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第6 题 对数函数图像与零点的综合应用（一题多变）
【2025 届云南三校联考卷（二） 第8 题】
，
为函数
的两个零点，其中
，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．
的最小值为4 D．
的最小值为4
【思路分析】通过题意判断得到
比1 大还是小对
的图象没有影响，然后不妨假
设
，进而得到
，根据对数运算法则得到
，将B、C、D 选项利用消
元思想转化为对勾函数求最值或取值范围问题即可求解，注意最值取得的条件是否符合题
意.
【详解】函数
的定义域为
，
且
，
由
，得
，因此直线
与函数
的图象有两个公共点，
其横坐标为
，
，
比1 大还是小对
的图象没有影响，可令
，
而当
时，
递减，
当
时，
递增，于是
，
对于A，由
，得
，即
，A 正确；
对于B，
，而函数
在
上单调递增，因此
，
B 正确；
对于C，
，函数
在
上单调递增，因此
，C 错误；
对于D，
，当且仅当
时取等号，D 正确，故选C．
【题后反思】对数函数问题巧妙运用数形结合的方法，通过基本不等式求最值要注意取得
最值的条件是否成立，通过对勾函数求最值或取值范围需要注意自变量的范围.
【变化角度】分段函数+复合函数根的问题
【示例】已知函数
，函数
有4 个不同的零点
，
，
，
且
，则
的取值可能为（ ）
A．
B．7 C．
D．
【思路分析】令
得
，问题转化为
有4 个不同的根，即函数
与函数
有4 个不同的交点，分别作出
与
的图像，利用二次函
数与对数函数的图像性质，计算可得答案，
【详解】
，令
得
，
函数
有4 个不同的零点，即
有4 个不同的根，
根据题意，作出
的图像如图所示，
由二次函数的对称性可知
，
由对数函数的性质，
，即
，
则有
，得
，所以
，
由
，解得
，则
，
对勾函数
在
上单调递增，有
，得
，
所以
.
故选：AB
【举一反三】
1．定义在
上的
满足对
，关于
的方程
有7 个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】依题意，对
化简得
，即
，画出
图象，结合图象即可得到答案.
【详解】关于
的方程
可化简为
，
即
有7 个不同的根，画出
的图象，
观察可以看出当
有4 个不同的根，
故只需
有3 个不同的根即可，所以
.
故选：A.
【变换角度】分段函数+三个零点的问题
【示例】已知函数
，若方程
有三个不同的实数根
，
且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路分析】分析函数
的性质，结合其图象求出a 的范围，再用a 表示
，利用
导数法求值域，即可计算作答.本题的关键是找到
之间的关系，从而减少变量得到
，再利用导数求出其值域即可.
【详解】函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，其图
象如图，
方程
有三个不同的实数根，即直线
与
的图象有三个公共点，则
，
由
，
得：
，即
，
而
，
，则
，
于是得
，
记
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，
又函数
在定义域上单调递减，所以
.
故选：A
【举一反三】
2．设常数
，函数
；若方程
有三个不相等的实数根
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．a 的取值范围为
B．
的取值范围为
C．
D．
的取值范围为
【答案】D
【分析】根据给定条件，分析函数
的性质，确定
所在区间，再逐项推理判断
作答.
【详解】当
时，函数
是减函数，函数值集合为
，
当
时，函数
是增函数，函数值集合为
，
当
时，函数
是减函数，函数值集合为
，如图，
因方程
有三个不相等的实数根，则
，
，A 不正确；
，且满足
，于是得
，因此
的取值范围为
，
B 不正确；
，且有
，因此，
，即
，解得
，C 不正确；
，所以
的取值范围为
，D 正确.
故选：D
【变换角度】分段函数+四个零点的问题
【示例】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，若
，
且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路分析】作出函数
的图象，设
，则直线
与
函数
的图象
个交点横坐标分别为
，可得出
，再结合对称性与
对数运算即可得正确选项.
【详解】函数
的图象如图所示，
设
，则
，
则直线
与函数
的图象
个交点横坐标分别为
，
对于A：函数
的图象关于直线
对称，则
，故A 正确；
对于B：由图象可知
，且
，
∴
，即
，所以
，故B 正确；
对于C，当
时，
，
由图象可知
，则
，故C 错误；
对于D，由图象可知
，
所以
，故D 错误.
故选：AB.
【举一反三】
3．已知函数
，若函数
有四个不同的零点
，
，
，
，且
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得函数
与
有四个不同的交点，作出函数
与
的图象如图所示，然后结合图象逐个分析判断即可.
【详解】因为函数
有四个不同的零点，
所以
有四个不同的解，即函数
与
有四个不同的交点，
作出函数
与
的图象如图所示：
又
时，
，由图象可得
，故B 不正确，
由
，得
或
，所以由图象可得
，故A 正确；
由图象可得
，所以
，即
，
即
，所以
，故C 错误；
又
，
关于
对称，故
，故D 错误，
故选：A.
关键点点睛：此题考查对数函数图象的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是
将问题转化为函数
与
有四个不同的交点，然后作出函数图象，结合图象分
析判断，考查数形结合的思想，属于较难题.
4．已知函数
，若存在实数
.满足
，且
，则
的取值范围是
【答案】
【分析】作出函数
的图象，结合图象可知
之间的关系，将
转
化为关于
的二次函数求范围即可.
【详解】作出函数
的图象，如图，
因为
，
，
，
所以由图可知，
，
，
所以
，
在
上单调递增，所以
，
即
的取值范围是
.
故答案为：
.
5．
为函数
的两个零点，其中
，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】C
【分析】根据给定条件，由函数零点的意义可得直线
与函数
的图象有两
个公共点，结合函数
的性质可得
，再借助对勾函数性质及基本不等式逐
项分析得解.
【详解】函数
的定义域为
，
由
，得
，因此直线
与函数
的图象有两个公共点，其横
坐标为
，
而当
时，
递减，当
时，
递增，于是
，
对于A，由
，得
，即
，A 正确；
对于B，
，而函数
在
上单调递增，因此
，
B 正确；
对于C，
，函数
在
上单调递增，因此
，
C 错误；
对于D，
，当且仅当
时取等号，D 正确.
故选：C
6．函数
.若该函数的两个零点为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．无法判定
【答案】C
【分析】转化为两函数的交点问题，结合图像，利用对数的运算求解.
【详解】由
得
，
令
，在同一坐标系内作出函数
的图像，
令函数
与直线
的交点的横坐标为
，
则
，即
，所以
，
因此
．故A，B，D 错误.
故选：C．
7．已知函数
，若存在实数
（
）满足
，则正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】画出
的图象，根据图象可得
的取值范围，再根据图象的局部对称性可得
，且
，故可判断各项的正误.
【详解】作出函数
的图象，如图：
令
，得
或
或
，
由存在实数
满足
，
得直线
与函数
的图象有4 个不同交点，由图象知
，D 正确；
由
与
关于
对称，得
，B 正确；
由
，得
，
即
，则
，
整理得
，C 正确；
，由图象得
，于是
，
即
，因此
，A 错误.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：分段函数的零点问题，可先刻画其图象，根据图象的性质可得各零
点的性质，结合基本不等式等考虑目标代数式的范围等.
8．已知函数
，若方程
存在三个不同的实数解，且满足
，设
，则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】画出
的图象，根据对数函数、指数函数、基本不等式等知识求得正确答案.
【详解】画出
、
的图象如下图所示，
由于方程
存在三个不同的实数解，所以
，
由图知
，
，且
，
所以
，
，则
，
所以
，
所以
的最大值为
.
故答案为：
9．已知
，若函数
有5 个零点，则实数
的取
值范围是 .
【答案】
【分析】由函数零点的意义可得
或
，求出
根的个数，再结合函数
性质，借助数形结合法求出
的范围.
【详解】函数
在
上单调递增，函数值集合为
，
在
上单调递减，函数值集合为
，在
上单调递增，函数值集合为
，
又由
，得
或
，
当
时，
，解得
或
，
因为函数
有5 个零点，则方程
有3 个解，
即函数
的图象与直线
有3 个公共点，
在同一坐标系内作出函数
的图象与直线
，如图，
观察图象得，当
时，函数
的图象与直线
有3 个公共点，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
