【微专题20：圆锥曲线的基本问题（方程与几何性质）】
【高考定位】
1.考查频率：圆锥曲线基本问题是高考数学的核心考点，在选择题、填空题中必考1-2 题，解答题第一问
常围绕此展开，分值占比12-17 分，属于基础得分板块.
2.考查重点：聚焦圆锥曲线的定义、标准方程求解，椭圆与双曲线的离心率、渐近线等几何性质，抛物线
的焦点、准线及定义应用等核心内容.
3.考查趋势：以“定义应用为核心，性质推导为纽带”，强调数形结合思想的运用，题型多为基础中档题，
偶有与最值、范围结合的综合型基础题，注重对逻辑推理和运算求解能力的考查.
【真题体验】
1．（2025·天津·高考真题）双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1, F2，以右焦点F2为焦
点的抛物线y
2=2 px( p>0)与双曲线交于第一象限的点P，若|P F1)+|P F2)=3|F1 F2)，则双曲线的离心
率e =（ ）
A．2
B．5
C．
❑√2+1
2
D．
❑√5+1
2
2．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线C : y
2=2 px( p>0)的焦点为F ,点A 在C 上，过A 作C的准线的
垂线，垂足为B．若直线BF 的方程为y =−2 x +2，则| AF |=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．（2024·天津·高考真题）双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1, F2.点P在双曲线右
支上，直线P F2的斜率为2．若△P F1 F2是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A．x
2
2 −y
2
8 =1
B．x
2
4 −y
2
8 =1
C．x
2
8 −y
2
2 =1
D．x
2
8 −y
2
4 =1
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：x
2+ y
2=16（y >0），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段
P P
'，P
'为垂足，则线段P P
'的中点M 的轨迹方程为（ ）
A．x
2
16 + y
2
4 =1（y >0）
B．x
2
16 + y
2
8 =1（y >0）
C．y
2
16 + x
2
4 =1（y >0）
D．y
2
16 + x
2
8 =1（y >0）
5．（2023·全国甲卷·高考真题）设O 为坐标原点，F1, F2为椭圆C : x
2
9 + y
2
6 =1的两个焦点，点 P 在C 上，
cos∠F1 P F2= 3
5，则|OP|=（ ）
A．13
5
B．
❑√30
2
C．14
5
D．
❑√35
2
6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率为❑√5，C 的一条渐近线
与圆( x−2)
2+( y −3)
2=1交于A，B 两点，则| AB|=（ ）
A．
❑√5
5
B．2❑√5
5
C．3 ❑√5
5
D．4 ❑√5
5
7．（2023·天津·高考真题）已知双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2．过F2向一
条渐近线作垂线，垂足为P．若|P F2)=2，直线P F1的斜率为
❑√2
4 ，则双曲线的方程为（ ）
A．x
2
8 −y
2
4 =1
B．x
2
4 −y
2
8 =1
C．x
2
4 −y
2
2 =1
D．x
2
2 −y
2
4 =1
8．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B 为双曲线x
2−y
2
9 =1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的
是（ ）
A．(1,1)
B．(−1,2)
C．(1,3)
D．(−1,−4)
9．（2024·北京·高考真题）若直线y =k (x−3)与双曲线x
2
4 −y
2=1只有一个公共点，则k的一个取值为
．
10．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过
F2作平行于y轴的直线交C 于A，B 两点，若| F1 A |=13,| AB|=10，则C 的离心率为 ．
11．（2023·天津·高考真题）已知过原点O 的一条直线l 与圆C :( x +2)
2+ y
2=3相切，且l 与抛物线
y
2=2 px( p>0)交于点O , P两点，若|OP)=8，则p= ．
12．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1, F2．
点A在C上，点B在y轴上，⃗F1 A ⊥⃗F1B ,⃗F2 A =−2
3⃗F2B，则C的离心率为 ．
13．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线l 与椭圆x
2
6 + y
2
3 =1在第一象限交于A，B 两点，l 与x 轴，
y 轴分别交于M，N 两点，且| MA |=| NB|,| MN |=2❑√3，则l 的方程为 ．
14．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左焦点为F，过F 且斜率为b
4 a的直线
交双曲线于点A(x1, y1)，交双曲线的渐近线于点B(x2, y2)且x1<0< x2．若| FB|=3| FA |，则双曲线的
离心率是 ．
15．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)，C 的上顶点为A，两个焦点为
F1，F2，离心率为1
2．过F1且垂直于A F2的直线与C 交于D，E 两点，| DE|=6，则△ADE的周长是
．
16．【多选题】（2025·全国二卷·高考真题）双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为
F1、F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1 F2为直径的圆与C 的一条渐近线交于M，N 两点，且
∠N A1 M = 5 π
6 ，则（ ）
A．∠A1 M A2= π
6
B．|M A1)=2|M A2)
C．C 的离心率为❑√13
D．当a= ❑√2时，四边形N A1 M A2的面积为8 ❑√3
17．【多选题】（2025·全国一卷·高考真题）已知抛物线C : y
2=6 x的焦点为F，过F 的一条直线交C 于
A，B 两点，过A 作直线l
x
：=−3
2的垂线，垂足为D，过F 且与直线AB垂直的直线交l于点E，则（ ）
A．| AD|=| AF |
B．| AE|=| AB|
C．| AB|≥6
D．| AE|⋅|BE|≥18
18．【多选题】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：y
2= 4 x的准线为l，P 为C 上的动点，过P 作
⊙A : x
2+( y −4)
2=1的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l 与⊙A相切
B．当P，A，B 三点共线时，| PQ|= ❑√15
C．当| PB|=2时，PA ⊥AB
D．满足| PA |=| PB|的点P有且仅有2 个
19．【多选题】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设O 为坐标原点，直线y =−❑√3(x−1)过抛物线
C : y
2=2 px ( p>0)的焦点，且与C 交于M，N 两点，l 为C 的准线，则（ ）．
A．p=2
B．|MN )= 8
3
C．以MN 为直径的圆与l 相切
D．△OMN为等腰三角形
20．【多选题】（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线C : y
2=2 px( p>0)焦点
F 的直线与C 交于A，B 两点，其中A 在第一象限，点M ( p,0)，若| AF |=| AM |，则（ ）
A．直线AB的斜率为2❑√6
B．|OB|=|OF |
C．| AB|>4|OF |
D．∠OAM +∠OBM <180°
21．【多选题】（2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C 的两个焦点为F1, F2，以C 的实轴为直径的圆记为
D，过F1作D 的切线与C 交于M，N 两点，且cos∠F1 N F2= 3
5，则C 的离心率为（ ）
A．
❑√5
2
B．3
2
C．
❑√13
2
D．
❑√17
2
22．【多选题】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知O 为坐标原点，点A(1,1)在抛物线
C : x
2=2 py( p>0)上，过点B(0,−1)的直线交C 于P，Q 两点，则（ ）
A．C 的准线为y =−1
B．直线AB 与C 相切
C．|OP|⋅|OQ|>|OA|
2
D．|BP|⋅|BQ|>|BA |
2
【热点题型1：：圆锥曲线的定义应用】
【核心归纳】
椭圆定义：平面内与两个定点
、
的距离之和等于常数（
，
）的点的轨迹；当
时，轨迹为线段
；当
时，无轨迹.
双曲线定义：平面内与两个定点
、
的距离之差的绝对值等于常数（
，
）的点
的轨迹；当
时，轨迹为以
、
为端点的两条射线；当
时，无轨迹.
抛物线定义：平面内与一个定点
（焦点）和一条定直线（准线，
不在上）的距离相等的点的轨迹；
核心是“抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离”（焦半径转化核心）.
定义的核心作用：简化距离运算、求解轨迹方程、转化焦半径与弦长问题.
【易错提示】
忽略椭圆定义中“
”和双曲线定义中“
”的限制条件，导致轨迹判断错误.
双曲线定义中“距离之差的绝对值”易遗漏“绝对值”，导致只考虑一支轨迹，忽略另一支.
抛物线定义中忽略“焦点不在准线上”的前提，若
在上，轨迹为过
且垂直于的直线.
（2025·福建福州·三模）设椭圆C : x
2
49 + y
2
24 =1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭
圆上，A为∠F1 P F2的平分线与x轴的交点.若⃗P F1⋅⃗P F2=0，则|PA)=（ ）
A．24
7
B．24 ❑√2
7
C．32
7
D．32❑√2
7
（2025·宁夏银川·三模）已知双曲线C : x
2
3 −y
2=1的左右焦点分别为
､
F1, F2，以F1 F2
为直径的圆与双曲线在第一三象限的交点分别为
､
M , N，则△M F1 N的周长为（ ）
A．8+2❑√5
B．8
C．4+2❑√5
D．8+2❑√3
（2023·福建泉州·三模）已知抛物线C的焦点为F，准线为l，点A在C上，点B在l上．
若|⃗AF)=|⃗BF)= 4，⃗AF ⋅(⃗BF +⃗BA)=0，则F到l的距离等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线E: y
2=2 px ( p>0)的焦点F到准线l的距
知识讲解与常考题型
题型分类
经典例题
经典例题
经典例题
小试牛刀1
离为2，点A ( p+1,0)，B是直线l与x轴的交点，C是E上一点，过点C作CD⊥l于点D，CF与AD交于点
M．若M为△ABC的重心，则△MAB的面积为（ ）
A．❑√3
B．4 ❑√3
3
C．8 ❑√3
3
D．2❑√3
（2025·广西柳州·模拟预测）已知椭圆E: x
2
16 + y
2
12 =1的左右焦点分别为F1, F2，上
顶点为A，过F1且垂直于A F2的直线与E交于B、C 两点，则△ABC的周长为（ ）
A．12
B．16
C．20
D．24
（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1（a>0，b>0）与椭圆
x
2
16 + y
2
12 =1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1，F2分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，
则
| P F1|
2
|P F2)
的最小值为（ ）
A．9
B．7
C．8
D．10
【热点题型2：圆锥曲线的标准方程求解】
【核心归纳】
求解思路：先定位（确定曲线类型、焦点位置），再定量（求
、
、
等核心参数）.
椭圆标准方程：①焦点在
轴上：
（
，
）；②焦点在
轴上：
（
，
）；③焦点位置不确定时，可设为
（
，
，
）.
双曲线标准方程：①焦点在
轴上：
（
，
，
）；②焦点在
轴上：
（
，
，
）；③焦点位置不确定时，可设为
（
）；
④等轴双曲线：
（
），渐近线为
，离心率
.
抛物线标准方程：分四种开口方向，核心是确定焦点坐标与准线方程，设式技巧：①开口向右：
（
）；②开口向左：
（
）；③开口向上：
（
）；④开口
向下：
（
）；
的几何意义是“焦点到准线的距离”.
求参关键：利用定义、几何性质、已知点坐标代入等建立关于参数的方程（组）求解.
【易错提示】
混淆椭圆与双曲线中
、
、
的关系：椭圆中
（
最大），双曲线中
（
最
大），易出现“
”通用的错误.
小试牛刀2
小试牛刀3
确定双曲线焦点位置时，误将“
项系数正”等同于“焦点在
轴上”，忽略
项系数为负的情况（需
看正负项对应的坐标轴）.
抛物线标准方程中忽略
的条件，导致参数符号错误；或混淆开口方向与方程形式的对应关系（如开
口向上误写为
）.
焦点位置不确定时，未分类讨论或设式不当，导致漏解.
（2025·四川成都·三模）已知动圆C与圆( x +1)
2+ y
2=1外切，同时与圆
( x −1)
2+ y
2=25内切，则动圆C的圆心轨迹方程为（ ）
A．x
2
9 + y
2
8 =1
B．x
2
9 + y
2=1
C．x
2
25 + y
2
24 =1
D．x
2
25 + y
2=1
（24-25 高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1的左、右焦点分别为
F1(−❑√2,0)，F2(❑√2,0)，椭圆上一点P满足P F1⊥P F2，以C的短轴为直径作圆O，截直线P F1的弦长
为❑√2b，则椭圆的方程为（ ）
A．x
2
3 + y
2=1
B．x
2
4 + y
2
2 =1
C．x
2
6 + y
2
4 =1
D．x
2
8 + y
2
6 =1
（2024·浙江·一模）双曲线的另一种定义：动点M (x , y)与定点F (c ,0)的距离和它与
定直线l：x = a
2
c 的距离的比是常数c
a
(0<a<c)，则点M的轨迹是一个双曲线.动点M与定点F (❑√3,0)的距
离和它与定直线l：x =
❑√3
3 的距离的比是❑√3，则点M的轨迹方程为（ ）
A．y
2
2 −x
2=1
B．x
2−y
2
2 =1
C．x
2
2 −y
2=1
D．y
2−x
2
2 =1
（2025·天津·模拟预测）已知双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1, F2，
过点F1的直线l: x−❑√3 y +2❑√3=0与双曲线的左右两支分别交于点A，B，且|A F2)=|B F2)，则该双曲线
的方程为（ ）
A．x
2
6 −y
2
6 =1
B．x
2
4 −y
2
8 =1
C．x
2−y
2
11 =1
D．x
2
3 −y
2
9 =1
经典例题
经典例题
经典例题
经典例题
（2023·云南保山·二模）已知正方体ABCD−A1B1C1 D1，Q 为上底面A1B1C1 D1所
在平面内的动点，当直线DQ与D A1的所成角为45°时，点Q 的轨迹为（ ）
A．圆
B．直线
C．抛物线
D．椭圆
（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线C : y
2=2 px( p>0)的焦点为F，过F的直线l与C
与交于A 、B两点（A点在x轴上方），点D(
3
2 p,0)，若|AF)=|AD),|BF)= 1
2，则C的方程为（ ）
A．y
2= 2
3 x
B．y
2= 4
3 x
C．y
2=2 x
D．y
2= 4 x
【热点题型3：椭圆、双曲线的几何性质应用】
【核心归纳】
（一）椭圆的标准方程与几何性质
标准方程
焦
点
位
置
顶点坐标
焦点坐标
准线方程
对称
轴
范围
离心率
焦
距
（
）
x
轴
上
长轴顶点：
；短
轴顶点：
，
x
轴、
y 轴
，
（
）
（
）
y
轴
上
长轴顶点：
；短
轴顶点：
，
x
轴、
y 轴
，
（
）
（二）双曲线的标准方程与几何性质
标准方程
焦
点
位
置
顶点坐
标
焦点坐标
准线方程
渐近线方
程
对
称
轴
范围
离心
率
焦
距
（
，
）
x
轴
上
，
x
轴
、y
轴
，
（
）
（
，
）
y
轴
上
，
x
轴
、y
轴
，
（
经典例题
经典例题
）
三、核心衍生性质（高频考点）
（一）椭圆的衍生性质
1.离心率的几何意义与拓展
越接近1，椭圆越扁；
越接近0，椭圆越圆（当
时，退化为圆，此时
，
）.
离心率与
、
的关系：
（由
推导，可用于已知
、
求
或已知
求
、
关
系）.
2.焦半径公式（椭圆上点到焦点的距离）
设椭圆上任意一点
，焦半径为
、
，核心是利用定义
推导.
对于
（焦点在x 轴）：
，
（
为左焦点，
为右焦点）.
对于
（焦点在y 轴）：
，
（
为下焦点，
为上焦点）.
3.焦点弦与通径
焦点弦：过椭圆焦点的弦，记为
，
、
.
通径：过焦点且垂直于对称轴的焦点弦，是椭圆的最短焦点弦，长度为
.
焦点弦长度公式：
焦点在x 轴，弦垂直x 轴（通径）：
.
焦点在x 轴，弦斜率为
：
.
4.椭圆的光学性质
从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点（应用于光学设计，如椭圆
镜面）.
（二）双曲线的衍生性质
1.离心率的几何意义与拓展
越大，双曲线的开口越开阔；
越接近1，双曲线的开口越狭窄.
离心率与
、
的关系：
（由
推导，是求解离心率范围的核心公式）.
2.焦半径公式（双曲线上点到焦点的距离）
设双曲线上任意一点
，焦半径为
、
，核心是利用定义
推导，需
注意点所在的分支.
对于
（焦点在x 轴）：
点
在右支：
，
.
点
在左支：
，
.
对于
（焦点在y 轴）：
点
在上支：
，
.
点
在下支：
，
.
3.渐近线的拓展性质
渐近线的求法：将双曲线标准方程右边的“1”改为“0”，因式分解即可得渐近线方程（如
，
分解为
，即
）.
共渐近线的双曲线系：与
共渐近线的双曲线方程可设为
（
）；当
时，
焦点在x 轴；当
时，焦点在y 轴.
渐近线与离心率的关系：由
，可得
（焦点在x 轴），
（焦点在y
轴），可通过渐近线斜率求离心率.
4.等轴双曲线的特殊性质
等轴双曲线：
的双曲线，标准方程为
（
）.
渐近线：
，且两条渐近线互相垂直.
离心率：
（固定值，由
推导）.
性质：双曲线上任意一点到两个焦点的距离之积等于该点到中心距离的平方（
，
为原点）.
5.双曲线的光学性质
从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点（应用于
天文观测，如望远镜的设计）.
【易错提示】
（一）椭圆常见易错点
混淆
、
的大小关系：椭圆中
，若焦点在y 轴上，长半轴在y 轴，易误将
当作长半轴.
焦半径公式记忆错误：忽略焦点位置对公式的影响，如将焦点在y 轴的焦半径公式误写为含
的形式.
离心率范围记错：误将椭圆离心率记为
，混淆与双曲线的离心率范围.
忽略定义中的限制条件：判断轨迹时，未验证
，导致将线段误判为椭圆.
（二）双曲线常见易错点
混淆焦点位置与渐近线的关系：焦点在y 轴时，渐近线斜率为
，易误写为
.
焦半径公式忽略分支：未区分点在双曲线的左/右支、上/下支，直接套用公式，导致结果为负（焦半径为
距离，恒正）.
参数关系混淆：误将椭圆的
用于双曲线，导致参数计算错误.
渐近线方程书写错误：将等轴双曲线的渐近线误写为
，忽略
时斜率为
.
定义中遗漏“绝对值”：判断轨迹时，未考虑“距离之差的绝对值”，导致只得到双曲线的一支，漏解另
一支.
【多选题】（2025·陕西·模拟预测）已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2=1(a>1)的离心率为
❑√3
2 ．
若点P在C上，F1，F2分别是C的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．|P F1)+|P F2)= 4
B．若|P F1)−|P F2)=2，则cos∠F1 P F2=−1
4
C．椭圆C内接矩形周长的最大值为4 ❑√5
D．满足△F1 P F2是直角三角形的点P有4 个
【多选题】（2025·福建泉州·模拟预测）已知椭圆C ：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右
焦点分别为F1, F2，短轴长为2❑√3，离心率为1
2，P是椭圆C上异于长轴端点A ,B的一动点，点Q与点P关
于原点对称，则（ ）
A．△P F1 F2的面积最大值为2
B．
1
|P F1)
+
1
|Q F1)的最小值为1
C．若以PR为直径的圆经过A ,B两点，则R点的轨迹方程为4 x
2+3 y
2=16(x≠±2)
D．椭圆C上存在点P，使得∠F1 P F2=π
3
【多选题】（2025·云南·一模）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点
分别为F1(−c ,0), F2(c ,0)，则下列说法正确的是（ ）
A．若点P 在双曲线C 的右支上，且|P F1)= 4|P F2)，则|P F2)= 2a
3
经典例题
经典例题
经典例题
B．若双曲线C 的渐近线方程为y =±2 x，则其离心率为❑√5
C．若a=2,c = ❑√7，直线y =kx +1(k ∈R)与双曲线C 有且仅有一个交点，则满足条件的k 值有2 个
D．若双曲线C 的离心率为❑√3，过F2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为M，则△F1 M F2的面积为
❑√2a
2
【多选题】（2025·广西·模拟预测）设F1, F2是双曲线
C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0, b>0)的左、右焦点，过F1作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支
相交于点P，若cos∠F1 P F2= 3
5，且|P F2)=5，则下列说法正确的是（ ）
A．a= 4
B．双曲线的离心率为
❑√13
2
C．点P到x轴的距离为18 ❑√13
13
D．四边形PHO F2的面积为15
【多选题】（2025·浙江·模拟预测）双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦
点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1 F2为直径的圆与曲线C的一条渐近线交于M、N两点，
且∠A1 M A2=π
3 ，则下列说法一定正确的是（ ）
A．C的离心率为
❑√7
2
B．∠M A2 N = 2π
3
C．|M A1)=2|M A2)
D．当a=1时，四边形N F1 M F2的面积为4
3
❑√7
【多选题】（2025·广东·模拟预测）设F1, F2为椭圆C : x
2+2 y
2=2的左，右焦点，
P为椭圆C上一点且在第一象限.若△P F1 F2的面积为
❑√14
4
，则下列说法正确的是（ ）
A．△P F1 F2的周长为2+2❑√2
B．以F1 F2为直径的圆经过点P
C．点P的坐标为(
1
2 ,
❑√14
4 )
D．直线P F1的斜率为
❑√14
6
【热点题型四：抛物线的几何性质应用】
【核心归纳】
一、核心基础：抛物线的定义
平面内与一个定点
（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，其中定点
不
在定直线上.
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
核心等价关系：设抛物线上任意一点
，到焦点
的距离为
，到准线的距离为
，则
（此关系是焦半径、弦长计算的核心依据）.
二、核心参数：
的几何意义
表示抛物线的焦点
到准线的距离，且
；
表示焦点到抛物线顶点的距离，也是顶点到准线的
距离.
三、四种标准方程对应的几何性质（全面梳理）
标准方程
开口方
向
顶点坐
标
焦点坐标
准线方
程
对称
轴
范围
离心率
（
）
向右
x 轴
，
（抛物线
共性）
（
）
向左
x 轴
，
（
）
向上
y 轴
，
（
）
向下
y 轴
，
四、核心衍生性质（高频考点）
1.焦半径公式（精准推导+全开口覆盖）
焦半径：抛物线上任意一点
到焦点
的距离，核心是利用定义转化为到准线的距离.
若
（开口向右）：
若
（开口向左）：
若
（开口向上）：
若
（开口向下）：
2.焦点弦相关性质（含通径）
焦点弦：过抛物线焦点
的直线与抛物线交于
、
两点，线段
为焦点弦.
（1）通径（特殊焦点弦）
过焦点且垂直于对称轴的焦点弦，是抛物线的最短焦点弦.
长度：所有抛物线的通径长度均为
.
坐标特征：以
为例，通径端点为
和
.
（2）焦点弦长度公式
一般式（含斜率）：设焦点弦所在直线斜率为
，倾斜角为
，则弦长
（适用于所有开口方
向，
，当
时即为通径，
）.
坐标式（按开口分类）：
：
：
：
：
（3）焦点弦的坐标衍生结论
：
，
（乘积为定值）.
：
，
.
：
，
.
：
，
.
3.对称性与顶点性质
对称性：抛物线只有一条对称轴（过焦点且垂直于准线的直线），无对称中心.
顶点：抛物线的顶点是对称轴与抛物线的交点（即原点
），也是抛物线上到焦点距离最小的点
（最小距离为
）.
4.切线相关基础性质（高频选填考点）
抛物线上一点
的切线方程：
：
：
：
：
切线性质：从抛物线的焦点向任意一条切线作垂线，垂足必在抛物线的准线上.
【易错提示】
混淆焦点坐标与准线方程的符号：如将
的焦点误写为
，准线误写为
，核心是
记住“开口方向决定符号”，向左/向下开口时，焦点横/纵坐标为负，准线方程符号为正.
焦半径公式记忆错误：未结合定义推导，忽略开口方向对公式的影响，如将
的焦半径误写为
，正确推导逻辑是“到准线距离”，开口向上时准线为
，故距离为
.
忽略
的前提：求解参数
时，未验证
，导致出现负参数，违背几何意义.
焦点弦长度计算漏解：未考虑斜率不存在的情况（即通径），此类情况弦长最短，为
.
误将抛物线离心率记为其他值：抛物线离心率恒为
，区别于椭圆（
）和双曲线（
）.
【多选题】（2025·湖南·模拟预测）已知抛物线C : y
2=8 x的焦点为F，点F 关于原
点O 的对称点为E，第一象限内的点A，B 在C 上，且⃗EA = 1
2⃗EB，则（ ）
A．点E 的坐标为(−4,0)
B．| FA |= 1
2 | FB|
C．直线AB的斜率为
❑√2
3
D．直线FA , FB关于x 轴对称
【多选题】（2025·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，设F为抛物线
C : y
2= 4 x的焦点，M是C上一点，点N (−1,0)，若NM的延长线与C交于点A．记∠ANF =α，
∠AFN = β，∠MFN = γ，则（ ）
A．tanα =sin β B．tanα =cos β
C．tanα =sin γ
D．tanα =cosγ
【多选题】（2025·四川广安·模拟预测）已知抛物线C：y
2=2 px（p>0）的准线l与
圆M：x
2+( y −4)
2=1相切，点P为抛物线C上的动点，点N是圆M上的动点，过P作l的垂线，垂足为Q，
C的焦点为F，则下列结论正确的是（ ）
A．p=2
B．|PN )+|PQ)的最小值是❑√17−1
C．当三点F，M，Q共线时，点Q的坐标是(−1,8)
D．不存在两个点P，P
′，使得|PM )=|PQ)且|P
′ M )=|P
′Q)
【多选题】（2025·江西新余·模拟预测）已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)，准线为l，
过焦点F的直线交抛物线C于A ,B两点，过A ,B分别作l的垂线，垂足分别为A
′ ,B
′，则（ ）
A．F A
′⊥F B
′
经典例题
经典例题
经典例题
小试牛刀1
B．若|AF)=3|BF)，则直线AB的斜率为❑√3
C．A ,O ,B
′三点共线（其中O为坐标原点）
D．|A
′ B
′)
2= 4|AF)|BF)
【多选题】（2025·湖北·模拟预测）已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的焦点为F，
准线l 与x 轴交于点A，点M 为抛物线上第一象限上的点，且满足|OM )=|OF)，过点M 作l 的垂线，垂足
为点N，AM 与NF 交于点Q，则（ ）
A．直线NF 的斜率不是定值
B．tan ∠MFA =2tan ∠NFA
C．cos∠MFA =|MQ)
|AQ)
D．|NQ)
|QF) = |AN )
|AM )
【多选题】（2025·新疆喀什·模拟预测）设O为坐标原点，直线❑√3 x + y −❑√3=0
过抛物线C : y
2=2 px( p>0)的焦点，且与C交于M , N两点（M在第四象限），l为C的准线，则（ ）
A．l的方程为x =−1
B．|MF)= 16
3
C．以MN为直径的圆与l相交
D．▵OMN为钝角三角形
一、单选题
1．（2025·福建龙岩·二模）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点．
若椭圆C上的点M满足|OM |=|M F1)，|F1 F2)=|M F2)，则椭圆C的离心率为（ ）
A．2−❑√2
B．❑√3−❑√2
C．2−❑√3
D．❑√3−1
2．（2025·福建·模拟预测）已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的一个焦点为F (1,0)，中心为O．C是E上的
动点，P是以CF为直径的圆上的动点，且|OP)的最大值为4，则E的离心率为（ ）
A．1
8
B．1
4
C．1
2
D．
❑√3
2
3．（2025·福建三明·三模）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为
❑√3的直线l 与椭圆C 在x 轴上方的交点为M，∠M F1 F2的角平分线与线段M F2交于点N，若
2⃗MN =⃗N F2，则椭圆C 的离心率是（ ）
小试牛刀2
小试牛刀3
课后针对训练
A．❑√3−1
B．
❑√3+1
4
C．2❑√3−1
4
D．2❑√3+1
8
4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知F1, F2分别为双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1的左、右焦点，直线l过F1与C交
于A ,B两点，若| AB|=|B F2|，3⃗F2 F1=⃗F2 A +2⃗F2B，则C的渐近线为（ ）
A．y =± 2❑√3
3
x
B．y =± 4
3 x
C．y =± 8
3 x
D．y =± 2❑√6
3
x
5．（2025·福建福州·模拟预测）已知抛物线C : y
2= 4 x的焦点为F，准线为l，点P为C上一点，过点P作l
的垂线，垂足为A，若⃗FA =2⃗FB，且点(−3, 0)在直线PB上，则直线PB的斜率为（ ）
A．
❑√3
6 或−
❑√3
6
B．
❑√3
3 或−
❑√3
3
C．1 或−1
D．❑√3或−❑√3
6．（2025·江苏南通·三模）已知抛物线C : x
2= 4 y的焦点为F，准线为l，点A 在C 上，过A 作l 的垂线，
垂足为A1．若∣AF ∣=∣A1 F ∣，则∣AF ∣=（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
7．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆C : y
2
a
2 + x
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1, A2，上、下焦点分
别为F1, F2，点P 在x 轴上，若△F1 P F2的内切圆的圆心为A1，且P F1⊥F1 A2，则C的离心率为（ ）
A．
❑√3
2
B．
❑√5
3
C．2
3
D．1
2
8．（2025·福建泉州·模拟预测）已知F1，F2分别为双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1的左、右焦点，直线l过F1与C交
于A，B两点，若|AB)=|B F2)，⃗A F1=2⃗F1B，则C的离心率为（ ）
A．8
3
B．5
3
C．
❑√21
3
D．
❑√33
3
9．（2025·福建泉州·一模）如图，已知Rt△SAB是圆锥SO的轴截面，C , D分别为SA ,SB的中点，过点C
且与直线SA垂直的平面截圆锥，截口曲线Γ是抛物线的一部分．若P在Γ上，则DP
DC 的最大值为（ ）
A．
❑√2
2
B．1
C．
❑√6
2
D．
❑√26
4
10．（2025·江苏南京·二模）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F，
点M，N在C的右支上，且⃗MF =3⃗FN，点N关于原点O的对称点为P.若PF ⊥MN，则C的离心率为
（ ）
A．
❑√5
2
B．
❑√6
2
C．3
2
D．
❑√10
2
二、多选题
11．（2023·福建·模拟预测）已知抛物线C 的焦点为F，准线为l，点P 在C 上，PQ 垂直l 于点Q，直线
QF 与C 相交于M､N 两点.若M 为QF 的三等分点，则（ ）
A．cos∠PQM ＝1
2
B．sin∠QPM ＝2❑√7
7
C．NF =QF
D．PN ＝❑√3 PQ
12．（2025·福建龙岩·二模）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，左、右
顶点分别为A，B．P(x0, y0)为双曲线C在第一象限上的点，设PA，PB的斜率分别为k1，k2，且
k1⋅k2= 3
4 ．过点P作双曲线C的切线与双曲线的渐近线交于M，N两点，则（ ）
A．| PA |
| PB| 的值随着x0的增大而减小
B．双曲线C的离心率为
❑√7
2
C．k1+k2≤❑√3
D．| PM |=| PN |
13．（2025·福建泉州·模拟预测）已知F为抛物线C : y
2=mx(m>0)的焦点，点A(m, y0)在C上，过A作
C的切线l交y轴于点P，则下列说法正确的是（ ）
A．l的斜率为定值
B．若圆( x−m)
2+ y
2=7被l截得弦长为2❑√2，则m=5
C．⃗PF ⋅⃗PA =0
D．若平行PF的直线与C相切于点B，则⃗AF =5⃗FB
14．（2025·福建泉州·模拟预测）已知F为抛物线C : y
2=mx (m>0)的焦点，点A(m, y0)在C上，过A作C
的切线l交y轴于点P，则下列说法正确的是（ ）
A．l的斜率为± 1
2
B．若圆(x−m)
2+ y
2=7被l截得弦长为2❑√2，则m=5
C．⃗PF ⋅⃗PA =0
D．若平行PF的直线与C相切于点B，则⃗AF = 4⃗FB
三、填空题
15．（2025·江苏·二模）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距长为4 ❑√3.
若C和抛物线y
2= x交于A，B两点，且△OAB为正三角形，则C的离心率为 .
16．（2025·福建泉州·一模）设O为坐标原点，A为椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的上顶点，点B在E上，
线段AB交x轴于点M．若∠AOB =135°，且|BM )= 4
5|AM )，则E的离心率等于 ．
17．（2025·福建福州·模拟预测）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0, b>0)的右焦点为F，其左、右顶点分
别为A , B，过F且与x轴垂直的直线交C于M , N两点，直线BN与AM交于点Q，若△MQB与△MFB的
面积相等，则C的离心率为 ．
18．（2025·河北·模拟预测）已知双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的
直线与C 交于A，B 两点，其中A 在第一象限，若|F1 A)=2，则△A F2B的周长为 ．
19．（2025·福建三明·模拟预测）已知双曲线E: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过
F1的直线交双曲线左支于A，B两点，|AB)=|A F2)，cos∠A F2B = 2
3，则双曲线的离心率为
．
20．（2025·福建厦门·三模）已知直线l：y −2=0与圆O：x
2+ y
2= 4相切于点T，A 是圆O上一动点，点P
满足PO⊥OA，且以P 为圆心，PA为半径的圆恰与l相切，则sin ∠PTO的最大值为 ．
