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第二章 一元二次函数、方程和不等式（公式、定理、结论图表）
1．不等关系
不等关系常用不等式来表示．
2．实数a，b的比较大小
文字语言 数学语言 等价条件
a－b是正数 a－b＞0 a＞b
a－b等于零 a－b＝0 a＝b
a－b是负数 a－b＜0 a＜b
3.重要不等式
一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，
当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．
4．等式的性质
(1) 性质1 如果a＝b，那么b＝a；
(2) 性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
(3) 性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；(4) 性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
(5) 性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.
5．不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b b ＜ a .
(2)传递性：a＞b，b＞c a ＞ c .
⇔
(3)可加性：a＞b a ＋ c ＞ b ＋ c .
⇒
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac ＞ bc ；a＞b，c＜0 ac ＜ bc .
⇔
(5)加法法则：a＞b，c＞d a ＋ c ＞ b ＋ d .
⇒ ⇒
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0 ac ＞ bd .
⇒
(7)乘方法则：a＞b＞0 a n ＞ b n ＞ 0( n ∈ N ， n ≥2) ．
⇒
6．基本不等式
⇒
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的
几何平均数．
(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，
当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．
7.已知x、y都是正数，
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
8．一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式．
9．一元二次不等式的一般形式
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．
(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？
提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．
10．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称
为这个一元二次不等式的解集．
思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？
提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即
不等式的每一个解均使不等式成立．
11．三个“二次”的关系
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
有两个不相等的实数 有两个相等的实数 没有
求方程y＝0的解
解不等 根x ，x (x ＜x ) 根x ＝x ＝－ 实数根
1 2 1 2 1 2
式y＞0 画函数y＝ax2＋bx＋
或y＜0 c(a＞0)的图象
的步骤 得等的集 y＞0 { x | x ＜ x _ 或 x ＞ x } R
1 2
不式解 y＜0 { x | x ＜ x ＜ x } ∅ ∅
1 2
思考3：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？
提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得
a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.
12．分式不等式的解法
主导思想：化分式不等式为整式不等式
类型 同解不等式
法一：
＞0(＜0) 或
(其中a，b，c，d为常数) 法二：
(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)
法一：
或
≥0(≤0)
法二：
＞k(其中k为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式
思考1：>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？
提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．
13．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件
不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0
a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0a≠0
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔y ≤k
max
y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔y ≥k
min
14.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤
(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．
(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．
(3)解不等式(或求函数最值)．
(4)回扣实际问题．
思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？
提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键
作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．
<解题方法与技巧>
1．作差法比较大小的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.
典例1：已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，
∴(3x2＋1)(x－1)≤0，
∴3x3≤3x2－x＋1.
2.利用不等式的性质证明不等式注意事项
1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，
记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条
件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
典例2：若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
[思路点拨] 可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
两边同乘以，
得＜.
又e＜0，∴＞.
3. 对基本不等式的理解
1．基本不等式≤ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．
2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a、b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b ＝；仅当a＝b时，≥的等号成
立，即＝⇒a＝b.
⇒
典例3：给出下面四个推导过程：
①∵a、b为正实数，∴＋≥2＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－≤－2＝－2.
其中正确的推导为( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
B [解]①∵a、b为正实数，∴、为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．
②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
∴＋a≥2＝4是错误的．
③由xy＜0，得、均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，、均变为正数，符合
均值不等式的条件，故③正确．]
4.利用基本不等式比较大小
1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．
2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，
等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
典例4：(1)已知a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2 B.＋≥2
C.≥2 D.≥
(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
(1)D (2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac
[解](1)由≥得a＋b＝2，
∴A成立；
∵＋≥2＝2，∴B成立；
∵≥＝2，∴C成立；
∵≤＝，∴D不一定成立．
(2)∵a、b、c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac.
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.]
5.利用基本不等式证明不等式
1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的
代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约
分与不等式的右边建立联系．
2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待
证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
典例5：已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9.
[思路点拨] 看到＋＋>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造基本不等式的形式，用
基本不等式证明．
[证明]∵a，b，c∈R ，且a＋b＋c＝1，
＋
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2
＝3＋2＋2＋2
＝9.
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴＋＋>9.
6.利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相
等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定
应凑出定和或定积；
典例6：(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值．
[思路点拨] (1)看到求y＝4x－2＋的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y＝x(1
－2x)的最值，需要出现和为定值．
[解](1)∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，
故当x＝1时，y ＝1.
max
(2)∵0<x<，
∴1－2x>0，
∴y＝×2x(1－2x)≤×2＝×＝.
∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，y ＝.
max
7.利用基本不等式求条件最值
1．本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等
式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．
2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有f(x)＝ax＋型和
f(x)＝ax(b－ax)型．
典例7：已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．
[解]∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋
≥10＋2＝18，
当且仅当
即时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，(x＋2y) ＝18.
min
8.利用基本不等式解决实际问题
1．在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案．2．对于函数y＝x＋(k>0)，可以证明0＜x≤及－≤x＜0上均为减函数，在 x≥及x≤－上都
是增函数．求此函数的最值时，若所给的范围含±时，可用基本不等式，不包含±时，可用函
数的单调性求解
典例8：如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各
面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每
间虎笼面积最大？
[解]设每间虎笼长x m，宽y m，
则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
法一：由于2x＋3y≥2＝2，
所以2≤18，得xy≤，
即S ＝，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
max
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝y＝y(6－y)．
∵0<y<6，∴6－y>0.
∴S≤2＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
9.不等式恒成立问题
对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种：
1变更主元法
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.
2转化法求参数范围
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值的集合为B＝{y|m≤y≤n}，
则1y≥k恒成立⇒y ≥k即m≥k；
min
2y≤k恒成立⇒y ≤k即n≤k.
max
典例9：已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围．[思路点拨] 对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函
数的图象与性质求解．
[解]设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则
(1)当对称轴x＝－<－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤，与
a>4矛盾，不符合题意．
(2)当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.
(3)当－>2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.
综上，a的取值范围为－7≤a≤2.
