易错易混03 不等式与不等关系、基本不等式
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01
错点扫描・易错建模夯基石..............................................................................................................1
02 易错归纳・查漏补缺避陷阱..........................................................................................................5
易错归纳01 忽略不等式成立的条件（★★★）...........................................................................................5
易错归纳02 多次使用同向相加性质，扩大了取值范围（★★★★）.......................................................8
易错归纳03 分式、绝对值不等式（★★★★）.........................................................................................10
易错归纳04 高次不等式（★★★）.............................................................................................................11
易错归纳05 一元二次不等式中的恒成立、有解问题（★★★★★）.....................................................13
易错归纳06 含参一元二次不等式分类讨论（★★★★★）.....................................................................17
易错归纳07 基本不等式忽略一正二定三相等（★★★★★）.................................................................21
易错归纳08 基本不等式在实际问题中的应用（★★★★）.....................................................................23
易错归纳09 条件等式求最值（★★★★★）.............................................................................................26
03 实战检测・易错通关验成效........................................................................................................29
错点扫描・易错建模夯基石
1、比较大小基本方法
关系
方法
做差法与0 比
较
做商法与1 比较
a>b
a−b>0
a
b >1(a ，b>0)
或
a
b <1(a，b<0)
a=b
a−b=0
a
b=1(b≠0)
a<b
a−b<0
a
b <1(a ，b>0)
或
a
b >1(a，b<0)
2、不等式的性质
性质
性质内容
对称性
a>b⇔b<a ；a<b⇔b>a
传递性
a>b ，b>c⇒a>c ；a<b，b<c⇒a<c
可加性
a>b⇔a+c>b>c
可乘性
a>b ，c>0⇒ac>bc ；a>b ，c<0⇒ac<bc
同向可加性
a>c ，c>d⇒a+c>b+d
同向同正可乘性
a>b>0 ，c>d>0⇒ac>bd
可乘方性
a>b>0 ，n∈N
¿⇒an>bn
3、基本不等式
（1）一般地,∀a,b∈R,有a2+b2 ≥2ab ，当且仅当a=b 时,等号成立.
（2）特别地,当a>0,b>0 时,分别用√a,√b 代替上式中的a,b ,可得
a+b
2
≥√ab ，当且仅当a=b 时,等
号成立.通常称不等式
a+b
2
≥√ab 为基本不等式（也叫均值不等式）
其中
a+b
2
叫做正数a,b 的算术平均数,√ab 叫做正数a,b 的几何平均数，基本不等式表明: 两个正数的算
术平均数不小于它们的几何平均数.
（3）重要不等式a2+b2 ≥2ab 与基本不等式
a+b
2
≥√ab 成立的条件是不一样的.前者a,b 为任意实数,
后者a,b 只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是a=b .
4、基本不等式的变形
（1）a+b ≥2√ab ,ab ≤(
a+b
2 )
2
.其中a,b∈R+,当且仅当a=b 时,等号成立.
（2）当a>0 时,
a+ 1
a ≥2,当且仅当
a=1
a ,即a=1 时,等号成立;
当a<0 时,
a+ 1
a ≤−2,当且仅当a=−1时,等号成立.
实际上,当a<0 时,
a+ 1
a =−[(−a)+(−1
a)].
∵
(−a)+(−1
a)≥2,∴
−[(−a)+(−1
a)]≤−2,即
a+ 1
a ≤−2.当且仅当
−a=−1
a ,即a=−1（a<0 ）时,
等号成立.
（3）当a,b 同号时,
b
a + a
b ≥2,当且仅当a=b 时,等号成立;当a,b 异号时,
b
a + a
b ≤−2,当且仅当a=−b 时,
等号成立.
（4）不等式链:
2
1
a + 1
b ≤√ab ≤
a+b
2
≤√
a2+b2
2
（a>0,b>0 ,当且仅当a=b 时,等号成立.）
其中,
2
1
a + 1
b ,√ab ,
a+b
2
,√
a2+b2
2
分别叫做正数a,b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平
均数.
5、利用基本不等式求最值
设x>0, y>0 ,则有
（1）若x+ y=S （和为定值）,则当x= y 时,积xy 取得最大值
S2
4 ;
（∵∀x, y∈ R+,有√xy ≤
x+ y
2
= S
2 ,∴xy ≤
S2
4 .）
（2）若xy =P （积为定值）,则当x= y 时,和x+ y 取得最小值2√P .
（∵∀x, y∈ R+,有x+ y ≥2√xy ,∴x+ y ≥2√P .）
6、利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件,即:一正、二定、三相等.
一正: 各项都必须为正数;
二定: 和或积为定值.当和为定值时,积有最大值,当积为定值时,和有最小值;
三相等: 等号能取到,即取得最值的条件能满足.
7、三个“二次”之间的关系
对于一元二次方程
的两根为
且
，设Δ=b2−4ac ，它的解按照
Δ>0 ，Δ=0 ，Δ<0 可分三种情况，相应地，二次函数
的图像与
轴的位置关
系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式
或
的解集．
判别式
a
b4
2
0
0
0
二次函数
0
0
2
a
c
bx
ax
y
的图象（
0
a
）
x
y
x2
x1
O
x
y
x1 = x2
O
x
y
O
图象说明
图象与x 轴有两个不同
的交点
图象与x 轴只有一个交
点（顶点在x 轴上）
图象与x 轴没有交点
一元二次方程
0
0
2
a
c
bx
ax
的解
有两个不相等的实数根
2
1 x
x
有两个相等的实数根
a
b
x
x
2
2
1
没有实数根
0
0
2
a
c
bx
ax
的解集
2
1 x
x
x
x
x
或
a
b
x
x
2
R
0
0
2
a
c
bx
ax
的解集
2
1
x
x
x
x
8、一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的一般步骤是:
（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数;
（2）计算Δ=b2−4ac 的值,并判断Δ 的符号;
（3）当Δ ≥0 时,求出相应的一元二次方程的根;
（4）画出对应的二次函数的简图;
（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.
9、一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.
其中,①当Δ>0 时,一元二次不等式ax 2+bx +c>0(a>0)的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小
根”;一元二次不等式ax 2+bx +c<0(a>0)的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为
“大于0 取两边,小于0 取中间”;
②当Δ=0 时,一元二次不等式ax 2+bx +c>0(a>0)的解集为{x|x≠−b
2a};一元二次不等式
ax 2+bx +c<0(a>0)的解集为∅;
③当Δ<0 时,一元二次不等式ax 2+bx +c>0(a>0)的解集为R;一元二次不等式ax 2+bx +c<0(a>0)
的解集为∅.
10、一元二次不等式在R 上恒成立的问题
（1）ax 2+bx +c>0 在R 上恒成立,则有:{a>0¿¿¿¿或{a=b=0¿¿¿¿;
（2）ax 2+bx +c<0 在R 上恒成立,则有:{a<0¿¿¿¿或{a=b=0¿¿¿¿;
（3）一元二次不等式ax 2+bx +c ≥0 在R 上恒成立,则有:{a>0¿¿¿¿;
（4）一元二次不等式ax 2+bx +c ≤0 在R 上恒成立,则有:{a<0¿¿¿¿.
11、分式不等式的解法
各标准形式的分式不等式的解法为:
（1）
f ( x)
g( x)>0
与不等式组{f(x)>0¿¿¿¿
或{f(x)<0¿¿¿¿
同解,与不等式f ( x)⋅g( x)>0 同解;
（2）
f ( x)
g( x) ≥0 与不等式组{f(x)⋅g(x)≥0¿¿¿¿
同解;
（3）
f ( x)
g( x)<0
与不等式组{f(x)>0¿¿¿¿
或{f(x)<0¿¿¿¿
同解,与不等式f ( x)⋅g( x)<0 同解;
（4）
f ( x)
g( x) ≤0 与不等式组{f(x)⋅g(x)≤0¿¿¿¿
.
由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.
易错归纳・查漏补缺避陷阱
易错归纳01 忽略不等式成立的条件
【易错陷阱·避错攻略】
1、在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
2、不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基
础，后者一般是解不等式的理论基础．
3、不等式在遇到乘法或者除法运算时候，是很容易出错的，需熟记一下几个不等式性质：①可乘性：
；
；②可乘方性：
；③可
开方性：
；④同号可倒性：
；
；
1．（2026·辽宁抚顺·一模）若
且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A，当
时，由
，得
，故A 错误；
对于B，当
时，有
，故B 错误；
对于C，因为
，所以
，即
，故C 正确；
对于D，若
，
，则
，不满足
，故D 错误.
2．（2026·北京·三模）已知
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A、B，当
时，
，所以
，故A、B 均不正确；
对于C、D，因为
，所以
，又
，所以
，所以
，即
，C
正确，D 错误；
3．对于实数a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．存在
，使得
B．若
，则
C．若
，则
D．存在
，使得
【答案】C
【分析】由条件结合不等式性质逐项判断各选项即可.
【详解】对于A，∵
，∴
，A 不正确；
对于B，当
时，由
，可得
，B 不正确；
对于C，若
，则
，
∴
，
，
，
∴
，两边同除以
，得
，C 正确；
对于D，若
，则
，所以
，D 不正确.
故选：C.
4．（多选题）（2026·黑龙江大庆·二模）下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BC
【分析】对A，取
可判断；对B、C，由不等式性质可判断；对D，取
可判断.
【详解】对A，当
时，
不成立，故A 错误；
对B，若
，则
，由不等式的性质
，故B 正确；
对C，若
，则
，C 正确；
对D，若
，不妨取
，则
，D 错误.
故选：BC.
5．（多选题）（2026·安徽芜湖·二模）若
，且
，则下列结论一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】假设
，因为
，所以
，则
，
与
矛盾，假设不成立，所以
，选项A 正确；
注意到，当
，
，
满足条件，选项B 错误；
假设
，因为
，所以
，则
，
与
矛盾，假设不成立，所以
，
因为
，所以
，选项C 正确；
因为
，
注意到当
，
，
时，
，即
，选项D 错误.
6．（多选题）（2026·江西·二模）已知
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】利用不等式的性质即可判断AC，利用作差法即可判断B，利用基本不等式即可判断D.
【详解】对于A：由
得
，又
，所以
，故A 正确；
对于B：
，又
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，故B 错误；
对于C：由
，所以
，故C 错误；
对于D：
，
由
，所以
，所以
，
当
，即
时，等号成立，
所以
，故D 正确.
易错归纳02 多次使用同向相加性质，扩大了取值范围
【易错陷阱·避错攻略】
1、在多次运用不等式性质时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了取值范围．为了
避免这类错误，必须注意①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式．
2、解决思路
一般先用整体法建立所求代数式与已知代数式的等量关系，再通过不等式的性质求得.
3、解决步骤
第一步：把所求代数式用条件的代数式
，表示出来，即
．
第二步：列方程组，求出m，n 的值.
第三步：分别求出
和
的取值范围．
第四步：求出
的取值范围．
1．（25-26 高三上·山东菏泽·期中）已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用不等式的基本性质可求得
的取值范围.
【详解】因为
，
，所以
，
由不等式的性质可得
.
因此，
的取值范围是
.
故选：C.
2．已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据题意可知
，
由
可得
，又
，
所以
，即
的取值范围是
.
3．（25-26 高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）若
，
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】用
表示
，根据不等式性质运算求范围.
【详解】令
，则
，解得
.
因为
，
，
所以
，即
的取值范围是
.
故选：B.
4．设
，那么
的取值范围是__________．
【答案】
【分析】利用线性关系及不等式性质求取值范围即可.
【详解】由题设
，则
.
故答案为：
5．若
，
，则
的取值范围是_________________.
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可计算出
的取值范围.
【详解】显然
，故
，故
，故取值范围为
.
故答案为:
易错归纳03 分式、绝对值不等式
【易错陷阱·避错攻略】
1、求解简单分式不等式，可转化为整式不等式；
常见的形式有：A
B >0⇔AB>0，A
B <0⇔AB<0，
A
B ≥0⇔AB≥0且B≠0，A
B ≤0⇔AB≤0且B≠0，
【注意】当遇到分式不等式右侧不是0 时，比如A
B >1，通过移项使得右侧为0，A
B
1>0
−
⇔
A−B
B
>0
2、对于含绝对值的不等式，要去掉绝对值可平方或利用|x|={x,x≥0
−x,x<0;
3、含绝对值不等式|x|>a与|x|<a型的解法。
当a>0时，不等式|x|>a的解集是{x|x>a或x<−a},
不等式|x|<a的解集是{x|−a<x<a};
当a<0时，不等式|x|>a的解集是R;不等式|x|<a的解集是∅;
4、当绝对值里是个含x的式子，把它看成个整体再求解便可。
1．（2026·河南开封·模拟预测）已知集合
，
，则
的非空子集的个
数为（ ）
A．3
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【详解】由题设
，
，
所以
，则其非空子集的个数有
个.
2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，得
.
又
，所以
.
由
，得
，
所以
.
因此
.
3．（25-26 高三上·江苏徐州·期中）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
，
，解得
．
4．（2026·河北衡水·模拟预测）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由
，得
，解得
或
，
由
，得
或
，解得
或
，
因此“
”是“
”的充要条件.
5．（2026·上海·三模）不等式
的解集为______．
【答案】
【详解】原不等式等价于
，即
，解得
，所求解集为
．
6．（2026·上海松江·模拟预测）不等式
的解集为__________.
【答案】
【详解】
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
易错归纳04 高次不等式
【易错陷阱·避错攻略】
解一元高次不等式一般采取“穿针引线法”
一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(x−x1)(x−x2)…(x−xn)>0(或<0)的形式，然后用穿针引线
法求解.首先保证每个因式中x的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出
现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数.
解(x+1)(x
2
−)(x
3
−)(x
4
−)≥0，如图所示，解集为{x|x≥4或2≤x≤3或x≤1
−
}.
解(x+1)(x
2
−)2(x
3
−)(x
4
−)3≤0，如图所示，解集为{x|x≤1或
−
x=2或3≤x≤4}.
【注意】尽量使得每个x的系数都为正。
1．设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先解指数不等式求出集合
，解一元高次不等式求出集合
，最后根据补集的定义计算可得.
【详解】由
，即
，所以
，即
，
由
，即
，等价于
，解得
或
，
所以
，
所以
.
故选：A
2．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得.
【详解】
，
故
，解得
或
，
故该不等式的解集为
.
3．解
【答案】
或
或
【分析】运用“穿针引线法”画出函数的大致图象，结合图象即可得解.
【详解】运用“穿针引线法”画出函数
的大致图象如下：
由函数图象可知，
的解集为
或
或
．
4．解不等式
.
【答案】
或
或
【详解】因为
次数为2，根为2，
的次数为奇数，根分别为
.
如图所示，“奇穿偶不穿”，解集为
或
或
．
易错归纳05 一元二次不等式中的恒成立、有解问题
【易错陷阱·避错攻略】
1、解一元二次不等式的步骤：
第一步：将二次项系数化为正数；
第二步：解相应的一元二次方程；
第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；
第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出
错；③结果未按要求写成集合．
2、求解二次型不等式恒成立问题时要注意两个关键点：一看二次项的系数；二看不等式恒成立（有解）
的区间.
1．（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“
,
”为真命题，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由命题“
”为真命题，利用判别式，即可确定实数
的取值范围．
【详解】由命题“
”为真命题，
，
解得：
，
2．若关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果
【详解】根据题意当
时，解得
当
时，不等式
恒成立，符合题意；
当
，不等式
，不符合题意；
当
，
的不等式
的解集为
，
所以
，解得
综上所述，
.
3．不等式
对任意
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分离参数，利用基本不等式求出最值.
【详解】不等式
对任意
恒成立，
即
对任意
恒成立，
设
，
，则
，
，当且仅当
时等号成立，
，
，所以
.
的最小值为
.
4．
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将问题转化为
对于
恒成立，进而由
结合基本不
等式求解即可.
【详解】由
，且
，得
，
则问题转化为
对于
恒成立，
又
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，即实数
的取值范围为
.
故选：D.
5．当
时，不等式
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合题意利用主元变换法转化为一次函数的恒成立问题，进而建立不等式组，求解参数范围即可.
【详解】因为当
时，不等式
恒成立，
所以
恒成立，整理得
恒成立，
令
，则
，
解得
，则
的取值范围为
，故C 正确.
故选：C
6．若不等式
对任意
恒成立，则实数a 的取值范围是________.
【答案】
【分析】不等式
在
上恒成立，则需区间
都落在解集
内，这等
价于要求
与开区间
没有交集，从而得出
的取值范围.
【详解】由
化简得：
，
不等式
等价于
，
解得
要使此不等式对任意
恒成立，
则区间
必须完全包含在解集
中，
等价于
与开区间
的交集为空集，
区间
在
左侧，即
，解得
，
区间
在
右侧，即
，解得
，
当
，则
与
必有交集，不满足条件，
综上，实数
的取值范围是
或
，
故答案为：
7．（2026·天津河东·二模）已知二次函数
，若对于任意
，都有
成立，
则实数
的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据
的范围分类讨论，结合对于任意
，都有
成立，解不等式即可求解．
【详解】因为
是一个区间，所以
，
二次函数
的对称轴为直线
，
①当
时，即
，函数
在
上单调递增，
所以
，
要使对于任意
，都有
成立，则
，
所以
，解得
；
②当
时，即
时，
函数
在
处取得最小值，
，
则
，不等式无解；
③当
时，即
，函数
在
上单调递减，
所以
，
则
，不等式无解；
综上所述，
的取值范围是
．
易错归纳06 含参一元二次不等式分类讨论
【易错陷阱·避错攻略】
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
注：求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计
算．
1．解关于
的不等式
.
【答案】答案见解析
【分析】化简原不等式，分类讨论
的取值，结合一元二次不等式的解法即可求解．
【详解】由题意，
，即
，
由于方程
的根为
，
①当
时，
，故原不等式的解为
；
②当
时，
，原不等式为
，故原不等式无实数解；
③当
时，
，故原不等式的解为
；
综上所述：
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
.
2．解不等式
．
【答案】当
时，解集为
；当
时，解集为
；当
时，解集为
；当
时，解集为
；当
时，不等式的解集为
【分析】分
、
及
进行讨论，结合一元二次不等式解法计算即可得.
【详解】原不等式可化为
，
当
时，不等式为
，解得
；
当
时，不等式可化为
，
则当
时，不等式可化为
，解集为
；
当
时，
，不等式的解集为
；
当
时，
，不等式的解集为
；
当
时，不等式可化为
，
则不等式的解集为
．
综上可得：当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
．
3．设
，解关于x 的不等式：
．
【答案】答案见解析.
【分析】等价变形给定不等式，再按
分类求解不等式.
【详解】不等式
，
当
时，不等式为
，解得
；
当
时，不等式为
，解得
或
；
当
时，不等式为
，
当
时，
，不等式无解；当
时，
，解得
；
当
时，
，解得
，
所以当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
.
4．解下列关于
的不等式：
．
【答案】答案见解析
【分析】不等式左侧不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究
时不等式的解集．
【详解】对于一元二次方程
，
当
时，
，
的解集为
，
当
时，
的解集为
，
当
或
时，
，方程
的两根分别为
，且
，
所以不等式
的解集为
，
综上，当
时，不等式的解集为
，
当
或
时，不等式的解集为
．
5．解下列关于
的不等式
.
【答案】答案见解析
【分析】不等式左侧不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别讨论研究
时不等式的解集．
【详解】对于一元二次方程
，
，判别式
．
当
时，
等价于
，解得
，
故不等式的解集为
；
当
时，
，方程
的两根分别为
，且
，
则
的解集为
或
；
当
时，
，不等式的解集为
．
综上，当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
或
．
6．解关于x 的不等式
.
【答案】答案见解析
【分析】根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式的解法分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）当
时，由
，不等式的解集是
.
（2）当
时，因为
，
方程
的两根为
和
，不等式的解集是
.
（3）当
时，因为
，
方程
的两根为
和
，不等式的解集是
.
（4）当
时，因为
，
方程
的两相等根为
，不等式的解集是
.
（5）当
时，因为
，
方程
无实根，所以不等式的解集是
.
综上所述：
当
时， 不等式的解集是
.
当
时， 不等式的解集是
.
当
时，不等式的解集是
.
当
时，不等式的解集是；
.
当
时， 不等式的解集是
.
易错归纳07 基本不等式忽略一正二定三相等
【易错陷阱·避错攻略】
1、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲
突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初
始范围.
注：形如
(
0)
a
y
x
a
x
的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单
调性求解．
2、通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面
的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
3、利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不
满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或
加上一个数，“1”的代换法等.
1．下列几个不等式中，不能取到等号的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于
，当且仅当
，即
时等号成立；
对于
，当且仅当
，即
时等号成立；
对于
，当且仅当
，即
时等号成立；
对于
，当且仅当
，即
，无解，等号不成立．
故选
.
2．下列结论表述正确的是（ ）
A．若
，则
恒成立
B．若
，则
恒成立
C．若
，
，则
成立
D．若
，则
【答案】C
【分析】运用基本不等式可判断A，运用特殊值法可判断B、D，运用作差法可判断C.
【详解】对于A：若
，则
恒成立，当且仅当
时等号成立，故A 错误；
对于B：若
，则
，则
，故B 错误；
对于C：因为
，
又因为
，故
成立，故C 正确；
对于D：若
，则
，此时
，故D 错误.
故选：C．
3．设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】结合基本不等式、不等式的性质，根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
，若
，
则
，
当且仅当
时等号同时成立，充分性满足，
若
，
不一定成立，例如
，
时，
，
但
，必要性不满足，
故选：B．
易错归纳08 基本不等式在实际问题中的应用
【易错陷阱·避错攻略】
基本不等式在实际中的应用
（1）利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引
入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．
（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式，等号取不到，则可利用函数图象求解．
1．若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（ ）
A．
B．8
C．16
D．
【答案】C
【分析】设直角三角的两条直角边分别为
，进而得
，再根据基本不等式即可得
的最小值.
【详解】设直角三角的两条直角边分别为
，
因为直角三角形的面积为32，
所以
，即
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
所以两条直角边的和的最小值是
.
故选：C
2．某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为
，第二年的增长率为
，第三年的增长率为
，这两年
的平均增长率为
（
均大于零），则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意有
，进而有
，再应用基本不等式，即可比较
大小.
【详解】由题意
且
，
则由基本不等式可得
，
当且仅当
，即
时取等号，故
.
故选：B
3．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩
形ABCD 和EFGH 构成的面积为
的十字形地域．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为
；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为
；在四个空角（图
中四个三角形）上铺草坪，造价为
．设总造价为S（单位：元），则当总造价S 最小时，AD 的长
度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
根据十字形地域的面积，得出
的关系式，进而求出各个图形的面积，
将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时
的长.
【详解】设
则
，所以
，
所以
，
因为
，即
且
，解得
，
所以
.
故
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以当
时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为
元.
故选：B
4．（25-26 高三上·上海·期中）某工厂某种产品的年固定成本为300 万元，每生产
件，需另投入成本为
（万元），当年产量不足80 件时，
（万元）；当年产量不小于80 件时，
（万元）.每件产品售价为50 万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完.
(1)写出年利润
（万元）关于年产量
（件）的函数解析式；
(2)年产量为多少时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？
【答案】(1)
，其中
(2)100 件
【分析】（1）根据题意分别写出当
与
时的函数解析式即可；
（2）利用二次函数求最值与基本不等式求最值分析即可得出.
【详解】（1）当
时，
；
当
时，
，
所以
，其中
.
（2）当
时，
当
时，
取得最大值900 万元；
当
时，
，
当且仅当
，即
时，
取得最大值950 万元，
所以当产量为100 件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为950 万元
5．（25-26 高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5 米，底面积为100 平方米，
且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方
体前面新建墙体的报价为每平方米320 元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160 元，地面以及其他
报价共计9600 元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为
（
）米，原有墙体足够长.
(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为
（
）元，若无论左
面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求
的取值范围.
【答案】(1)10 米
(2)
【分析】（1）由题意建立甲工程队报价与左面墙的长度间的函数关系，再根据基本不等式求得最低报价
及对应的左面墙的长度；
（2）利用（1）的结论，列出不等式，分离参数
，并根据基本不等式求得
的取值范围.
【详解】（1）设甲工程队的总报价为
元，
依题意，左、右两面墙的长度均为
（
）米，
则长方体前面新建墙体的长度为
米，
所以
，
即
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
故当左面墙的长度为10 米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200 元.
（2）由题意可知，
，
即
对任意的
恒成立，
所以
，可得
，即
.
，
当且仅当
，即
时，
取最小值36.
所以
，即
的取值范围是
.
易错归纳09 条件等式求最值
【易错陷阱·避错攻略】
首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配凑、消元、换
元等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的目的；若题目中还有已知条件，则首先观察已
知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题中要时刻注
意等号能否取到．
1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】C
【分析】利用基本不等式转化为一元二次不等式即可求解．
【详解】由题意可知
，当
时等号成立，
即
，
令
，则
解得
或
舍
即
，
当且仅当
时，等号成立．
故选：C.
2．已知
，且
，则
的最小值是（ ）
A．4
B．2
C．1
D．0
【答案】C
【分析】利用基本不等式将已知条件转化为关于
的不等式即可得解.
【详解】因为
，所以
，
因为
，所以
，所以
，即
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以
的最小值是1.
故选：C
3．（2026·福建泉州·二模）已知正数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题设可得
，
，进而得到
，再根据基本不等式求解即可.
【详解】由题意，
为正数，且
，则
，即
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
则
的最大值为
.
故选：A
4．（2026·河北张家口·一模）已知实数
，
，且满足
，则
的最小值为
（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】B
【分析】利用基本不等式将等式变形化简，解不等式即可得出结果.
【详解】由
可得
，
因为实数
，
，所以
，
因此可得
，即
，
解得
或
（舍），
当且仅当
时，即
时，等号成立,
所以
的最小值为6.
5．（2024·河南南阳·一模）已知正实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】B
【分析】利用条件转化得
，将问题式化简结合基本不等式求最值.
【详解】由
，且
，可得
.所以
.
又因为
，
当且仅当
，即
时取等号，所以
.
故选：B.
6．已知实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．
【答案】C
【分析】根据已知等式可得
，从而可结合基本不等式求解
的最小值.
【详解】因为
，当
时，等式不成立，
所以
，
则
，
当且仅当
，即
或
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：C.
7．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最小值是
（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知得
，代入目标式并应用基本不等式求最小值即可.
【详解】由
，则
，
，
，故
，
所以
，
当且仅当
，此时
取等号.
实战检测・易错通关验成效
1．（2026·山东济宁·三模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题设
，
或
，
所以
.
2．（25-26 高三上·北京顺义·期中）若
，且
，则下列说法一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对于A，结合幂函数的单调性判断即可；对于BCD，举特例判断即可.
【详解】对于A，由
，且函数
在
上单调递增，则
，故A 正确；
对于B，当
时，满足
，而
，故B 错误；
对于C，当
时，满足
，而
，故C 错误；
对于D，当
时，满足
，而
，故D 错误.
故选：A
3．若
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先用
表示
，再根据不等式的性质求解可得.
【详解】设
，即
，
则
，解得
.
由
，得
；
由
，得
.
所以
.
所以
的取值范围是
.
故选：B.
4．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题
“
，使得不等式
成立”为假命题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】题意说明
：“
，
恒成立”是真命题，然后对
分类讨论可得.
【详解】命题
“
，使得不等式
成立”为假命题，则命题
：“
，
恒成立”是真命题，
时，不等式为
恒成立，满足题意，
时，则
，解得
，
综上，
的范围是
.
5．（25-26 高三上·湖北·期末）命题“对
”为假命题的一个充分不必要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先根据条件，全称命题为假命题，则其否定为真命题，将不等式转化为
，转化为
求函数的最大值，再根据充分不必要条件与集合的关系，即可求解.
【详解】原命题为假命题等价于其否命题“
”为真命题，所以
，
在区间
上单调递增，当
时，函数
取得最大值
，则
，又
⫋
，
所以命题“对
”为假命题的一个充分不必要条件是
.
故选：B
6．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知正数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】B
【分析】先把
平方，再应用基本不等式求解最大值，即可得解.
【详解】因为正数
满足
，
所以
，
所以
，当且仅当
时取等号，则
的最大值为2.
故选：B
7．已知实数
，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】举例说明判断AC；利用基本不等式等号成立的条件判断B；作差判断D.
【详解】对于A，取
，则
，A 错误；
对于B，
，当且仅当
，
即
时取等号，而
，因此等号不能取到，B 错误；
对于C，取
，则
，C 错误；
对于D，
，则
，D 正确.
故选：D
8．（25-26 高三上·北京西城·阶段检测）若
，不等式
恒成立，则实数m
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分离参数，结合基本不等式求
的取值范围.
【详解】因为不等式
，当
时恒成立，
所以
.
当
时，
，
当且仅当
时取等号.
所以
.
故选：C
9．已知函数
的定义域是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二次项系数是否为零分情况讨论，当系数为零时验证一次函数是否满足要求，当系数不为零
时利用二次函数图象在横轴上或上方得出判别式不大于零且开口向上，再综合两种情况解出参数范围.
【详解】因为函数
的定义域是
，所以不等式
对任意
恒成立，
当
时，
，对任意
恒成立，符合题意；
当
时，
即
解得
，
综上，实数
的取值范围是
．
故选：D.
10．（24-25 高一上·云南昭通·期中）若正实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】利用基本不等式将方程化成
，取
求解关于的一元二次不等式即
得.
【详解】
正实数
满足
，又
，则
，当且仅当
时
取等号，
设
则
，代入整理可得
，解得
或
，
因
，故
，故当
时，
取得最小值为2.
故选：B.
11．设计用
的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设长方体车厢（无盖）的长为
，高为
，
，先由题意得
，接着结合
基本不等式得
，解该不等式求出
即可求解车厢的最大容积.
【详解】设长方体车厢（无盖）的长为
，高为
，
，
则由题得
，即
，
所以
，
即
，当且仅当
时等号成立，
由
，解
，得
，即
，
因为车厢的容积为
且
，仅当
时等号成立，所以车厢的最大容积是
.
故选：D.
12．若正数
、
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知等式得出
，求得
，化简得出
，结合基本不等式可求
得其最小值.
【详解】由
可得
，
因为
，
，由
可得
，故
，且
，
故
.
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故
的最小值为
.
故选：D.
13．（2026·四川泸州·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
；
B．若
，则
；
C．若
，则
；
D．若
，则
.
【答案】B
【分析】利用指数函数的单调性判断A，构造
且
，导数研究其单调性得到大小关系判断B，
应用不等式的性质判断C，由余弦、正切函数的性质，举反例判断D.
【详解】由
，则
，故
，A 为假命题，
令
且
，则
，故
在
上单调递增，
由
，则
，B 为真命题，
由
，则
，故
，即
，C 为假命题，
若
，反例：如
，则
，D 为假命题.
14．已知命题
．若命题
为假命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意得
为真命题，令函数
，讨论函数的对称轴，即可求
得函数的最小值，建立不等式即可求得实数
的取值范围.
【详解】由题意得命题
的否定
为真命题，
令函数
，则函数对称轴
，
当
，即
，函数最小值为
，
由题意得
，即
.∴
当
，即
，函数最小值为
，
由题意得
，即
或
，∴
.
∴
，
故选：A.
15．（25-26 高三上·陕西商洛·阶段检测）若
，且满足
，则
的最小值是（ ）
A．6
B．18
C．
D．9
【答案】C
【分析】由题设条件
可得
，利用“乘1 法”与基本不等式求最小值.
【详解】由
，
则
.
当且仅当
时取等号，即
，再结合
，
可得
，
时取等号.
故选：C
16．（多选题）（25-26 高三上·贵州贵阳·期中）已知
，
，
，则“
”的充要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据不等式的性质判断AB；根据指数函数的图象与性质判断C；根据幂函数的图象与性质判断
D.
【详解】A：若
，则
；
若
，得
，故A 符合题意；
B：若
，
得
，即
，所以
；
若
，则
，所以
，
即
，得
，故B 符合题意；
C：当
时，由
，得
，
当
时，由
，得
；
若
，当
时，
，
当
时，由
，故C 不符合题意；
D：若
，由幂函数的图象与性质知
；
若
，则
，故D 符合题意.
故选：ABD
17．（多选题）（2025·陕西·模拟预测）下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据不等式的性质结合函数的性质逐一分析选项.
【详解】对于A，由题可知不等式有意义须需
，则
，
则
，当且仅当
时，等号成立，故A 正确；
对于B，当
，即
，
时，有
，故不等式不一定成立，故B 错误；
对于C，由
，则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，故C 正确；
对于D，由题意知
,
，故
,
故不等式
成立，D 正确．
故选：ACD
18．不等式：
的解集为_______
【答案】
【分析】将分式不等式化为
求解集.
【详解】由
，则
，可得
，
所以不等式的解集为
.
故答案为：
19．（25-26 高三下·上海·阶段检测）设
，不等式
的解集为__________．
【答案】
【详解】不等式可变形为
，即
，解得
.
所以不等式
的解集为
.
20．不等式
的解集为______
【答案】
【分析】运用“穿针引线法”画出函数的大致图象，结合图象即可得解.
【详解】由“穿针引线法，奇穿偶不穿”作出函数
的大致图象如下：
由函数图象可知，当
或
或
时，
，
故答案为：
.
21．已知正三棱锥的各顶点都在体积为
的球面上，正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为______.
【答案】4
【分析】根据锥体与外接球的性质，结合棱锥的体积公式以及基本不等式的三维形式进行求解即可.
【详解】根据题意可得，正三棱锥的外接球的半径
，
设正三棱锥的底面边长为
，高为
，
则正三角形的外接圆的半径为
，所以
，
即
，所以
，
又正三棱锥体积为
，
当且仅当
即
时，等号成立，
所以当正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为4.
故答案为:4.
22．解关于x 的不等式：
．
【答案】当
时，
；当
时，
；当
时，
．
【分析】结合不等式的性质，讨论
的取值，即可求得答案.
【详解】对不等式
进行因式分解得
，
当
时，原不等式变为
，解得
，即
；
当
时，方程
有两个根
，
故不等式的解集为
；
当
时，方程
有两个根
，
故不等式的解集为；
．
综上所述，当
时，
；当
时，
；当
时，
．
23．解下列关于x 的不等式．
．
【答案】答案见解析
【分析】将不等式转化为
，分
，
和
求解.
【详解】
，
等价于
，
当
时，即
，不等式的解集为
，
当
时，即
，不等式的解集为
，
当
时，即
，不等式的解集为
，
综上：
时，不等式的解集为
，
时，不等式的解集为
，
时，不等式的解集为
.
24．解关于x 的不等式：
.
【答案】答案见解析
【分析】分类讨论
和
判别式的符号，结合一元二次不等式运算求解.
【详解】当
时，
，解得
；
当
时，则
，
①
时，则
，解得
；
②
时，则有：
若
，即
时，则
；
若
，即
时，则
且
；
若
，即
时，解得
或
；
综上所述：
当
时，解集为
；
当
时，解集为
；
当
时，解集为
或
；
当
时，解集为
；
当
时，解集为
．
25．（25-26 高三上·陕西咸阳·阶段检测）生态环境保护和经济发展是辩证统一､相辅相成的，建设生态文
明､推动绿色低碳循环发展，不仅可以满足人民日益增长的优美生态环境需要，而且可以推动实现更高质
量､更有效率､更加公平､更可持续､更为安全的发展，走出一条生产发展､生活富裕､生态良好的文明发展道
路.某果树培育公司响应国家的号召，决定采用一种新型绿色肥料进行果树栽培，经多次试验发现：一棵果
树果实的产量
（单位：百千克）与新型绿色肥料的费用
（单位：百元）满足关系
，且投入
的新型绿色肥料的费用不超过5 百元，此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）
百元.已知这
种果树果实的市场售价为25 元/千克（即25 百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记栽培一棵该果树
一年获得的利淘为
（单位：百元）
(1)求利润函数
的函数关系式，并写出定义域.
(2)当投入的新型绿色肥料的费用为多少时，栽培一棵该果树一年获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
，
(2)当投入的新型绿色肥料的费用为400 元时，栽培一棵该果树获得的利润最大，最大利润是11400 元.
【分析】（1）由题意求出利润
的函数解析式，即可得解；
（2）由（1），利用基本不等式求解.
【详解】（1）
，定义域为
.
（2）由（1）知，
.
因为
，所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
.
答：当投入的新型绿色肥料的费用为400 元时，栽培一棵该果树获得的利润最大，最大利润是11400 元.
26．已知关于
的不等式
.
(1)是否存在实数
，使不等式对任意
恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若存在
使不等式成立，求
的取值范围.
【答案】(1)不存在，理由见解析；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）分
和
讨论，当
时，结合二次函数开口和判别式即可得到答案；
（2）变换主元，代入边界值得到不等式组，解出即可；
（3）分离参数得
，再利用换元法并结合函数单调性即可得到答案.
【详解】（1）当
时，
不恒成立；
当
时，若不等式对于任意实数
恒成立，
则需
且
，无解，所以不存在实数
，使不等式恒成立．
（2）设
，当
时，
恒成立．
当且仅当
，即
，解得
或
，
所以
的取值范围是
．
（3）因为
，所以
．
设
，
所以
．
设
，显然
在
上为增函数，
所以
，所以
，
所以
的取值范围是
．
