易错易混03 不等式与不等关系、基本不等式
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01
错点扫描・易错建模夯基石..............................................................................................................1
02 易错归纳・查漏补缺避陷阱..........................................................................................................5
易错归纳01 忽略不等式成立的条件（★★★）...........................................................................................5
易错归纳02 多次使用同向相加性质，扩大了取值范围（★★★★）.......................................................6
易错归纳03 分式、绝对值不等式（★★★★）...........................................................................................7
易错归纳04 高次不等式（★★★）...............................................................................................................8
易错归纳05 一元二次不等式中的恒成立、有解问题（★★★★★）.......................................................9
易错归纳06 含参一元二次不等式分类讨论（★★★★★）.....................................................................10
易错归纳07 基本不等式忽略一正二定三相等（★★★★★）.................................................................10
易错归纳08 基本不等式在实际问题中的应用（★★★★）.....................................................................12
易错归纳09 条件等式求最值（★★★★★）.............................................................................................13
03 实战检测・易错通关验成效........................................................................................................14
错点扫描・易错建模夯基石
1、比较大小基本方法
关系
方法
做差法与0 比
较
做商法与1 比较
a>b
a−b>0
a
b >1(a ，b>0)
或
a
b <1(a，b<0)
a=b
a−b=0
a
b=1(b≠0)
a<b
a−b<0
a
b <1(a ，b>0)
或
a
b >1(a，b<0)
2、不等式的性质
性质
性质内容
对称性
a>b⇔b<a ；a<b⇔b>a
传递性
a>b ，b>c⇒a>c ；a<b，b<c⇒a<c
可加性
a>b⇔a+c>b>c
可乘性
a>b ，c>0⇒ac>bc ；a>b ，c<0⇒ac<bc
同向可加性
a>c ，c>d⇒a+c>b+d
同向同正可乘性
a>b>0 ，c>d>0⇒ac>bd
可乘方性
a>b>0 ，n∈N
¿⇒an>bn
3、基本不等式
（1）一般地,∀a,b∈R,有a2+b2 ≥2ab ，当且仅当a=b 时,等号成立.
（2）特别地,当a>0,b>0 时,分别用√a,√b 代替上式中的a,b ,可得
a+b
2
≥√ab ，当且仅当a=b 时,等
号成立.通常称不等式
a+b
2
≥√ab 为基本不等式（也叫均值不等式）
其中
a+b
2
叫做正数a,b 的算术平均数,√ab 叫做正数a,b 的几何平均数，基本不等式表明: 两个正数的算
术平均数不小于它们的几何平均数.
（3）重要不等式a2+b2 ≥2ab 与基本不等式
a+b
2
≥√ab 成立的条件是不一样的.前者a,b 为任意实数,
后者a,b 只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是a=b .
4、基本不等式的变形
（1）a+b ≥2√ab ,ab ≤(
a+b
2 )
2
.其中a,b∈R+,当且仅当a=b 时,等号成立.
（2）当a>0 时,
a+ 1
a ≥2,当且仅当
a=1
a ,即a=1 时,等号成立;
当a<0 时,
a+ 1
a ≤−2,当且仅当a=−1时,等号成立.
实际上,当a<0 时,
a+ 1
a =−[(−a)+(−1
a)].
∵
(−a)+(−1
a)≥2,∴
−[(−a)+(−1
a)]≤−2,即
a+ 1
a ≤−2.当且仅当
−a=−1
a ,即a=−1（a<0 ）时,
等号成立.
（3）当a,b 同号时,
b
a + a
b ≥2,当且仅当a=b 时,等号成立;当a,b 异号时,
b
a + a
b ≤−2,当且仅当a=−b 时,
等号成立.
（4）不等式链:
2
1
a + 1
b ≤√ab ≤
a+b
2
≤√
a2+b2
2
（a>0,b>0 ,当且仅当a=b 时,等号成立.）
其中,
2
1
a + 1
b ,√ab ,
a+b
2
,√
a2+b2
2
分别叫做正数a,b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平
均数.
5、利用基本不等式求最值
设x>0, y>0 ,则有
（1）若x+ y=S （和为定值）,则当x= y 时,积xy 取得最大值
S2
4 ;
（∵∀x, y∈ R+,有√xy ≤
x+ y
2
= S
2 ,∴xy ≤
S2
4 .）
（2）若xy =P （积为定值）,则当x= y 时,和x+ y 取得最小值2√P .
（∵∀x, y∈ R+,有x+ y ≥2√xy ,∴x+ y ≥2√P .）
6、利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件,即:一正、二定、三相等.
一正: 各项都必须为正数;
二定: 和或积为定值.当和为定值时,积有最大值,当积为定值时,和有最小值;
三相等: 等号能取到,即取得最值的条件能满足.
7、三个“二次”之间的关系
对于一元二次方程
的两根为
且
，设Δ=b2−4ac ，它的解按照
Δ>0 ，Δ=0 ，Δ<0 可分三种情况，相应地，二次函数
的图像与
轴的位置关
系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式
或
的解集．
判别式
a
b4
2
0
0
0
二次函数
0
0
2
a
c
bx
ax
y
的图象（
0
a
）
x
y
x2
x1
O
x
y
x1 = x2
O
x
y
O
图象说明
图象与x 轴有两个不同
的交点
图象与x 轴只有一个交
点（顶点在x 轴上）
图象与x 轴没有交点
一元二次方程
0
0
2
a
c
bx
ax
的解
有两个不相等的实数根
2
1 x
x
有两个相等的实数根
a
b
x
x
2
2
1
没有实数根
0
0
2
a
c
bx
ax
的解集
2
1 x
x
x
x
x
或
a
b
x
x
2
R
0
0
2
a
c
bx
ax
的解集
2
1
x
x
x
x
8、一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的一般步骤是:
（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数;
（2）计算Δ=b2−4ac 的值,并判断Δ 的符号;
（3）当Δ ≥0 时,求出相应的一元二次方程的根;
（4）画出对应的二次函数的简图;
（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.
9、一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.
其中,①当Δ>0 时,一元二次不等式ax 2+bx +c>0(a>0)的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小
根”;一元二次不等式ax 2+bx +c<0(a>0)的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为
“大于0 取两边,小于0 取中间”;
②当Δ=0 时,一元二次不等式ax 2+bx +c>0(a>0)的解集为{x|x≠−b
2a};一元二次不等式
ax 2+bx +c<0(a>0)的解集为∅;
③当Δ<0 时,一元二次不等式ax 2+bx +c>0(a>0)的解集为R;一元二次不等式ax 2+bx +c<0(a>0)
的解集为∅.
10、一元二次不等式在R 上恒成立的问题
（1）ax 2+bx +c>0 在R 上恒成立,则有:{a>0¿¿¿¿或{a=b=0¿¿¿¿;
（2）ax 2+bx +c<0 在R 上恒成立,则有:{a<0¿¿¿¿或{a=b=0¿¿¿¿;
（3）一元二次不等式ax 2+bx +c ≥0 在R 上恒成立,则有:{a>0¿¿¿¿;
（4）一元二次不等式ax 2+bx +c ≤0 在R 上恒成立,则有:{a<0¿¿¿¿.
11、分式不等式的解法
各标准形式的分式不等式的解法为:
（1）
f ( x)
g( x)>0
与不等式组{f(x)>0¿¿¿¿
或{f(x)<0¿¿¿¿
同解,与不等式f ( x)⋅g( x)>0 同解;
（2）
f ( x)
g( x) ≥0 与不等式组{f(x)⋅g(x)≥0¿¿¿¿
同解;
（3）
f ( x)
g( x)<0
与不等式组{f(x)>0¿¿¿¿
或{f(x)<0¿¿¿¿
同解,与不等式f ( x)⋅g( x)<0 同解;
（4）
f ( x)
g( x) ≤0 与不等式组{f(x)⋅g(x)≤0¿¿¿¿
.
由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.
易错归纳・查漏补缺避陷阱
易错归纳01 忽略不等式成立的条件
【易错陷阱·避错攻略】
1、在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
2、不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基
础，后者一般是解不等式的理论基础．
3、不等式在遇到乘法或者除法运算时候，是很容易出错的，需熟记一下几个不等式性质：①可乘性：
；
；②可乘方性：
；③可
开方性：
；④同号可倒性：
；
；
1．（2026·辽宁抚顺·一模）若
且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·北京·三模）已知
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．对于实数a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．存在
，使得
B．若
，则
C．若
，则
D．存在
，使得
4．（多选题）（2026·黑龙江大庆·二模）下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
5．（多选题）（2026·安徽芜湖·二模）若
，且
，则下列结论一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（多选题）（2026·江西·二模）已知
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
易错归纳02 多次使用同向相加性质，扩大了取值范围
【易错陷阱·避错攻略】
1、在多次运用不等式性质时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了取值范围．为了
避免这类错误，必须注意①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式．
2、解决思路
一般先用整体法建立所求代数式与已知代数式的等量关系，再通过不等式的性质求得.
3、解决步骤
第一步：把所求代数式用条件的代数式
，表示出来，即
．
第二步：列方程组，求出m，n 的值.
第三步：分别求出
和
的取值范围．
第四步：求出
的取值范围．
1．（25-26 高三上·山东菏泽·期中）已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）若
，
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设
，那么
的取值范围是__________．
5．若
，
，则
的取值范围是_________________.
易错归纳03 分式、绝对值不等式
【易错陷阱·避错攻略】
1、求解简单分式不等式，可转化为整式不等式；
常见的形式有：A
B >0⇔AB>0，A
B <0⇔AB<0，
A
B ≥0⇔AB≥0且B≠0，A
B ≤0⇔AB≤0且B≠0，
【注意】当遇到分式不等式右侧不是0 时，比如A
B >1，通过移项使得右侧为0，A
B
1>0
−
⇔
A−B
B
>0
2、对于含绝对值的不等式，要去掉绝对值可平方或利用|x|={x,x≥0
−x,x<0;
3、含绝对值不等式|x|>a与|x|<a型的解法。
当a>0时，不等式|x|>a的解集是{x|x>a或x<−a},
不等式|x|<a的解集是{x|−a<x<a};
当a<0时，不等式|x|>a的解集是R;不等式|x|<a的解集是∅;
4、当绝对值里是个含x的式子，把它看成个整体再求解便可。
1．（2026·河南开封·模拟预测）已知集合
，
，则
的非空子集的个
数为（ ）
A．3
B．6
C．7
D．8
2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·江苏徐州·期中）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·河北衡水·模拟预测）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2026·上海·三模）不等式
的解集为______．
6．（2026·上海松江·模拟预测）不等式
的解集为__________.
易错归纳04 高次不等式
【易错陷阱·避错攻略】
解一元高次不等式一般采取“穿针引线法”
一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(x−x1)(x−x2)…(x−xn)>0(或<0)的形式，然后用穿针引线
法求解.首先保证每个因式中x的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出
现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数.
解(x+1)(x
2
−)(x
3
−)(x
4
−)≥0，如图所示，解集为{x|x≥4或2≤x≤3或x≤1
−
}.
解(x+1)(x
2
−)2(x
3
−)(x
4
−)3≤0，如图所示，解集为{x|x≤1或
−
x=2或3≤x≤4}.
【注意】尽量使得每个x的系数都为正。
1．设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．解
4．解不等式
.
易错归纳05 一元二次不等式中的恒成立、有解问题
【易错陷阱·避错攻略】
1、解一元二次不等式的步骤：
第一步：将二次项系数化为正数；
第二步：解相应的一元二次方程；
第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；
第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出
错；③结果未按要求写成集合．
2、求解二次型不等式恒成立问题时要注意两个关键点：一看二次项的系数；二看不等式恒成立（有解）
的区间.
1．（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“
,
”为真命题，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．不等式
对任意
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．当
时，不等式
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若不等式
对任意
恒成立，则实数a 的取值范围是________.
7．（2026·天津河东·二模）已知二次函数
，若对于任意
，都有
成立，
则实数
的取值范围是________．
易错归纳06 含参一元二次不等式分类讨论
【易错陷阱·避错攻略】
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
注：求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计
算．
1．解关于
的不等式
.
2．解不等式
．
3．设
，解关于x 的不等式：
．
4．解下列关于
的不等式：
．
5．解下列关于
的不等式
.
6．解关于x 的不等式
.
易错归纳07 基本不等式忽略一正二定三相等
【易错陷阱·避错攻略】
1、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲
突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初
始范围.
注：形如
(
0)
a
y
x
a
x
的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单
调性求解．
2、通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面
的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
3、利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不
满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或
加上一个数，“1”的代换法等.
1．下列几个不等式中，不能取到等号的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列结论表述正确的是（ ）
A．若
，则
恒成立
B．若
，则
恒成立
C．若
，
，则
成立
D．若
，则
3．设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
易错归纳08 基本不等式在实际问题中的应用
【易错陷阱·避错攻略】
基本不等式在实际中的应用
（1）利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引
入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．
（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式，等号取不到，则可利用函数图象求解．
1．若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（ ）
A．
B．8
C．16
D．
2．某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为
，第二年的增长率为
，第三年的增长率为
，这两年
的平均增长率为
（
均大于零），则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩
形ABCD 和EFGH 构成的面积为
的十字形地域．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为
；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为
；在四个空角（图
中四个三角形）上铺草坪，造价为
．设总造价为S（单位：元），则当总造价S 最小时，AD 的长
度为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·上海·期中）某工厂某种产品的年固定成本为300 万元，每生产
件，需另投入成本为
（万元），当年产量不足80 件时，
（万元）；当年产量不小于80 件时，
（万元）.每件产品售价为50 万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完.
(1)写出年利润
（万元）关于年产量
（件）的函数解析式；
(2)年产量为多少时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？
5．（25-26 高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5 米，底面积为100 平方米，
且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方
体前面新建墙体的报价为每平方米320 元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160 元，地面以及其他
报价共计9600 元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为
（
）米，原有墙体足够长.
(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为
（
）元，若无论左
面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求
的取值范围.
易错归纳09 条件等式求最值
【易错陷阱·避错攻略】
首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配凑、消元、换
元等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的目的；若题目中还有已知条件，则首先观察已
知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题中要时刻注
意等号能否取到．
1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
2．已知
，且
，则
的最小值是（ ）
A．4
B．2
C．1
D．0
3．（2026·福建泉州·二模）已知正数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·河北张家口·一模）已知实数
，
，且满足
，则
的最小值为
（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
5．（2024·河南南阳·一模）已知正实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
6．已知实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．
7．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最小值是
（ ）
A．2
B．4
C．
D．
实战检测・易错通关验成效
1．（2026·山东济宁·三模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·北京顺义·期中）若
，且
，则下列说法一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题
“
，使得不等式
成立”为假命题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 高三上·湖北·期末）命题“对
”为假命题的一个充分不必要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知正数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
7．已知实数
，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（25-26 高三上·北京西城·阶段检测）若
，不等式
恒成立，则实数m
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数
的定义域是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（24-25 高一上·云南昭通·期中）若正实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
11．设计用
的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．若正数
、
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2026·四川泸州·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．若
，则
；
B．若
，则
；
C．若
，则
；
D．若
，则
.
14．已知命题
．若命题
为假命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（25-26 高三上·陕西商洛·阶段检测）若
，且满足
，则
的最小值是（ ）
A．6
B．18
C．
D．9
16．（多选题）（25-26 高三上·贵州贵阳·期中）已知
，
，
，则“
”的充要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（多选题）（2025·陕西·模拟预测）下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
18．不等式：
的解集为_______
19．（25-26 高三下·上海·阶段检测）设
，不等式
的解集为__________．
20．不等式
的解集为______
21．已知正三棱锥的各顶点都在体积为
的球面上，正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为______.
22．解关于x 的不等式：
．
23．解下列关于x 的不等式．
．
24．解关于x 的不等式：
.
25．（25-26 高三上·陕西咸阳·阶段检测）生态环境保护和经济发展是辩证统一､相辅相成的，建设生态文
明､推动绿色低碳循环发展，不仅可以满足人民日益增长的优美生态环境需要，而且可以推动实现更高质
量､更有效率､更加公平､更可持续､更为安全的发展，走出一条生产发展､生活富裕､生态良好的文明发展道
路.某果树培育公司响应国家的号召，决定采用一种新型绿色肥料进行果树栽培，经多次试验发现：一棵果
树果实的产量
（单位：百千克）与新型绿色肥料的费用
（单位：百元）满足关系
，且投入
的新型绿色肥料的费用不超过5 百元，此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）
百元.已知这
种果树果实的市场售价为25 元/千克（即25 百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记栽培一棵该果树
一年获得的利淘为
（单位：百元）
(1)求利润函数
的函数关系式，并写出定义域.
(2)当投入的新型绿色肥料的费用为多少时，栽培一棵该果树一年获得的利润最大？最大利润是多少？
26．已知关于
的不等式
.
(1)是否存在实数
，使不等式对任意
恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若存在
使不等式成立，求
的取值范围.
