.9 B.8 C.7 D.10
3. 已知∠AOB＝30°，点P 在∠AOB 的内部，
1P 与P 关于OB 对称，
2P 与P 关于OA 对称，则
1P ，
2P 与O 三点构成的三角形是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.视P 点的位置而定
4. 如图，木工师傅从边长为90cm 的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形
木板的边长为（ ）
A.34cm B.32cm C.30cm D.28cm
5. 已知△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的任意一点，连接AD 并作等边三角形ADE，若
DE⊥AB，则BD
DC 的值是（ ）
A. 1
2 B. 2
3 C.1 D. 3
2
6. 如图，A、C、B 三点在同一条直线上，△DAC 和△EBC 都是等边三角形，AE、BD 分别与CD、CE
交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN．其中，正确结论的个数
是（ ）
A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个
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二.填空题
7. 如图，已知AB＝AC＝BC＝AD,則∠BDC＝_________.
8．如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，∠EDC＝∠BAC，AE＝AF，∠B＝60°，则图中的线段: AF、BF、
AE、CE、AD、BD、DC、DF 中与DE 的长相等的线段有 条.
9. 如图，已知ΔABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE 垂直平分AC 交BC 于D，垂足为E，若DE＝
2cm ，则BC＝_____cm .
10.（2015 春•鄄城县期中）如图，AB=AC=AD=4cm，DB=DC，若∠ABC 为60 度，则BE 为
，
∠ABD=
°．
11．（2016•黄冈校级自主招生）在△ABC 中，∠A=45°，∠B=30°，AD 为△ABC 的中线，则
∠ADC=
．
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12．如图，等边三角形ABC 中，D、E 分别为AB、BC 边上的两个动点，且总使AD＝BE，AE 与CD 交
于点F，AG⊥CD 于点G，则AF
FG ＝ ．
三.解答题
13.已知△ABC 为正三角形，点M 是射线BC 上任意一点，点N 是射线CA 上任意一点，且BM＝
CN，直线BN 与AM 相交于点Q．下面给出了三种情况（如图①，②，③），先用量角器分别测
量∠BQM 的大小，然后猜测∠BQM 是否为定值并利用其中一图证明你的结论．
14.（2014 秋•滨州期末）如图．在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点O，且
OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE 的形状，并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC 三者有什么关系？写出你的判断过程．
15. 数学课上，李老师出示了如下框中的题目.
小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
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在等边三角形ABC 中，点E 在
AB 上，点D 在CB 的延长线上，且
ED＝EC,如图.试确定线段AE 与
DB 的大小关系，并说明理由.
D
A
B
C
E
A
B
C
D
E
F
D
A
B
C
E
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（1）特殊情况，探索结论
当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：
AE______DB（填“＞”,“＜”或“＝”）.
（2）一般情况，证明结论
如图2，过点E 作EF // BC，交AC 于点F.
（请你继续完成对以上问题（1）中所填写结论的证明）
证明：
【答案与解析】
1. 【答案】C；
【解析】解：作PH⊥MN 于H，如图，
∵PM=PN，
∴MH=NH=
MN=1，
在Rt△POH 中，∵∠POH=60°，
∴∠OPH=30°，
∴OH=
OP=
×10=5，
∴OM=OH
MH=5
1=4
﹣
﹣
．
故选C．
2. 【答案】A；
【解析】证△ABD≌△ACE，AC＝BC＝BD－CD＝CE－CD＝15－6＝9cm .
3. 【答案】C；
【解析】根据对称性，∠
1
2
POP ＝60°，且
1
2
OP
OP
OP
.
4. 【答案】C ；
【解析】图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，所以正六边形的周长
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图1
图2
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是正三角形的周长的2
3 ，正六边形的周长为90×3× 2
3 ＝180cm ，所以正六边
形的边长是180÷6＝30cm ．
5. 【答案】C；
【解析】根据题意：若DE⊥AB，必有∠BDE＝30°，而∠EDA＝60°；故AD⊥BC；即BD＝DC；
故BD
DC 的值是1．
6. 【答案】B；
【解析】①②正确. 证△ACE≌△DCB（SAS），△EMC≌△BNC（ASA）.
二.填空题
7. 【答案】150°；
【解析】设∠CBD＝x ，∠BCD＝y ，由题意∠ADB＝60°＋x ，∠ADC＝60°＋y ，△BCD 中，
x ＋y ＋60°＋x ＋60°＋y ＝180°, x ＋y ＝30°，所以∠BDC＝150°.
8. 【答案】3；
【解析】由题意可得∠DEC＝60°，△AFD≌△AED，易证△BFD 为正三角形，故BD＝BF＝FD
＝DE.
9. 【答案】12；
【解析】连接AD，反复利用30°所对直角边等于斜边的一半.
10.【答案】2cm，75；
【解析】解：①∵AB=AC，∠ABC 为60 度，
∴△ABC 为等边三角形．
在△ABD 和△ACD 中，
∵
，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AE 是BC 边的中垂线，
∴BE= BC=2cm；
②∵AB=AD（已知），
∴∠ABD=∠ADB（等边对等角），
∴∠ABD= （180°﹣∠BAD）= （180°﹣30°）=75°．
11.【答案】45°；
【解析】过C 作CE⊥AB 于点E，
则有∠AEC=∠BEC=90°，
∵∠CAB=45°，∠B=30°，
∴∠ACE=∠CAB=45°，∠BCE=60°，
∴AE=CE，
∵AD 为三角形的中线，
∴BD=CD=DE=
BC，
∴∠BED=30°，
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∴△CED 是等边三角形，
∴DE=CE=AE，∠CDE=60°，
∴∠ADE=∠DAE=
∠BED=15°，
∴∠ADC=∠CDE﹣∠ADE=45°．
故答案为：45°．
12．【答案】1
2 ；
【解析】证△CBD≌△ACE，∠BCD＝∠CAE，因为∠ACF＋∠BCD＝60°，∠CAE＋∠ACF＝
∠AFG＝60°，所以∠FAG＝30°，所以AF
FG ＝1
2 .
三.解答题
13.【解析】
解：∠BQM 为定值．
理由：如图①∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC
∵BM＝CN
∴△ABM≌△BCN（SAS）
∴∠BAM＝∠CBN（全等三角形的对应角相等），
∴∠BQM＝∠BAQ＋∠ABQ＝∠CBQ＋∠ABQ＝∠ABC＝60°
即∠BQM 为定值．
图②中：∠BQM＝∠ABN＋∠BAM
∵△ABM≌△BCN
∴∠BAM＝∠CBN
∴∠BQM＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°
图③中：
∠BQM＝∠N＋∠NAQ
∵△ABM≌△BCN，
∴∠N＝∠M，且∠NAQ＝∠CAM，
又∵∠ACB＝∠M＋∠CAM＝∠N＋∠NAQ，
且∠BQM＝∠N＋∠NAQ，
∴∠BQM＝∠ACB＝60°．
14.【解析】
解：（1）△ODE 是等边三角形，
其理由是：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°
∴△ODE 是等边三角形；
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（2）答：BD=DE=EC，
其理由是：∵OB 平分∠ABC，且∠ABC=60°，
∴∠ABO=∠OBD=30°，
∵OD∥AB，
∴∠BOD=∠ABO=30°，
∴∠DBO=∠DOB，
∴DB=DO，
同理，EC=EO，
∵DE=OD=OE，
∴BD=DE=EC．
15.【解析】
解：（1）＝
（2）证明：在等边△ABC 中，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC
∵EF∥BC
∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠BAC，且∠CEF＝∠ECD，
∴AE＝AF＝EF，
∴AB－AE＝AC－AF，即BE＝CF.
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，∠CEF＝∠EDB
∵∠ABC＝∠EDB＋∠BED＝60°，∠ACB＝∠ECB＋∠FCE＝60°，
∴∠BED＝∠FCE，
∴△DBE≌△EFC
∴DB＝EF，
∴AE＝BD.
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