文档文本内容
第 04 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
目录
第一部分：知识点必背............................................................1
第二部分：高考真题回归..........................................................5
第三部分：高频考点一遍过........................................................7
高频考点一：直线与圆位置关系判定............................................7
高频考点二：由直线与圆的位置关系求参数......................................9
高频考点三：直线与圆的位置关系求距离最值...................................11
高频考点四：圆的切线问题...................................................13
高频考点五：圆的弦长和中点弦...............................................16
高频考点六：已知圆的弦长求参数.............................................18
高频考点七：直线与圆的实际应用.............................................21
高频考点八：圆与圆的位置关系...............................................24
高频考点九：圆的公共弦.....................................................27
高频考点十：圆的公切线.....................................................29
第四部分：数学文化题...........................................................33
第一部分：知识点必背
知识点一：直线与圆的位置关系
1、直线与圆的三种位置关系
直线与圆
的位置关
系的图象 C l C C
l
l
直线与圆的 相交 相切 相离
位置关系
2、判断直线与圆的位置关系的两种方法
几何法（优先推荐）
图象
C l
d
r位置关 相交 相切 相离
系
判定方
法
； ； ；
。 。 。
圆心 到直线 的距 圆心 到直线 的距 圆心 到直线 的距
离： 。 离： 。 离： 。
圆与直线相交。 圆与直线相切。 圆与直线相离。
代数法
直线 ： ；圆
联立 消去“ ”得到关于“ ”的一元二次函数
① 直线 与圆 相交
② 直线 与圆 相切
③ 直线 与圆 相离
知识点二：圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.
图象 位置关系 图象 位置关系
外 外
离 切
C C C C
1 2 1 2
相 内
交 切
C C C C
1 2 1 2
内
含
C
C
2
12、圆与圆的位置关系的判定
几何法
设 的半径为 ， 的半径为 ，两圆的圆心距为 .
①当 时，两圆相交；
r
C 2 C
1
2
r
1
②当 时，两圆外切；
③当 时，两圆外离；
C C
1 r r 2
1 2
C C
1 2
r r
1 2
④当 时，两圆内切；
r
C
2
C
2
1
r
1
⑤当 时，两圆内含.
C r
C 2 2
1
r
1
代数法
设 :
:联立 消去“ ”得到关于“ ”的一元二次方程 ，求出其
① 与设设 相交
② 与设设 相切（内切或外切）
③ 与设设 相离（内含或外离）
知识点三：直线与圆相交
记直线 被圆 截得的弦长为 的常用方法
1、几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
2、代数法
直线 ： ；圆
联立 消去“ ”得到关于“ ”的一元二次函数
弦长公式：
知识点四：圆与圆的公共弦
1、圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
2、公共弦所在直线的方程
设 :
:
联立作差得到： 即为两圆共线方程
知识点五：圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为 ，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；第二部分：高考真题回归
1．（2023·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为
，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】方法一：因为 ，即 ，可得圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
则 ，
，
即 为钝角，
所以 ；
法二：圆 的圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，连接 ，
可得 ，则 ，
因为
且 ，则 ，
即 ，解得 ，
即 为钝角，则 ，
且 为锐角，所以 ；
方法三：圆 的圆心 ，半径 ，若切线斜率不存在，则切线方程为 ，则圆心到切点的距离 ，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为 ，即 ，
则 ，整理得 ，且
设两切线斜率分别为 ，则 ，
可得 ，
所以 ，即 ，可得 ，
则 ，
且 ，则 ，解得 .
故选：B.
2．（2023·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）已知直线 与 交于A，B
两点，写出满足“ 面积为 ”的m的一个值 ．
【答案】 （ 中任意一个皆可以）
【详解】设点 到直线 的距离为 ，由弦长公式得 ，
所以 ，解得： 或 ，
由 ，所以 或 ，解得： 或 ．
故答案为： （ 中任意一个皆可以）．
3．（2022·天津·统考高考真题）若直线 与圆 相交所得的弦长为 ，
则 ．
【答案】【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离为 ，
由勾股定理可得 ，因为 ，解得 .
故答案为： .
4．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）设点 ，若直线 关于 对称的直线与
圆 有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解： 关于 对称的点的坐标为 ， 在直线 上，
所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；
圆 ，圆心 ，半径 ，
依题意圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，即 ；
故答案为：
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：直线与圆位置关系判定
典型例题
例题1．（2023春·北京海淀·高二北理工附中校考期中）直线 与圆 的位
置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】C
【详解】由题知，圆心坐标 ，半径 ，将直线 化为点斜式得 ，
知该直线过定点 ，
又 ，故该定点在圆内，
所以该直线与圆 必相交.
故选：C
例题2．（2023·全国·高三专题练习）直线 与圆 的位置关系是
（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】B
【详解】圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心到直线的距离为 ，
所以直线 与圆 相切．
故选：B
例题3．（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）圆 与直线 的位置关系
是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】C
【详解】圆心为 ，半径
圆心 到直线 的距离为
所以直线与圆相离
故选：C
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）设 ，则直线 ： 与圆 的位置关系为
（ ）
A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相交
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，即直线恒过定点 ；
因为点 恰在 上，所以直线和圆的位置关系是相交或相切.
故选：C.
2．（2023·全国·高一专题练习）圆 与直线 的位置关系是（ ）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】A
【详解】圆 的圆心为 ，半径为1，
所以圆心到直线 的距离 ，
所以直线与圆的位置关系为相交.
故选：A.
3．（2023·河南周口·高二扶沟县高级中学校考阶段练习）已知点 在圆 内部，则直线
与圆 的公共点有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
【答案】A
【详解】因为点 在圆 内部，所以 ，
圆 的圆心到直线 的距离 ，
所以圆与直线相离，没有公共点.
故选:A.
高频考点二：由直线与圆的位置关系求参数
典型例题
例题1．（2023秋·北京西城·高二统考期末）若直线 与圆 相离，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为直线与圆相离，
所以圆心 到直线 的距离 ，
解得 或 ，
故选:B.
例题2．（2023·全国·高一专题练习）设 为实数,若圆 上恰有三个点到直线 的距离
都等于1,则 的值是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【详解】解:由题知圆的方程为 ,
所以圆心为 ,半径为 ,
因为圆 上恰有三个点到直线l的距离都等于1,
所以只需要圆心到直线 的距离为 即可,
直线方程为: ,
所以圆心到直线的距离为: ,
解得 ,
故当 时,
圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1．
故选:D
例题3．（2023春·山西长治·高二统考期末）已知直线 与圆 存在公共点，
则 的取值范围为 .
【答案】
【详解】直线 与圆 有公共点等价于圆心 到直线 的距离小于
等于圆的半径，即 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
练透核心考点
1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）“ ”是“直线 与圆
相切”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由题知，圆的圆心为 ，半径为1，
设圆心到直线 的距离为
则 ，解得： 或 .
由此可知，“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件，故选：A.
2．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）满足直线 ： 与圆 ： 有公共点
的一个整数 ．
【答案】2（或 ， ，0，1，只需填写一个答案即可）.
【详解】由题可知， ，解得 ．
故答案为：2（或 ， ，0，1，只需填写一个答案即可）.
3．（2023·全国·高三专题练习）若直线l： 与圆C： 有两个公共点，则k的取
值范围为 ．
【答案】
【详解】联立方程 ，消去y得 ，
由题意可得： ，
故k的取值范围为 ．
故答案为： .
高频考点三：直线与圆的位置关系求距离最值
典型例题
例题1．（2023·广西·校联考模拟预测）已知直线 和圆 ，则
圆心 到直线 的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，直线 可化为 ，
联立方程组 ，解得 ，即直线 过定点 ，
又由 ，可得定点 在圆内，
由圆的几何性质知，圆心到直线的距离 ．
故选：B.例题2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）直线 与圆
交于两点 ，则弦长 的最小值是 .
【答案】
【详解】圆 化成标准形式为圆 ，
圆心 ，半径 ，
直线 过定点 ，并在圆 内，
最短时，点 为弦 的中点，即 时，
所以 .
故答案为： .
例题3．（2023·全国·校联考三模）已知点 为圆 上的动点，则点 到直线
的距离的最大值为 .
【答案】
【详解】由题可得，圆心 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离等于 ，
所以点 到直线 的距离的最大值为 .
故答案为： .
练透核心考点
1．（2023秋·天津·高二校联考期末）圆 上的点到直线 的最大距离是
（ ）．
A．36 B． C．18 D．
【答案】B
【详解】因为圆 ，即 ，
所以圆心坐标为 ，半径 ，
因为圆心到直线 的距离 ，
所以直线 与圆 相离，
所以圆 上的点到直线 的最大距离为.
故选：B.
2．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知直线 与圆 有公共点 ，且与直线
交于点 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【详解】由题意可知， 的最小值即为圆 上一点 到直线 与圆交点的最
小距离，
圆心 ，半径 ，圆心 到直线 的距离为 ，
由题意可知 ．
故答案为： .
3．（2023·全国·高三专题练习）圆 上的点到直线 的距离的最小值是 ．
【答案】3
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为2，
圆心到直线 的距离 ，
所以圆 上的点到直线 的距离的最小值是 ．
故答案为：
高频考点四：圆的切线问题
典型例题
例题1．（2023春·河南南阳·高二统考期末）过坐标原点 作圆 的两条切线，切点
分别为 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【详解】圆 化为标准方程为 ，
其圆心为 ，半径为1，由题意知， , , , ,
所以 ,所以 .
所以 ,且 ,
所以 为等边三角形，
所以 .
故选:C．
例题2．（2023秋·高一单元测试）已知点 是圆 上的一点，过点 作圆
的切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】切线长 ，所以当 取得最小值时，切线长取得最小值.当 共线且点 在
之间时，
最小，由于 ,所以 ，
min
所以 .
故选： .
例题3．（2023春·四川泸州·高二统考期末）已知 为抛物线 的焦点， 为抛物线 上第一象限的点，且 .
(1)求点 的坐标；
(2)求过点 且与圆 相切的直线方程.
【答案】(1)
(2) 或 ，
【详解】（1）由于抛物线的焦点坐标为 ，
故 ，
所以 ， ，将 代入抛物线可得 ，
故
（2）由于点 的圆心为 ，
由于 ，故过点A的切线一定有斜率，设其方程为 ，
由于直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为 ，
所以切线方程为 ，即 或 ，
练透核心考点
1．（2023春·广东江门·高二统考期末）若直线 与圆 相切，则 （ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
依题意， ，解得 ，
所以 .
故选：A
2．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知点 ， ，经过点 作圆
的切线与 轴交于点 ，则 ．
【答案】
【详解】如图所示，设圆心为 点，则 ，
，则点 在圆上，且 ，由 与圆相切可得 ，所以切线方程为 ，
令 ，解得 ，故 ，
所以
故答案为： .
高频考点五：圆的弦长和中点弦
典型例题
例题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二统考期末）已知圆 ，则直线
被圆截得的弦的长度为（ ）
A．2 B．7 C． D．
【答案】D
【详解】圆 的圆心为 ，半径为5，
则 到直线 的距离为 ，
即直线 和圆 相交，
故直线 被圆截得的弦的长度为 ，
故选：D
例题2．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若直线 与圆 ：
相交于 ， 两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】直线 ，即 恒过定点 ，
而 ，即点 在圆 内，因此当且仅当 时， 最小，
而圆 的圆心 ，半径 ， ，
所以 .
故选：B
例题3．（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）已知圆 内有一点 ，
为过点 且倾斜角为 的弦
（1）当 时，求弦长 ；
（2）当弦 被点 平分时，求直线 的方程.
【答案】（1） ；（2）
【详解】解：圆 的方程可化为： ，
则 ，半径 ，
当 时，直线 的斜率为1，
则直线方程为 ，
则圆心到直线的距离 ，
所以弦长 ；
（2）设直线 的斜率为 ，根据条件可知 ，
则 ，
所以 ，
则直线 的方程为 ，
即 ．
练透核心考点
1．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）直线 被圆 所截得弦
长的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：易知直线l过定点 ，圆心 ，
因为 ，
所以直线l与圆C相交，
当 时，l被圆C所截得的弦最短，
此时弦长 ．
故选：A．
2．（2023春·贵州黔南·高二统考期末）若直线 与圆 相交于 两点，则弦 的长
为 ．
【答案】
【详解】由 可得圆心为 ，半径为 ，
圆心到直线的距离 ，
所以 .
故答案为： .
3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C: ,直线
(1)求证: 无论 取什么实数，直线 恒过第一象限；
(2)求直线 被圆C截得的弦长最短时 的值以及最短长度；
(3)设直线 与圆C相交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程.
【答案】（1）见解析；（2） ，长度为 ；（3）
【详解】（1）由mx-y+1-m=0得y=mx+1-m=m（x-1）+1，则直线过定点D（1，1）在第一象限，故无论
取什么实数，直线 恒过第一象限；
(2)若直线l被圆C截得的弦长最小，
则此时满足DC⊥l，D（1，1），C（1,2）
则DC的斜率k的斜率不存在，
则l的斜率k=0，即对应的 =0，最短长度为
(3) 由（1）可知点D在圆内，设M（x，y），则由CM⊥DM得 ，∴
．高频考点六：已知圆的弦长求参数
典型例题
例题1．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校考期末）直线 与圆 ：
相交于 ， 两点，若 ，则 ．
【答案】 /
【详解】 ，即 ，
所以圆C的圆心C（1，1），半径为r＝2.
由 中， ， ，可得 .
设圆心C到直线的距离为d，可得2 2 2 ，即d＝1，
则 1，解得a .
故答案为： ．
例题2．（2023·广东广州·统考三模）写出经过点 且被圆 截得的弦长为 的
一条直线的方程 ．
【答案】 或
【详解】圆的方程可化为 ，圆心为 ，半径 ．
当过点 的直线的斜率不存在时，直线方程为 ，此时圆心在直线上，弦长 ，不满足题意，
所以过点 的直线的斜率存在，设过点 的直线的方程为 ，即 ，则
圆心 到直线 的距为 ，
依题意 ，即 ，解得 或 ，
故所求直线的方程为 或 ．
故答案为： 或 ．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若过定点 的直线 截圆C： 所得弦长小于3，
则该直线斜率的取值范围为
【答案】【详解】当直线l斜率不存在时，圆心 到直线 的距离为1，
此时直线 截圆C所得弦长为 ，不符合题意，故直线l的斜率存在；
设直线l方程为 ，即 ，此时圆心 到直线 的距离
，
则有 ，解得 ，即直线l斜率的取值范围为 ．
故答案为： ．
练透核心考点
1．（2023·广东深圳·校考二模）过点 且被圆 所截得的弦长为 的直线的方程
为 .
【答案】
【详解】圆 ，即 ，
圆心为 ，半径 ，
若弦长 ，则圆心到直线的距离 ，
显然直线的斜率存在，设直线方程为 ，即 ，
所以 ，解得 ，所以直线方程为 .
故答案为：
2．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知圆 满足：圆心 在直线 上， 轴或 轴被圆 所
截得的弦长为4，则圆 的一个标准方程为 .
【答案】 / （答案不唯一，写出一个即可）
【详解】设 ，若圆 被 轴所截弦长为4，则圆 的半径 ，
则此时圆 的标准方程为 ；
若圆 被 轴所截弦长为4，则圆 的半径 ，
则此时圆 的标准方程为 .
令 ，则圆 方程为 或 .故答案为： 或 （答案不唯一，写出一个即可）.
3．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）在平面直角坐标系 中，已知圆 .设
圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上.
(1)求圆 的标准方程；
(2)设垂直于 的直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2) 或 ．
【详解】（1）圆 ： ，
则圆 的标准方程为 ，
即圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
因为圆 与x轴相切，与圆O 外切，则圆心 ， ，
1
则圆 的半径为 ，
则 ，解得 ，
即圆 的标准方程为 ；
（2）由（1）知O（﹣6，1），则 ，
2
所以直线l的斜率为 ，
设直线l的方程为 ，
因为 ，则圆心O 到直线l的距离 ，
1
所以 ，解得 或 ，
所以直线l的方程为 或 ．
高频考点七：直线与圆的实际应用
典型例题
例题1．（2023春·广东·高二统考阶段练习）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为 的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西 处，港口位于小岛中心正北
处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】小岛到航线的距离为 ，解得 .
故选：C
例题2．（2023秋·湖北·高二武汉市第二十三中学校联考期末）如图，某海面上有 、 、 三个小岛
（面积大小忽略不计）， 岛在 岛的北偏东 方向距 岛 千米处， 岛在 岛的正东方向距
岛20千米处以 为坐标原点， 的正东方向为 轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆
经过 、 、 三点．
(1)求圆 的标准方程；
(2)若圆 区域内有未知暗礁，现有一船 在 岛的南偏西 方向距 岛40千米处，正沿着北偏东
行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
【答案】(1)
(2)该船没有触礁的危险
【详解】（1）如图所示， ，
设过O、A、B三点的圆C的方程为 ，
得： ，解得 ，
故所以圆C的方程为 ，
圆心为 ，半径 ，（2）该船初始位置为点D，则 ，
且该船航线所在直线l的斜率为 ,
故该船航行方向为直线 ，
由于圆心C到直线l的距离 ，
故该船没有触礁的危险
练透核心考点
1．（2023·全国·校联考一模）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的
位置，球 是指该球的球心点 ．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动
方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的
圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，如图，设母球 的
位置为（0，0），目标球 的位置为 ，要使目标球 向 处运动，则母球 的球心运动的直线
方程为 ．
【答案】
【详解】点 ， 所在直线的方程为 ，如图所示可知 ， 两球碰撞时，球 的球心在直线 上，且在第一象限，设 ， 两球碰撞时，球 的
球心坐标为 ，此时 ，则 ，解得， 即 ，B两球碰撞
时，球 的球心坐标
所以母球 的球心运动的直线方程为 ，即 ．
故答案为：
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为 的圆形
区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东 的A处出发，径直驶向位于海监船正北 的B处岛屿，速
度是 ，问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间为多长？
【答案】外籍轮船能被海监船监测到；0.5小时
【详解】如图，以 为原点，东西方向为 轴建立直角坐标系,则 ， ，圆 方程 ，
直线 方程： ，即 ，
设 到 距离为 ，则 ，
所以外籍轮船能被海监船检测到，
设监测时间为 ，则 （小时），
答：外籍轮船能被海监船检测到，时间是0.5小时
高频考点八：圆与圆的位置关系
典型例题
例题1．（2023春·江西南昌·高二校联考阶段练习）圆 ： 与圆C: 的位置
关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．外切 D．内切
【答案】C
【详解】圆 是以 为圆心，半径 的圆，
圆 : 改写成标准方程为 ，则圆 是以 为圆心，半径 的圆，
则 ， =3，所以两圆外切，
故选： .
例题2．（2023秋·高二课时练习）若两圆 和圆 相交，则 的取值范围是
（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】B
【详解】 圆 与圆 相交，
两圆的圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，即 ，所以 .
解得 或 .
故选：B
例题3．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考期中）已知圆 与圆
只有一个公共点，则 （ ）
A．1 B．4 C．9 D．1或9
【答案】D
【详解】圆 ，即 ，圆心为 ，半径 ，
圆 ，圆心 ，半径为 ，
所以
因为两圆只有一个公共点，所以两圆相外切或相内切，
显然两圆不能相外切，
所以 ，即 ，解得 或 .
故选：D
例题4．（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）圆 与圆
的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】C
【详解】两圆化为标准形式，可得 与圆 ，
可知半径 ， ，于是 ，
而 ，故两圆相交，
故选： .
练透核心考点
1．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）若圆 与圆 外切，则实数
（ ）
A．－1 B．1 C．1或4 D．4
【答案】D
【详解】由条件化简得 ，即两圆圆心为 ，
设其半径分别为 ， ，所以有 .
故选：D2．（2023春·江苏扬州·高二江苏省江都中学校考开学考试）圆 与圆
的位置关系为（ ）．
A．相交 B．内切 C．外切 D．外离
【答案】B
【详解】由题意可得 ，
故两圆的圆心分别为： ，设两圆半径分别为 ，则 ，
易知 ，故两圆内切.
故选：B
3．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知圆 和圆 ，其中
，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 且半径 ， 且半径 ，结合a大于0，
所以 时，两圆相交，则 ，
由选项可得A选项为 的充要条件；
B、D选项为 的必要不充分条件；
C选项为 的充分不必要条件；
故选：C
4．（2023春·广西·高二校联考期中）已知圆心在原点的单位圆 和圆 外
切， ．
【答案】16
【详解】圆 圆心为 ，半径为1，圆 ，圆心为 ，且 ，半径为
，
所以圆心距 ，因为两圆外切，所以 ，所以 ．
故答案为：16
高频考点九：圆的公共弦
典型例题
例题1．（2023秋·甘肃天水·高二统考期末）圆 与圆 的公共弦长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径 ，
所以 ，易知两圆相交，
两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为： 即 ，
则圆心 到直线的距离 ，
故公共弦长为 .
故选：C.
例题2．（2023春·全国·高二合肥市第六中学校联考开学考试）圆 与圆
的公共弦长为 ．
【答案】 /
【详解】由题意可知，两圆方程相减可得公共弦方程为 ，
圆 的标准方程为 ，其圆心 ，半径 ；
圆心 到公共弦 的距离
所以公共弦长为 .
故答案为：
例题3．（2023秋·甘肃兰州·高二兰州西北中学校考期末）已知圆 ，圆
.
(1)求两圆公共弦所在直线 的方程；
(2)求公共弦长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为圆 ，圆 ，
所以圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心为 ，半径 ，
所以 ，故圆 与圆 相交，
所以，两圆方程作差得： .所以，两圆公共弦所在直线 的方程为：
（2）解：因为 的圆心为 ，半径 ，
所以， 到直线 的距离为 ，
所以，公共弦长为 .
练透核心考点
1．（2023春·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知圆 ： 过圆 ：
的圆心，则两圆相交弦的方程为 .
【答案】
【详解】圆 ： 的圆心坐标为 ，
因为圆 过圆 的圆心，所以 ，
所以 ，所以 ： ，
两圆的方程相减可得相交弦方程为 .
故答案为： .
2．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）圆 与圆 的公共弦所在的直线方
程为 ．
【答案】
【详解】联立 ，两式相减得 .
故答案为：
3．（2023·高二课时练习）求圆 和圆 公共弦所在直线方程，
并求弦长．
【答案】 ， .
【详解】方程 可化为 ，
所以圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
方程 可化为 ，
所以圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
所以两圆的圆心距为 ，
又 ，所以圆 与圆 相交.
将两圆的方程相减可得 ，即 ，
所以两圆公共弦所在直线方程为 ，
又点 到直线 的距离为 ，
所以公共弦长为 .
高频考点十：圆的公切线
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）圆 ： 与圆 ：
公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】根据题意，圆 ： ，即 ，
其圆心为 ，半径 ；
圆 ： ，即 ，
其圆心为 ，半径 ，
两圆的圆心距 ，所以两圆相外切，
其公切线条数有3条．
故选：C．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）若圆 与圆 有且仅有
3条公切线，则 =（ ）
A．14 B．28 C．9 D．
【答案】A
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
因为圆 与圆 有且仅有3条公切线，
所以两圆外切，
则 ，即 ，解得 .
故选：A.
例题3．（2023春·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考开学考试）已知圆 ：
与 ： 恰好有4条公切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为圆 ： 与 ： 恰好有4条公切线，所以圆 与
外离，所以 ，解得 或 ，即实数 的取值范围是 .
故选：D.
例题4．（2023·全国·高三专题练习）写出与圆 和圆 都相切的一条直线
的方程 .
【答案】 或 或 （三条中任写一条即可）
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ；
圆 的圆心为 ，半径为 ；
与 的距离为 ，所以两圆外切.
过 与 的直线方程为 .
由图可知，直线 是两圆的公切线，
由 解得 ，设 ，
设两圆的一条公切线方程为 ，
到直线 的距离为 ，
即 ，解得 ，
所以两圆的一条公切线方程为 ，即 .由 两式相减并化简得 ，
所以两圆的公切线方程为 或 或 .
故答案为： 或 或 （三条中任写一条即可）
练透核心考点
1．（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆 ： 的圆心到直线 的距离为
，则圆 与圆 ： 的公切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】B
【详解】圆 ： 的圆心为 ，半径为a，
所以圆心到直线 的距离为 ，解得 或 ．
因为 ，所以 .
所以圆 ： 的圆心为 ，半径为 ．
圆 ： 的标准方程为 ，
圆心坐标为 ，半径 ，
圆心距 ，所以两圆相内切．
所以两圆的公切线只有1条.
故选：B．
2．（2023秋·河北保定·高二统考期末）若圆 与圆 恰有两
条公共的切线，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】由 ，
所以 ，半径 ，
由 ，所以 ，半径为 ，
因为圆 与圆 恰有两条公共的切线，所以这两个圆相交，
于是有 ，而 ，
所以m的取值范围为 ，
故选：A
3．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆 和圆 都相切
的一条直线的方程 .
【答案】 （答案不唯一， 或 均可以）
【详解】圆 的圆心为 ，半径为1；圆 的圆心为 ，半径为4，
圆心距为 ，所以两圆外切，
如图，有三条切线 ，易得切线 的方程为 ；
因为 ，且 ，所以 ，设 ，即 ，则 到 的距离
，解得 （舍去）或 ，所以 ；
可知 和 关于 对称，联立 ，解得 在 上，
在 上取点 ，设其关于 的对称点为 ，则 ，解得 ，则 ，
所以直线 ，即 ，
综上，切线方程为 或 或 .
故答案为： （答案不唯一， 或 均可以）
4．（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）写出与圆 和圆
都相切的一条直线的方程： ．
【答案】 （答案不唯一）
【详解】由圆 ，圆 ，
，可知它们外切，
所以两圆的方程作差即可得内公切线的方程为 ．
又直线 的方程为 ，两圆半径相等，
故可设外公切线的方程为 ，
因为圆心 到外公切线距离为 ，
所以 或 ，即两条外公切线的方程分别为 和
．
故答案为： （答案不唯一）
第四部分：数学文化题
1．（多选）（2023春·浙江·高二校联考期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-公元前190年）
的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为
常数 （ 且 ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知 ，圆
上有且仅有一个点 满足 ，则 的取值可以为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】AC【详解】设动点 ，由 ，得 ，
整理得 ，表示圆，圆心坐标为 ，半径为2，
又圆 上有且仅有一个点 满足 ，所以两圆相切.
圆C： 的圆心坐标为 ，半径为r，两圆的圆心距为3，
当两圆外切时， ，得 ，
当两圆内切时， ， ，得 ．
故选：AC.
2．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两
个定点A、B的距离之比为定值 的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标
系xOy中，已知 ， ，点P满足 ，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是（ ）
A．圆C的方程是
B．过点A且斜率为 的直线被圆C截得的弦长为
C．圆C与圆 有四条公切线
D．过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为 ，该直线斜率为
【答案】BD
【详解】对A，设 ，由 可得 ，即 ，化简可得
，故A错误；
对B，过点A且斜率为 的直线方程为 ，即 ，则圆 的圆心
到 的距离为 ，故所求弦长为 ，故B正确；
对C，圆 圆心到 圆心 的距离为 ，又两圆的半径和为
，故两圆相交，有两条公切线，故C错误；
对D，当直线 斜率为0时，圆C上有四个点到直线l距离为 不合题意，设直线 ，则由题意C
到 的距离等于 ，即 ，解得 ，故斜率直线斜率为 ，故D正确；故选：BD
3．（2023春·河南洛阳·高二校联考阶段练习）自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，依靠人工智能、视觉计
算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人类主动的操作下，自动安全地操
作机动车辆.某自动驾驶讯车在车前 点处安装了一个雷达，此雷达的探测范围是扇形区域 .如图所
示，在平面直角坐标系中， ，直线 ， 的方程分别是 ， ，现有一个圆形物体
的圆心为 ，半径为 ，圆 与 ， 分别相切于点 ， ，则
【答案】 /
【详解】连接 ， ，由题意可设 ，又圆 与 相切，则 ，解得
，
由题意可得 ， ，
在 中， ，所以 ，
同理 ， ，又 ，
所以 ，即 .
故答案为： .
4．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称
为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆 ： ，则 的蒙日圆 的方程为 ；在圆
上总存在点 ，使得过点 能作椭圆 的两条相互垂直的切线，则 的取值范
围是 .
【答案】
【详解】椭圆 的右顶点为 ，上顶点为 ，
过点 的椭圆 的切线方程为 ，
过点 的椭圆 的切线方程为 ，
直线 与直线 的交点为 ，
所以点 在蒙日圆 上，
所以蒙日圆 的半径 ，
所以蒙日圆 的方程为 ；
因为过点 能作椭圆 的两条相互垂直的切线，
所以点 在 上，
又点 在圆 上，
故圆 与圆 有交点，
所以 ，
所以 ，
故答案为： ， .
