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第一章 集合、常用逻辑用语、不等式（单元测试）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知向量
，则“
”是“向量
共线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
3．集合
，则
的子集个数为（ ）
A．3
B．4
C．8
D．16
4．已知集合
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知正数
，
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．9
C．
D．13
6．
由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（
）
的中国初创公司．其
模型于2024 年年底发布，此模型足以媲美
，一经推出便成为全球热门话
题．利用
进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种
模型运算参差不齐．
技术人员对n 个
模型进行测试，测试由m 道题组成，每个
模型都对这
道题逐一进行求解．若一道
题至少有
个
模型未解对，则称此题为难题；若一个
模型至少解出了
道题，则该
模型测试成
绩合格．如果测试至少有
个
模型成绩合格，且测试中至少有
道题为难题，那么
的最小值为
（ ）
A．6
B．9
C．18
D．27
7．若
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
8．两个集合
和
，用
中元素为第一元素，
中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的
集合叫作
和
的笛卡尔积，又称直积，记为
，即
．关于非空集合
，
下列说法正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若集合
的元素个数分别为
，则
的元素个数为
C．
D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
11．已知
，若
对一切实数
恒成立，且一元二次方程
有实数根，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．命题“
”的否定是 .
13．设集合
，
，在集合
的所有元素中，绝对值最小的
元素是 .
14．设
，我们常用
来表示不超过
的最大整数．如：
．若
，则
，若
是方程
的实数解，则
．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
已知集合
，集合
或
．
(1)若
是
成立的必要不充分条件，求
的取值范围；
(2)若
，求
的取值范围．
16．（15 分）
已知集合
，集合
．
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围；
(3)若
，求实数
的取值范围．
17．（15 分）
美国国家海洋和大气管理局
最近发布的一则预测引发全球关注：预计在
年
月，拉尼娜
现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防
暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成：
①固定成本(与生产产品的数量无关)：
万元；
②生产所需材料成本：
万元，
(单位：万套)为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量
为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？
(2)若每月生产
万套产品，每万套售价为：
万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如
何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于
万元．
18．（17 分）
关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，
但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算代数变形可以解决很多关于
基本不等式的问题.
例如此题：已知a，b 为正实数，且
，则
的最小值为_____.
其解法如下
，当且仅当
，即
时，等号成立，
因此
的最小值为
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是
成群生长”.根据上述材料解决以下问题.
(1)已知a，b，c 为正实数，且
，求证：
；
(2)已知
，
，且
，则
的最小值是多少？
(3)某同学在解决题目“已知x 为正实数，y 为非负实数，且
，则
的最小值是多
少？”时，给出如下解法：
令
则
化为
原式
当且仅当
即
，即
，
时，等号成立.
利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知a，
，
，则
的最
大值是多少？
19．（17 分）
若
为定义域D 上的单调函数，且存在区间
（其中
），使得当
时，
的
取值范围恰为
，则称函数
是D 上的“优美函数”.
(1)写出
的一组值，使得函数
为“优美函数”，并说明理由;
(2)若函数
为“优美函数”，求实数t 的取值范围;
(3)若函数
为“优美函数”，求实数m 的取值范围.
