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第一章 集合、常用逻辑用语、不等式（单元测试）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
∵
，解得
，
∴
，又
，
所以
故选：C
2．已知向量
，则“
”是“向量
共线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【解析】当
时，向量
，因为
，所以向量
共线成立；
由向量
，
共线，有
，此时
，
所以“
”是“向量
共线”的充分不必要条件．
故选：A
3．集合
，则
的子集个数为（ ）
A．3
B．4
C．8
D．16
【答案】C
【解析】因为
，
故子集个数为
，
故选：C.
4．已知集合
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
则
，
，
故
.
故选:D.
5．已知正数，
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．9
C．
D．13
【答案】C
【解析】由
，则
，即
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值是
.
故选：C.
6．
由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（
）
的中国初创公司．其
模型于2024 年年底发布，此模型足以媲美
，一经推出便成为全球热门话
题．利用
进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种
模型运算参差不齐．技
术人员对n 个
模型进行测试，测试由m 道题组成，每个
模型都对这
道题逐一进行求解．若一道题至
少有
个
模型未解对，则称此题为难题；若一个
模型至少解出了
道题，则该
模型测试成绩合
格．如果测试至少有
个
模型成绩合格，且测试中至少有
道题为难题，那么
的最小值为（ ）
A．6
B．9
C．18
D．27
【答案】B
【解析】设有个
模型合格，
道题为难题，则
，
依题意有
，
所以
所以
，
同理
，
要使两式有整数解，则
，所以
．
当
时，若3 个
模型生答题情况如下表：
题目1
题目2
题目3
1
√
√
×
2
√
×
√
3
√
×
×
则有2 个
模型合格，2 个难题，符合题意，所以
的最小值为9．
故选：B
7．若
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号.
故选：B.
8．两个集合
和
，用
中元素为第一元素，
中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成
的集合叫作
和
的笛卡尔积，又称直积，记为
，即
．关于非空集合
，下列说法正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若集合
的元素个数分别为
，则
的元素个数为
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，
，故A 错误；
对于B，设
，
，则
，
的元素个数为，不是3，故B 错误；
对于C，结合B 的实例，
，而
，两者不相同，故C 错误；
对于D，任意
，则存在
，
使得
，因为
且
，故
且
，
故
，故
任意
，则存在
，使得
，
故
，故
，故
，
故
，
故选：D
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】
如图，
A 选项：
①+②，则
②，故A 正确；
B 选项：
①+④，则
④， 故B 错误；
C 选项：
③，
①+
+
②④，则
②，故C 正确；
D 选项：
①，故D 错误.
故选：AC.
10．已知实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BC
【解析】对于A，当
时，
，故A 错误；
对于B，因
，则
，
，则
，
等号成立时
，故B 正确；
对于C，因
且
，则
，则
，故C 正确；
对于D，若
，则
，故D 错误.
故选：BC
11．已知
，若
对一切实数恒成立，且一元二次方程
有实数根，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】因为
对一切实数恒成立，所以
，
因为一元二次方程
有实数根，所以
，
所以
，故
，即
，
，
所以
，
当且仅当
时不等式取等号.
故选：AD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．命题“
”的否定是 .
【答案】
【解析】由存在量词命题的否定为全称量词命题可得：
“
”的否定是“
”，
故答案为：“
”.
13．设集合
，
，在集合
的所有元素中，绝对值最小的
元素是 .
【答案】
【解析】
，
，
显然集合
的所有元素中，绝对值最小的元素是
.
故答案为：
.
14．设
，我们常用
来表示不超过的最大整数．如：
．若
，则
，若是方程
的实数解，则
．
【答案】
或
或
【解析】若
，则
，故
因为
，故
，
因为
，故
，故
，故
，
若
，则
，又
，故
符合；
若
，则
，故
，又
，不符合
，均舍；
若
，则
，故
，又
，故
符合；
若
，则
，故
，又
，故
符合；
综上，
或
或
．
故答案为：
，
或
或
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
已知集合
，集合
或
．
(1)若
是
成立的必要不充分条件，求的取值范围；
(2)若
，求的取值范围．
【解析】（1）由
是
成立的必要不充分条件，得集合
真包含于集合
，
则
或
，解得
或
，
所以的取值范围是
或
.
（2）依题意，
，由
，得
，
则
，解得
，
所以的取值范围是
.
16．（15 分）
已知集合
，集合
．
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围；
(3)若
，求实数
的取值范围．
【解析】（1）由
，则
，故
；
（2）由
，则
，可得
；
（3）由
，即
，
若
，则
，可得
；
若
，则
，无解；
综上，
.
17．（15 分）
美国国家海洋和大气管理局
最近发布的一则预测引发全球关注：预计在
年月，拉尼娜
现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防
暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成：
①固定成本(与生产产品的数量无关)：
万元；
②生产所需材料成本：
万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？
(2)若每月生产万套产品，每万套售价为：
万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如
何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于
万元．
【解析】（1）由题设，平均每万套的成本
，
当且仅当
万套时取等号，平均每万套的成本最低为12 万元/万套；
（2）由题设，该套装每月的利润为
，
所以
，可得
，
所以
，即该企业至少要生产30 万套，才能确保该套装每月的利润不低于
万元.
18．（17 分）
关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，
但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算代数变形可以解决很多关于
基本不等式的问题.
例如此题：已知a，b 为正实数，且
，则
的最小值为_____.
其解法如下
，当且仅当
，即
时，等号成立，
因此
的最小值为
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是
成群生长”.根据上述材料解决以下问题.
(1)已知a，b，c 为正实数，且
，求证：
；
(2)已知
，
，且
，则
的最小值是多少？
(3)某同学在解决题目“已知x 为正实数，y 为非负实数，且
，则
的最小值是多
少？”时，给出如下解法：
令
则
化为
原式
当且仅当
即
，即
，
时，等号成立.
利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知a，
，
，则
的最
大值是多少？
【解析】（1）
，
当且仅当
，即
时，等号成立，得证．
（2）
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，
则
的最小值是
（3）
，
令
，原式
，令
，
原式
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立．
所以
的最大值为
19．（17 分）
若
为定义域D 上的单调函数，且存在区间
（其中
），使得当
时，
的
取值范围恰为
，则称函数
是D 上的“优美函数”.
(1)写出
的一组值，使得函数
为“优美函数”，并说明理由;
(2)若函数
为“优美函数”，求实数t 的取值范围;
(3)若函数
为“优美函数”，求实数m 的取值范围.
【解析】（1）因为函数
单调递增，
若
在定义域区间上存在
，使得
的值域
，
则
，
，即
为方程
的两根，又
，得
，
，
又
在区间
上的值域为
，故
，
符合题意.
（2）因为函数
为递增函数，
要使
在定义域区间上存在
，使得
的值域
，
则只需
有两个不等的非负实根，
令
，
，则
在
有两个不等的实根
，
故
，即
，得
，
即t 的取值范围是
.
（3）函数
在定义域内单调递减，
依题意得
，两式相减，得
，
则
，
得
①
将①式代入方程组得
，则是方程
的两根，
令
，则
在
上有两个不同的实根，
则
，解得
，
故实数m 的取值范围为
