第二章 方程与不等式
阶段检测(二)方程与不等式
(时间：90分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题2分，共20分)
1.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一
房空.”诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出
一间客房.设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是 ( )
7x+7= y, 7x+7= y,
A.{ B.{
9(x−1)= y 9(x+1)= y
7x−7= y, 7x−7= y,
C.{ D.{
9(x−1)= y 9(x+1)= y
2.不等关系在生活中广泛存在.如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度.图中两人的对话体现的
数学原理是
( )
A.若a>b,则a+c>b+c
B.若a>b,b>c,则a>c
C.若a>b,c>0,则 ac> bc
a b
D.若a>b,c>0,则 >
c c
3
3.点P(x,y)在直线 y=− x+4上,坐标(x,y)是二元一次方程5x-6y=33的解，则点 P 的位置在 ( )
4
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.在某月的月历中圈出相邻的3个数，其和为41.这3个数的位置可能是
( )
5.A，B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比 B 型机器人每小时多搬运30 千克，A 型机器人搬运
900 千克所用时间与 B 型机器人搬运 600 千克所用时间相等. A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工
原料? ( )
学科网（北京）股份有限公司A.60,30 B.90,120
C. 60,90 D.90,60
6.一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为( )
A. 20% B.22% C.25% D.28%
2x−1<5,
7.若关 于 x 的不 等式组 { 的解集为x<3，则m的取值范围是( )
x<m+1
A. m>2 B. m≥2
C. m<2 D. m≤2
1 m
8.如果关于x的分式方程 − =0的解是负数，那么实数m的取值范围是( )
x x+1
A. m<1且m≠0 B. m<1
C. m>1 D. m<1且m≠-1
9.若关于x 的一元二次方程(m+ 1)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ( )
A. m<0且m≠-1 B. m≥0
C. m≤0且m≠-1 D. m<0
a+b
10.若关于x的一个一元一次不等式组的解集为a<x<b(a、b为常数且a<b),则称 为这个不等式组的“解集中
2
2x>x+m, ( 1)
点”.若关于x的不等式组 { 的解集中点大于方程 3 x+ =2x+3的解且小于方程2x+6=4x的
x−4<m 3
解，则m的取值范围是 ( )
A.0<m<1 B. m<0
C. m>1 D.-2<m<1
二、填空题(每小题3分，共24分)
11.已知一元二次方程 x2−3x+m=0的一个根为1,则m= .
12.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽.每株脚钱三文足，
无钱准与一株椽.”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少
拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 6 210 文能买多少株椽?若设这批椽的数量为 x
株，则可列分式方程为 .
13.关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 .
14. 《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》 中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了
一个有趣的追及问题，可理解为速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走 60 米，现在速度慢的人先
走 100 米，速度快的人去追他.问速度快的人追上他需要 分钟.
15.关于x、y 的方程组 3x+ y=2m−1,的解满足 x+y=1,则 2m-n= .
{
x−y=n
3 kx−1
16.若关于x的方程 − =1无解，则k的值为 .
x−2 x−2
17.若 m、n是一元二次方程 x2−5x+2=0的两个实数根，则 m+(n−2) 2的值为 .
学科网（北京）股份有限公司18.对于实数a、b定义运算“※”为a※b=a+3b,例如5※2=5+3×2=11,则关于x的不等式x※m<2有且只有一个
正整数解时，m的取值范围是 .
三、解答题(共56分)
19.(16分)解下列方程(组)或不等式(组)：
x+ y=4,
(1) { (2) x2−5x+6=0;
2x−y=5;
3 x
(3) +5= ; (4)
2x−2 x−1
20.(6分)星期天,妈妈做饭,小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需
4h；若爸爸单独完成，需2 h.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的
打扫任务.小峰和爸爸这次一共打扫了3 h，求这次小峰打扫了多长时间.
21.(6分)随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个
组共35名工人.甲组每天加工3 000 件农产品，乙组每天加工2 700件农产品，已知乙组每人每天平均加工
的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人?
22.(8分)刺绣是我国民间传统手工艺.湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50 天之际，
某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品.已知购买1 件A 种湘绣作品与2 件 B 种
学科网（北京）股份有限公司湘绣作品共需要700 元，购买2件A 种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要 1 200 元.
(1)求A 种湘绣作品和 B 种湘绣作品的单价分别为多少元?
学科网（北京）股份有限公司(2)该国际旅游公司计划购买 A 种湘绣作品和 B 种湘绣作品共200 件，总费用不超过50 000 元，那么最多
能购买 A 种湘绣作品多少件?
23. (10分)已知关于x的一元二次方程 x2−px+1=0(p为常数)有两个不相等的实数根x₁ 和x₂.
(1)填空: x +x =_,x x =_;
1 2 1 2
1 1 1
(2)求 + ,x + ;
x x 1 x
1 2 1
(3)已知
x2+x2=2p+1,求p
的值.
1 2
24.(10分)对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，那么称n
为“极数”.
(1)请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99 的倍数，请说明理由.
(2)如果一个正整数a 是另一个正整数b的平方，那么称正整数a是完全平方数.若四位数 m为“极数”，记
m
D(m)= ,求满足D(m)是完全平方数的所有 m.
33
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1. A 2. A 3. D 4. A 5. D 6. C 7. B 8. A 9. A
2x>x+m, ( 1)
10. A 解析:由 { 可得，,m<x<m+4,方程 3 x+ =2x+3的解为x=2,方程2x+6=4x的解为x=3,∵关于
x−4<m 3
2x>x+m, ( 1)
x 的不等式组 { 的解集中点大于方程 3 x+ =2x+3的解且小于方程 2x+6=4x 的解,∴
x−4<m 3
m+m+4
2< <3,解得0<m<1,故选 A.
2
621
11.212. =3(x-1) 13. x≥314.2.51 5.31 6.-1或217.7
0
1
18.0≤m< 解析:根据题意可知,x※m=x+3m<2,解得 x<2-3m,①∵x※m<2 有且只有一个正整数解，
3
2−3m>1, 1 1 1
∴{ ②解不等式①，得 m< ,解不等式②，得 m≥0,∴0≤m< ,故答案为 0≤m< .
2−3m≤2, 3 3 3
x=3,
19.(1)两式相加,得3x=9,解得x=3.把x=3代入2x-y=5,得y=1,∴原方程组的解是 {
y=1.
(2)∵x²-5x+6=0,∴(x-2)(x-3)=0,则x-2=0或x-3=0,解得 x =2,x =3.
1 2
3 x 3 x 7
(3) +5= , +5= ,3+10(x−1)=2x,3+10x−10=2x,10x-2x=10-3,8x=7,x= 经检
2x−2 x−1 2(x−1) x−1 8
7 7
验 ,x= 是原方程的解，所以方程的解是 x= .
8 8
2x−6<3x,
① (4){x+2 x−1 ②由不等式①,得x>-6,由不等式②,得x≤13,∴原不等式组的解集为-6<x≤13.
− ≥0,
5 4
1
20.设总工作量为1，小峰打扫了 xh，爸爸打扫了(3-x)h，则小峰打扫任务的工作效率为 爸爸打扫任务的工作
4
1
效率为-
2
1 1
由题意，得 x+ (3−x)=1,解得x=2.
4 2
答：小峰打扫了2h.
21.设甲组有x名工人，则乙组有(35-x)名工人.
2700 3000
根据题意，得 = ×1.2,解得x=20,
35−x x
经检验,x=20是所列方程的解,且符合题意,∴35-x=35-20=15.
答：甲组有20名工人，乙组有15名工人.
22.(1)设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元.
x+2y=700, x=300,
根据题意，得 { 解得 {
2x+3 y=1200, y=200.
答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元.
(2)设购买A 种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品(200-a)件.
根据题意，得3300a+200(200-a)≤50 000,解得 a≤100.
答：最多能购买A 种湘绣作品100件.
23.(1)p 1
1 1 x +x
(2)∵x +x =p,x x =1,∴ + = 1 2=p.
1 2 1 2 x x x x
1 2 1 2
∵ 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2−px+1=0(p 为 常 数 ) 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 x₁ 和
学科网（北京）股份有限公司1 1
x ,∴x2−px +1=0,∴x −p+ =0,∴x + =p.
2 1 1 1 x 1 x
1 1
(3)由根与系数的关系，得 x +x =p,x x =1,
1 2 1 2
∵x2+x2=2p+1,∴(x +x ) 2−2x x =2p+1,∴p2−2=2p+1,
1 2 1 2 1 2
∴p2−2p−3=0,解得p=-1或p=3,
学科网（北京）股份有限公司∴一元二次方程 x2−px+1=0为 x2+x+1=0或 x2−3x+1=0,
当p=-1时, b2−4ac=12−4×1×1=−3<0,不符合题意，舍去；
当p=3时, b2−4ac=(−3) 2−4×1×1=5>0,符合题意；
∴p=3.
24.(1)如:1188,2475,9900(答案不唯一,符合题意即可);
猜想任意一个“极数”是99的倍数，理由如下：
设任意一个“极数”为 xy(9−x)(9−y)(其中1≤x≤9,0≤y≤9,且x、y为整数)，
xy(9-x)(9-y)=1000x+100y+10(9-x)+(9-y)=1 000x+100y+90-10x+9-y=990x+99y+99=99(10x+y+1),
∵x、y为整数,则10x+y+1为整数,∴任意一个“极数”是 99的倍数.
(2) 设 m=xy(9−x)(9−y)( 其 中 1≤ x≤ 9,0≤ y≤ 9, 且 x 、 y 为 整 数 ), 由 题 意 则 有
99(10x+ y+1)
D(m)= =3(10x+ y+1), ∵1≤x≤9,0≤y≤9,∴33≤3(10x+y+1)≤300.
33
又∵D(m)为完全平方数且为3的倍数,∴ D(m)可取36、81、144、225,
①D(m)=36时,3(10x+y+1)=36,10x+y+1=12,∴x=1,y=1,m=1188;
②D(m)=81时,3(10x+y+1)=81,10x+y+1=27,∴x=2,y=6,m=2673;
③D(m)=144时,3(10x+y+1)= 144,10x+y+1=48,∴x=4,y=7,m=4752;
④D(m)=225时,3(10x+y+1)=225,10x+y+1=75,∴x=7,y=4,m=7425;
综上所述,满足D(m)是完全平方数的m的值为1 188,2 673,4752,7425.
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